Bài giảng: Sức bền vật liệu Chơng 7 Xoắn thuần tuý thanh thẳng 7.1 Khái niệm cơ bản 7.1.1 Định nghĩa Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mô men xoắn M Z . Ví dụ trong thực tế ta thờng gặp nhiều bộ phận của chi tiết máy hay công trình làm việc ở trạng thái chịu xoắn nh mũi khoan, trục truyền động, các thanh trong kết cấu không gian, dây lò xo . . . 7.1.2. Mô men xoắn ngoại lực. Ngoại lực làm cho thanh chịu xoắn có thể là những mômen tập trung hoặc mômen phân bố tác động trong những mặt phẳng vuông góc với trục của thanh và nó thờng đợc cho ở 2 dạng: * Ngoại lực xoắn phân bố (ví dụ nh mũi khoan khoan vào chi tiết) * Ngoại lực xoắn tập trung thờng cho ở các dạng sau: - Ngẫu lực. - Dời các lực vòng ở các bánh răng, bánh đai. . . - Công suất truyền của động cơ N(kw) và tốc độ vòng quay của trục n(vòng/phút). Khi đó mô men ngoại lực đợc xác định nh sau: + Điểm đặt các mô men tại các puli truyền lực. + Chiều mô men có chiều trùng với tốc độ vòng quay đối với puli chủ động và ngợc với tốc độ vòng quay đối với puli bị động. + Giá trị mô men đợc xác định theo biểu thức: ( ) ( ) ( ) m.N n kwN 9550M vòng/phút = 7.1.3.Mô men xoắn nội lực. Nội lực khi xoắn thuần tuý là mô men xoắn Mz. Mômen xoắn nội lực Mz có đơn vị là N.m, N.cm và đợc xác định bằng phơng pháp mặt cắt. Dấu của Mz đợc quy ớc nh sau: Mang dấu dơng khi nhìn vào mặt cắt của phần đang xét thấy M z quay cùng chiều quay của kim đồng hồ. Ngợc lại thì mang dấu âm. Trang: 81 M M Hớng nhìn M M z Bài giảng: Sức bền vật liệu * Biểu đồ nội lực M z . Để tính toán một thanh chịu xoắn ta cần phải vẽ biểu đồ mômen xoắn M z để xác định đợc mặt cắt có nội lực lớn nhất. Biểu diễn mô men xoắn nội lực thay đổi dọc theo chiều trục thanh ta đợc biểu đồ mô men xoắn M z . Để vẽ đợc biểu đồ nội lực M z ta cũng phải dùng phơng pháp mặt cắt. Trình tự vẽ biểu đồ mômen xoắn M z cũng hoàn toàn tơng tự nh khi tiến hành vẽ biểu đồ của các thành phần nội lực khác. Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực M z cho sơ đồ chịu lực sau: Cho: M 1 = 200 N.m ; M 3 = 800 N.m ; M 4 = 350 N.m Giải: Bỏ qua ma sát ở các ổ trục. Ta có phơng trình cân bằng: M 3 - M 1 M 2 M 4 = 0. M 2 = M 3 M 1 M 4 = 250 N.m + Xét đoạn AB: Dùng mặt cắt 1-1 để cắt thanh, giữ lại phần bên trái để khảo sát. Ta có phơng trình cân bằng: M 1 M Z1 = 0 M Z1 = M 1 = 200 N.m Nhìn vào mặt cắt ta thấy M Z1 quay ngợc chiều kim đồng hồ. Vậy: Trang: 82 M 1 M 2 M 4 M 3 A 1 2 2 3 3 D CB 1 M Z (N.m) - 450 200 350 + - M 1 M Z1 A 1 1 Bài giảng: Sức bền vật liệu M Z1 = - 200 N.m + Xét đoạn AC: Dùng mặt cắt 2-2 cắt thanh và khảo sát phần bên trái. Ta có ph- ơng trình cân bằng: M 1 + M 2 M Z2 = 0 M Z2 = M 1 + M 2 = 200 + 250 = 450 N.m Nhìn vào mặt cắt ta thấy M Z2 quay ngợc chiều kim đồng hồ. Vậy ta có: M = - 450 N.m + Xét đoạn CD: Dùng mặt cắt 3-3 cắt thanh và giữ phần bên phải để khảo sát. Ta có phơng trình: M Z3 M 4 = 0 M Z3 = M 4 = 350 N.m Nhìn vào mặt cắt ta thấy M Z3 quay thuận chiều kim đồng hồ. Vậy ta có: M Z3 = +350 N.m Biểu đồ M Z đợc biểu diễn trên hình vẽ. * Nhận xét: Tại chỗ có mô men tập trung (điểm A, B, C, D) biểu đồ mô men xoắn M Z có bớc nhảy. Trị số bớc nhảy chính bằng trị số các mô men xoắn tập trung. 