Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60. 46. 01. 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - 2013 1 Mục lục Mở đầu 2 1 MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHÍ TUYẾN TÍNH 4 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tốn tử trong khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Tốn tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Mơ hình cân bằng Nash-Cournot cổ điển . . . . . . . . . . 22 1.2.1 Phát biểu mơ hình Nash-Cournot . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính . . . . . . . . . . . 25 2 MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHI LÕM 30 2.1 Mơ hình cân bằng Nash-Cournot . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Phương pháp giải theo thuật tốn điểm gần kề . . . . . . . 32 2.3 Thuật tốn tìm điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Mở đầu Bài tốn bất đẳng thức biến phân là m ột cơng cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài tốn ứng dụng như bài tốn cân bằng tro ng kinh tế, tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi, bài tốn cân bằng mạng Trong đó có mơ hình cân bằng bán độc quyền Nash-Cournot. Mơ hình cân bằng thị trường bán độc quyền được Cournot đưa ra vào năm 1838 và được rất nhiều tác giả trên thế giới tập trung nghiên cứu. Sa u nay nó được mơ tả như một trường hợp đặc biệt của mơ hình cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi khơng hợp tác gồm n người chơi, vì vậy nó được gọi là mơ hình cân bằng thị trường Nash-Cournot. Gần đây người ta q uan t âm nhiều đến việc giải quyết bài tố n trên vì những ứng dụng của nó vào thực tiễn cuộc sống là rất đa dạng, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế. Mục đích chính của luận văn là trình bày về mơ hình cân bằng Nash- Cournot cho cước phí tuyến tính và đặc biệt là trường hợp cước phí lõm. Khi cước phí lõm, mơ hình cân bằng Nash-Co urnot được mơ tả dưới dạng bài tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC. Luận vă n đã mơ tả thuật tốn lặp dựa trên ý tưởng của phương pháp điểm gần kề để tính điểm dừng của bà i tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp lõm. Ngồi phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khả o, các kết quả nghiên cứu trong luận văn này được trình bày thành hai chươ ng với tiêu đề sau: Chương 1: Mơ hình cân bằng Nash-Cournot cước phí tuyến tính. Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về k hơng gian Hilbert thực, giải tí ch lồi và mộ t số khái niệm về ánh xạ đơn điệu, tốn tử đơn điệu cùng với một số kết quả liên quan đến tính đơn điệu của tốn tử đơn điệu trong khơng gian Hilbert. Đồng thời giới thiệu về bài tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và mơ hình cân bằng Nash-Cournot với cước phí tuyến tính Chương 2: Mơ hình cân bằng Nash-Cournot cước phí lõm. Chương này giới thiệu về mơ hình cân bằng thị trường Nash-Cournot với cước phí lõm Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 và giới thiệu phương pháp giải mơ hình trong trườ ng hợp hàm chi phí là hàm lõm bằng phương pháp tìm điểm dừng theo thuật tốn điểm gần kề. Để hồn thành được luận văn này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học, Viện Hàn lâ m Khoa học và Cơng nghệ Vi ệt Nam), người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em t rong suốt q tình học tập và nghiên cứu để em có thể hồn thiện luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới q thầy cơ giáo giảng dạy tại Đại học Thái Ngun và tại Viện Tốn học đã mang đến cho em nhiều kiến thức bổ ích khơng chỉ trong khoa học mà còn cả trong cuộc sống. Tơi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng mơn đã giúp đỡ tơi trong thời gian học tập tại Đại học Thái Ngun và trong q trình hồn thành l uận văn này. Cuối cùng, co n xin cảm ơn bố mẹ. Nhờ có bố mẹ khơng quản gian k hó, vất vả sớm khuya nhưng vẫ n tạo mọi điều k iện tốt nhất để con có được thành quả ngày hơm nay. Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tr ực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Mặc dù, em đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề được nghiên cứu là phức t ạp và mới mẻ, lại do thời gian có hạn và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên khó trá nh khỏi thiếu sót. Em mong nhận được sự g óp ý của q thầy cơ và các bạn. Thái Ngun, tháng 9 - 2013 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Phương Lan Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHÍ TUYẾN TÍNH 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chí nh của chương bao gồm: một số kiến thức cơ sở về khơng gian Hilbert thực và giải tích lồi. Tiếp sau đó là các khái niệm về ánh xạ đơn điệu, tốn tử đơn điệu. Đồng thời trình bày m ột số kết quả liên quan đến tính đơn điệu của các tốn tử đơn trị và đa trị trong khơng gi an Hilbert. Bên cạnh đó cũng g iới t hiệu về bài tốn bất đẳng thức biến phâ n hỗn hợp và mơ hình cân bằng Nash-Cournot với cước phí tuyến tính. Các kiến thức trong chương này chủ yếu lấy từ các tài liệu [1], [2], [4], [7]. 1.1.1 Tốn tử trong khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Cho k h ơng g i an véc t ơ X trên trường số K(K = R). Một ánh xạ từ X × X → K được gọi là tích vơ hướng trên X nếu nó th ỏa mãn các điều k i ện sau: (i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = 0; (ii) x , y = y, x, ∀x, y ∈ X; (iii) x + x ′ , y = x, y + x ′ , y, ∀x, x ′ , y ∈ X; (iv) λx, y = λx, y, ∀x, y ∈ X, λ ∈ K; Số x, y được gọi là tích vơ hướng c ủa hai véctơ x, y. Chú ý 1.1. Từ địn h nghĩa tích vơ hướng và cá c điều kiện (ii) và (iv) ta suy ra: Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 -) x, y + y ′  = x, y + x, y ′ , ∀x, y, y ′ ∈ X, -) x, λy = λx, y, ∀x, y ∈ X, λ ∈ K. Định nghĩa 1.2. Cho X là một khơng gian tuyến tính thực, X được gọi là khơng gian tiền Hilbert nếu với mọi x, y ∈ X xác định một số thực được kí hiệu là x, y là tích vơ hướng c ủa x,y thỏa mãn các tính chất sau: (i) x, x ≥ 0, nếu x = 0; x, x = 0, nếu x = 0; (ii) x , y = y, x; (iii) x + y, z = x, z + y, z; (iv) αx, y = αx, y, ∀α ∈ R. Định lý 1.1. Trong khơng gian tiền Hilbert X, với mỗi x, y ∈ X ta ln có bất đẳng thức sau: |x, y| 2 ≤ x, y.y, y được gọi là bất đẳng thức Schwarz. Chứng minh Với y = 0 bất đẳng thức ln đúng. Giả sử y = 0, ∀λ ∈ R ta có : x + λy, x + λy ≥ 0 hay x, x + λy, x + λx, y + |λ| 2 y, y ≥ 0. Chọn λ = − x, y  y, y ta được: x, y  − |x, y| 2 y, y ≥ 0. Từ đó suy ra |x, y| 2 ≤ x, y.y, y.  Dấu ′′ = ′′ trong bất đẳng thức Schwarz xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Định lý 1.2. Mọi khơng gian tiền Hilbert X là khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định x =  x, x, ∀x ∈ X Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 với k í hiệu này bất đẳng thức Schwarz được viết thành |x, y| ≤ x y. Chứng minh Từ (i) trong định nghĩa tích vơ hướng ta suy ra: ∀x ∈ X, x ≥ 0; x = 0 ⇔ x = 0. Từ (i) và (iv ) trong định nghĩa tích vơ hướng ta có: λx =  λx, λx =  |λ| 2 x 2 = |λ| x , ∀x ∈ X, λ ∈ R. Mặt khác ∀x, y ∈ X ta có: x + y 2 =x + y, x + y =x 2 + y, x + x, y + y 2 =x 2 + 2x, y + y 2 ≤x 2 + 2 |x, y| + y 2 . Áp dụng bất đẳng thức Schwarz t a có: x + y 2 ≤ x 2 + 2 x y + y  2 ≤ (x + y) 2 , vậy x + y ≤ x + y. Như thế . là một chuẩn trên H.  Định lý 1.3. Cho X là khơng gian tiền Hilbert, vớ i mọi x, y ∈ X ta ln có bất đẳng thức hình bình hành sau đây: x + y 2 + x − y 2 = 2  x 2 + y 2  . Chứng minh Với mọi x, y ∈ X ta có: x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + x, y + y , x + y 2 x − y 2 = x − y, x − y = x 2 − x, y − y, x + y 2 , cộng hai bất đẳng thức trên ta được: x + y 2 + x − y 2 =x 2 + y 2 + x 2 + y 2 =2  x 2 + y 2  . Vậy định lý được chứng minh. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7  Định nghĩa 1.3. Cho X là một khơng gian định chuẩn, dã y { x n } ⊂ X được gọi là dãy cơ bản trong X nếu: lim m,n→∞ x n − x m  = 0. Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, t ức là x n − x m  → 0, kéo theo sự ∃x 0 ∈ X sao cho x n → x 0 thì X được gọi là khơng gian đủ. Định nghĩa 1.4. Nếu X là khơng gian tiền Hilbert và đầy đủ thì X được gọi là khơng gian Hilbert. Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một khơng gian Hilbert thực. Định lý 1.4. Giả sử {x n }, {y n } là hai dãy trong khơng gian Hilbe rt H sao cho x n → x 0 , y n → y 0 . Lúc đó x n , y n  → x 0 , y 0 , kh i n → ∞. Chứng minh Giả sử lim n→∞ x n = x 0 , lim n→∞ y n = y 0 trong khơng gian H. Ta cần chứng minh lim n→∞ (x n , y n ) = (x 0 , y 0 ) trong H. Thật vậy |x n , y n  − x 0 , y 0 | = |x n , y n  + x n , y 0  − x n , y 0  − x 0 , y 0 | ≤ |x n , y n − y 0 | + |x n − x 0 , y 0 | ≤ x n  y n − y 0  + x n − x 0  y 0  . Vì dãy {x n } hội tụ trong H nên ∃M > 0 sao cho x n  ≤ M, ∀n ∈ N. Khi đó bất đẳng t rên trở thành: |x n − y n  − x 0 − y 0 | ≤ M y n − y 0  + y 0  x n − x 0  , cho n → ∞ theo giả thiết ta suy ra lim n→∞ x n , y n  = x 0 , y 0 .  Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 Định nghĩa 1.5. Hai véctơ x, y ∈ H được gọi là hai véctơ trực giao với nhau kí hiệu là x⊥y nếu x, y = 0. Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau đây: 1. 0 ⊥ x, ∀x ∈ H; 2. x ⊥ y ⇒ y ⊥ x, ∀x, y ∈ H; 3. x ⊥ {y 1 , y 2 , , y n } ⇒ x⊥α 1 y 1 + α 2 y 2 + + α n y n , ∀x ∈ H, n ∈ N ∗ , α i ∈ R, i = 1, 2, , n; 4. x ⊥ y n , y n → y khi n → ∞ thì x ⊥ y, ∀x, y ∈ H. Định nghĩa 1.6. Cho tập M ⊂ H, phần bù trực giao của M, kí h iệu là M ⊥ , là tập hợp sau: M ⊥ = {x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ M } . Định lý 1.5. ( Định lý F.Riesz) Với mỗi véctơ a cố định thuộc khơng gia n Hilbert H, hệ thức: f(x) = a, x, (1.1) xác định một phiếm hàm tuy ến tính liên tục f(x) trên khơng gian H, với: f = a . (1.2) Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên khơng gian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.1) trong đó a là một véctơ của H thỏa mãn (1.2). Chứng minh Phần thứ nhất của định lý, ta dễ dàng chứng minh được v ì f (x) = a, x, rõ ràng là m ột phiếm hàm tuyến tính và do |f (x)| = |a, x| ≤ a ×  x ; (1.3) |f (a)| = |a, a| ≤ a × a , (1.4) nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.2) . Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên khơng gian Hilbert H. Tập hợp M = {x ∈ H : f (x) = 0} , rõ ràng là m ột khơng gian con đóng của H. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... x) (1.18) Khi đó, bài tốn tìm điểm cân bằng của mơ hình Nash- Cournot tương đương bài tốn cân bằng sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho : Φ (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (1.19) Mệnh đề 1.3 Điểm x∗ ∈ C là một điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài tốn cân bằng (1.19) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 24 Chứng minh Giả sử x∗ ∈ C là điểm cân bằng của mơ hình Khi đó fi(x∗[yi]) ≤ fi(x∗),... tính Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 Chương 2 MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH- COURNOT CƯỚC PHI LÕM Mơ hình cân bằng thị trường được Cournot đưa ra và đã được nhiều tác giả nghiên cứu Mơ hình này được mơ tả như một bài tốn cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi khơng hợp tác gồm n người chơi Mơ hình cân bằng thị trường liên quan tới n hãng sản xuất, họ cùng nhau tham gia sản xuất một... hình cân bằng Nash- Cournot cước phí lõm, hàm giá của mỗi hãng là khơng giống nhau, hơn nữa chi phí của mỗi hãng là một hàm lõm theo số lượng sản phẩm Bài tốn đặt ra là tối đa hóa lợi nhuận của hãng bằng cách chọn một mức sản lượng phù hợp cho tất cả các hãng Các khái niệm và kết quả của chương này được tham khảo trong [3], [5], [6], [8] 2.1 Mơ hình cân bằng Nash- Cournot Ở mơ hình cân bằng kinh tế Nash- Cournot. .. 