I. Phơng pháp đánh giá Gii phng trình: x3 + 14 + x =-16x 2 -8x+1 (1) Giải ĐK: 4 3 4 1 x (*) Ta có ( ) 4)41)(43(2441)41)(43(2431443 2 ++=++++=++ xxxxxxxx 24143 ++ xx (2) Lại có : -16x 2 -8x+1=2-(4x+1) 2 2 (3) Từ (2) và (3) ta có: =+ =++ 21816 24143 )1( 2 xx xx =++ =++++ 01816 441)41)(43(243 2 xx xxxx = =+ 4 1 0)41)(43( x xx = = = 4 1 4 1 4 3 x x x 4 1 = x (thoả mãn(*)) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là 4 1 = x Luyện tập Giải các phơng trình sau: 1) xxxxx 4438414 22 =+++ 2) 2152 2 =++ xxx II. Phơng pháp đặt ẩn phụ VD1:Giải phuơng trình: 3)8)(1(81 =++++ xxxx Giải C1: ĐK: 81 x Đặt xxt ++= 81 (đk 0 t ) )8)(1(281 2 xxxxt ++++= 2 9 )8)(1( 2 =+ t xx Khi đó phơng trình đã cho trở thành: 3 2 9 2 = + t t 0152 2 =+ tt = = 3 5 t t Với t=3, ta có: 381 =++ xx 9)8)(1(281 =++++ xxxx 0)8)(1( =+ xx = = 8 1 x x (thoả mãn (*)) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:x 1 =-1 và x 2 =8 C2: ĐK: 81 x Đặt = += xv xu 8 1 ( 0, vu ) = += xv xu 8 1 2 2 9 22 =+ vu Ta có hệ phơng trình: =++ =+ 3 9 22 uvvu vu =++ =+ 6)(2 92)( 2 uvvu uvvu =+ = 2 6 92 2 6 2 uv vu uv uv =+ = 2 6 0)20( uv vu uvuv =+ = = 2 6 20 0 uv vu uv uv (loại) Với = =+ 0 3 uv vu ta có: = = 3 0 v u hoặc = = 0 3 v u +) = = 0 3 v u = =+ 08 91 x x 8 = x +): = = 3 0 v u = =+ 98 01 x x 1 = x Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x 1 =1 và x 2 =8 VD 2: Giải phơng trình 1221)14( 22 ++=+ xxxx Giải =+ = =+ = 7 20 3 0 vu uv vu uv Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình: 12)1(21)14( 22 ++=+ xxxx (1) Đặt 1 2 += xt (đk t >1), phơng trình (1) trở thành: (4x-1)t=2t 2 +2x-1 2t 2 -(4x-1)t+2x-1=0 (2) Coi (2) là phơng trình bậc hai ẩn t, khi đó phơng trình (2) có: Rxxxx == ,0)34()12(8)14( 22 Phơng trình (2) ẩn t có các nghiệm là: t 1 =2x-1 và t 2 = 2 1 (loại) Với t 1 =2x-1, ta có: 121 2 =+ xx =+ 22 )12(1 012 xx x = 043 2 1 2 xx x = = 3 4 0 2 1 x x x 3 4 = x Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 3 4 =x Lu ý : phơng trình trên có thể giải theo cách đa về phơng tích VD3: Giải phơng trình 112 3 =+ xx Giải ĐK: 1x (*) Đặt = = 1 2 3 xv xu , 0 v = = 1 2 2 3 xv xu 1 23 =+ vu Khi đó ta có hệ phơng trình: =+ =+ 1 1 23 vu vu 1)1( 23 =+ uu 02 23 =+ uuu = = = 2 1 0 u u u Với u=0, ta có: 02 3 = x x=2 Với u=1, ta có: 12 3 = x 12 = x 1 = x Với u=-2, ta có: 22 3 = x 82 = x 10 = x Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10 Luyện tập Giải các phơng trình sau: 1) 55 2 =++ xx 2) 3 3 1 )3((4)1)(3( = + ++ x x xxx 3) 36333 22 =+++ xxxx III. Phơng pháp biến đổi tơng đơng Dạng phơng trình: Dạng 1: )()( xgxf = = )()( 0)( 2 xgxf xg Dạng 2: )()( xgxf = = )()( 0)( xgxf xg VD1: Giải phơng trình xxx 2114 =+ Giải ĐK: + 021 01 04 x x x 2 1 4 x (*) Với đk(*) phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình: 4121 +=+ xxx 4)1)(21(121 +=++ xxxxx 12)21)(1( += xxx += + 2 )12()21)(1( 012 xxx x =+ 072 2 1 2 xx x = = 7 0 2 1 x x x 0 = x (thoả mãn (*)) Vậy phơng trình có nghiệm là x=0 VD2:Giải phơng trình 1221221 =+ xxxx Giải Ta có: 1221221 =+ xxxx 112221222 =+++ xxxx 2 )12( + x - 2 )12( x =1 11212 =+ xx 11212 =+ xx 122 = xx 2 )12(2 = xx 22122 += xxx 2 1 2 = x 4 1 2 = x 4 9 = x Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 4 9 =x Luyện tập Giải các phơng trình sau: 1) 363 =+ xx 2) 2 2)2()1( xxxxx =++ 3) 221682 22 +=+++ xxxx IV. Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số VD1:Giải phơng trình 11414 2 =+ xx ĐK: 2 1 x Xét hàm số 1414)( += xxxf trên +; 2 1 Ta có +> + = ; 2 1 ,0 14 4 14 2 )( 2 ' x x x x xf Hàm số f(x) đồng bjến trên +; 2 1 Mà 1) 2 1 ( =f Phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất : 2 1 =x VD2(A-2007): Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực: 4 2 12113 =++ xxmx Giải ĐK: 1x Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình: m x x x x = + + + 4 1 1 2 1 1 3 (1) Đặt 4 1 1 + = x x t , khi đó phơng trình (1) trở thành: -3t 2 +2t=m (2) Vì 44 1 2 1 1 1 + = + = xx x t và 1 x nên 10 < t . Xét hàm số f(t)=-3t 2 +2t, với 10 < t ,ta có bảng biến thiên sau: t 0 3 1 1 f(t) 3 1 0 -1 Từ bảng biến thiên ta suy ra phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn 10 < t khi 3 1 1 < m Phơng trình (1) có nghiệm khi 3 1 1 < m Vậy với 3 1 1 < m thì phơng trình đã cho có nghiệm. Luyện tập 1)Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 13 2 +=+ xmx 2)Giải phơng trình: 541 3 += xxx V. Phơng pháp điều kiện cần và đủ VD1:tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất mxx =++ 54 Giải Điều kiện cần: Nhận thấy nếu phơng trình có nghiệm x 0 thì (-1-x 0 ) cũng là nghiệm của ph- ơng trình. Do đó để phơng trình có nghiệm duy nhất thì 00 1 xx = 2 1 0 = x Thay 2 1 0 = x vào phơng trình đã cho ta đợc: 23=m Điều kiện đủ: Với 23=m phơng trình đã cho trở thành: 2354 =++ xx =++ + 18)54( 05 04 2 xx x x =++++ 185)5)(4(24 5 4 xxxx x x =+ 9)5)(4(2 45 xx x =+ 81)5)(4(4 45 xx x =++ 0144 45 2 xx x = 2 1 45 x x 2 1 = x Vậy với 23=m thì phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất Lu ý: phơng trình trên có thể giải bằng phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số . trình đã cho có nghiệm là 4 1 = x Luyện tập Giải các phơng trình sau: 1) xxxxx 4438414 22 =+++ 2) 2152 2 =++ xxx II. Phơng pháp đặt ẩn phụ VD1 :Giải phuơng trình: 3)8)(1(81 =++++ xxxx Giải C1:. = =+ 98 01 x x 1 = x Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x 1 =1 và x 2 =8 VD 2: Giải phơng trình 1221)14( 22 ++=+ xxxx Giải =+ = =+ = 7 20 3 0 vu uv vu uv Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình: 12)1(21)14( 22 ++=+. = = 3 4 0 2 1 x x x 3 4 = x Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 3 4 =x Lu ý : phơng trình trên có thể giải theo cách đa về phơng tích VD3: Giải phơng trình 112 3 =+ xx Giải ĐK: 1x (*) Đặt = = 1 2 3 xv xu