Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ Tổng số 15 tiết: - Các tiết: 84,85, 86, 87, 88, 89, 90 GIẢI TÍCH - Các tiết : 49, 50 HÌNH HỌC - tiết tăng cường cho ơn tập A/ GIẢI TÍCH PHẦN I ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VẤN ĐỀ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Nắm định nghĩa tính đơn điệu hàm số Định lý Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I + Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ I f ' ( x ) = số hữu hạn điểm I hàm số f đồng biến I + Nếu f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ I f ' ( x ) = số hữu hạn điểm I hàm số f nghịch biến I II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 + e) y = x b) y = -x4 + 4x2 – f) y = x − sin x ( < x < 2π ) Bài Tìm m để hàm số y = c) y = x +1 x−2 x − 5x + d) y = x−2 g) y = x – ex mx − ( m − 1) x + 3( m − 2) x + luôn đồng biến tập 3 xác ñònh VẤN ĐỀ II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm cực trị hàm số Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Hai quy tắc tìm cực trị hàm số: a Quy tắc 1: + Tìm f ′( x ) + Tìm xi (i = 1,2,…) đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm + Xét dấu f ′( x ) Nếu f ′( x ) đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị xi b Quy tắc 2: +Tính f ′( x ) Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ + Tìm nghiệm xi (i = 1,2,…) phương trình f ′( x ) = + Tìm f ′′( x ) tính f ′′( xi ) * Nếu f ′′ ( xi ) < hàm số đạt đại điểm xi * Nếu f ′′ ( xi ) > hàm số đạt tiểu điểm xi II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Dùng quy tắc 1, tìm cực trị hàm số sau: a) y = 3x2 – 2x3 x2 − x −1 c) y = x−2 x4 b) y = − x + Bài Dùng quy tắc 2, tìm cực trị hàm số sau: a) y = x4 – 2x2 + b) y = 3x5 – 125x3 + 2160x x − x − 15 d) y = x−3 c) y = sin2x – x x − mx + có cực đại cực tiểu (ĐS m < 3) x −1 x4 Bài Định a, b để hàm số y = − ax + b đạt cực trị -2 x = mx + 3mx + 2m + y= Baøi Tìm m để hàm số (m tham số) có cực đại, cực tiểu x −1 Bài Định m để hàm số y = giá trị cực trị trái dấu VẤN ĐỀ III: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Quy tắc tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [ a; b] +Tìm x1 , x2 , , xn thuộc đoạn ( a; b ) hàm số f có đạo hàm khơng có đạo hàm + Tính f ( x1 ) , f ( x1 ) , , f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ) + So sánh giá trị tìm Số lớn giá trị GTLN f đoạn [ a; b] , số nhỏ giá trị GTNN f đoạn [ a; b] II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm só : x2 + x +1 , ( − ∞;0 ) x a) y = x + x − b) y = c) y = x − x + [-3;2] d) y = 100 − x [-8;6] e) y = x2.ex [-3;2] f) y = sin x + sin x + sin x + VẤN ĐỀ IV: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Trường THPT Hàm Rồng Tổ Toán- Tin Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số y = f(x)  lim −  x→x  lim  x → x −0 Nếu  lim  x → x +0   xlim0  → x+ y = f ( x) f ( x ) = +∞ f ( x ) = −∞ f ( x ) = +∞ ⇒ đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số f ( x ) = −∞  lim f ( x ) = y0 x →+∞ ⇒ đường thẳng y = y0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Nếu   lim f ( x ) = y0  x →−∞ y = f ( x) II.BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm tiệm cận đường cong sau: a) y = 2x − x −1 b) y = 3x + 3x + c) y = 2x + x +1 d) y = −3 x + x−2 VẤN ĐỀ V: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tìm tập xác định hàm số Xét biên thiên hàm số a Tìm giới hạn vô cực giới hạn vô cực (nếu có) hàm số Tìm đường tiệm cận đồ thị (nếu có) b Lập bảng biến thiên hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên tìm cực trị hàm số (nếu có), điền kết vào bảng Vẽ đồ thị hàm số + Vẽ đường tiệm cận đồ thị (nếu có) + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị, chẳng hạn giao điểm đồ thị với trục toạ độ II MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ Bài toán Giao điểm hai đồ thị Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) có hai đồ thị (C1) (C2) Hãy tìm giao điểm (C1) (C2) Cách giải: * Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có nghiệm x0 * Thay x0 vào hai hàm số ta có y0 * Tọa độ giao điểm M(x0,y0) Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ Nhận xét: Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình f(x) = g(x) Sự tiếp xúc hai đường cong Hai đường cong y = f(x) y = g(x) tiếp xúc với hệ phương trình  f ( x) = g ( x)  có nghiệm nghiệm hệ phương trình hoành độ tiếp điểm  f '( x) = g '( x) hai đường cong Giả sử hai hàm số có hai đồ thị (C1) (C2) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến d (C) biết: 1) Đường thẳng d tiếp xúc (C) M(x0;y0) Cách giải: Tìm f’(x) áp dụng công thức tiếp tuyến: y – y0 = f’(x0)(x – x0) 2) Đường thẳng d có hệ số góc k Cách giải: Giải phương trình f’(x) = k có nghiệm x0 hoành độ tiếp điểm áp dụng câu 1) 3) Đường thẳng d qua A(xA;yA) Cách giải: * Viết phương trình đường thẳng d qua A là: y = k(x – xA) + yA  f ( x) = k ( x − x A ) + y A * Điều kiện để d tiếp xúc (C) hệ: f ' (x) = k  Phải có nghiệm nghiệm hoành độ tiếp điểm hệ số góc k BÀI TẬP ÁP DỤNG 2x − Baøi 1: Cho hàm số: y = x + 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m đđể đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt.ø Bài 2: Cho hàm số: y = -x3 - 3x2 + 1)Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2)Biện luận đồ thị số nghiệm phương trình: x3 +3x2 + + m = (1) 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm nghiệm phương trình y’’ = 2− x Bài 3: Cho hàm số f(x) = + x 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2)Tìm điểm thuộc đồ thị có toạ độ nguyên Bài 4: Cho hàm số y= x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 (Cm), m tham số 1)Khảo sát vẽ đồ thị (C1) hàm số m=1 Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C1), biết tiếp tuyến qua điểm A(0; 1) 3)Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục O x điểm phân bieät ; PHẦN II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT A PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Các kiến thức cần nhớ: 1) Hàm số mũ y = ax: - TXĐ: R, ax > với x - Hàm số đồng biến R a > 1, nghịch biến R < a < - Các tính chất lũy thừa a f ( x ) = a g ( x ) a f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x );  ⇔ f ( x ) = log a g ( x ) 2) Dạng bản:  0 < a ≠ 0 < a ≠ 1, g ( x ) > a > 0 < a < a f ( x ) > a g( x ) ⇔  ∨ f ( x ) > g ( x ) f ( x ) < g ( x ) 3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ: - Đưa số - Lơgarít hai vế (dạng: a f ( x ) = b g ( x ) , a f ( x ) b g ( x ) = c ) - Dùng ẩn phụ để đưa dạng Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: a) 3.5 x −1 − 2.5 x −1 = b) 51+ x + 51− x = 26 c) 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = d) 25 x − 12.2 x − 6,25.0,16 x = Bài 2: Giải phương trình: a) 32 x − 2.3x − 15 = b) 5x −1 + 53− x − 26 = c) 3.4 x − 2.10 x − 25x = Bài 3: Giải bất phương trình: a) 49 x − 6.7 x − < c) 32 x + − 4.3x + + 27 > x −1 x b) x +1 ≤ 0,25.32 x +1 d) (2,5) x − 2.(0,4) x + 1,6 < B PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Kiến thức bản: - Định nghĩa: y = log a x ⇔ x = a y - Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0, < a ≠ Tập giá trị: R Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ - Tính chất: Hàm số đồng biến a > 1, nghịch biến < a ≠ - Các công thức biến đổi: log a a = log a = a log a x = x b1 = log a b1 − log a b2 b2 loga(b1.b2)= loga|b1| + loga|b2| log a log a b = log a c log c b log a b = loga bα = αloga |b| log - Phương trình bất phương trình bản: 0 < a ≠ log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔  f ( x ) = g ( x ) > α a log b a b= log a b = log c b log c a log a b α 0 < a <  0 < f ( x ) < g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔  a >  f ( x ) > g ( x ) >  - Phương pháp giải thường dùng: + Đưa số + Đặt ẩn phụ để đưa phương trình, bất phương trình Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: a) log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = + log23 b) log3(2 - x) - log3(2 + x) - log3x + = c) log( x3 + 8) − log( x + x + 4) = log(58 + x) d) log ( x − 1) = log ( x − 1) Bài 2: Giải phương trình: a) log x + log x = log12 x Bài 4: Giải bất phương trình: b) log x + log x = log x a) log3(x + 2) > log81(x+2) c) log x −2 x PHẦN III : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I NGUYÊN HÀM A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghóa: Hàm số f xác định K Hàm số F gọi f K F '( x) = f ( x ), ∀x ∈ K Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ Chú ý ∫ f ( x)dx = F ( x) + C : Hoï tất nguyên hàm f K Nguyên hàm số hàm số thường gặp: 1) ∫ 0dx = C ; ∫ dx = x + C 2) ∫ xα dx = dx xα +1 + C (α ≠ −1) α +1 3) ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) 4) Với k số khác cos kx a ∫ sin kxdx = − k c ∫ ekx dx = sin kx b ∫ cos kxdx = k + C ; +C ; e kx +C ; k d ∫ a x dx = ax + C (0 < a ≠ 1) ; ln a 5) a ∫ cos x dx = tan x + C ; b ∫ sin x dx = − cot x + C Các phương pháp tính nguyên hàm a.Phơng pháp đổi biến số: f [ u( x)] u '( x)dx = F [ u ( x)] + C udv = u.v vdu a.Phơng pháp tớch phân phần: BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm nguyên hàm hàm số sau f ( x) = x − x + 3x − ; f ( x) = x + x + 3x + ; f ( x) = sin x + cos( x + 1) + ; 2x +1 ; x + x+3 f ( x) = x.sin x ; f ( x) = f ( x) = (2 x + 1) x + x + ; f ( x) = sin x.cos x ; f ( x) = x.sin x ; 2 f ( x) = x.cos x ; II TÍCH PHÂN ∫ 1.