7.2 Xoắn thuần tuý thanh mặt cắt tròn 7.2.1 Thí nghiệm và giả thuyết. Trang: 83 D M 4 M Z3 3 3 M 1 M 2 M Z2 A 2 2 B Bài giảng: Sức bền vật liệu Xét một mẫu thanh mặt cắt tròn, ta kẻ các đờng song song với trục của thanh đặc trng cho thớ dọc và kẻ các đờng vuông góc với trục của thanh đặc trng cho mặt cắt ngang. Các đờng này tạo nên lới hình ô vuông (hình vẽ). Tác dụng mô men xoắn M ta thấy các đờng vuông góc với trục của thanh vẫn vuông góc, các đờng song song với trục của thanh bị lệch xiên đi (hình vẽ). Nhng khoảng cách giữa các đờng vòng quanh chu vi, khoảng cách giữa các đ- ờng sinh, đờng kính d của mặt cắt và chiều dài l của thanh không thay đổi. Qua nhiều lần thí nghiệm ngời ta đa ra các giả thuyết sau: * Giả thuyết 1: Mặt cắt ngang trớc và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi. * Giả thuyết 2: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không tác dụng lẫn nhau và bán kính mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không đổi. Ngoài ra ngời ta còn giả thiết: Vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là tuân theo định luật Húc: .G= ; E= 7.2.2 ứng suất trên mặt cắt ngang. Dựa vào các giả thuyết ta thấy: - Theo giả thuyết 1 thì trên mặt cắt ngang không có thành phần ứng suất pháp vì khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi. Nh vậy trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất tiếp. Trang: 84 M M l Bài giảng: Sức bền vật liệu - Theo giả thuyết 2, do các thớ dọc không tác dụng lẫn nhau nên trên mặt cắt song song với trục của thanh không thể có thành phần ứng suất pháp. Vậy chứng tỏ phân tố ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý. Xét một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình vẽ). Ta tởng tợng dùng 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 cắt thanh và tách ra 1 phân tố vô cùng bé có chiều dài là dz. Tại điểm A trên mặt cắt, lấy xung quanh A một phân tố diện tích dF vô cùng bé đợc tạo bởi 2 tia hợp nhau 1 góc d và 2 vòng tròn đồng tâm có bán kính là và - d. Phân tố có bề dày là dz (hình vẽ). Xét 1 điểm K trên phân tố vừa tách ra ta thấy sau khi chịu xoắn thì đờng sinh IK bị xoay đi thành I K' một góc và đợc gọi là góc trợt tơng ứng với bán kính Giả sử phơng của ứng suất tiếp là bất kỳ nên ta phân nó làm 2 thành phần, một thành phần vuông góc với bán kính và một thành phần song song với bán kính. Ta thấy trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất tiếp vuông góc với bán kính còn thành phần hớng kính thì bằng không (vì theo giả thuyết 2 bán kính không thay đổi). Vậy ta chỉ có thành phần ứng suất tiếp vuông góc với bán kính. Trên hình vẽ ta thấy vi phân nội lực tác dụng lên diện tích vô cùng bé dF là dF. . Lực này gây nên 1 vi phân mô men đối với trục z là dM z = . dF. . Trang: 85 - d dF z A dz 1 2 1 2 dz M M I K' - d d d z M Z K dz 1 2 Bài giảng: Sức bền vật liệu Vậy có: = F z dF.M Theo định luật Húc ta có: .G= Trong đó: + G là hằng số phụ thuộc vào vật liệu gọi là mô đun đàn hồi trợt. Đối với thép có G = 0,8.10 6 N/cm 2 + đợc gọi là góc trợt. Trên hình vẽ ta có: dz d IK KK' tg == Vậy có: (*) dz d .G = == F 2 F 2 z dF dz d GdF. dz d .GM Hay: Pz J dz d .GM = (**) GJ M dz d P z = Trong đó d là góc xoắn tuyệt đối ứng với chiều dài dz. Đặt: dz d = gọi là góc xoắn tỷ đối. Vậy có: Thay (**) vào (*) có: Đây là công thức xác định ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang. 7.2.3 Biểu đồ ứng suất tiếp và mặt cắt hợp lý. a. Biểu đồ ứng suất tiếp. Trang: 86 P z GJ M = . J M P z = Bài giảng: Sức bền vật liệu Dựa vào biểu thức xác định ứng suất tiếp: . J M P z = ta thấy ứng suất tiếp phân bố bậc nhất theo bán kính . Ta thấy: + Khi = 0 (tâm mặt cắt) thì = 0. + Khi = R(tại chu vi vòng tròn) thì: P z P z max P z max W M R J M . J M === Trong đó R J W P P = gọi là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang. Mô men chống xoắn có đơn vị là cm 3 , m 3 . . . Biểu đồ ứng suất tiếp đợc biểu diễn trên hình vẽ. * Mô men chống xoắn của một số hình đơn giản. - Hình tròn có đờng kính D = 2R. J P = 0,1D 4 W P = 0,2D 3 - Hình vành khăn: Tơng tự có: W P = 0,2D 3 (1 - 4 ) b. Mặt cắt hợp lý. Trang: 87 M Z R max Bài giảng: Sức bền vật liệu Dựa vào biểu đồ phân bố ứng suất tiếp ta thấy tại chu vi mặt cắt ( = max ) thì vật liệu làm việc nhiều nhất (do = max ), càng vào trong thì chịu lực càng ít dần. Tới tâm ( = 0) thì không chịu lực. Từ những nhận xét trên mà ngời ta có xu hớng chuyển phần vật liệu phía trong ra ngoài để tăng cờng khả năng chịu lực. Đó là mặt cắt có dạng hình vành khăn nh hình vẽ. Ta có: J P = 0,1D 4 (1 - 4 ) 2 D max = W P = 0,2D 3 (1 - 4 ) Với D d = 7.2.4 ứng suất trên mặt cắt xiên. Xét một phân tố vô cùng bé trong thanh tròn chịu xoắn. Ta thấy phân tố đó ở trạng thái trợt thuần tuý. Xét một mặt cắt nghiêng có diện tích là dF hợp với mặt cắt ngang của phân tố một góc (hình vẽ). Diện tích của mặt ngang của phân tố là dF.sin và của mặt đứng là dF.cos. Chiếu các véc tơ lên phơng của ta có: 0cos.dFcos.sin.dFsin.dF. =+ Trang: 88 max D d M Z n dF Bài giảng: Sức bền vật liệu ( ) . 2 2cos1 2 2cos1 .sincos 22 + == Vậy có: Ta thấy với = 0 cos2 = 1 = max = Vậy mặt cắt ngang là mặt có ứng suất tiếp lớn nhất. 7.2.5 Biến dạng xoắn. Khi chứng minh công thức ứng suất tiếp, ta có: P z GJ M dz d == Trong đó là góc xoắn tỷ đối, đó là góc xoắn giữa 2 mặt cắt cách nhau 1 đơn vị chiều dài. Từ biểu thức trên có: dz GJ M d P z = Từ đó có: Đây là công thức tổng quát xác định góc xoắn tuyệt đối của thanh có chiều dài l. Trong đó là góc xoắn tuyệt đối và GJ P gọi là độ cứng chống xoắn. Nếu trong một đoạn thanh có chiều dài l và có M z = const, GJ P = const thì: P z GJ .M l = Nếu trong thanh có nhiều đoạn chiều dài l và trong từng đoạn có M z = const và GJ P = const thì: = = n 1i P Z i i GJ M i l Trong các biểu thức trên thì dấu của phụ thuộc vào dấu của M Z và có đơn vị là Rad. 7.2.6. Dạng phá hỏng của thanh tròn chịu xoắn. Khi xoắn thanh thẳng mặt cắt tròn trong thực tế thờng gặp hiện tợng sau: - Đối với vật liệu dòn: Đờng phá hỏng là đờng xiên mà tiếp tuyến của nó hợp với trục thanh 1 góc 45 0 . Trang: 89 2cos.