Chuyen de Gia trị tuyet doi A- Những kiến thức cơ bản về Giá trị tuyệt đối. I- các định nghĩa: 1 Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là a là: < = 0anếua- 0a nếua a 2- Nhận xét : Gía trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ f: R R + < = 0 a nếu 0a nếu a a aa Ví dụ : | 1 | =1 |0| = 0 |-1| = -( -1) =1 Mở rộng : Với biểu thức A(x) ta cũng có: Ví dụ: 3- Định nghĩa 2: Khoảng cách từ điểm a đến điểm O trên trục số là giá trị tuyệt đối của a | - a | | a| Ví dụ 1: | - 3 | | 3 | * Với a = 3 thì | a| = |3| =3 Với a= -3 thì |a| = |-3| * Ngợc lại: ==>= 3 3 3 aa Tổng quát: ==> > = b b a b ba 0 Rba b b aba =><== , 1 13)31(|31| == 12|12| = < = 0A(x) A(x)nếu - 0 A(x) nếu | )( |)( xA xA < = < = 3 5 x nếu 3 5 x nếu5-3x 05- 3x nếu3x-5 05-3xếu 5-3x x nx 35 53 Chuyen de Gia trị tuyet doi Ví dụ 2: | 5 | Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của O là số O. * Giá trị tuyệt đối của số nguyên dơng là chính nó. * Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó (và là một số dơng). * Trong hai số âm, số nào có Giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn. * Hai số đối nhau có Giá trị tuyệt đối bằng nhau. Ví dụ 3: Do đó bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng bởi tập các số của đoạn [- 3, 3] và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [-3 ; 3] -3 0 3 Tổng quát: Ví dụ 4: Do bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng tập hợp các số của hai khoảng [- ; 3] và [3; +] và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai khoảng tơng ứng với các khoảng số đó. Tổng quát: II- Các tính chất về gí trị tuyệt đối: 1) | a | 0 a (Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối) 2) |a| = 0 < => a = 0 3) | a | = | -a | ; | a | 2 = a 2 Thật vậy: * | a | = | -a | (do a và -a là hai số đối nhau nên theo định nghĩa | a | = | -a |) * | a | 2 = | a | . | a | - Nếu a> 0 thì |a | 2 = a. a = a 2 - nếu a < 0 thì |a |a 2 | = (-a). (-a )= a 2 Vậy : | a | 2 = a 2 4) - |a | a |a| 2 0,, 0 || > > bRbabab b ba 03 03 303 3 < < a a aa 0anếu3a - 0anếu a < < 3 333 3 a aaa a 0a nếu3 a - 0 a nếu 0a nếu3a- 0 a nếu 2 | | , 4 0 a b a b a b R b ac b a b > Chuyen de Gia trị tuyet doi Thật vậy : theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối ta có: < = 0 a a nếu- 0a nếua a => | a | a => -| a | -a 5) | a + b | | a | + | b | Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab 0 Thật vậy: theo (4) -|a| a |a| - |b| b |b| => -( |a| + |b| a+ b |a| + |b | (đccm) 6) |a|- | b | |a| + | b | Dấu "= " (|a| -|b| = |a b|) xảy ra khi và chỉ khi ba ab 0 Thật vậy: |a| =| a-b+b| |a- b | + | b| => |a| - | b| |a-b| (1) |a b | =| a + ( -b)| |a| + |- b | => |a| + | b| => |a