Sở Giáo Dục & Đào Tạo Vĩnh phúc ____________________ đề chính thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng tỉnh năm học 2007 2008 đề thi môn: toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Cõu 1. Cho cỏc s thc , ,x y z tho món iu kin: 2 5 3 0 2 5 3 0 2 5 3 0. x y z y z x z x y + = + = + = Tớnh giỏ tr ca biu thc 22 4 2008 ( ) ( ) ( ) .S x y y z z x = + + Cõu 2. Gii phng trỡnh: 6 10 4. 2 3x x + = Cõu 3. a. Chng minh rng tớch ca 8 s nguyờn liờn tip luụn chia ht cho 128. b. Chng minh rng vi mi s t nhiờn n cho trc, s ( 1)( 2) ( 7) 1.2.3 7m n n n n = + + + + khụng th phõn tớch thnh tng ca hai s chớnh phng. Cõu 4. Cho tam giỏc nhn ABC cú ng cao AH. Gi M,N tng ng l trung im cỏc cnh AB, AC. a. Chng minh rng ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc HBM, HCN v AMN cựng i qua mt im K. b. Chng minh rng MN tip xỳc vi ng trũn ngoi tip tam giỏc HBM. c. Gi I l giao im ca HK v MN, chng minh rng I l trung im ca MN. Cõu 5. Cho cỏc s thc dng , ,a b c tho món 2.abc = Chng minh rng 3 3 3 .a b c a b c b c a c a b + + + + + + + Ht Chỳ ý: Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Sở Giáo Dục & Đào Tạo Vĩnh phúc Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng tỉnh năm học 2007 2008 ____________________ Híng dÉn chÊm ®Ò thi chÝnh thøc m«n to¸n Câu Nội dung Điểm 1. (2 điểm) Ta có 2( ) 3( ) 0 2( ) 3( ) 2( ) 3( ) 0 2( ) 3( ) 2( ) 3( ) 0 2( ) 3( ) 2 5 3 0(1) 2 5 3 0(2) 2 5 3 0(3) x y y z x y y z y z z x y z z x z x x y z x x y x y z y z x z x y − − − = − = −       ⇔ − − − = ⇔ − = −       − − − = − = −    − + = − + = − + = 0.5 Từ đó suy ra 8( )( )( ) 27( )( )( ) ( )( )( ) 0x y y z z x x y y z z x x y y z z x− − − = − − − ⇒ − − − = 0.5 x y y z z x        = ⇔ = = 0.25 Nếu x y= , từ (1) ta suy ra 3 3 0 .x z x z x y z− + = ⇒ = ⇒ = = Tương tự, nếu y z= hoặc z x= ta cũng đều dẫn đến x y z= = . Như vậy, với các số thực , ,x y z thoả mãn giả thiết bài toán ta luôn có x y z= = . 0.5 Từ đó: 22 4 2008 ( ) ( ) ( ) 0.S x x x x x x = − + − + − = 0.25 2. (2 điểm) ĐK: 2.x < 0.25 -Nếu 1 2 6 3 0 4 2 0 1 1 2 3 2 2 5 1 2 10 2 2 3 0 0 4 2 3 5 3 x x x x x x x x    < < < − > >       − − < ⇔ − > − ⇔ ⇔ ⇔       − > > < < <    − −   Suy ra 6 10 4 2 3x x + < − − , vậy phương trình không có nghiệm 1 2 x < × 0.75 -Nếu 1 2 6 3 4 0 2 1 1 2 3 2 2 2 5 1 2 10 2 2 0 3 4 2 3 5 3 x x x x x x x x    > > < − <       − − > > ⇒ − < − ⇔ ⇔ ⇔       < − < > >    − −   Suy ra 6 10 4 2 3x x + > − − , vậy phương trình cũng không có nghiệm 1 2 x > × 0.75 Với 1 2 x = ta thấy thoả mãn điều kiện và phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1 2 x = . 0.25 3.a (1 điểm) Trong 4 số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 4 và một số khác chia hết cho 2, do đó tích của chúng chia hết cho 8 0.25 Trong 8 số nguyên liên tiếp luôn có 4 số chẵn liên tiếp, giả sử đó là các số 2 2 ,2 2,2 4,2 6( )k k k k k+ + + Â . Ta cú 2 (2 2)(2 4)(2 6) 16 ( 1)( 2)( 3)k k k k k k k k+ + + = + + + 0.5 M ( 1)( 2)( 3) 8k k k k+ + + M nờn 2 (2 2)(2 4)(2 6) 128k k k k+ + + M . T ú suy ra iu cn chng minh. 0.25 3.b (1 im) Ta chng minh bng phn chng. T phn a. ta suy ra 128 5040m c = + . Gi s m cú th phõn tớch thnh tng ca hai s chớnh phng, tc l tn ti cỏc s t nhiờn ,a b sao cho 2 2 128 5040c a b+ = + (1) 0.25 V trỏi ca (1) chia ht cho 4 nờn ,a b cựng l cỏc s chn (vỡ ngc li, nu mt s chn v mt s l thỡ v phi (1) l s l, cũn nu hai s u l thỡ 2 2 2 2 (2 1) (2 1) 4 2a b x y z+ = + + + = + chia 4 d 2, vụ lớ!) Do ú 1 1 1 1 2 , 2 ( , )a a b b a b= = Ơ v 2 2 1 1 (1) 32 1260 (2)c a b + = + 0.25 Lp lun tng t cho (2), ta cú 2 2 2 2 2 2 (2) 8 315 ,( , ) (3)c a b a b + = + Ơ 0.25 Lỳc ny, 8 315 3(mod4)c + cũn 2 2 2 2 3(mod 4)a b+ (tht vy, xột tt c cỏc kh nng chn, l ca 2 2 ,a b ta thy ch cú ba kh nng xy ra l 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0(mod4) 1(mod 4) 2(mod 4) a b a b a b + + + do ú (3) mõu thun, suy ra iu phi chng minh. 0.25 4.a 0.25 0.25 0.25 0.25 4.b Tam giỏc AHB vuụng cú MH l cnh huyn nờn MH = MB suy ra ã ã MHB MBH= (1) Mt khỏc do MN l ng trung bỡnh ca tam giỏc ABC nờn MN//BC suy ra ã ã MHB HMN= (2) T (1) v (2) suy ra ã ã MBH HMN= . T ú MN l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc HBM. 0.25 0.25 0.5 4.c Tng t 4.b ta chng minh c MN l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc HCN Do MN l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc HBM nờn 0.25 A B H C N K M I 3 -Gọi giao điểm thứ hai của các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác HBM và HCN là K . Ta có ã ã 0 180HBM HKM+ = Tơng tự ã ã 0 180HCN HKN+ = Từ đó ã ã ã ã ã ã ã ã 0 0 0 360 180 180 MKN HKM HKN MAN HBM HCN MKN MAN = = + = Chứng tỏ tứ giác AMKN nội tiếp, hay đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cũng đi qua K. · · MHI KMI= ⇒ tam giác IMH đồng dạng với tam giác IKM suy ra 2 . IM IH IM IK IH IK IM = ⇔ = (3) Tương tự ta chứng minh được 2 .IN IK IH= (4) Từ (3) và (4) ta có IM = IN hay I là trung điểm của MN 0.25 0.5 5. Trước hết, với mọi số thực dương ,a b ta có 3 3 2 2 ( )( ) ( )(2 ) ( )a b a b a b ab a b ab ab ab a b+ = + + − ≥ + − = + 0.25 Từ đó 3 3 3 3 3 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 4 ( ) 4a b c ab a b c abc a b c a b c a b+ + ≥ + + ≥ + = + = + Hay 3 3 3 2 4a b c c a b+ + ≥ + (1) 0.25 Tương tự 3 3 3 3 3 3 2 4 (2); 2 4b c a a b c c a b b c a+ + ≥ + + + ≥ + (3) Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có điều cần chứng minh. 0.25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 3 3 3 2 ( ) 2 2. ( ) 2 ( ) 2 abc a b c ab a b c a b c bc b c a ca c a b =   = =   + = ⇔ = = =   + =  + =   0.25 ……………… Hết……………… 4 . Sở Giáo Dục & Đào Tạo Vĩnh phúc ____________________ đề chính thức Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng tỉnh năm học 2007 2008 đề thi môn: toán Thời gian làm bài: 150 phút, không. gỡ thờm! H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Sở Giáo Dục & Đào Tạo Vĩnh phúc Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng tỉnh năm học 2007 2008 ____________________ Híng dÉn chÊm ®Ò thi chÝnh thøc m«n. đến x y z= = . Như vậy, với các số thực , ,x y z thoả mãn giả thiết bài toán ta luôn có x y z= = . 0.5 Từ đó: 22 4 2008 ( ) ( ) ( ) 0.S x x x x x x = − + − + − = 0.25 2. (2 điểm) ĐK: 2.x < 0.25 -Nếu