Chuyên đề Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Tích có hướng của hai vectơ và áp dụng A. Kiến thức cơ bản Cho , A(x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ) • cùng phương . • • Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ và thì Với , • Ba vectơ đồng phẳng . • Diện tích tam giác ABC là: , ϕ là góc giữa hai vectơ . • Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là : 1 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; , ; ;a x y z b x y z = = r r ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 . 0. , ; ; B A B A B A a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z AB x x y y z z y z z x x y a x y z a b y z z x x y = + + ⊥ ⇔ + + = = + + = − + − + −     = + + =  ÷     r r r r r r r r ,a b r r , 0a b   ⇔ =   r r r , , ,a b a a b b     ⊥ ⊥     r r r r r r a r b r , . .sina b a b ϕ   =   r r r r 0, 0a b ≠ ≠ r r r r 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos . . a b x x y y z z a b x y z x y z ϕ + + = = + + + + r r r r , ,a b c r r r , . 0a b c   ⇔ =   r r Δ 1 1 S , . .sin 2 2 ABC AB AC AB AC ϕ   = =   uuur uuur uuur uuur ,AB AC uuur uuur . ' ' ' ' V , . ' ABCD A B C D AB AD AA   =   uuur uuur uuur 1 • Thể tích tứ diện ABCD là: . B. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho A. 1. B. 2. C. – 5. D. – 2. PA: C. Câu 2: Trong hệ trục toạ độ Oxyz với các vec tơ đơn vị , cho . Hãy chọn kết luận đúng trong các kết luận sau: A. . B. . C. . D. . PA: D. Câu 3: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC: A(1; 1; 1), B(4; 1; 0), C(2; 1; 4). Kết luận nào sau đây là sai? A. B. AB = AC. C. . D. . PA: D. Câu 4: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2; 1; 0), B(-3; 0; 4), C(0; 7; 3). Khi đó, A. . B. . C. . D. . PA: A. Câu 5: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba vectơ: . Kết luận sai là: 2 1 V , . 6 ABCD AB AC AD   =   uuur uuur uuur ( ) ( ) 1;2; 1 , 2;1;5 . .a b a b = − = − = r r r r , ,i j k r r r ( ) 2;0; 2a = − r . 2a i = − rr . 2a j = r r . 0a k = r r ( ) . 0a i j k+ + = r r r r . 0.AB AC = uuur uuur 1 cos 2 B = 3 cos 2 C = ( ) cos ,AB BC = uuur uuur 14 3 2. 59 − 14 18. 59 14 14. 57 − 14 14. 57 ( ) ( ) 3 1 1; 1;1 , 3;2; 1 , ; 1; 2 2 a b c   = − = − = − −  ÷   r r r 2 A. . B. . C. . D. . PA: B. Câu 6: Trong không gian cho các vectơ , trong đó: , Kết luận nào sau đây là sai? A. . B. . C. . D. . PA: D. Câu 7: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai vectơ cùng phương . Mệnh đề sai là: A. Tồn tại duy nhất số thực k sao cho: . B. . C. . D. . PA: A. Câu 8: Trong không gian cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = SB = SC. G là trọng tâm tam giác ABC. Kết luận đúng là: A. . B. C. D. PA: C. Câu 9: Trong không gian cho tam giác nhọn ABC, . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. . B. . 3 ( ) . 0a b c = r r r r ( ) . 0b c a = r r r r , . 0b c a   =   r r r , . 0a b c   =   r r r , , ,a b c d r r r ur 0a ≠ r r ;a b⊥ r r , ,c a b   =   r r r 2 3 .d a b = + ur r r . 0a c = r r . 0d c = ur r ( ) . 0a b d = r r ur r ( ) . 0a d b = r ur r r ( ) ( ) ; ; ; '; '; 'a x y z b x y z = = r r a kb = r r , 0a b   =   r r r : : ': ': 'x y z x y z = , . 0a b c c   = ∀   r r r r ( ) . 0SA SB SC = uur uur uuur , . 0.SA SB SC   =   uur uur uuur , . 0.GA GB GC   =   uuur uuur uuur , . 0.GA GB GS   =   uuur uuur uuur ( ) · ,BA AC ϕ = . cos . BA AC BA AC ϕ = uuur uuur . cos . AB AC AB AC ϕ = uuur uuur 3 C. . D. . PA: A. Câu 10: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai vectơ Trong các vectơ có toạ độ dưới đây, vectơ nào vuông góc với cả hai vectơ trên? A. (5; - 1; 1). B. . C. . D. (3; 0; 1). PA: B. C. bài tập tự luận Các bài tập sau xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho trước. Bài 1. Cho các vectơ . Tìm: Giải: a) . b) . c) . Bài 2. Cho tam giác ABC với A(1; 0; 3), B( 2; 2; 4), C( 0; 3; -2). a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A, từ đó tìm tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. b) Tính góc C của tam giác. Giải: 4 , sin . AB AC AB AC ϕ     = uuur uuur , sin . BA AC BA AC ϕ     = uuur uuur ( ) ( ) 1;2; 3 , 2;0;5 .a b = − = r r 11 5; ; 2 2   − −  ÷   6 3;4; 5   −  ÷   ( ) ( ) ( ) 1; 1;1 , 4;0; 1 , 3;2; 1a b c = − = − = − r r r ( ) ( ) ) . ) . ) , .a a b c b b c a c a b c     r r r r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) . 4.1 0. 1 1 1 3 . 3 9;6; 3a b a b c c= + − + − = ⇒ = = − r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) . 4.3 0.2 1 1 13 . 13 13; 13;13b c b c a a= + + − − = ⇒ = = − r r r r r r ( ) ( ) , 1;5;4 , . 1.3 5.2 4. 1 9a b a b c     = ⇒ = + + − =     r r r r r 4 a) Ta có hay tam giác ABC vuông tại A ⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm I của BC. Toạ độ I là: Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = BI = . b) . Từ đó tính ra góc C. Bài 3. Cho ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 0; 1), C(1; 1; 2). Tính diện tích tam giác ABC, từ đó suy ra độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác. Giải: ⇒ Mặt khác, ⇒ Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác là . Bài 4. Cho tam giác ABC với A= (1; 1; 0), B = (3; -1; 1), C = (5; 1; 3). Tính độ dài đường phân giác trong của góc A. 5 ( ) ( ) 1;2;1 , 1;3; 5 . 0AB AC AB AC AB AC = = − − ⇒ = ⇒ ⊥ uuur uuur uuur uuur 5 1; ;1 2 I   =  ÷   41 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1; 3;5 , 2; 1;6 1 3 5 35, 2 1 6 41 CA CB CA CB = − = − ⇒ = + − + = = + − + = uuur uuur ( ) . 35 35 cos cos , . 41 35. 41 CA CB C CA CB CA CB ⇒ = = = = uuur uuur uuur uuur ( ) ( ) ( ) 2; 1;1 , 1;0;2 , 2;3; 1 , 14AB AC AB AC AB AC     = − − = − ⇒ = − − ⇒ =     uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 14 , 2 2 ABC S AB AC ∆   = =   uuur uuur ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 C B C B C B BC x x y y z z = − + − + − = 2. 14 14 3 3 ABC S AH BC ∆ = = = 5 Giải: Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A ⇒ D là điểm chia đoạn BC theo tỉ số . Từ giả thiết suy ra . ⇒ ⇒ Toạ độ của điểm D là: . Vậy độ dài đường phân giác trong góc A là . Bài 5. Cho bốn điểm A = (0; -1; 0), B = (0; 0; 2), C = (1; 0; 0), D = (-1; 1; - 2). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Chứng minh rằng AC ⊥ BD. c) Tính góc tạo bởi hai cạnh AB, CD của tứ diện. d) Tính thể tích tứ diện và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện. Giải: a) Ta có ⇒ ⇒ hay ba vectơ không đồng phẳng ⇒ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (đpcm). 