Định nghóa b a f ( x)dx = F (b) − F (a ) Tính chất Với f(x), g(x) liên tục khoảng K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có: a 1) ∫a f (x)dx = 0; 3) ∫ 5) b a b 2) c c f ( x ) dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x )dx ; b a 4) a b b ∫a k.f (x)dx = k ∫a f (x)dx ; k∈ R Caực phửụng phaựp tớnh tớch phaõn a.Phơng pháp đổi biÕn sè: u (b ) ∫ f [ u ( x)] u '( x)dx = ∫ a b ∫a [f (x) ± g(x)]dx = ∫a f (x)dx ± ∫a g(x)dx ; b b b ∫b f (x)dx = - ∫a f (x)dx ; u(a) f (u )du Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ b b ∫ u( x)v '( x)dx = ( u ( x)v( x) ) | − ∫ v( x)u '( x)dx a.Phơng pháp tớch phaõn tửứng phan: b a a a BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1: Tính tích phân sau: (x + 11) dx ; ∫ (x + 4)dx ; x x ∫ e (3e + 1) dx ; -2 Bài 2: Tính tÝch ph©n sau: ∫ π (2sinx - cosx)dx ; π π - sin x dx sin x π tg xdx ; ∫ ∫ ∫ 1 3x + x dx ; x2 (x + e x )dx ; (sinx + π cos2x dx ; sinx + cosx ∫ dx ; cos xsin x ∫ sin xcosxdx ; ∫ ; x(x - 1)dx ; ∫ π -π ∫ ∫ π π )dx ; cos x π cosx(1 + 2tgx)dx ; π cos ∫ x dx Bài Tính tích phân sau ∫ 2x x + 1dx ; 4x + ∫ x2 + x dx ; Bài 4: Tính tích phân sau π ∫ xsinxdx ; π ∫ (x + 1)sin3xdx ; 3x + ∫ x + x + 2dx ; 2x - ∫ dx ; x -x+6 ∫ 5x x - 1dx ; ∫ 3x 2 ∫ π ∫ π 0 + x3 dx ; xcosxdx ; xsin xdx ; 3 ∫ e ∫ π xlnxdx ; xcos xdx ; ∫ π π ∫ xe x dx ; xdx ; sin x III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG a Hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b] diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành đường thẳng x = a, x = b laø b S = ∫ | f ( x ) | dx a b Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục đoạn [ a; b] hai đường thẳng x = a, x = b laø: b S = ∫ | f ( x ) − g ( x) | dx a THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ Hàm số y = f ( x) liên tục, không âm đoạn [ a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b , quay quanh trục hoành tạo nên khối tròn xoay tích là: b V = π ∫ f ( x )dx a BAØI TAP AP DUẽNG Baứi Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số y = - x với đờng thẳng (d): y = x Bài Cho hµm sè y = ( x + 1) (C) TÝnh diƯn tÝch h×nh phẳng giới hạn (C) phơng trình tiếp tuyến cđa nã t¹i A(0,1) 3x + Bài Cho hàm số y = (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục 2x + Ox; Oy đờng thẳng x = Baứi Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đờng y = 2x - x2 , y = ta quay quanh:Trôc Ox Bài TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay đợc tạo thành hình phẳng (D) giới hạn : y = xe x , x = vµ y = ( ≤ x ≤ ) ta quay quanh (D) quanh Ox PHẦN IV: SỐ PHỨC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tập hợp số phức: C Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R , i đơn vị ảo, i2 = -1); a phần thực, b phần ảo z • z số thực ⇔ phần ảo z (b = 0) • z phần ảo ⇔ phần thực z (a = 0) Hai số phức nhau: a = a ' (a, b, a ' , b'∈ R ) b = b' Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b ∈ R ) biểu diễn điểm M(a ; b) hay a + bi = a’ + b’i ⇔  → u = (a; b) mp(Oxy) (mp phức) y M(a+bi) Cộng trừ số phức : (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i • Số đối z = a + bi –z = -a – bi (a, b ∈ R) x (a, b, a’, b’ ∈ R) Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin • Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ → → → → → → z biểu diễn u , z’ biểu diễn u ' z + z’ biểu diễn u + u ' z – z’ biểu diễn u − u ' Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’ ∈ R ) − Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a − bi a) z = z ; z + z ' = z + z ' ; z.z ' = z.z ' b) z số thực ⇔ z = z ; z số ảo ⇔ z = − z Môđun số phức : z = a + bi 2 a) z = a + b = z z = OM b) z ≥ ∀z ∈ C , z = ⇔ z = c) z.z ' = z z ' , z + z ' ≤ z + z ' ∀z , z '∈ C Chia hai số phức : −1 a) Số phức nghịch đảo z (z ≠ 0) : z = z z z' z' z z' z −1 b) Thương z’ chia cho z (z ≡ 0) : z = z ' z = = z z z c) Với z ≠ , z' = w ⇔ z ' = wz z ,  z'  z'  = , z z z' z' = z z 10 Phương trình bậc hai az2 + bz + c = (A, B, C số phức cho trước, A ≠ ) ∆ = b − 4ac B BÀI TẬP Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau : a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (1 + i)2 – (1 – i)2 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 d) −i −i − 1+ i i Bài 2: Tìm z a) 2+i − + 3i z= 1− i 2+i 2i b) [(2 − i ) z + + i](iz + ) = Bài 3: Phân tích thứa số : a) a2 + b) 2a2 + c) 4a4 + 9b2 Bài 4: Thực phép tính : 1+ i b) + 2i 1− i 3+i e) (1 − 2i)(1 + i) a) c) m i m d) a+i a a−i a (1 + 2i ) − (1 − i ) f) (3 + 2i ) − (2 + i ) Trường THPT Hàm Rồng Tổ Toán- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ · chạy (P) cho · ABM = BMH Chứng minh M nằm mặt trụ tròn xoay có trục AB HD: Dựng MK vuông góc với AB Chứng minh MK = BH Dạng 2: Thiết diện mặt phẳng với mặt trụ - Thiết diện vuông góc với trục đường tròn - Thiết diện qua trục song song với trục hình chữ nhật 8) Một hình trụ có bán kính đáy R, trục OO’ đường cao R Hai điểm A, O B nằm hai đường tròn đáy cho góc hợp AB trục củaA hìnhR trụ 30 C R I a) Tính diện tích thiết diện qua AB song song với trục hình trụ H b) Tính góc hai bán kính đáy qua A B c) Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung AB vàtrục Dhình trụ O' HD: a Thiết diện qua AB song song với trục hình chữ nhật ACBD B SACBD = AD.BD = AD2tan300 K 300 K' AO − AC AOC = b Góc hai bán kính qua A B · AOC với cos · 2 AO c Gọi K, K’ trung điểm AC BD có KK’ // OO’ H giao điểm KK’ với AB, I trung điểm OO’ Có HI đoạn vuông góc chung AB OO’; IH = OK Dạng 3: Thiết diện mặt phẳng với mặt nón - Thiết diện vuông góc với trục đường tròn - Thiết diện qua đỉnh cắt hình nón theo hai đường sinh tam giác cân có đỉnh đỉnh hình nón 9) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a A' a) Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ có B' O' đường tròn hai đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD A’B’C’D’ D' b) Chứng minh tất đỉnh hình lập A phương nằm mặt cầu Hãy tính diện O tích mặt cầu B a HD: a Hình trụ có bán kính đáy R = ; chieàu cao h = a D b Gọi O, O’ tâm hai đáy, I trung điểm OO’ Chứng minh: I cách đỉnh hình lập phương Bán kính mặt caàu R C = IA C' C Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ Phần PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ – TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOẠ ĐỘ VECTƠ r r r r r 1) Định nghĩa : vecto u = ( x ; y ; z ) ⇔ u = xi + yj + zk r r 2) Tính : Cho vecto u = ( x ; y ; z ) , u ' = ( x '; y '; z ') Ta có: x = x' r u r  a) u = u ' ⇔ y = y' z = z'  r c) k u = (kx ; ky ; kz ) , k ∈ R r f) u = x + y2 + z r r r b) u ± u ' = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ') r r e) u u ' = ( x x ' + y y '+ z z ') xx' + yy' + zz' r r g) cos(u , u ') = r x + y2 + z x'2 + y'2 + z'2 h) u ⊥ u' ⇔ xx' + yy' + zz' = TOẠ ĐỘ ĐIỂM uu uu r uu uu r r r r 1) Định nghĩa: M ( x ; y ; z ) ⇔OM =( x ; y ; z ) ⇔OM = xi +y j +zk 2) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) Ta có: a) AB = (xB - xA; yB -yA; zB -zA) uu ur b) AB = | AB |= ( x B − x A ) + ( yB + y A ) + ( z B − z A ) x A + x B yA + yB zA + z B  ; ; ÷ 2    x − kx B y A − kyB z A − kz B  ; ; d) Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ là: M  A ÷ 1− k 1− k   1− k  x +x +x y +y + y z +z +z  e) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: G  A B B ; A B B ; A B B ÷ 3    c) Tọa độ trung điểm M AB M  g) Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là:  x + x B + x C + x D yA + yB + yC + yD z A + z B + z C + z D  G A ; ; ÷ 4   TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ 1) Vecto tích có hướng hai vecto u = ( x; y; z ) vaø u' = ( x'; y'; x') r r [ u , u '] =   y z z x x y ; ; ÷  y' z ' z ' x' x' y'  r r 2) Tính chất: - [ u , u '] vng góc với hai vecto u , u' - Hai u , u' phương ⇔ [ u , u' ] = uu uu ur ur 3) Diện tích hình bình hành ABCD S= [AB,AD] Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ Suy diện tích ∆ ABC SABC = [AB, AC] B' A' u ur u u u u u u u u uru u r * Chú ý thể tích khối chóp A’.ABD VCh = u u u ur u u u ur u u uu ur [AB, AD].AA' B B Dạng toán thường gặp 1) Xác định tọa độ vectơ, tọa độ điểm u = u ' ⇔ x = x'; y = y'; z = z' Kiến thức vận dụng: r r r Bài 1: Cho vectơ a = (2; −5;3), b = (0; 2; −1), c = (1;7; 2) r 1r C' D' 4) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ VH = [AB, AD].AA' A C D r r r r 1) Tính tọa độ vectơ 4a − b + 3c 2) Tính tọa độ vectơ 5a − b + c r 1r r  55  4a − b + 3c = 11; ; ÷, ĐS: 1)  3  r r r 5a − b + c = 10 + 3; − 29 + 3;17 + 2) ( ) Baøi 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết A(2; -1; 3), B(0; 1; -1), C(-1; 2; 0), D’(3; 2; -1) Tính toạ độ đỉnh lại hình hộp ĐS: D(1; 0; 4), A’(4; 1; - 2), B’(2; 3; -6), C’(1; 4; -5) Bài 3: Cho tam giác ABC biết A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), C(4; 5; -5) 1) Xác định toạ độ D để ABCD hình bình hành 2) Xác định toạ độ trọng tâm ABC ĐS: 1) D(5; 7; -3) 2) Gọi G trọng tâm ĐS: 7 1 G ; ; − ÷  3 3 r r Bài 4: Cho rvectơ a = (3;7; − 7) Hãy biểu diễn vectơ a theo vectô r u u r u = (2; 1; 0), v = (1; − 1; 2), w = (2; 2; −1) m = r r r u u  r r r r u u r HD: - Giaû sử a = mu + n v + p w ⇒ n = - Vaäy a = 2u − v + w p =  2) CÁC VECTƠ CÙNG PHƯƠNG Cho hai vectơ u = (x; y; z), u' = (x’; y’; z’) x y z a) Hai vectơ u u' phương ⇔ x' = y' = z' (Quy ước mẫu tử tương ứng 0.) b) Hai vectơ u u' phương ⇔ [ u , u' ] = Kiến thức vận dụng: r u r r c) Hai vecto u u' không phương ⇔  u , u' ≠   Baøi 1: Cho điểm A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(-1; 1; -3) 1) Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ 2) Tìm toạ độ điểm D để ABCD hình bình hành Tính diện tích hình bình hành ABCD 3) Tìm tọa độ chân phân giár ngoàiu u a góc đỉnh A u c củ uu uu u ur ur ur u HD: 1) Xét vectô AB, AC : AB = (−2; − 3), AC = (−4; 2; − 5) uu uu ur ur  −3 r −3 − −2  Coù  AB, AC  =  − ; −5 − ; −4 ÷ = (−9; 2; 8) ≠     ⇒ A, B, C ba đỉnh tam giác Vậy A, B, C không thẳng hàng uu uu ur ur 2) D(1; -2; 0); SABCD = [AB,AC] = 81 + + 64 = 149 3) - Gọi E chân phân phân giác góc đỉnh A EB