3. Gia tốc góc của vật rắn. Định nghĩa. Gia tốc góc của vật rắn, ký hiệu ε  là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc ω  dt d ω ε   = (1.14) Hình 2.3 Tóm tắt Chụyển động của vật rắn trong không gian đối với hệ R 0 được đặc trưng bởi vị trí, vận tốc góc và gia tốc góc. Vị trí của vật được xác định bởi gốc toạ độ R gắn chặt với vật và ma trận cô sin chỉ phương, vận tốc góc được định nghĩa bằng công thức (1.11), trong đó các thành phần của nó được xác định từ công thức (1.10). Gia tốc góc được định nghĩa bằng công thức (1.14). Chú ý rằng để tính các thành phần của vận tốc góc ta phải sử dụng các công thức (1.7). § 2. Đặc trưng động học của từng điểm thuộc vật. Chuyển động của mỗi điểm, như đã biết từ chương I được xác định bởi ba yếu tố: Các phương trình chuyển động; vận tốc và gia tốc của nó. Chụyển động của mỗi điểm thuộc vật cũng đặc trưng bằng ba yếu tố đó. Trong mục này, ta sẽ tính các yếu tố này thông qua các yếu tố đặc trưng động học của vật. 1. Phương trình chuyển động của điểm. Xét điểm M thuộc vật. Trong hệ R điểm M có các toạ độ ( ) zyx ,, còn đối với hệ R 0 có các toạ độ ( ) 000 ,, zyx . Giả sử ta biết chuyển động của vật rắn, t.l. biết toạ độ gốc O ( ) 000 ,, ZYX và các phần tử .3,2,1,, =jia ij của ma trận cô sin chỉ phương A. Ta tìm các toạ độ ( ) 000 ,, zyx . Ta có: 1 z y x z y x O o o o O o ω  ε  OMOOMO += 00 , (1.15) 0 0 0 0 0 00 zyx ezeyexMO  ++= , zyx ezeyexOM  ++= , 0 0 0 0 0 00 zyx eZeYeXOO  ++= . Từ đó, ta dễ dàng nhận được zayaxaXx 13121100 +++= , (1.16a) zayaxaYy 23222100 +++= , (1.16b) zayaxaZz 33323100 +++= . (1.16c) Hệ phương trình (1.16) là hệ phương trình chuyển động của điểm M. Hệ phương trình này còn viết được dưới dạng ma trận x 0 = X 0 + A x (1.17) trong đó x 0 =           0 0 0 z y x , X 0 =           0 0 0 Z Y X , x =           z y x (1.18) còn A là ma trận côsin chỉ phương. 2. Vận tốc của điểm. 2.1. Nhận xét rằng theo định nghĩa để có vận tốc điểm thuộc vật ta cần đạo hàm biểu thức (1.17) theo thời gian: v = dt d x 0 + dt d (Ax). với các quy tắc tính đạo hàm đã biết và đạo hàm của ma trận sẽ là ma trận có các phần tử là đạo hàm của các phần tử của ma trận cho trước. Trong các chương sau, ta sẽ áp dụng công thức này cho các trường hợp cụ thể. 2.2. Ta đưa vào các ký hiệu M rMO  = 0 , OM rOM  = , O rOO  = 0 , Phương trình (2.1) có thể viết lại dưới dạng OMM rrr  += 0 (1.15’) 2 0 R R O M Đạo hàm hai vế của (1.15’) theo thời gian ta được OM rrr OM       += Chú ý rằng, vectơ OM r  có mô đun không đổi nên áp dụng công thức đạo hàm (1.13), ta được OMr OM ×= ω    . Nếu ta ký hiệu vận tốc của điểm M trong hệ R 0 là M v  , vận tốc của điểm gốc O (trong hệ R 0 ) là O v  , còn OM r   là MO v  . Theo định nghĩa vận tốc của điểm, ta thu được MOM vvv  += 0 , trong đó OMv MO ×= ω   . 2.3. Định lý 2.1. Tại mỗi thời điểm vận tốc của hai điểm A và B bất kỳ thuộc vật rắn liên hệ với nhau qua công thức ABBA vvv  += (1.17) trong đó BAv AB ×= ω   . (1.18) Chứng minh. Các công thức của định lý có thể suy ra trực tiếp từ các công thức MOM vvv  += 0 và OMv MO ×= ω   với chú ý rằng các điểm O và M là các điểm bất kỳ thuộc vật rắn. Do đó, nếu ta ký hiệu thay cho O là A và thay cho M là B ta sẽ có ngay các công thức của định lý. Hình 2.4 Liên hệ vận tốc giữa hai điểm 2.3. Định lý 2.2. Hình chiếu vận tốc của hai điểm bất kỳ của vật rắn lên phương nối hai điểm đó bằng nhau. BABAAB vhcvhc  = . (1.19) Chứng minh. Do BAv AB ×= ω   nên ABv AB ⊥  , suy ra hình chiếu của AB v  lên phương AB bằng không. Từ đó ta suy ra tính đúng đắn của công thức (1.17). 