0, ∀y ∈ U ∩ C, (2.4) trong đó U là lân cận của x∗ Điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (2.4) được gọi là nghiệm địa phương 2.2 Phương pháp giải theo thuật tốn điểm gần kề Trong phần này, đầu tiên ta nghiên cứu các tính chất liên quan đến nghiệm tồn cục và nghiệm địa phương cho bài tốn MVIP trong đó ϕ là một hàm DC Tiếp theo ta mở rộng phương pháp điểm gần kề để tìm điểm dừng của bài tốn này Cuối cùng, ta chứng minh... thức ta được: F (x∗ ), y − x∗ + ϕ(y) − ϕ(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ C Điều này có nghĩa x∗ là nghiệm của bài tốn (1.5) Có thể chứng minh h1 tương tự bằng cách sử dụng cơng thức 1.2 1.2.1 Mơ hình cân bằng Nash- Cournot cổ điển Phát biểu mơ hình Nash- Cournot Giả sử trong mơ hình cân bằng kinh tế thị trường có n hãng cùng tham gia sản xuất một loại sản phẩm thuần nhất Kí hiệu xi ∈ Ci ⊆ R+ là sản lượng sản phẩm mà hãng... điểm x∗ = (x∗, x∗, , x∗ ) ∈ C được gọi là điểm cân 1 2 n bằng Nash của mơ hình cân bằng Nash- Cournot nếu với mọi i = 1, 2, , n, với mọi yi ∈ Ci ta đều có fi(x∗, , x∗ , yi, x∗ , , x∗ ) ≤ fi(x∗, , x∗ ) 1 i−1 i+1 n 1 n (1.15) Đặt fi (x∗, , x∗ , yi, x∗ , , x∗ ) = fi(x∗[yi ]), 1 i−1 i+1 n thì (1.15) sẽ tương đương với fi (x∗[yi]) ≤ fi (x∗, , x∗ ), ∀yi ∈ Ci, i = 1, 2, , n 1 n (1.16) Từ đây ta nhận thấy điểm. .. cùng, ta chứng minh kết quả hội tụ khi ϕ là lồi và F là đơn điệu mạnh Định nghĩa 2.1 Phương pháp điểm gần kề của Rockafellar để giải bao hàm thức: 0 ∈ T (z) (P ∗ ) trong đó T là ánh xạ đơn điệu cực đại Phương pháp này là một phương pháp lặp tức là xây dựng một dãy lặp xk như sau: (-) Xuất phát từ x0 ∈ H (-) Tại bước thứ k điểm lặp là xk+1 = (I + cT )−1(xk ), ở đây I là tốn tử đồng nhất (tức là Ix = x)... cT )−1(xk ), ở đây I là tốn tử đồng nhất (tức là Ix = x) Rockafellar đã chứng minh rằng dãy {xk } hội tụ yếu đến một nghiệm z của bài tốn (P ∗ ) Ta sẽ sử dụng lược đồ của phương pháp điểm gần kề để giải bài tốn mơ hình cân bằng Nash- Cournot với cước phí lõm Cho ∅ = C ⊆ Rn là tập con lồi đóng, F : C → Rn là ánh xạ liên tục, và ϕ là hàm giá trị thực liên tục (khơng cần lồi) được định nghĩa trên Rn Ta... T Giải bài tốn max{5x1 + 8x2 + 7x3 − x2 − x2 − x2 − x1 x2 − x1x3 − x2 x3} 1 2 3 x∈C ta thu được nghiệm (x1, x2, x3) = (0, 3, 2) ∈ C Vậy điểm cân bằng cần tìm là (0, 3, 2) Kết luận: Trong chương này chúng ta đã được tìm hiểu về bài tốn bất đẳng thức biến phân và mơ hình cân bằng Nash - Cournot cổ điển với cước phí tuyến tính Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 Chương 2 MƠ HÌNH... để x là nghiệm tối ưu của quy hoạch tồn phương lồi mạnh: min x∈C 1 T x Bx + q T x 2 trong đó  2  1 B :=  1 1 2 1 1 1 1  1 1  T  ; q = (q1, q2 , , qn) 2 Bài tốn này có duy nhất một nghiệm tối ưu và nó cũng là điểm cân bằng duy nhất của mơ hình cân bằng thị trường kinh tế Nash- Cournot cổ điển Hiển nhiên nghiệm tối ưu của bài tốn quy hoạch lồi tồn phương cũng là nghiệm tối ưu của bài tốn . CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHI LÕM 30 2.1 Mơ hình cân bằng Nash-Cournot . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Phương pháp giải theo thuật tốn điểm gần kề . . . . . . . 32 2.3 Thuật tốn tìm điểm. phân hỗn hợp và mơ hình cân bằng Nash-Cournot với cước phí tuyến tính Chương 2: Mơ hình cân bằng Nash-Cournot cước phí lõm. Chương này giới thiệu về mơ hình cân bằng thị trường Nash-Cournot với. THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC