Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088 ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2010 Thời gian 180 phút 1. a. Giải phương trình: 2 3 2 4 3 4x x x x + + = + b.Giải hệ phương trình 2 2 2 2 13 25 x y x y x y x y  + =  −    − =  +  2. Gọi 1 2 ,x x là hai nghiệm của tam thức 2 ( ) axf x x b = + + với [ ] , 1;1a b ∈ − Chứng minh ( ) ( ) 1 2 | | 1 | | 1 2 5x x + + ≤ + 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 2 2 4 2 4 2 x y m x y m  + + =   + = −   4. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thoả mãn điều kiện AM=AB Chứng minh rằng sinA=2sin(B-C) 5.Cho tam giác ABC gọi a,b,c và , , a b c m m m là cạnh và độ dài đường trung tuyến.Tìm min 3 3 3 3 3 3 a b c a b c P m m m = + + Hướng dẫn đáp án 1. a. đk, đặt 2 4 ,x u x v + = = , nghiệm x=2 b.đk, hệ viết lại ( ) 2 2 2 13 (1) 25 (2) x y x y x y x y  + =  −    + =  −  Lấy (1) trừ (2) được (3) sau đó lấy (1) cộng (3) ta tìm được nghiệm 2. Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 | | 1 | | 1 | | 2 | | 2 1 | | 2 | | 2 1 2 5 x x x x x x x x x x b a b b + + = + + + − + = + + − + ≤ + 3. Đặt 2 4x u + = đk 2u ≥ , 2y v = Lúc đó ta có hệ ( ) 2 1 . 2 2 u v m u v m m + =    = − −   (II) Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088 Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm 2u ≥ Ta có u,v là nghiệm phương trình ( ) 2 2 1 2 0 2 t mt m m − + − − = có nghiệm 2t ≥ Đặt X=t-2 lúc đó phương trình theo X có nghiệm 0X ≥ 1 2 1 2 0 2 3 0 X X m X X ≤ ≤  ⇔ ⇔ ≤ ≤  < ≤  4. Xét tam giác ABC ta có BMA MAC ACM ∠ = ∠ + ∠ vì B M ∠ = ∠ Suy ra MAC B C ∠ = ∠ − ∠ 1 1 . .sin . . .sin 2 2 ACM S AM AC MAC AB AC A ∆ ⇒ = = Mà 2 sin 2sin( ) ABC AC M S S A B C ∆ ∆ = ⇒ = − 5. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2( ) 4 a a a a m a b c b c a = ≥ + + + − . Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088 ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2010 Thời gian 180 phút 1. a. Giải phương trình: 2 3 2 4 3 4x x x x +. sinA=2sin(B-C) 5.Cho tam giác ABC gọi a,b,c và , , a b c m m m là cạnh và độ dài đường trung tuyến.Tìm min 3 3 3 3 3 3 a b c a b c P m m m = + + Hướng dẫn đáp án 1. a. đk, đặt 2 4 ,x u x v + = = ,. m + =    = − −   (II) Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088 Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm 2u ≥ Ta có u,v là nghiệm phương trình ( ) 2 2 1 2 0 2 t mt m m −