HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I. Phương pháp dùng hằng đẳng thức VD1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức : A = 2x -3 x + 1 B = -x + 4 x 1+ C = 2x + 3 x + 1 D = - x - 4 x 1+ Giải 2 3 1 A = 2x + 3 x + 1= 2(x- x ) 2 2 3 9 9 1 = 2 x 2 x. 4 16 16 2 3 1 = 2 x - 4 8 +   − + − +  ÷     −  ÷   Ta thấy 2 3 x 0 4   − ≥  ÷   nên 1 A - 8 ≥ Dấu bằng xảy ra 3 9 x x 4 16 ⇔ = ⇔ = Vậy Min 1 A 8 = − *) B = - x - 4 x 1+ ( Đk : x 0≥ ) ( ) ( ) 2 x 4 x 4 5 = - x 2 5 5 = − − + + − + ≤ ( Do ( ) 2 - x 2 0− ≤ ) . Vậy B 5≤ với mọi x 0≥ Dấu bằng xảy ra x 2 x 4⇔ = ⇔ = Vậy Max B 5 x 4= ⇔ = *) C = 2x + 3 x + 1 ( Đk : x 0≥ ) Page 1 of 3 Ta có: 2x 0 3 x 0  ≥   ≥   với mọi x 0≥ Suy ra C = 2x + 3 x + 1 1≥ với mọi x 0≥ Vậy Min C = 1 x 0⇔ = *) D = - x - 4 x 1+ ( Đk : x 0≥ ) Ta có : x 0 4 x 0 − ≤   − ≤   với mọi x 0≥ Suy ra D = - x - 4 x 1 1+ ≤ với mọi x 0≥ Dấu bằng xảy ra khi x = 0 Vậy Max B = 1 khi và chỉ khi x = 0 Nhận xét: P ax b x c(a 0)= + + ≠ 1) a > 0 suy ra có giá trị nhỏ nhất của P a < 0 có giá trị lớn nhất của P 2) Nếu a, b trái dấu dung hằng đẳng thức Nếu a, b cùng dấu lập luận trực tiếp theo đk x 0≥ II. Áp dụng BĐT Cosi – Bunhacopxki 1) BĐT Côsi : a 0 a b ab a b 2 ab 2 b 0  ≥ + ⇒ ≥ ⇔ + ≥  ≥  . Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b 2) BĐT Bunhacopxki : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ax by x y a b + ≤ + + . Dấu bằng xảy ra ⇔ x y a b = VD2: Cho M(x; y) thuộc đường thẳng: 2x + 3y = 26 (d) Tìm điểm M sao cho khoảng cánh từ M tới gốc tọa độ là nhỏ nhất. Giải Cách 1: M (x; y) ; O (0; 0) Page 2 of 3 Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 OM x 0 y 0 x y= − + − = + Hay 2 2 2 2 2 26 2x OM x y x 3  −  = + = +  ÷   Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì 2 OM đạt giá trị nhỏ nhất ( Dùng hằng đẳng thức để biến đổi) Cách 2: 2 2 2 OM x y= + Mặt khác : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 26 2x 3y 2 3 x y 13 x y= + ≤ + + = + 2 2 2 26 x y 52 13 ⇒ + ≥ = Vậy OM đạt giá trị nhỏ nhất x y x 4 2 3 y 6 2x 3y 26   = =  ⇔ ⇔   =   + =  Cách 3: Kẻ OH vuông góc với (d), H thuộc (d) Khi đó OM OH≥ với mọi M thuộc (d) Vậy OM nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với H Mà (d) : 2 26 y x 3 3 − = + ; OH d OH d a .a 1⊥ ⇔ = − OH 3 a = 2 ⇔ ; 3 (OH): y x 2 = Vậy tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình: 3 x 4 y x 2 y 6 2x 3y 26   = =  ⇔   =   + =  Vậy với M (4; 6) thì Om đạt giá trị nhỏ nhất Page 3 of 3 O x y (d) H . HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I. Phương pháp dùng hằng đẳng thức VD1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu. b + ≤ + + . Dấu bằng xảy ra ⇔ x y a b = VD2: Cho M(x; y) thuộc đường thẳng: 2x + 3y = 26 (d) Tìm điểm M sao cho khoảng cánh từ M tới gốc tọa độ là nhỏ nhất. Giải Cách 1: M (x; y) ; O (0; 0) Page. 2x OM x y x 3  −  = + = +  ÷   Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì 2 OM đạt giá trị nhỏ nhất ( Dùng hằng đẳng thức để biến đổi) Cách 2: 2 2 2 OM x y= + Mặt khác : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2