6 DB AB k DC AC = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 0 3, 5 1 1 1 3 0 5AB AC = − + − − + − = = − + − + − = 3 5 k = − 3 3 3 3 .5 1 .1 1 .3 5 5 5 0; 4; 2 3 3 3 1 1 1 5 5 5 x y z − − − − = = = = = = − − − − ( ) 0;4; 2D ⇒ = − 14AD = ( ) ( ) ( ) 0;1;2 , 1;1;0 , 1;2; 2AB AC AD = = = − − uuur uuur uuur ( ) 1 2 2 0 0 1 , ; ; 1;2; 1 1 0 0 1 1 1 AB AC     = = −  ÷     uuur uuur ( ) ( ) ( ) , . 1. 1 2.2 2 . 1 5 0AB AC AD   = − + + − − = ≠   uuur uuur uuur , ,AB AC AD uuur uuur uuur 6 b) hay AC ⊥ CD (đpcm). c) Gọi α là góc tạo bởi hai cạnh AB, CD của tứ diện ⇒ . Từ đó tìm được α. d) Thể tích tứ diện . Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện ⇒ Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 2; 0), B(3; 0; -1), C(0; 4; 2), D(-2; 6; 3). ABCD là: A. tứ diện đều. B. hình chữ nhật. C. hình thoi. D. hình bình hành. Câu 2: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3), D(- 2; 2; - 2). Thể tích tứ diện ABCD bằng: A. 16. B. 8. C. . D. . Câu 3: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; 2), B(- 1; 5; - 6), C(7; 0; 4). Diện tích tam giác ABC bằng: A. 12. B. 12 . C. 36. D. . 7 ( ) ( ) 1;1; 4 , 1;1;0 . 0BD AC AC BD = − − = ⇒ = uuur uuur uuur uuur ( ) ( ) 0;1;2 , 2;1; 2 . 3 5, 9 3 AB CD AB CD AB CD = = − − ⇒ = − = = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur . 3 1 cos 3 5 5 AB CD AB CD α − = = = uuur uuur uuur uuur 1 5 , . 6 6 V AB AC AD   = =   uuur uuur uuur ( ) ( ) ( ) 1;0; 2 , 1;1;4 , 2; 2;1BC BD BC BD   = − = − ⇒ = −   uuur uuur uuur uuur 5 3. 3 5 6 1 3 , 2 ABCD BCD V AH S BC BD ∆ = = =     uuur uuur 8 3 4 3 5 12 3 7 Câu 4: Trong không gian cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Kết luận nào sau đây là sai? A. . B. . C. . D. . Câu 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho tứ diện ABCD, biết , . Nếu G là trọng tâm của tứ diện thì độ dài của AG là: A. . B. . C. . D. . Câu 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho tứ diện ABCD, biết: và điểm , Mệnh đề sai là: A. Điểm M thuộc mặt phẳng (BCD). B. Với mọi điểm I ta đều có: . C. . D. Câu 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 3 điểm , . Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có toạ độ là: A. . B. . C. . D. . Phương án đúng: 1D, 2C, 3B, 4D, 5D, 6A, 7A II. Bài tập tự luận Bài 1. Chứng minh rằng: 8 , 2 ,AB AC MA MB     =     uuur uuur uuur uuur , ,MA MC MB MA     =     uuur uuur uuur uuur , 2 ,CA C B MC CA     =     uuur uuur uuur uuur , ,CA MB CA MC     =     uuur uuur uuur uuur A(3; 0; 1) B(-1; 4; 1), C(6; 7; 3), D(1; -5; 5) 3 2 10 4 25 4 9 4 A(6; -2; 3), B(0; 1; -6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0) M(3; 0; -1) ( ) 1 IM = IA + IB + IC + ID 4 uuur uur uuur uur uur MB.DC + BC.DM + CM.DB = 0 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur MA + MB + MB + MD = 0 uuuur uuur uuuur uuuur r A(4; 2; -1), B(3; 0; 2) C(18; -2; 1) 21 3 ; 1; 2 2   −  ÷   ( ) 11; 0; 0 ( ) 1; 2; 1 − 7 3 ; 1; 2 2   −  ÷   8 Bài 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A = (1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; - 6). Tính độ dài đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC. Bài 3. Cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(a; a; a) với a là hằng số, a ≠ 0. Chứng minh rằng OD ⊥ (ABC) với mọi giá trị của a. Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 2; 0), A’(0; 0; 3). a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, CD, DD’. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. c) Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ). Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’D’ và B’B. a) Chứng minh rằng MN ⊥ AC’. b) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với (A’BD). c) Tính góc giữa MN và CC’. Hướng dẫn giải. Bài 1. a) Giả sử . Khi đó, ta có b) Chứng minh tương tự. Bài 2. Gọi D’ là chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC ⇒ D’ chia đoạn BC theo tỉ số . Từ đó tìm được toạ độ D’ là : 9 ) , , ) , , ,a a b b a b a b a b a b λ λ λ           = − = =           r r r r r r r r r r ( ) ( ) ; ; , '; '; 'a x y z b x y z = = r r ( ) ( ) , ; ; ' ' ; ' ' ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '; ' ' ; ' ' ; ; , y z z x x y a b yz y z zx z x xy x y y z z x x y y z z x x y y z yz z x x z x y xy b a y z z x x y     = = − − −  ÷         = − − − − = = −  ÷     r r r r ' 1 ' 3 D B AB k D C AC = = = 11 1 7 ' ; ;0 ' 3. 2 2 2 D AD   ⇒ =  ÷   9 Bài 3. Ta có OD ⊥ (ABC) ⇔ OD ⊥ AB và OD ⊥ AC ⇔ Vectơ cùng phương với vectơ . ⇒ Vectơ cùng phương với vectơ hay OD ⊥ (ABC) (đpcm) Bài 4. a) Toạ độ các đỉnh còn lại: D = (-1; 2; 0), B’ = (1; 0; 3), C’ = (0; 2; 3), D’ = (-1; 2; 3). b) ⇒ ⇒ ⇒ Ba vectơ đồng phẳng ⇔ Bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. c) Gọi H là chân đường cao hạ từ C’ tới mặt phẳng (MNPQ) thì khoảng cách từ C’ đến (MNPQ) là độ dài AH. Ta có . ⇒ . 10 OD uuur ,AB AC     uuur uuur ( ) ( ) ( ) ( ) 2;2;0 , 2;0;2 , 4;4;4 . ; ;AB AC AB AC OD a a a   = − = − ⇒ = =   uuur uuur uuur uuur uuur OD uuur ,AB AC     uuur uuur 1 1 1 3 ;0;3 , ;1;0 , ;2;0 , 1;2; 2 2 2 2 M N P Q         = = = − = −  ÷  ÷  ÷  ÷         ( ) ( ) 3 3 0;1; 3 , 1;2; 3 , ;2; 2 2 MN MP MQ   = − = − − = − −  ÷   uuuur uuur uuuur ( ) 3 3 , . 3;3;1 . ;2; 0 2 2 MN MP MQ     = − − =  ÷     uuuur uuur uuuur , ,MN MP MQ uuuur uuur uuuur ' 1 1 9 3 , . ' . 6 6 2 4 C MNP V MN MP MC   = = =   uuuur uuur uuuur 1 19 , 2 2 MNP S MN MP ∆   = =   uuuur uuur ' 3 2 19 C MNP MNP V AH S ∆ = = 10 [...]... uuuu uuuu r r A ' B = ( a;0; − a ) ⇒ AC ' A ' B = 0; , ⇔ MN ⊥ AC’ uuuu r uuuu uuuu r r A ' D = ( 0; a; − a ) ⇒ AC '.A ' D = 0 ⇒ AC’ ⊥ A’B, AC’ ⊥ A’D ⇒ AC’ ⊥ (A’BD) c) Gọi α là góc giữa hai đường thẳng MN và CC’ Khi đó, ta c : uuuu r CC ' = ( 0;0; a ) uuuu uuuu r r MN CC ' ⇒ cos α = uuuu uuuu = r r MN CC ' 11 a2 − 2 a2 a2 2 ⇒ α = 450 = 2 2 11 . thức toạ độ của tích vô hướng Tích có hướng của hai vectơ và áp dụng A. Kiến thức cơ bản Cho , A(x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ) • cùng phương . • • Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ và thì Với. . PA: A. Câu 1 0: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai vectơ Trong các vectơ có toạ độ dưới đây, vectơ nào vuông góc với cả hai vectơ trên? A. (5; - 1; 1). B. . C. . D. (3; 0; 1). PA: B. C. bài tập. B. . C. . D. . PA: B. Câu 6: Trong không gian cho các vectơ , trong đ : , Kết luận nào sau đây là sai? A. . B. . C. . D. . PA: D. Câu 7: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai vectơ cùng phương .