Chương 7: CƠ SỞ CỦA PPPTHH TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU Theo PPTHH, kết cấu liên tục được chia thành một số hữu hạn các phần tử gọi là rời rạc hóa kết cấu. Các phần tử này được nối kết với nhau bởi các điểm trên biên mỗi phần tử gọi là các nút. Trên m ỗi phần tử, dạng hàm của đại lượng cần tìm được chọn gần đúng, đơn giản gọi l à hàm gần đúng hay hàm xấp xỉ. Các hàm xấp xỉ này sau đó được được biểu diễn qua giá trị của nó (và có khi cả các đạo h àm của nó) tại các điểm nút của phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn cần tìm c ủa bài toán. Sau khi tìm được các ẩn số này ta sẽ tìm được hàm c ủa đại lượng cần tìm và các đại lượng còn lại. 2.3.1. Hàm xấp xỉ chuyển vị. Hàm xấp xỉ mô tả gần đúng phân bố chuyển vị trong phần tử. Về nguyên tắc, hàm xấp xỉ u phải thỏa mãn tiêu chuẩn hội tụ gồm 3 điều kiện: - Liên tục: về mặt vật lý điều kiện này thể hiện yêu cầu liên t ục của biến dạng, nói cách khác phần tử biến dạng không có sự đứt gãy. - Tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và các đạo hàm riêng đến bậc cao nhất của u mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi. - Trên biên phần tử, u và đạo hàm của nó đến cấp (r-1) là liên t ục. Trên thực tế ta thường chọn hàm xấp xỉ chuyển vị có dạng đa thức bởi các lý do sau đây: - Dễ thỏa mãn tiêu chuẩn hội tụ. - Cho phép tính toán nhanh bằng “tay” cũng như bằng máy tính. - Có kh ả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng bậc của đa thức xấp xỉ (về lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác). Dạng của đa thức được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng h ình học. Có như vậy các hàm xấp xỉ mới độc lập tuyến tính với hệ tọa độ của phần tử. Muốn vậy dạng các đa thức được chọn từ tam giác Pascal (cho phần tử 2 chiều) hay từ tháp Pascal (cho phần tử 3 chiều). Yêu cầu thứ hai khi chọn dạng đa thức là số tham số của đa thức xấp xỉ tức số phần tử của {a} phải bằng số bậc tự do của véc tơ chuyển vị nút phần tử { e  }. Điều kiện này cho phép ta nội suy đa thức xấp xỉ (của chuyển vị) theo các giá trị chuyển vị nút phần tử. 2.3.2. Ma trận nội suy. Sau khi đã chọn được dạng đa thức hay dạng hàm biểu diễn phân bố chuyển vị trong phần tử, nhiệm vụ tiếp theo là đi tìm các h ệ số của đa thức. Các hệ số của đa thức được xác định nhờ nội suy đa thức theo các giá trị v à có khi cả đạo hàm của nó tại các nút của phần tử. Hay nói cách khác ta biểu diễn đa thức theo giá các chuyển vị nút của phần tử bằng cách đồng nhất giá trị của đa thức và đôi khi cả giá trị các đạo h àm của đa thức với giá trị của các chuyển vị nút phần tử. Giả sử ta có một phần tử gồm r nút và đa thức xấp xỉ có dạng: {u(x, y, z)} = [P(x, y, z)]{a} (2.11) Th ực hiện đồng nhất:                 e rrrrr aAa zyxP zyxP zyxu zyxu                        ),,( ),,( ,, ,, 2 111111 (2.12) Trong (2.12): A: ma tr ận vuông (n e x n e ) và chỉ chứa tọa độ các điểm mút phần tử x i , y i , z i : (i = r,1 ) : tọa độ các điểm mút phần tử. Từ (2.12) suy ra:       e Aa  1  (2.13) Thay (2.13) vào (2.11):             e AzyxPazyxPzyxu  1 .,,)],,([),,(   Hay:       e Nzyxu  ),,( (2.14) Trong (2.14): [N] là ma tr ận hàm dạng hay ma trận nội suy. [N] = [P(x, y, z)][A] -1 (2.15) (2.14) bi ểu diễn sự phân bố chuyển vị trong phần tử qua các chuyển vị tại nút phần tử. 2.3.3. Ma trận độ cứng phần tử và véc tơ tải phần tử. Hàm xấp xỉ chuyển vị trong phần tử được biểu diễn qua véc tơ chuyển vị nút phần tử: {u} = [N]   e  Theo các phương trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng (các phương tr ình Cauchy), phân bố biến dạng trong phần tử sẽ là:                 eee BNu   (2.16) Trong (2.16): Véc tơ biến dạng:     T zxyzxyzyxe   (2.17) Ma tr ận toán tử vi phân:                              xz yz xy z y x /0/ //0 0// /00 0/0 00/ (2.18) - Ma tr ận tính biến dạng của phần tử: [B] = [ ]  [N] (2.19) Trong trường hợp vật liệu tuân theo định luật Hooke, phân bố ứng suất trong phần tử: {  e } = [D]{  e } (2.20) Trong (2.20): - Ma tr ận các hệ số đàn hồi: [D] =                                  2 21 00000 0 2 21 0000 00 2 21 000 0001 0001 0001 )21)(1(        E (2.21) - E,  : mô đun đàn hồi Young và hệ số Poison của vật liệu. Thay (2.16) vào (2.20) ta được: {  e } = [D][B]{  e } Hay: {  e } = [H]{  e } (2.22) Trong (2.22): [H] là ma tr ận tính ứng suất của phần tử. [H] = [D][B] (2.23) Th ế năng biến dạng đàn hồi của phần tử được xác định bởi: U e =  Ve  { 2 1 e } T {  e }.d  (2.24) Công c ủa ngoại lực gồm lực khối {g e } và lực mặt {p e } trên các chuy ển dời {u} là: A e =  Ve { g e } T {u}.d  +  Se { p e } T {u}.ds (2.25) Th ế năng toàn phần của phần tử:  e = U e – A e =  Ve  { 2 1 e } T {  e }.d  -  Ve { g e } T {u}.d  -  Se { p e } T {u}.ds (2.26) Thay (2.20) và (2.22) vào (2.26) ta được:  e ({  e }) =  Ve 2 1 {  e } T ([B] T [D][B]){  e }d  – (  Ve { g e } T {u}.d  +  Se { p e } T {u}d  +  Ve 2 1 {  e } T [D][B]d  ){  e } Hay:  e = 2 1 {  e } T [K e ]{  e } – {  e } T {F e } (2.27) Trong (2.27): - Ma tr ận độ cứng phần tử: [K e ] =  Ve [ B] T [D][B]d  (2.28) - Véc tơ tải phần tử : {F e } =  Ve [ N] T {g e }d  +  Se N ][ T {p e }ds (2.29) . Chương 7: CƠ SỞ CỦA PPPTHH TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU Theo PPTHH, kết cấu liên tục được chia thành một số hữu hạn các phần tử gọi là rời rạc hóa kết cấu. Các phần tử này được nối kết với. Cauchy), phân bố biến dạng trong phần tử sẽ là:                 eee BNu   (2.16) Trong (2.16): Véc tơ biến dạng:     T zxyzxyzyxe   (2. 17) Ma tr ận toán tử vi phân: . dạng của phần tử: [B] = [ ]  [N] (2.19) Trong trường hợp vật liệu tuân theo định luật Hooke, phân bố ứng suất trong phần tử: {  e } = [D]{  e } (2.20) Trong (2.20): - Ma tr ận các hệ số đàn