b| | a| + | b| (2) Từ (1) và (2) => |a| - | b| | a-b | |a | + |b | (đccm) 7) ||a| - | b| | | a b| Đẳng thức | | a| -| b| | = |a b | khi ab 0 Thật vậy : Theo (6) |a| |b | | a - b| (1) | b | - | a | | b- a | = | -(b a ) | = | a b | => -( |a b |) | a - b| (2) )3( )( = ba ba ba Từ ( 1) ; (2) ;(3) => | |a| |b | | | a - b| (4) Mặt khác: | |a| |b | | = | |a| |b | | | a + b| => | |a| |b | | | a + b| (5) Từ (4) và (5) => | |a| |b | | | a b| (đccm). 8) | a. b| = | a | |b| Thật vậy xét các khả năng sau: = = = = 0b 0a hoặchoặc 0 0 0 0 b a b a 0= b b a b a Đều suy ra | ab| = | a | |b| = 0 (1) Từ (1);(2);(3);(4) và (5) => đ/c c/m. 3 Chuyen de Gia trÞ tuyet doi 4 )5())(()(; 0 0 )4()(; 0 0 )3()(; 0 0 )2(; 0 0 baabbababaabbbaa b a baabbabaabbbaa b a baabbabaabbbaa b a baabbaabbbaa b a ==>=−−=−−===>>−=−==>    < < ==>=−−=−==><=−==>    > < =⇒=−−=−==><−===>    < > ==>===>>===>    > > ab 0 ab vµ ab 0 ab vµ ab 0 ab vµ ab 0ab vµ Chuyen de Gia trị tuyet doi 9) Thật vậy: xét các khả năng sau: Từ (1);(2); (3) ;(4) và (5) suy ra điều cần chứng minh. III- Bài tập áp dụng : 1- Bài tập áp dụng khái niệm : a- Bài tập trắc nghiệm : Hãy khoanh tròn vào các chữ a), b), c), d) nếu đó là câu đúng (Các câu 1,2,3) Câu 1: Giá trị tuyệt đối của a ký hiệu là | a| a) | a | = a b) | a | = - a c) | a | = 0 d) | a | 0 Câu 2 : Cho a Z tìm kết luận đúng a) | a | N b) | a | = a c) | a | N d) | a | = - a Câu 3 : Cho số nguyên a hãy điền vào chỗ trống các dấu ; ; >; < = để các khẳng định sau là đúng : a) | a | a với mọi a b) | a | 0 với mọi a c) Nếu a> 0 thì a | a | d) Nếu a = 0 thì a | a | e) Nếu a < 0 thì a | a | Câu 4 : Biết | a | = |b| a) a= b b) a = -b c) a = b = 0 d) a = b ; a = - b. Câu 5: hãy nối một dòng ở cột bên phải với một dòng ở cột bên trái để đợc : 5 )5( || || || || ; 0 0 )4( || || || || ; 0 0 )3( || || || || ; ; 0 0 )2( || || |||| || ; || || ; ; 0 0 )1( || || 0 || 0 || || ;000,0 b a b a b a b a b a b a bbaa b a b a b a b a b a b a b a bbaa b a b a b a b a b a b a b a bbaa b a b a b a b a b a b a b a b a bbaa b a b a b a bb a b a Taba ==>= == >===> < < ==>= == <== > < ==>= == <== < > ==>=== >== > > ==>====>== và b a dó Khi 0ab và và b a 0abvà thi b a dó Khi 0abvà thi b a dó Khi 0abvà thi b a có Chuyen de Gia trị tuyet doi a) | x | < 2 1) x< -3; x >3 b) | 2x | = - 3 2) x [-5 ; 5] c) 5 |x| 3) 2 < x < 2 d) | x | >3 4) -2 2 Cho số nguyên a 5) x {- 5 ; - 3; -1 ; 1 ; 3; 5 } b Các bài toán Bài 1: Các khẳng định sau có đúng với mọi số nguyên a và b không? Cho ví dụ: Bổ xung thêm điều kiện để các khẳng định đó đúng . a) | a | = | b | => a = b b) a > b =>| a | >| b | Bài 2: Tìm a biết a Z và a thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) | a 