3 ω  A v  A v  B v  BA v  A B (S) 3. Gia tốc chụyển động của điểm 3.1. Cũng như đối với vận tốc để tính gia tốc ta đạo hàm theo thời gian biểu thức vận tốc và cũng sẽ tính trong các chương sau cho các trường hợp cụ thể. Cần nhấn mạnh rằng công cụ này được sử dụng phổ biến để tính toán các hệ cơ học phức tạp chứa nhiều vật rắn. 3.2. Đạo hàm theo thời gian công thức (1.17), ta được dt vd dt vd dt vd ABBA  += , chú ý rằng BAv AB ×= ω   , đồng thời theo công thức Euler về đạo hàm của vectơ có mô đun không đổi ( ) =×= BA dt d dt vd AB ω   +×=×+× BA dt dBA BA dt d εω ω   BA ×× ωω  . Ta đưa vào các ký hiệu BAw q AB ×= ε   (1.20a) ht AB w AB ω ω = × × r r r (1.20b) và quy ước gọi tương ứng là gia tốc quay và hướng trục của điểm A quanh điểm B. Như thế ta nhận được ht AB q ABBA wwww  ++= (1.21) Như thế ta có định lý về gia tốc dưới đây. Định lý 2.3. Tại mỗi thời điểm, gia tốc hai điểm A và B bất kỳ thuộc vật chuyển động liên hệ với nhau qua công thức (1.21), trong đó các thành phần q AB w  và ht AB w  được xác định theo các công thức (1.20). Ta tính các thành phần q AB w  và ht AB w  Theo định nghĩa BAw q AB ×= ε   , do đó, q AB w  nằm trong mặt phẳng vuông góc với ε  chứa điểm A, vuông góc với BA , hay cũng thế q AB w  tiếp tuyến với vòng tròn tâm B bán kính ε d ( ε d là khoảng cách từ A đến ε  ) nằm trong mặt phẳng vuông góc với ε  chứa điểm A. Giá trị của q AB w  là ε εεε dBAABw q AB == ),sin(.  (1.20a’) Còn về ht AB w  , ta có 4 B A ht AB w  q AB w  ε  ω  d ε d ω ω I Hình 2.5. Liên hệ gia tốc giữa hai điểmthuộc vật rắn ).().( ωωωωωω   BABABAw ht AB −=××= . Ta ký hiệu các vectơ đơn vị theo các phương ω  và BA tương ứng là ω e  và BA e  . Khi đó ( ) =−=−= BABA ht AB eBAeeBABABAw    22 ,cos.).().( ωωωωωωω ω ( )( ) ωω ωωω AIeBAeeBAw BABA ht AB 22 ,cos. =−=    AI ed  ω ω 2 = AI ht AB edw  ω ω 2 = (1.20b’) CHƯƠNG III 5 TRƯỜNG HỢP RIÊNG: CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN VÀ CHUYỂN ĐỘNG QUAY XUNG QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH CỦA VẬT RẮN Trong chương này và hai chương tiếp theo ta sẽ áp dụng lý thuyết trình bày trong chương trước vào các trường hợp riêng quan trọng nhất trong kỹ thuật. Đó là các chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay của vật xung quanh một trục cố định, chuyển động song phẳng và chuyển động quay xung quanh một điểm cố định của vật rắn. § 1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn. 1. Định nghĩa. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động trong đó một đoạn thẳng bất kỳ vẽ trong vật luôn luôn song song với phương ban đầu của nó. Ví dụ chuyển động trong thực tiễn rất phong phú. Đơn giản nhất là chuyển động của thùng toa xe của đoàn tàu chuyển động trên đường ray thẳng. Trong ví dụ này, mọi điểm của thùng toa xe đều chuyển động thẳng. Trong kỹ thuật có nhiều chuyển động tịnh tiến mà quỹ đạo các điểm không thẳng, chẳng hạn, pê đan của xe đạp, khi chân người đạp giữ song song với mặt đường, sẽ chuyển động tịnh tiến; cơ cấu hình bình hành trong đầu máy xe lửa chuyển động tịnh tiến v.v… . 