= = l 0 P z dz GJ M Bài giảng: Sức bền vật liệu - Đối với vật liệu dẻo: Đờng phá hỏng là đờng trùng với mặt cắt ngang. Giải thích: Khi xoắn ta thấy các phân tố ở mặt ngoài của thanh là phân tố nguy hiểm nhất. Chúng ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý. Bằng vòng tròn Mo ta tìm đợc phân tố chính nghiêng một góc 45 0 và góc 135 0 so với phân tố trợt thuần tuý (hình vẽ). Ta có: maxminmax == Bằng thực nghiệm ta có các đặc trng cơ học của vật liệu: - Vật liệu dòn: n bb k b << - Vật liệu dẻo: n ch k chch =< Đối với vật liệu dẻo: Do vật liệu dẻo chịu kéo hoặc nén tốt hơn so với chịu cắt nên khi ứng suất tiếp max đạt tới ch thì lúc đó max và min vẫn cha đạt đến ch . Do đó sự phá hỏng là do các ứng suất max nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục (Do vậy mà đờng phá hỏng trùng với mặt cắt ngang). Đối với vật liệu dòn: Do vật liệu dòn chịu kéo là kém nhất nên khi max đã đạt đến k b thì lúc đó max vẫn cha đạt đến b và | min | cha đạt đến n b . Do đó nó sẽ bị phá hỏng do ứng suất kéo max = 1 . Đờng phá hỏng có phơng vuông góc với ph- ơng của max tức là hợp với phơng ngang 1 góc 45 0 . 7.2.7. Điều kiện bền, điều kiện cứng. Đối với thanh chịu xoắn thì điều kiện bền cũng quan trọng nh điều kiện cứng, cho nên khi tính toán ta phải tính sao cho thanh phải đảm bảo cả 2 điều kiện bền và cứng. a. Điều kiện bền. Để đảm bảo điều kiện bền thì ứng suất tiếp lớn nhất max phát sinh trong thanh không đợc vợt quá trị số ứng suất tiếp cho phép. Tức là: Trang: 90 O 3 = min 1 = max A B [...]... = 3 k k [ ] Trong đó: = [ ] - Theo thuyết bền Mo có: [ ] = [ ] n 1+ Theo tính chất của các thuyết bền thì đối với vật liệu dẻo sử dụng thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất và thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại, còn đối với vật liệu dòn thì sử dụng thuyết bền Mo Với điều kiện bền ta cũng có 3 bài toán tính bền (nh trong chơng kéo nén) nh sau: Bài toán kiểm tra bền, bài toán xác định tải trọng... giảng: Sức bền vật liệu Theo định luật bảo toàn năng lợng có: A = U P 4 P 2 D 3 n = 2 Gd 4 Từ đó suy ra: 8 PD 3 n = Gd 4 Đặt C = Gd 4 3 8D n gọi là độ cứng của lò xo và C có đơn vị là N/cm, N/m Ta có: = P C 7. 5.4.Điều kiện bền, điều kiện cứng - Điều kiện bền: max = k 8 PD [ ] d3 - Điều kiện cứng: = 8 PD 3 n [] Gd 4 Từ điều kiện bền và cứng ta có 3 bài toán tính bền và cứng 1 Kiểm tra bền (cứng)... giảng: Sức bền vật liệu max [] ứng suất tiếp cho phép [] đợc xác định bằng ứng suất nguy hiểm 0 chia cho hệ số an toàn n [ ] = 0 n Trong đó ứng suất nguy hiểm 0 đợc xác định bằng các thí nghiệm xoắn phá hỏng các loại vật liệu khác nhau Ta cũng có thể tính các ứng suất tiếp cho phép khác nhau tuỳ thuộc vào từng thuyết bền [ ] - Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất có: [ ] = 2 [ ] - Theo thuyết bền. .. + - D 3 573 + 382 MZ (N.m) 286,5 Giải: * Xác định ngoại lực xoắn áp dụng công thức: M = 9550 Ta có: M1 = 9550 N( kw ) n ( vòng/phút ) ( N.m) N1 6 = 9550 = 286,5 N m n 200 M 2 = 9550 N1 26 = 9550 = 1241,5 N m n 200 M 3 = 9550 N1 12 = 9550 = 573 N m n 200 M 4 = 9550 N1 8 = 9550 = 382 N m n 200 Trang: 92 Bài giảng: Sức bền vật liệu * Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực Dùng các mặt cắt 1-1 , 2-2 và 3-3 ... giảng: Sức bền vật liệu Trờng hợp thanh có nhiều đoạn, mỗi đoạn có MZi và GJPi khác nhau thì ta phải M Zi MZ [ ] tính i = sau đó tìm ra max để so sánh theo công thức: max = GJ Pi GJ P 7. 