AB uu u r ur AB u u uu uu u r ur - Ta coù EC = AC ⇒ EB= AC EC ⇔ EB= EC Baøi 2: Cho tam giác ABC Biết A(2; 1; -3), B(3; -2; 2), C(4; 0; 1) 1) Tìm toạ độ chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC 2) Tìm điểm M mặt phẳng Oxy cho A, B, M thẳng hàng HD: 1) Gọi H(x; y; z) chân đường cao đỉnh A, H thuộc BC uu uu ur ur  AH ⊥ BC  ur uu ur Ta có  u u  HB phương BC  2) M∈ Ox ⇒ M(x0; y0; 0) 14   ÑS: H  ; ; ÷   u ur uu 13 uu ur   Ta có A, B, M thẳng hàng ⇔ MA phương AB ĐS: M  ; − ; ÷   Bài 3: Cho ba điểm A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3) 1) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng Tính diện tích tam giác ABC 2) Xác định tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo hình hình hành ABCD ĐS: phương uu uu ur ur r uu uu ur ur 1)  AB, AC = (−16; − 62; − 34) ≠ Vaäy vetơ AB, AC không   ur ur uu uu [AB,AC] = 162 + 622 + 342 = 71 SABC = 2) D(9; -5; 6) Giao điểm hai đường chéo I(2; - 1; 2) 3) TÍNH ĐỒNG PHẲNG CỦA VECTƠ, CỦA ĐIỂM Kiến thức vận dụng: a) Ba vectơ u , v, w đồng phẳng u = k v + l w b) Ba vectơ u , v, w đồng phẳng [u, v] w = r u ur r u r r u r c) Ba vectơ u, v,w không đồng phẳng chæ [u, v]w ≠ r r r r r r Bài 1: Cho ba vectơ a = (1; 2; 3), b = (4; 5; 6), c = (2; 1; 0) Chứng tỏ ba vectơ a, b, c đồng phẳng Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ r r r HD: Chứng tỏ a, b  c ≠   Baøi 2: Cho A(1; 2; 4), B(2; -1 ; 0), C(-2; 3; -1) vaø M(x; y; z) Tìm điều kiện để A, B, C, M đồng phẳng u u u u u ur ur ur u u HD: Tìm điều kiện  AB, AC AM =   ÑS: 19x + 17y – 8z – 21 = Bài 3: Cho bốn điểm A(3; -1; 6), B(-1; 7; -2), C(1; - 3; -2), D(5; 1; 6) 1) Chứng tỏ A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện uu uu ur ur 2) Tính góc hai vectơ AB, CD Bài 4: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) 1) Chứng tỏ A, B, C, D bốn đỉnh hình tứ diện 2) Tính thể tích khối tứ diện ABCD Tính độ dài đường cao từ đỉnh A HD: uu uu uu ur ur ur 1) Chứng tỏ  AB, AC AD ≠   2) Thể tích tứ diện: V= ur ur ur u u u u u u AB, AC  AD = 6 3V Gọi AH đường cao tứ diện Tacó V = SBCD AH ⇒ AH = S = BCD Bài 5: Cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6) 1) Chứng tỏ A, B, C, D bốn đỉnh hình tứ diện 2) Tính thể tích khối tứ diện ABCD Tính độ dài đường cao từ đỉnh A 3) Tìm toạ độ chân đường cao hạ từ đỉnh D HD: 3) - Gọi H chân đường cao ñænh D, H(x; y; z) uu uu ur ur  DH ⊥ AB ur u u u u  ur DH ⊥ AC - Ta coù  u u u u u u  ur ur ur  AH, AB, AC đồng phẳng    ĐS: H  − 49 ; 49 ; 49 ÷   46 124 246 Bài 6: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD, lấy điểm P, Q uu uu uu ur ur ur ur uu AD, BC cho AP = AD; BQ = BC Chứng minh ba vectơ M, N, P, Q thuộc mặt phẳng u ur uu u u u ur ur u u HD: Phân tích vectơ MN theo vectô MP, MQ u ur uu uu u u u ur r ur uu uu r uu Gọi I, J trung điểm BC, AD Phân tích: MN = MI + MJ = MP + MQ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Mặt cầu có tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình: (x – a) + (y – b)2 + (z - c)2 = R2 (1) 2) Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = (2) phương trình mặt cầu Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ A2 + B2 + C2 - D > Lúc mặt cầu có tâm I(-A; -B; -C), bán kính R = A + B2 + C − D 3) Mặt cầu qua bốn đỉnh tứ diện MNPQ gọi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ Cách xác định phương trình mặt cầu: Cách 1: - Gọi I(a; b; c) tâm mặt cầu Ta có: IM = IN = IP = IQ ⇒ tọa độ I - Bán kính: R = IM Cách 2: - Gọi phương trình mặt cầu dạng (1) (hoặc (2)) - Thay toạ độ đỉnh tứ diện vào phương trình ta tìm a, b, c, R (hoặc A, B, C, D) B BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau: a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + = b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – = c) 3x2 +3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – = d) x2 + y2 + z2 - 2mx + 2ny – 6pz – = Baøi 2: Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Mặt cầu có tâm I(1; - 3; 5) bán kính R = b) Tâm I(3;-2; 1) qua điểm A(2; -1; -3) c) Đường kính AB với A(4; -3; 3), B(2; 1; 5) HD: a) Phương trình mặt cầu : (x – 1)2 + (y + 3)2 + (z – 5)2 = b) Bán mặt cầu R = IA = Vậy phương trình : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 18 AB c) Mặt cầu có tâm trung điểm AB, bán kính R = Bài 3: Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2) HD: - Gọi I(a; b; c) tâm mặt cầu Ta có IA = IB = IC = ID ⇔ IA = IB2 = IC2 = ID 2 2 62   74  133  252975   - ĐS:  x + ÷ +  y - ÷ +  z ÷ = 21   21   441   Bài 4: Cho mặt cong (Sm): x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = a) Tìm điều kiện tham số m để (Sm) mặt cầu b) Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ HD: a) (Sm) mặt caàu khi: (2m)2 + (-2)2 + m2 –(m2 + 4m) > ⇔ (2m – 1)2 + > ∀m ∈¡ Trường THPT Hàm Rồng Tổ Toán- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ b) Ta coù R = ( 2m - 1) + ≥ Vậy R nhỏ m = Bài 5: Tìm điều kiện m để phương trình: x2 + y2 + z2 – 2(m – 1)x – 2my + 4mz + 4m2 – 4m = phương trình mặt cầu Bài 6: Lập phương trình mặt cầu có tâm nằm trục Oz, tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có bán kính HD: - Gọi I tâm mặt cầu: I(0; 0; z0), ta có bán kính mặt cầu R = OI - R = |z0| = ⇒ z0 = ±3 Bài 7: Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm M(0; 8; 0), N(4; 6; 2), P(0; 12; 4) coù tâm nằm mp (Oyz) HD: - Gọi I tâm mặt cầu: I(0; y0; z0) - Ta có IM = IN = IP Bài 8: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A(0; 1; 0), B(1; 0; 0), C(0; 0; 1) tâm I có tọa độ thỏa mãn phương trình: x + y + z – = PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A TÓM TẮTr LÝ THUYẾT r r 1) Vectơ n ≠ gọi vectơ pháp tuyến (P) n nằm đường thẳng vuông góc với (P) r r 2) Hai vectơ u; u ' không phương có giá song song nằm (P) r r r u y y x n =  u, u'  =  y ' zz' ; z ' x ' ; x ' y '  ÷ z x      Với u = ( x; y; z ) u' = ( x'; y'; x') (P) có vtpt : hay r r r u y z x x y n = u ∧ u' =  y ' zz' ; z ' x ' ; x ' y '   ÷   3) PT: Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B + C ≠ gọi tổng quát mp, vtpt mp r n = ( A; B; C ) r 4) Mặt phẳng qua điểm M0(x0; y0; z0) có vtpt n = ( A; B; C ) có phương trình dạng: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 5) Mặt phẳng qua điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ có phương trình x y z + + = (gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn) a b c 6) Cho hai mặt phaúng (P): Ax + By + Cz + D = vaø (P’): A’x + B’y + C’z + D’ = a) (P) (P’) cắt ⇔ A : B : C ≠ A ' : B ' : C ' A B C D b) (P) // (Q) ⇔ A ' = B ' = C ' ≠ D ' Trường THPT Hàm Rồng Tổ Toán- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ A B C D c) (P) ≡ (Q) ⇔ A ' = B ' = C ' = D ' 7) Khoảng cách từ M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = d ( M ;( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng1: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm biết vtpt cặp vtcp Phương pháp: - Xác định vtpt điểm mà mặt phẳng qua - Ptmp qua M0(x0; y0; z0) có vtpt n = (A; B; C) là: A(x – x0)+B(y – y0)+C(x – x0r = ) r r r r Chú ý: - Nếu hai vectơ u; v có giá song song nằm (P) n = [u, v] vtpt (P) r uu uu ur ur - Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C coù vtpt n =  AB , AC   Bài 1: Viết phương trình mp (P) a) Qua điểm E(1; -2; 3) song song với mặt phẳng (Q): 2x + 2y – 5z = -1 b) Qua điểm M(1; -2; 4) vuông góc với mp : 3x –2y + 2z + = 0; 5x – 4y + 3z + = c) Qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) vuông góc với mặt phẳng x + 2y – z = d) Qua ba điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1) e) Qua ba điểm A(2; ; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) ÑS: a) 2x + 2y – 5z + 10 = b) 2x + y – 2z + = c) 4x – 3y – 2z + = d) x – 4y + 5z – = e) 6x + 4y + 3z – 12 = Bài 2: Cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện b) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) c) Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với BD d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B song song với CD uu uu uu ur ur ur uu uu uu ur ur ur HD: a) Ba vectơ AB; AC ; AD không đồng phẳng ⇔  AB, AC  AD ≠   uu uu ur ur uu uu ur ur b) - mp(BCD) qua B(1; 6; 2) có cặp vtcp BC ; BD ⇒ vtpt  BC , BD  = (−12; −10; −6)   - pt mp(BCD): 6x + 5y + 3z -42 = uu ur c) - Mặt phẳng qua A(5; 1; 3) vuông góc với BD có vtpt BD = (3; −6; 4) - pt: 3x – 6y + 4z -21 = uu uu ur ur uu uu ur ur AB; CD ⇒ vtpt  AB, CD  = (10;9;5) d) - mp qua A, B vaø song song với CD có cặp vtcp   - pt: 10x + 9y +5z – 74 = Daïng 2: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ Bài 1: Cho phương trình: m3x + (m – 1)3 y + z – m(m – 1) = (1) a) Chứng minh với m phương trình (1) phương trình mặt phẳng b) Mặt phẳng (1) với m ≠ m ≠ cắt trục toạ độ Ox, Oy, Oz điểm A, B, C Chứng minh thể tích khối tứ diện OABC không đổi HD : a) Ta coù m6 + (m – 1)6 + > với m nên (1) phương trình mặt phẳng  m −1    b) A  m ;0;0 ÷, B  0; (m − 1)2 ;0 ÷, C ( 0;0; m(m − 1) )     VOABC = m 1 OA.OB.OC= 6 Bài 2: Cho góc tam diện vuông Oxyz A, B, C, điểm di động Ox; 1 1 Oy; Oz thoả mãn hệ thức OA + OB + OC = 2008 a) Chứng minh mp(ABC) luôn qua điểm cố định b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) HD:a) - Chọn hệ tọa độ Oxyz Gọi OA = a; OB = b; OC = c, (a > 0, b > 0, c > 0) x y z - Phương trình (ABC): a + b + c = ⇒ cố định b) Khoảng cách từ O đến (ABC): d = mp(ABC) qua M(2008; 2008; 2008) 0 + + −1 a b c 2 1 1 1  ÷ + ÷ + ÷ a b c = abc a 2b + b c + c a Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt 4x – 3y -12z + = tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x – y – 6x – = HD: - Goïi (P) mặt phẳng cần tìm, pt (P): 4x – 3y – 12z + D = 0, D ≠ - Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) bán kính R = - Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu d ( I ;( P) ) = R ⇔ 4.1 − 3.2 − 12.3 + D 16 + + 144  D = 90 =4⇔  D = −14 - (P): 4x – 3y – 12z + 90 = 0; (P): 4x – 3y – 12z – 14 = Bài 4: Lập pt mặt cầu có tâm I(1; 4; -7) tiếp xúc với mặt phaúng (P): 6x + 6y –7z + 42 = HD : - Bán kính mặt cầu khoảng cách từ I đến (P) - R= 121 + 24 + 49 + 42 36 + 36 + 49 = 11 ⇒ phương trình mặt cầu : (x – 1)2 + (y – 4)2+ (z + 7)2 = Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng qua hình chiếu A(2; 3; 4) trục tọa độ ĐS: x y z + + =1 Dạng 3: Các toán vận dụng vị trí tương đối, khoảng cách, góc Bài 1: Cho hai điểm A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) mặt phẳng (P): 3x – 8y + 7z – = Tìm tọa độ điểm C nằm mặt (P) cho tam giác ABC CA = AB   2 1 HD: - Giả sử C(x; y; z) ⇒ CB = AB ⇔ C (2; −2; −3), C  − ; − − ÷   C ∈ ( P )  Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) qua giao tuyến hai mặt phẳng (Q): x – y + z – = vaø (R): 3x – y + z – = đồng thời chứa điểm M(2; 1; -1) HD: - Gọi d giao tuyến (Q) (R)     - Chọn hai điểm M1  − ; − ;0 ÷, M  − ;0; ÷thuộc d     - Mặt phẳng qua điểm M, M1, M2 (P) ĐS: (P): 15x – 7y + 7z – 16 = Baøi 3: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) qua giao tuyến hai mặt phẳng (Q): y + 2z – = vaø (R): x + y - z + = đồng thời song song với (S): x + y + z – = HD: - Gọi d giao tuyến (Q) (R) - Chọn hai điểm M1 ( −7; 4;0 ) , M ( −1;0; ) thuộc d - Mặt phẳng (P) có phương trình dạng: x + y + z + D = 0, D ≠ −2 - (P) chứa M1, M2 nên tọa độ M1, M2 nghiệm hệ phương trình: 11 11  −7 + + D =  VN  −1 + + D = - Không tồn mặt phẳng thỏa mãn điều kiện toán Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) qua giao tuyến hai mặt phẳng (Q): 3x – y + z – = vaø (R): x + 4y – = đồng thời vuông góc với (S): 2x – z + = HD: - Goïi d giao tuyến (Q) (R) - Chọn hai ñieåm M1 ( 5;0; −13) , M ( 1;1;0 ) thuộc d r uuu r u ur - Mặt phẳng (S) có vtpt n = ( 2;0; −1) ⇒ (P) coù vtpt  M 1M , n  = ( −1; 22 − )   - pt (P): x – 22y + 2z +21 = Bài 5: Cho hai mặt phẳng (P): 3x –y + 4z + = 0; (Q): 3x –y + 4z + = vaø (R): x + y +z+3=0 a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q) b) Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng (P) (Q) c) Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng (P) (R) Trường THPT Hàm Rồng Tổ Toán- Tin Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ HD: a) - Ta có (P) // (Q) nên d((P); (Q)) khoảng cách từ điểm (P) đến (Q) - Chọn điểm A(0; 2; 0) thuộc (P) ⇒ d ( ( P);(Q) ) = d ( A;(Q) ) = 26 13 b) - Gọi M(x; y; z) điểm cách (P) (Q) - Ta có d(M; (P)) = d(M; (Q)) tập hợp điểm M là: 3x – y + 4z + = Baøi 6: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M0(1; 1; 1), cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho tứ diện OABC tích nhỏ HD: - Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a> 0, b > 0, c > x y z 1 + + = Do M thuoäc (ABC) neân + + = a b c a b c 1 VOABC = abc maø = a + b + c ≥ abc ⇔ abc ≥ 27 - Phương trình (ABC): - - VOABC lớn 27 a = b = c = - Pt cuûa (ABC): x + y + z – = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình đường thẳng r Đường thẳng qua điểm M0(x0; y0; z0) có vtcp u =(a; b; c) coù :  x = x + at  a) Phương trình tham số :  y = y0 + bt  z = z + ct  x − x y − y0 z − z = = , với abc ≠ b) Phương trình tắc : a b c Chú ý: Giao tuyến hai mặt phaúng A1x + B1y + C1z + D1 = vaø A2 x + B2y + C2z + D2 = r ≠ A2:B2:C2) đường thẳng có vtcp u = (A1:B1:C1 ( B1 B2 C1 C2 ; C1 C2 A1 A2 ; A1 A2 B1 B2 Vị trí tương đối đường thẳng r Cho đường thẳng d1 qua điểm M1(x1; y1; z1) có vtcp u1 = (a1; b1; c1) r đường thẳng d2 qua điểm M2(x2; y2; z2) coù vtcp u = (a2; b2; c2) a1 : b1 : c1 ≠ a2 : b2 : c2  u ur ⇔  r r uuu  u1 ; u  M M =   a) d1 d2 cắt   b) d1 // d2 ⇔ a1:b1:c1 = a2:b2:c2 ≠ (x2 – x1):(y2 – y1):(z2 – z1) c) d1 ≡ d2 ⇔ a1:b1:c1 = a2:b2:c2 = (x2 – x1):(y2 – y1):(z2 – z1) r r uuu u ur ⇔ u1 ; u  M M ≠  d) d1 chéo d2  Khoảng cách ) Trường THPT Hàm Rồng Tổ Toán- Tin Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ r a) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d qua M0 có vtcp u là: uuu r u uu r | [M M ; u] | r d ( M;d ) = |u| b) Khoảng hai đường thẳng chéo d1 vaø d2 r r uuu u ur r r | [u1; u ]M 1M | u r r Với d1 qua M1 có vtcp u1 d2 qua M2 có vtcp u là: d ( d1 ; d ) = | [u ; u ] | u1 II BÀI TẬP 1) Láûp âỉåìng thàóng d qua âiãøm A v vng gọc våïi màût phàóng (P) mäùi trỉåìng håüp sau: a) A(2; 0; 3) vaì (P): 2x -3y + 5z - = 0; b) A(2; 1; 3) vaì (P): x + 2y + 3z = 2) Viãút phương trình đường thẳng qua âiãøm M(3; 2; 1) vng gọc v càõt âỉåìng thàóng d: x y z+3 = = HD: - Viết pt mp(P) qua điểm M vuông góc với d (P): 2x + 4y + z – 15 = - Tìm tọa độ giao điểm N d với (P) d  x + y + z − 15 =   10 20  ⇒ N ; ; ÷ - Tọa độ N nghiệm hpt  x = y = z  7 7 2  M P x-3 y-2 z-1 - MN laø đường thẳng cần tìm PT MN: 11 = -6 = x = + 2t x = − t'   3) Cho hai âỉåìng thàóng ∆1 :  y = − 2t ; ∆ :  y = + t' , cheùo M0(1; 0; 5) Viết z = + t z = − 3t'   d phương trình đường thẳng d qua M0 vuông góc với hai đường thẳng ∆1 ∆u2 r HD: - Đường thẳng d vuông góc với vtcp u1 = (2; −2;1) ∆1 M r vtcp u = (−1; 1; −3) cuûa ∆ u1 r r r r - vtcp d u = u1 , u  ⇒ u = (5;5;0)    x = + 5t  - pt cuûa d:  y = 5t z =  4) Cho màût phàóng (P): x + 2y - z + = v âỉåìng thàóng ∆ : u2 ∆2 x + y −1 z − = = −2 a) Chứng minh ∆ cắt (P) Tìm tọa độ giao điểm M ∆ (P) b) Vióỳt phổồng trỗnh hỗnh chióỳu d cuớa lón mỷt phàóng (P) HD: a) Đường thẳng ∆ cắt (P) vtcp ∆ vtpt (P) khôrnr vuông góc g r r - Ta có vtcp ∆ u = ( 1; 2; −2 ) , vtpt cuûa (P) laø n = ( 1; 2; −1) ⇒ u.n = + + ≠ - Vaäy ∆ caét (P) N ∆1 Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ  x + y −1 z − = =   10 27  −2 ⇒ M  − ; ; ÷ - Giao điểm M có tọa độ nghiệm hpt   7   x + 2y - z + =  r r r b) - Goïi n ' = u; n  = ( 2; − 1;0 ) (Q) mp chứa ∆ vuông góc (P)   Ta có d’ giao tuyến (P) (Q) ⇒ d’ vuông góc r r với hai vectơ n n ' đồng thời qua giao điểm ∆  10 27  Q M  − ; ; ÷ ∆ (P)  7  u r r r r  n, n ' ⇒ u ' = ( −1; − 2; −5 ) d’ coù vtcp u ' =  u'=[n, n' ]  d' 10  n'=[u, n] x = − + t  M  P ⇒ pt d ' :  y = − 2t , t ∈ ¡  n 27  z= − 5t   x =  5) Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = −4 + 2t , t ∈ ¡ ; z = + t   x = −3t'  ∆ :  y = + 2t', t' ∈ ¡  z = −2  Chứng tỏ ∆1 , ∆ chéo Tính khoảng cách hai đường thẳng r HD: - ∆1 có vtcp u1 = (0; 2;1) , ∆ coù vtcp r r r r r r u = (− 3;2;0) ⇒ u1 , u  = ( − 2; −3;6 ) ≠ ⇒ u1 u không phương ⇒ ∆1 ∆ chéo   cắt uuu u ur - ∆1 qua M1(1;-4; 3), ∆ qua M2(0; 3; - 2) ⇒ M 1M = ( −1;7 − ) r r uuu u ur Ta coù u1 , u  M 1M = − 21 − 30 ≠ ⇒ ∆1 ∆ chéo   r r uuu u ur u1 , u  M M −49   = =7 r r Khoảng cách ∆1 ∆ : d = + + 36 u1 , u    6) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với (P): x + y + z - = cắt  x = + 2t  ∆1 :  y = −1 − t z =  vaø ∆  x = −2 + 3t  :  y = −3  z = −3t  r HD: - (P) coù vtpt n P = (1;1;1) r - ∆1 qua M1(1; -1; 0) coù vtcp u1 = (2; − 1; 0) - Gọi (Q) mặt phẳng qua M1 có cặp vtcp r r  n P = (1; 1; 1)  ⇒ (Q) coù vtpt nQ = (1; 2; − 3) vaø ∆1 ⊂ (Q) r u1 = (2; − 1; 0)  ∆2 u2 P u1 nP=ud d M Q M1 ∆1 Trường THPT Hàm Rồng Tổ Tốn- Tin Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ - pt (Q): x + 3y – 3z + =   - M  ; − 3; − ÷ giao điểm ∆ với (Q) Đường thẳng qua M vuông   góc với (P) đường thẳng d r r - Đường thẳng d qua M có vtcp u d = n P = (1;1;1) nên có d có pt: 9 z+ y+3 4= = 1 x− 7) x −1 y − z Cho hai đường thẳng ∆1 : = = vaø  x = −1  ∆ :  y = −1 − t  z = −t  a) Xét vị trí tương đối ∆1 ∆ b) Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) đến ∆ c) Viết phương trình đường thẳng qua M0(0; 1; 1) vng góc với ∆1 cắt ∆ x = x − 11 y z −  = = 8) Cho hai đường thẳng ∆1 :  y = −1 − t ; ∆ : cheùo ∆ 1 z = + t  Viết phương trình đường vng góc chung ∆1 ∆ r ∆1 qua M1(2;-1;2) coù vtcp u1 = ( 0; −1; 1) HD: r - ∆ qua M2(11; 0; 1) coù vtcp u = ( 4; 1; 1) r r r r r - Goïi u = u1; u  , (P) mp chứa ∆1 có cặp vtcp u; u1   u2 d u u1 M M1 ∆1 P - Viết phương trình (P) - Tìm giao điểm M ∆ với (P) r r r u = u ; u  - Viết d qua M có vtcp   9) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 1; 1) v vuông góc với giao tuyến hai mặt phaúng (P): 3x – y + 4z + = vaø (Q): 2x + 3y + z + = 10) x =  Cho hai đường thẳng ∆1 :  y =1- t ∆ : z = t   x =11+ 4t  y = t z = 1+ t  a) Chứng minh ∆1 ∆ chéo Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆1 song song với ∆ b) Tính khoảng cách ∆1 v ∆ Tìm góc ∆1 v ∆ r r c) Xét M1(2; 1; 0), M2(11; 0; 1) Gọi u1; u làvtcp ∆1 , ∆ Tính thể tích r r khối hộp có kích thước | u1 |; | u | M1M2 11) viết phương trình đường thẳng qua G tam giác ABC vng góc với (ABC)ca tam giạc ABC biết: A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 1) Trường THPT Hàm Rồng Tổ Toán- Tin 12) Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ Lập phương trình tắc ∆ , biết ∆ vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z = x = 1− t x = t   cắt đường thẳng d:  y = t ; d':  y = − 3t  z = − 2t  z = −3t   ... vuông góc với AB Chứng minh MK = BH Dạng 2: Thi? ??t diện mặt phẳng với mặt trụ - Thi? ??t diện vuông góc với trục đường tròn - Thi? ??t diện qua trục song song với trục hình chữ nhật 8) Một hình trụ có... hìnhR trụ 30 C R I a) Tính diện tích thi? ??t diện qua AB song song với trục hình trụ H b) Tính góc hai bán kính đáy qua A B c) Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung AB vàtrục Dhình trụ O'' HD: a Thi? ??t... ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010 GV : Nguyễn Bích Thuỷ B MẶT TRỤ, MẶT NÓN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT A MẶT TRỤ Mặt trụ hình tròn xoay sinh đường thẳng l quay quanh đường thẳng ∆ song song