2. Tính chất động học của vật chuyển động tịnh tiến. Định lý 1. Ma trận côsin chỉ phương của vật chụyển động tịnh tiến là ma trận đơn vị. Vận tốc góc và gia tốc góc của vật bằng không.           = 100 010 001 A , 0 = ω  , 0 = ε  (1.1) Chứng minh. Ta gắn vào vật hệ toạ độ (R): Oxyz sao cho các trục của nó song song với các trục tương ứng của hệ trục (R 0 ): 0000 zyxO . Do vật chuyển động tịnh tiến nên các trục này có hướng không đổi, nên    = ≠ = βα βα βα ,1 ,0 ),cos( ee  , trong đó zyx ,,, = βα . Từ đó ta nhận được ma trận côsin chỉ phương của vật chuyển động tịnh tiến bằng ma trận đơn vị. Do các vectơ đơn vị chỉ phương của hệ trục R không đổi cả phương và độ dài, nên đạo hàm của chúng theo thời gian bằng không, từ đó suy ra 0= ω  . Từ đây ta lại suy ra 0= ε  . Định lý được chứng minh. Định lý 2. Trong chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo các điểm giống hệt nhau, vận tốc và gia tốc của chúng tương ứng bằng nhau: 6 BA vv  = , BA ww  = (1.2) Chứng minh Hình 3.1 Ta có ABrr AB +=  . Do vectơ AB không đổi, nên vị trí của điểm B bất kỳ luôn luôn tìm được bằng cách tịnh tiến vị trí điểm A đi vectơ AB không đổi. Từ đó suy ra quỹ đạo của điểm B nhận được bằng cách tịnh tiến quỹ đạo điểm A đi một vectơ AB. Các công thức (1.2) thu được bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (2.3), (2.4) và (2.6), (2.7) của chương II. Định lý được chứng minh. § 2. Chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố định. 1. Định nghĩa. Chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố định là chuyển động trong đó vật luôn có 2 điểm cố định, do đó có một đường thẳng nối hai điểm đó cũng cố định. Đường thẳng nối hai điểm đó gọi là trục quay của vật. Trong thực tế kỹ thuật các vật quay xung quanh trục cố định rất phổ biến, chẳng hạn, trục của các động cơ điện, các trục chính của các máy công tác v.v… là những vật quay xung quanh trục cố định. 7 A B A r  B r  z, z 0 x y y 0 x 0 φ φ Hình 3.2 2. Các đặc trưng động học của vật quay xung quanh một trục cố định. 2.1. Phương trình chuyển động của vật. Đối với vật quay xung quanh một trục cố định ta chọn các hệ R và R 0 có chung gốc O và trục Oz trùng với Oz 0 nằm trên trục quay. Khi đó Ox lập với Ox 0 cũng như Oy lập với Oy 0 các góc như nhau, ta ký hiệu là ϕ . Trong trường hợp này ma trận côsin chỉ phương có dạng           − = 100 0cossin 0sincos ϕϕ ϕϕ A (1.3) Như thế, phương của các trục toạ độ được xác định hoàn toàn bởi góc ϕ và vị trí của vật được xác định hoàn toàn chỉ bởi góc ϕ . ϕ được gọi là góc quay của vật. Theo sự diễn tiến của thời gian góc ϕ thay đổi theo thời gian, t.l. )(t ϕϕ = . (1.4) Phương trình vừa viết (1.4) được gọi là phương trình chuyển động của vật rắn quay xung quanh một trục cố định. 2.2. Vận tốc góc và gia tốc góc của vật rắn. 2.2.1. Vận tốc góc. Theo định nghĩa, các thành phần của vectơ vận tốc góc được tính theo công thức (1.10), (1.7), § 1 ở chương II. Áp dụng các công thức này, ta có 00 sincos yxx eee  ϕϕ += , 00 cossin yxy eee  ϕϕ +−= . 0 zz ee  = . Đạo hàm các đẳng thức này theo thời gian, ta được )cos(sin 00 yxx eee     ϕϕϕ −−= = ( ) ( ) [ ] yyxyx eeeee     ϕϕϕϕϕϕϕϕ =+−−−= cossincossincossin = zxzyxy ee  ϖϖ + ; )sin(cos 00 yxy eee     ϕϕϕ −−= = ( ) ( ) [ ] yyxyx eeeee     ϕϕϕϕϕϕϕϕ −=+−−−= cossinsinsincoscos xzxzyz ee  ϖϖ += 0= z e   . So sánh với các công thức (1.7), ta được 0== yzx ϖω ; 0== zxy ϖω ; ϕϖω  == xyz . Vậy, vận tốc góc của vật quay xung quanh một trục cố định là z e    ϕω = (1.5) 8 Nhưng 0 zz ee  ≡ , nên vectơ vận tốc góc của vật quay xung quanh một trục cố định luôn luôn nằm trên trục quay của vật, có trị số bằng giá trị tuyệt đối của đạo hàm góc quay của vật. Trong các tính toán thực hành, để đơn giản ta thường hiểu vận tốc góc của vật quay xung quanh một trục cố định là một đại lượng đại số, ký hiệu ω bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay ϕ , t.l. ϕω  = (1.6) Và được biểu diễn bằng mũi tên vòng (Hìn 3.3). Hình 3.3 2.2.2. Gia tốc góc của vật. Theo định nghĩa gia tốc góc của vật bằng đạo hàm của vận tốc góc, nên ta có ngay 0 zz ee      ϕϕε == z e   ω = (1.7) Trong các tính toán thực hành ta còn hiểu gia tốc góc của vật quay xung quanh một trục cố định là một đại lượng đại số, ký hiệu là ε , tính bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc (đại số) ϕωε   == (1.8) 2.3. Khảo sát các tính chất chuyển động của vật quay xung quanh một trục cố định. Định nghĩa. Chuyển động quay của vật được gọi là nhanh dần nếu trị số vận tốc góc tăng và chậm dần nếu trị số vận tốc góc giảm. Định lý. Điều kiện để vật chuyển động nhanh dần (chậm dần) nếu các vectơ vận tốc góc và gia tốc góc cùng chiều (ngược chiều), t.l. 0. > εω  , ( ) 0. < εω  (1.9) 9 ε  ω  ω ε hay cũng thế 0> ϕϕ  , )0( < ϕϕ  (1.9’) Hình 3.4 Chứng minh. Từ điều kiện ω tăng (giảm), ta suy ra bình phương của nó 2 ω cũng tăng (giảm). Chú ý rằng 22 ωω  = , nên đạo hàm theo thời gian và dựa vào tính chất đạo hàm của hàm tăng (giảm) ta suy ra kết luận của định lý. Các chuyển động quay biến đổi đều. Trong thực tiễn thường xảy ra các chuyển động quay biến đổi đều. Chuyển động của vật quay xung quanh một trục cố định được gọi là biến đổi đều nếu gia tốc góc không đổi. Không giảm tính tổng quát, ta giả thiết rằng vật quay theo chiều dương. Khi đó, nếu vật quay nhanh dần đều gia tốc góc sẽ có giá trị dương 0> ε và chậm dần đều nếu gia tốc góc âm 0<− ε . Vận tốc góc của vật khi vật chuyển động nhanh dần (chậm dần) đều là Cdt += ∫ εω = Ct + ε , =+−= ∫ Cdt εω ( )Ct +− ε trong đó C được xác định từ điều kiện ban đầu. Giả sử tại 0=t , 0 )0( ωω = . Khi đó phương trình trên trở thành 0 ωεω += t , ( ) 0 ωεω +−= t . Từ đây suy ra phương trình chuyển động quay nhanh dần (chậm dần) đều của vật là ∫ = dtt)( ωϕ = ' 2 1 0 2 Ctt ++ ωε , )' 2 1 ( 0 2 Ctt ++−= ωεϕ , hằng số 'C được xác định từ điều kiện ban đầu 0 )0(,0 ϕϕ ==t . Cuối cùng, ta có 00 2 2 1 ϕωεϕ ++= tt , 00 2 2 1 ϕωεϕ ++−= tt . 3. Các đặc trưng động học của các điểm thuộc vật chuyển động quay xung quanh một trục cố định 10 ω  ω  ε  ε  Nhanh dần Chậm dần [...]