2.8 Ví dụ về tính bền cứng cho thanh tròn chịu xoắn Cho trục truyền chịu lực nh hình vẽ Trục truyền quay với tốc độ n=200v/ph Hãy kiểm tra bền và cứng cho trục truyền nếu cho: [] = 2000 N/cm2 ; [] = 0,350/m ; d = 70 ... GJ xoắn B max F E D 7. 3.2.Biến dạng H G C b 1 Trang: 94 Bài giảng: Sức bền vật liệu Trong đó: Jxoắn = .a.b3 với là hệ số phụ thuộc tỷ số Bảng các hệ số , , ( Xem giáo trình ) a b 7. 4 Thế năng biến dạng đàn hồi Trong chơng trạng thái ứng suất, ta đã tính đợc thế năng riêng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong một đơn vị thể tích là: 1 [ 12 + 22 + 32 2à ( 1 2 + 2 3 + 3 1 ) ] ( 4-1 ) 2E Đối với phân... 1 = 3 = ( 4-2 ) Do vậy thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong phân tố là: u= 1 2 [ + 2 2à ( 2 )] 2E ( 4-3 ) Hay: 1+ à 2 ( 4-4 ) E Ta đã có công thức tơng giữa mô đun đàn hồi E và mô đun đàn hồi trợt G là: u= G= E 2(1 + à ) ( 4-5 ) Vậy ta có thể viết: 2 1 u= 2 G ( 4-6 ) Từ đây ta có thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong một đoạn thanh có chiều dài dz là: dU = udv = udz.dF V F ( 4 -7 ) Trong đó... F ( 4 -7 ) Trong đó có: dv = dF.dz và v là thể tích của đoạn dz Ta đã có công thức tính ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang là = Mz JP Thay vào biểu thức ( 4-6 ) có: Trang: 95 Bài giảng: Sức bền vật liệu 1 M2 1 u = 2z 2 2 Jp G Thay biểu thức trên vào ( 4 -7 ) có: 1 M z2 2 1 1 M z2 1 dU = 2 dz.dF = 2 dz. 2 dF G 2 Jp G F 2 Jp F Hay ta có: 1 M z2 dz dU = 2 GJ P Vậy thế năng của cả đoạn thanh có chiều... dài l i thì ta có công thức nh sau: U= 2 1 n l M z2 dz 1 n M zi li = 2 i =1 0 GJ P 2 i =1 GJ Pi 7. 5 Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bớc ngắn Trang: 96 Bài giảng: Sức bền vật liệu Cho một lò xo xoắn ốc hình trụ chịu tác dụng của lực kéo đúng tâm (hình vẽ) Ta có: P h d P D 7. 5.1.Các thông số xác định lò xo - D là đờng kính trung bình của ống lò xo hình trụ d là đờng kính của dây lò xo h là bớc của lò xo... bền áp dụng công thức: max M max = z [ ] WP Ta có: max M max M max 955.10 2 = z = z 3= = 1392,1 N/cm 2 3 WP 0,2 d 0,2 .7 Ta thấy: max < [ ] = 2000 N/cm 2 Vậy trục đảm bảo điều kiện bền * Điều kiện cứng áp dụng công thức: max = MZ [ ] GJ P Ta có: max M max M max 955.10 2 z z = = = = 4, 97. 10 5 Rad/cm = 4, 97. 10 3 Rad/m 4 6 4 GJ P G 0,1d 8.10 0,1 .7 Mặt khác có: [ ] = 0,45 0 /m = Ta thấy: 0,45. 7, 85.10 . thực nghiệm ta có các đặc trng cơ học của vật liệu: - Vật liệu dòn: n bb k b << - Vật liệu dẻo: n ch k chch =< Đối với vật liệu dẻo: Do vật liệu dẻo chịu kéo hoặc nén tốt hơn so với. M 1 M 2 M 4 M 3 A 1 2 2 3 3 D CB 1 M Z (N.m) - 450 200 350 + - M 1 M Z1 A 1 1 Bài giảng: Sức bền vật liệu M Z1 = - 200 N.m + Xét đoạn AC: Dùng mặt cắt 2-2 cắt thanh và khảo sát phần bên trái. Ta có ph- ơng trình cân bằng: M 1 . giản. - Hình tròn có đờng kính D = 2R. J P = 0,1D 4 W P = 0,2D 3 - Hình vành khăn: Tơng tự có: W P = 0,2D 3 (1 - 4 ) b. Mặt cắt hợp lý. Trang: 87 M Z R max Bài giảng: Sức bền vật liệu