1 | = 0 b) | a 1 | = 1 c) | a 1 | = - 1 d) | a | 1 e) | a | - 2 g) 0 < | a | 4 Biểu diễn các số a thoả mãn điều kiện trên trên trục số. Bài 3: a) Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn | x | < 30 b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y | ( Các cặp số nguyên (1, 2 ) và (2, 1) khác nhau) c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y | < 5 Bài 4 : Cho | x | = 7 ; | y | = 20 với x, y Z Tính x y Bài 5: Cho | x | 3; | y | 5 với x, y Z Biết x- y = 2 Tìm x và y. Bài 6: Cho x < y < 0 và | x | - | y | = 100 Tính x y. 2 Bài tập áp dụng tính chất : a- Bài tập trắc nghiệm : Câu 1: Điền dấu , , = cho thích hợp a) | a + b | .| a | +|b| b) | a - b | .| a | - |b| Với | a | |b| c) | a b | .| a| |b| d) b a b a Câu 2 Đánh dấu chéo vào câu (trong câu 2 và câu 3) Ta có a + b = | a | - |b| với a) a, b trái dấu b) a, b cùng dấu c) a>0, b < 0 d) a>0, b < 0 và | a | > |b| Câu 3: Ta có a + b = - |( a | - |b|) a) a, b trái dấu 6 Chuyen de Gia trị tuyet doi b) a, b cùng dấu c ) a, b cùng âm d) a, b cùng dơng b Các bài toán : Bài 1: Chứng minh | a b | < 5 Biết | a c | < 3 ; | b c | < 2 Bài 2: Có số nguyên x nào để a) | 2x + 7 | + | x + 5 | = - 12 b) | x | + | x 5 | = 0 c) | - x 3 | + | - 49 | = 27 Bài 3: Một điểm x (điểm biểu diễn bởi số nguyên x ) di chuyển từ điểm 2 đến điểm 1 rồi từ điểm 1 đến các điểm về bên phải trục số. Dựa vào giá trị của x hãy rút gọn biểu thức sau: a) | x - 1 | + | x + 2 | b) | x - 1 | - | x + 2 | c) | x + 2 | - | x - 1 | d) - | x - 1 | - | x + 2 | Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: a) | a | + a b) | a | - a c) | a | a d) [ [ a a e) | x 3 | + 5 f) | x + 2 | + | x 5 | g) 4x + 5 - | x + 3 | với x 3 H ớng dẫn - Đáp số 1- Bài tập áp dụng khái niệm Câu 1: (d) Câu 2: (c) Câu 3: (d) Câu 4: a) | a | a b) | a | 0 c) Nếu a > 0 thì a = |a| d) Nếu a = 0 thì a = |a| e) Nếu a < 0 thì a < |a| Câu 5: Nối a) với 3 c) với 2 d) với 1 a) với 4 Bài 1: a) sai VD: a = 5 ; b = 5 Thì | a| = 5 = | b | nhng a b điều kiện để khẳng định đúng là a.b >0 ; a = b = 0 b) sai VD: a = 3; b = - 5 điều kiện bổ xung để khẳng định đúng là: a > 0 ; b > 0. Bài 2: a) a = 1 b) a = 2 ; a= 0 c) Không có giá trị nào của a 7 Chuyen de Gia trị tuyet doi d) 1 a 1 e) a - 2 ; a 2 g) a {1; 2 ; 3; 4} Bài 3: a ) x {1; 2 ; . 29}) => Có 58 số b) Do | x | 0 ; | y | 0 Mà | x | + | y | = 3 => | x | ; | y | {0 ; 1; 2; 3} - Nếu | x | = 0 thì | y | = 3 khi đó có hai cặp - Nếu | x | = 1 thì | y | = 2 = > có bốn cặp. | x | = 2 thì | y | = 1 = > có bốn cặp. | x | = 3 thì | y | = 0 = > có hai cặp. Tất cả có 2 + 4 + 4 = 2 = 12 cặp c) Giải: Tơng tự câu b) có 20 cặp Bài 4: | x | = 7 => x = 7 ; | y | = 20 => y = 20 Xét bốn trờng hợp Đáp số 13; 27 Bài 5: |x | 3 < = > - 3 x 3 | y | 5 < => - 5 y 5 Vì x y = 2 ta có bảng sau: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Bài 6: Vì x < y < 0 nên |x - y| = |x| - |y| = 100 => x y = 100 Nhng do x < y => x y < 0 => x y = - 100 2- Bài tập áp dụng tính chất : Câu 1: a) b) c) = d) = Câu 2: d) Câu 3: c) Bài 1: | a b | = | (a c ) + (c - b)| | a c | + | c b | = | a c | + | b c | < 3 + 2 = 5 => | a b | < 5 Bài 2: a) Không vì theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số là không âm, tổng của hai số không âm không thể là số âm. b) Không vì | x | 0 ; | x 5 | 0 và | x | | x 5 | => Tổng | x | + | x 5 | không thể bằng 0. c) Không vì 27 < | - 49| Bài 3: a) Nếu 2 < x < 1 thì x 1 < 0 và x + 2 > 0 Nên | x 1 | + | x + 2 | = - (x 1 ) + (x + 2 ) = 3 8 Chuyen de Gia trị tuyet doi Nếu x > 1 thì | x 1 | > 0 và x + 2 > 0 Nên | x 1 | + | x + 2 | = x 1 + x +2 = 2x + 1 b) Đáp số 2x + 3 ; -3 c) 2x + 1; 3 d) - 3; - 2x 1 Bài 4: a) = 2a với a 0 = 0 với a< 0 b) = 0 với a 0 = - 2a với a< 0 c) = a 2 với a 0 = - a 2 với a<0 d) = 1 với a 0 = -1 với a< 0 e) = x + 2 với x 3 = 8 x với x < 3 f) = - 2x + 3 với x < - 2 = 7 với x 2 x 5 = 2x 3 với x > 5 g) 3x + 2 (với x - 3) B Các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong ch ơng trình toán trung học cơ sở I Một số dạng ph ờng trình th ờng gặp 1- Dạng 1: Ví dụ: Giải các phơng trình sau. a) | 2x 1 | = 5 (1) Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S = {- 2; 3} b) | 2x 1| = m 1 với m là tham số +) Nếu m 1 < 0 = > m < 1 thì phơng trình vô nghiệm +) Nếu m - 1 = 0 thì | 2x- 1 | = 0 => x = 1/2 +) Nếu m 1 > 0 thì = = = = 2 2 2 112 )1(12 m x m x mx mx 2- Dạng 2: ( ) = = = )()( )()( 0 )()( xBxA xBxA xB xBxA Ví dụ: Giải phơng trình 9 = = = bxA bxA b bxA )( )( 0 )(| = = = = 3 2 512 512 )1( x x x x = = <= = 3 4 x loại) này(nghiệm3)xvới 3xvới1)-2x (-3-x 3)xvới (2 (123 )2( x xx Chuyen de Gia trÞ tuyet doi | x – 3 | = 2x – 1 (2) VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lµ S= {4/3} D¹ng 3: A            < =−    ≥ = <=>= 0 )( 0 )( )( x bxA x bxA bx VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh | x| - 1 =5 (3) +) NÕu x ≥ 0 (3)  x – 1= 5<= > x = 6 +) NÕu x < 0 (3)  - x- 1= 5<= > x =-6 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3) lµ S = {- 6 ; 6} D¹ng 4: A            < =−    ≥ = <=>= 0 )()( 0 )()( )()( x xBxA x xBxA xBx VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh | x | - 1 = 2x + 5 (4) +) NÕu x ≥ 0 (4) <= > x – 1 = 2x + 5 <= > x = - 6 (lo¹i) v× - 6 < 0 +) NÕu x < 0 (4) – x- 1 = 2x+ 5 <= > x = - 2 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (4) lµ S= {-2} 10 [...]...Chuyen de Gia trị tuyet doi A( x ) = B ( x) Dạng 5: A( x) = B( x) A( x ) = B( x) Ví dụ: Giải phơng trình | x + 3 | = | 2x 1 | (5) Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình (5) là Dạng 6: Phơng trình có chứa một số biểu... ) | Điều này chỉ xảy ra khi ( 2x 1) ( 5 2x ) 0 Giải bất phơng trình này (xét dấu ) ta đợc 1 5 x 2 2 Đây chính là tập hợp các nghiệm của phơng trình (6') 11 + + + + x+1 x- 2 0 x 3x - Chuyen de Gia trị tuyet doi Bài tập đề nghị Bài 1: Giải các phơng trình sau: a) | x 3 | + x = 7 b) | x + 3 | = | 5 x | c) 2 x + 1 = 2x 1 d) x + 3 = 2 1 e) | x 3 | = x 3 Bài 2: Giải các phơng trình sau: a) x - | x... | m + 5 < => - m 5 x 1 m + 5 < => - 4 - m x m + 6 Kết luận : m - 5 bất phơng trình vô nghiệm m > - 5 bất phơng trình có nghiệm m 5 x 1 m + 5 Dạng 2: | A (x) | b (II) 12 Chuyen de Gia trị tuyet doi Cách giải : +) Nếu b < 0 => bất phơng trình (II) có nghiệm với x R Ví dụ: Giải các bất phơng trình sau: A(x) - b +) Nếu b 0 (II) A(x) b a) | x 3 | 9 (2) x 3 9 (2) x 3 9 x6 x 12... 4 4 x + 5 1 2 x x x 6 3 3 x + 5 0 x 5 Vậy bất phơng trình có nghiệm là x ; 6 3 4 A( x) B ( x) < => Dạng 4: B( x) 0 A( x) B ( x) A( x) B ( x) B( x) 0 13 Chuyen de Gia trị tuyet doi x 0 x 2 1 x 2 x +1 1 2 x (4) x +1 2 x 1 2 x 1 0 x x x x 0 1 2 2 1 2 Không có giá trị của x 1 x 2 2 Ví dụ: Giải bất phơng trình : | x + 1 | 2x - 1 (4) Vậy nghiệm... => 3x < 0 => x < 0 Trong khoảng này x< 0 (*) + Nếu 1 x 2 (6) x - 1 + 2 - x > x + 3 < => x < - 2 (loại ) + Nếu x > 2 (6) < => x - 1 + x - 2 > x + 3 < => x > 6 (**) 2 + - + + 14 Chuyen de Gia trị tuyet doi Kết hợp (*) và (**) nghiệm cuả bất phơng trình là x < 0 ; x > 6 Bài tập đề nghị : Bài 4: Giải các bất phơng trình sau: a) | 2x + 3 | < 7 b) | 3 - 2x | < x + 1 c) | 3x - 1 | 5 d) x 3 > x +1... < ; x > 3 3 Bài 5 : a) x ; x 0 1 b) x> 1 c) x < 1 d) x < 1 ; x >7 e) - 3 5 - 2x > 1 (1) +) Nếu 2 x 3 Thì B = x - 2 + 3 - x = 1 (2) +) Nếu x > 3 Thì B = x - 2 + x - 3 = 2x - 5 19 Chuyen de Gia trị tuyet doi Do x > 3 => 2x > 6 => B > 6 - 5 = 1 (3) Từ (1) ; (2) và (3) =>Min B = 1 < => 2 x 3 Cách 2: Ta có B = | x -2 |+ | x - 3 | = | x - 2 | + | 3 - x | | x - 2 + 3 - x | = 1 Dấu " = " xảy ra < => . Chuyen de Gia trị tuyet doi A- Những kiến thức cơ bản về Giá trị tuyệt đối. I- các định nghĩa: 1 Định nghĩa 1: Giá. nếu | )( |)( xA xA < = < = 3 5 x nếu 3 5 x nếu5-3x 05- 3x nếu3x-5 05-3xếu 5-3x x nx 35 53 Chuyen de Gia trị tuyet doi Ví dụ 2: | 5 | Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của O là số O. * Giá trị tuyệt đối của. nếu 0a nếu3a- 0 a nếu 2 | | , 4 0 a b a b a b R b ac b a b > Chuyen de Gia trị tuyet doi Thật vậy : theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối ta có: < = 0 a a nếu- 0a nếua a =>