... CA = O1 A 2 − CO1 2 = O1 A 2 − (OC − OO1 ) 2 = r 2 − (a − x) 2 , trong đó x = 5 sin 3πt cm Phương trình chuyển động của cần cam là y = r 2 − (a − 5 sin 5πt ) 2 13 a A x O O1 C Hình 3.8 Ta đưa vào tính toán bằng MAPLE như sau > y:=t->sqrt (25 ^ 2- ( 2- 5 *sin(3*Pi*t)) ^2) ; > v(t):=diff(y(t),t); > w(t):=diff(v(t),t); > solve(v(t)=0,{t}); > M1:=evalf(subs(t=1/6,y(t))); > M2:=evalf(subs(t=arctan (2/ sqrt (21 )/3*Pi),y(t)));... x0 = x cos ϕ − y sin ϕ y 0 = x sin ϕ + y cos ϕ Nhớ rằng, x, y là các hằng số còn ϕ = ϕ (t ) , ta sẽ khử t từ hai phương trình này bằng cách bình phương hai vế rồi cộng lại, ta được 2 2 x0 + y 0 = x 2 + y 2 = ρ 2 = const Như thế quỹ đạo của các điểm thuộc vật quay xung quanh một trục cố định là một đường tròn tâm O' - giao điểm của trục quay với mặt phẳng chứa điểm M vuông góc với trục quay- , bán... − r ( ω.ω ) = ω 2 r cos( r , ω ) e z − ω 2 r  Từ công thức cuối cùng này, ta thấy wn bằng hiệu của hai vectơ OO'−OM ; t.l  wn = ω 2 MO' ,  Vậy wn hướng từ M vào O’ và có trị số  wn = MO' = ω 2 r sin ( r , e z ) = ω 2 ρ Định lý được chứng minh Ví dụ 1 Lập phương trình chuyển động, tính vận tốc và gia tốc của cần của cam tịnh tiến trên hình vẽ Cam là nửa vòng tròn bán kính r = 25 cm chụyển động... (1.12a) Gia tốc pháp tuyến luôn luôn hướng từ M vào O’ có trị số wn = ω 2 ρ (1.12b) Chứng minh Áp dụng các công thức (1 .20 ), (1 .21 ) ch.II với chú ý rằng ta  ký hiệu lại O thay cho B, M thay cho A, wO = 0 , ta được       wM = ε × r + ω × ω × r Bây giờ ta đưa vào các ký hiệu:        wτ = ε × r , wn = ω × ω × r (1.13) và thu được biểu thức gia tốc của M     wM = wτ + wn W τ ε  Wn ε 12. .. v(t):=diff(y(t),t); > w(t):=diff(v(t),t); > solve(v(t)=0,{t}); > M1:=evalf(subs(t=1/6,y(t))); > M2:=evalf(subs(t=arctan (2/ sqrt (21 )/3*Pi),y(t))); > M3:=evalf(subs(t =-( arctan (2/ sqrt (21 ))+Pi/3*Pi),y(t))); 14 > with(plots); Warning, the name changecoords has been redefined > plot(y(t),t=0 1); > plot(v(t),t=0 1); 15 > plot(w(t),t=0 1); > plot({y(t),v(t),w(t)},t=0 1); 16 Vận tốc của cần cam: Gia tốc của cần... là a = 2cm Cơ cấu cam là cơ cấu dùng để biến đổi chuyển động nhằm đạt được các chuyển động có dạng đặc biệt: phổ biến nhất là biến các chuyển động đều đặn thành các chuyển động dừng từng đoạn - chuyển động bước Do đó nó thường có mặt trong các máy tự động Bộ phận chính của cơ cấu cam là cam và cần Cần là một thanh tỳ trên bề mặt cam và quy luật chuyển động của nó phụ thuộc vào hình dạng cam - gọi là... quỹ đạo của các điểm thuộc vật quay xung quanh một trục cố định là một đường tròn tâm O' - giao điểm của trục quay với mặt phẳng chứa điểm M vuông góc với trục quay- , bán kính bằng ρ - khoảng cách từ M đến trục quay 3 .2 Vận tốc của điểm M Định lý Tại mỗi thời điểm vận tốc của điểm M bất kỳ thuộc vật bằng tích   có hướng của vectơ vận tốc góc ω của vật và vectơ định vị r của điểm:    v =ω×r (1.10) . sau. > y:=t->sqrt (25 ^ 2- ( 2- 5 *sin(3*Pi*t)) ^2) ; > v(t):=diff(y(t),t); > w(t):=diff(v(t),t); > solve(v(t)=0,{t}); > M1:=evalf(subs(t=1/6,y(t))); > M2:=evalf(subs(t=arctan (2/ sqrt (21 )/3*Pi),y(t))); >. Theo đầu bài ra ta có xOO = 1 . Vậy 22 2 1 2 1 2 1 2 1 )()( xarOOOCAOCOAOCAy −−=−−=−== , trong đó cmtx π 3sin5= . Phương trình chuyển động của cần cam là 22 )5sin5( tary π −−= . 13 x O C Hình. ) =−=−= BABA ht AB eBAeeBABABAw    22 ,cos.).().( ωωωωωωω ω ( )( ) ωω ωωω AIeBAeeBAw BABA ht AB 22 ,cos. =−=    AI ed  ω ω 2 = AI ht AB edw  ω ω 2 = (1 .20 b’) CHƯƠNG III 5 TRƯỜNG HỢP RIÊNG: