Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số Chuyên đề 2 Biến đổi biểu thức đại số a biển đổi biểu thức nguyên I. Một số hằng đẳng thức cơ bản 1. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 ; (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ; 2 1 2 n (a a a )+ + + = = + + + + + + + + + + + + 2 2 2 1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n a a a 2(a a a a a a a a a a a a ) ; 2. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = a 3 b 3 3ab(a b); (a b) 4 = a 4 4a 3 b + 6a 2 b 2 4ab 3 + b 4 ; 3. a 2 b 2 = (a b)(a + b) ; a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) ; a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b 2 + + ab n 2 + b n 1 ) ; 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 a 3 b + a 2 b 2 ab 3 + b 5 ) ; a 2k + 1 + b 2k + 1 = (a + b)(a 2k a 2k 1 b + a 2k 2 b 2 + a 2 b 2k 2 ab 2k 1 + b 2k ) ; II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b) n Tam giác Pascal Đỉnh 1 Dòng 1 (n = 1) 1 1 Dòng 2 (n = 2) 1 2 1 Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y) n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Ngời ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì : (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 và với n = 5 thì : (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 10ab 4 + b 5 II. Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : A = (x + y + z) 3 (x + y z) 3 (y + z x) 3 (z + x y) 3 . Lời giải A = [(x + y) + z] 3 [(x + y) z] 3 [z (x y)] 3 [z + (x y)] 3 = [(x + y) 3 + 3(x + y) 2 z + 3(x + y)z 2 + z 3 ] [(x + y) 3 3(x + y) 2 z + 3(x + y)z 2 z 3 ] [z 3 3z 2 (x y) + 3z(x y) 2 (x y) 3 ] [z 3 + 3z 2 (x y) + 3z(x y) 2 + (x y) 3 ] = 6(x + y) 2 z 6z(x y) 2 = 24xyz Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a 2 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x 2 + y 2 ; b) x 3 + y 3 ; c) x 4 + y 4 ; d) x 5 + y 5 Lời giải a) x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = a 2 2b b) x 3 + y 3 = (x + y) 3 3xy(x + y) = a 3 3ab c) x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 ) 2 2x 2 y 2 = (a 2 2b) 2 2b 2 = a 4 4a 2 b + 2b 2 d) (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 ) = x 5 + x 2 y 3 + x 3 y 2 + y 5 = (x 5 + y 5 ) + x 2 y 2 (x + y) Hay : (a 2 2b)(a 3 3ab) = (x 5 + y 5 ) + ab 2 x 5 + y 5 = a 5 5a 3 b + 5ab 2 Chú ý : a 6 + b 6 = (a 2 ) 3 + (b 2 ) 3 = (a 3 ) 2 + (b 3 ) 2 a 7 + b 7 = (a 3 + b 3 )(a 4 + b 4 ) a 3 b 3 (a + b) = (a 2 + b 2 )(a 5 + b 5 ) a 2 b 2 (a 3 + b 3 ) Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức : a) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) ; 1 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lời giải a) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b) 3 + c 3 3abc 3a 2 b 3ab 2 = (a + b + c)[(a + b) 2 (a + b)c + c 2 ] 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b) 2 (a + b)c + c 2 3ab] = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = [(a + b + c) 3 a 3 ] (b 3 + c 3 ) = (b + c)[(a + b + c) 2 + (a + b + c)a + a 2 ] (b + c)(b 2 bc + c 2 ) = (b + c)(3a 2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử : A = x 3 3(a 2 + b 2 )x + 2(a 3 + b 3 ) Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, thì a 2 + b 2 = 2 S 2P- ; a 3 + b 3 = 3 S 3SP- . Vì vậy : A = x 3 3( 2 S 2P- )x + 2( 3 S 3SP- ) = 3 3 2 3 (x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + - = 2 2 2 (x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + - = 2 2 (x S)(x Sx 2S 6P)- + - + = (x a b)[x 2 + (a + b)x 2(a + b) 2 + 6ab] = (x a b)[x 2 + (a + b)x 2(a 2 Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) Lời giải Vì x + y + z = 0 nên x + y = z (x + y) 3 = z 3 Hay x 3 + y 3 + 3xy(x + y) = z 3 3xyz = x 3 + y 3 + z 3 Do đó : 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) = (x 3 + y 3 + z 3 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = x 5 + y 5 + z 5 + x 3 (y 2 + z 2 ) + y 3 (z 2 + x 2 ) + z 3 (x 2 + y 2 ) Mà x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = z 2 2xy (vì x + y = z). Tơng tự : y 2 + z 2 = x 2 2yz ; z 2 + x 2 = y 2 2zx. Vì vậy : 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) = x 5 + y 5 + z 5 + x 3 (x 2 2yz) + y 3 (y 2 2zx) + z 3 (z 3 2xy) = 2(x 5 + y 5 + z 5 ) 2xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) Suy ra : 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) (đpcm) Bài tập 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 3 + 4x 2 29x + 24 ; b) x 4 + 6x 3 + 7x 2 6x + 1 ; c) (x 2 x + 2) 2 + (x 2) 2 ; d) 6x 5 + 15x 4 + 20x 3 + 15x 2 + 6x + 1 ; e) x 6 + 3x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 3x + 1. 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 8 + x 4 + 1; b) x 10 + x 5 + 1 ; c) x 12 + 1 ; 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 ; b) (x + y + z) 5 x 5 y 5 z 5 . 4. Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a 4 + b 4 + c 4 . 5. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức : B = (x 1) 2007 + y 2008 + (z + 1) 2009 . 6. Cho a 2 b 2 = 4c 2 . Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a 5b) 2 . 7. Chứng minh rằng nếu (x y) 2 + (y z) 2 + (z x) 2 = = (x + y 2z) 2 + (y + z 2x) 2 + (z + x 2y) 2 thì x = y = z. 8. a) Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 và x, y khác 0 thì a b x y = . 2 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số b) Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 và x, y, z khác 0 thì a b c x y z = = . 9. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : a) 5(x 3 + y 3 + z 3 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = 6(x 5 + y 5 + z 5 ) ; b) x 7 + y 7 + z 7 = 7xyz(x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ; c) 10(x 7 + y 7 + z 7 ) = 7(x 2 + y 2 + z 2 )(x 5 + y 5 + z 5 ). 10. Chứng minh các hằng đằng thức sau : a) (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 = (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2 ; b) x 4 + y 4 + (x + y) 4 = 2(x 2 + xy + y 2 ) 2 . 11. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a 2 + b 2 + (a + b) 2 = c 2 + d 2 + (c + d) 2 . Chứng minh rằng : a 4 + b 4 + (a + b) 4 = c 4 + d 4 + (c + d) 4 12. Cho a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a 2 + b 9 + c 1945 . 13. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau : a 3 3a 2 + 5a 17 = 0 và b 3 3b 2 + 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b. 14. Cho a 3 3ab 2 = 19 và b 3 3a 2 b = 98. Hãy tính : E = a 2 + b 2 . 15. Cho x + y = a + b và x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x 3 + y 3 ; b) x 4 + y 4 ; c) x 5 + y 5 ; d) x 6 + y 6 ; e) x 7 + y 7 ; f) x 8 + y 8 ; g) x 2008 + y 2008 . B biển đổi phân thức hữu tỉ Ví dụ 5. a) Chứng minh rằng phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản nN ; b) Cho phân số 2 n 4 A n 5 + = + (nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) d hay 1 d d = 1. Vậy phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản. b) Ta có 29 A n 5 n 5 = - + + . Để A cha tối giản thì phân số 29 n 5+ phải cha tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29. Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29 n + 5 = 29k (k N) hay n = 29k 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009 1 k 69 hay k {1; 2;; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690. Ví dụ 6. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Lời giải 3 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số Ta có : 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + 1 1 1 1 0 a b c a b c + + - = + + a b a b 0 ab c(a b c) + + + = + + c(a b c) ab (a b). 0 abc(a b c) + + + + = + + (a + b)(b + c)(c + a) = 0 a b 0 b c 0 c a 0 ộ + = ờ ờ + = ờ ờ + = ở a b b c c a ộ =- ờ ờ =- ờ ờ =- ở đpcm. Từ đó suy ra : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 1 1 1 a b c a ( c) c a + + = + + = - 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 a b c a ( c) c a = = + + + - + 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Ví dụ 7. Đơn giản biểu thức : 3 3 3 4 2 2 5 1 1 1 3 1 1 6 1 1 A (a b) a b (a b) a b (a b) a b ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = + + + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ + + + . Lời giải Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a 2 + b 2 = (a + b) 2 2ab = 2 S 2P- a 3 + b 3 = (a + b) 3 3ab(a + b) = 3 S 3SP- . Do đó : 1 1 a b S ; a b ab P + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a b S 2P ; a b a b P + - + = = 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 a b S 3SP . a b a b P + - + = = Ta có : A = 3 2 3 3 4 2 5 1 S 3SP 3 S 2P 6 S . . . S P S P S P - - + + = 2 2 4 2 2 2 2 4 2 3 4 2 4 4 3 4 3 S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S S P S P S P S P S P - - - + - + + + = = Hay A = 3 3 3 1 1 . P a b = Ví dụ 8. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x : (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x) (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) - - - - - - = + + - - - - - - . Lời giải Cách 1 2 2 2 x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca S(x) (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) - + + - + + - + + = + + - - - - - - = Ax 2 Bx + C 4 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số với : 1 1 1 A (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + - - - - - - ; a b b c c a B (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) + + + = + + - - - - - - ; ab bc ca C (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + - - - - - - Ta có : b a c b a c A 0 (a b)(b c)(c a) - + - + - = = - - - ; (a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c) B (a b)(b c)(c a) + - + + - + + - = - - - 2 2 2 2 2 2 b a c a a c 0 (a b)(b c)(c a) - + - + - = = - - - ; ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c) C (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) - + - + - - + - + - + - = = - - - - - - (a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) 1 (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) - - + - - - - - = = = - - - - - - . Vậy S(x) = 1x (đpcm). Cách 2 Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm. Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x). Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x. Suy ra S(x) = 1 x đpcm. Ví dụ 9. Cho 1 x 3 x + = . Tính giá trị của các biểu thức sau : a) 2 2 1 A x x = + ; b) 3 3 1 B x x = + ; c) 4 4 1 C x x = + ; d) 5 5 1 D x x = + . Lời giải a) 2 2 2 1 1 A x x 2 9 2 7 x x ổ ử ữ ỗ = + = + - = - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ; b) 3 3 3 1 1 1 B x x 3 x 27 9 18 x x x ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + = + - + = - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ; c) 2 4 2 4 2 1 1 C x x 2 49 2 47 x x ổ ử ữ ỗ = + = + - = - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ; d) 2 3 5 2 3 5 1 1 1 1 A.B x x x x D 3 x x x x ổ ửổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + + = + + + = + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứố ứ D = 7.18 3 = 123. Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho : 2 2 2 ax b c (x 1)(x 1) x 1 x 1 + = + + - + - . Lời giải 5 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số Ta có : 2 2 2 2 2 ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b) x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) + + - + + + + - + - + = = + - + - + - Đồng nhất phân thức trên với phân thức 2 2 (x 1)(x 1)+ - , ta đợc : a c 0 a 1 b a 0 b 1 c b 2 c 1 ỡ ỡ + = =- ù ù ù ù ù ù ù ù - = =- ớ ớ ù ù ù ù - = = ù ù ù ù ợ ợ . Vậy 2 2 2 x 1 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 - - = + + - + - . Bài tập 16. Cho phân thức 3 2 3 2 n 2n 1 P n 2n 2n 1 + - = + + + . a) Rút gọn P ; b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm đợc trong câu a) tại n luôn là một phân số tối giản. 17. a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n : 12n 1 ; 30n 2 + + 3 4 2 n 2n ; n 3n 1 + + + 2 2n 1 2n 1 + - . b) Chứng minh rằng phân số 7 2 8 n n 1 n n 1 + + + + không tối giản với mọi số nguyên dơng n. c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho 2 n 5 n 1 + + là phân số cha tối giản. 18. Tính các tổng sau : a) 2 2 2 3 5 2n 1 A (1.2) (2.3) [n(n 1)] + = + + + + ; b) n 2 4 2 1 1 1 1 B 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + + + + ; c) 1 1 1 1 C 1.4 4.7 7.10 (3n 1)(3n 4) = + + + + + ; d) 1 1 1 D 1.3 2.4 n.(n 2) = + + + + ; e) 1 1 1 1 E 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1) = + + + + - + ; f) 2 n 1.2! 2.3! n.(n 1)! F 2 2 2 + = + + + (k! = 1.2.3k) 19. Tính các tích sau : 6 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số a) 2 2 2 2 1 1 1 1 G 1 1 1 1 2 3 4 n ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ = - - - - ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ ; b) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 5 (2n 1) H . . . . 2 1 4 1 6 1 (2n) 1 - = - - - - ; c) 1 1 1 I 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 n ổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = - - - ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứ ố ứ + + + + + + ; d) 1 1 1 1 K 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 n(n 2) ổ ử ổ ửổ ửổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ = + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ố ứố ứố ứ ố + ứ . 20. Tính : 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 3 5 2007 4 4 4 4 L 1 1 1 1 2 4 6 2008 4 4 4 4 ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ = ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ . 21. Tính 1999 1999 1999 1999 1 1 1 1 1 2 3 1000 M 1000 1000 1000 1000 1 1 1 1 1 2 3 1999 ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ = ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ 22. Thực hiện các phép tính : a) 1 1 1 A (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + - - - - - - ; b) 1 1 1 B a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b) = + + - - - - - - ; c) 2 2 2 a b c C (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = + + - - - - - - ; d) 3 3 3 a b c C (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = + + - - - - - - 23. Rút gọn : 2 2 2 2 2 2 (a b c )(a b c) (bc ca ab) A (a b c) (ab bc ca) + + + + + + + = + + - + + . 24. Rút gọn : 3 3 4 2 2 4 3 3 4 2 2 4 (a 2b) (a 2b) 3a 7a b 3b B : (2a b) (2a b) 4a 7a b 3b + - - + + = + - - + + . 25. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau với x = 1,76 và y = 0,12 : 2 2 4 2 2 2 2 2 2 x y x y y 2 4x 4x y y 4 x 1 : : 2y x x xy 2y x y xy x 2x y 2 ộ ự ổ ử - + + - + + - + ữ ỗ ờ ỳ ữ - ỗ ữ ờ ỳ ỗ ữ ỗ - - - + + + + + ố ứ ở ỷ . 7 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số (Trích đề thi HSG toàn quốc 1963) 26. Rút gọn : 3 2 2 2 2 2 3 a 1 2(a 1) 4(a 1) a 36a 144a 36a 144 a 2a 1 a 4 a a 2 a 3a 2 a 27 ộ ự - - + - - + ờ ỳ + - + ờ ỳ - + - + - - + + ở ỷ . 27. Thực hiện các phép tính : a) 2 2 2 x yz y zx z xy y z z x x y 1 1 1 x y z - - - + + + + + + + + ; b) 2 2 2 a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b) a b a c b c b a c a c b (b c) (c a) (a b) 1 1 1 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) + + + + + + + + + - - - - - - + + - - - + + + - - - - - - ; c) 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 a b 2c b c 2a c a 2b (a b) (c a)(c b) (b c) (a b)(a c) (c a) (b c)(b a) a b a ab b b c b bc c c a c ca a + - + - + - + + - - - - - - - - - + + + - + + - + + - + + . 28. a) Biết a 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức : 3a 2b 3b a P 2a 5 b 5 - - = + + - ; b) Biết 2a b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức : 5a b 3b 3a Q 3a 7 2b 7 - - = - + - ; c) Biết 10a 2 3b 2 + 5ab = 0 và 9a 2 b 2 0, hãy tính : 2a b 5b a R 3a b 3a b - - = + - + . 29. Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau : a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 A a b c b c a c a b = + + + - + - + - ; b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c B a b c b c a c a b = + + - - - - - - ; c) a b b c c a c a b C c a b a b b c c a ổ ửổ ử - - - ữ ữ ỗ ỗ = + + + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứố ứ - - - . 30. Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức : a b c 1 1 1 b c a ổ ửổ ửổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ . 31. Cho 3 số a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn điều kiện a b b c c a c a b + + + = = . Tính giá trị của biểu thức : b c a 1 1 1 a b c ổ ửổ ửổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ . 32. a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng : 8 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c ổ ử ữ ỗ + + = + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . b) Tính D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 2007 2008 2009 = + + + + + + + + + + + + 33. Đơn giản các biểu thức sau : a) 3 4 4 4 3 3 5 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A (a b) a b (a b) a b (a b) a b ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = - + - + - ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ + + + . b) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a(2b a ) b(2a b ) B a a b a b ộ ự ộ ự - - ờ ỳ ờ ỳ = + - ờ ỳ ờ ỳ + + ở ỷ ở ỷ . 34. a) Chứng minh rằng nếu abc = 1 thì 1 1 1 1 1 a ab 1 b bc 1 c ca + + = + + + + + + . b) Cho abcd = 1, hãy tính : a b c d 1 a ab abc 1 b bc bcd 1 c cd cda 1 d da dab + + + + + + + + + + + + + + + 35. Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2 a b c + + = và a + b + c = abc thì 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = . (Trích đề thi HSG toàn quốc 1970) 36. Cho x y z 0 a b c + + = và a b c 2 x y z + + = . Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2 a b c x y z + + . 37. Cho a b c a b c b c a c a b + + = + + . CMR tồn tại hai trong ba số a, b, c bằng nhau. 38. Rút gọn biểu thức : 2 2 2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) a b b c c a (a b)(b c)(c a) - + - + - + + + - - - - - - . 39. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hệ thức : a b c b c a c a b 0. ab bc ca + - + - + - - - = Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0. 40. Rút gọn biểu thức : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 B (ab bc ca) abc a b c a b c ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + + + + - + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . 41. Cho a, b, c khác nhau đôi một và 1 1 1 0. a b c + + = Rút gọn các biểu thức : a) 2 2 2 1 1 1 M a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + ; b) 2 2 2 bc ca ab N a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + ; 9 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số c) 2 2 2 2 2 2 a b c P a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + 42. Xác định a, b, c sao cho : a) 2 2 1 a bx c x(x 1) x x 1 + = + + + ; b) 2 1 a b x 4 x 2 x 2 = + - - + ; c) 2 2 1 a b c (x 1) (x 2) x 1 (x 1) x 2 = + + + + + + + . 43. Rút gọn biểu thức : 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 7 1 11 1 2007 1 A . . . 5 1 9 1 13 1 2009 1 - - - - = - - - - 44. Rút gọn biểu thức : n 1 n 2 n 3 2 1 1 1 1 : 1 2 3 n 2 n 1 2 3 n ổ ử ổ ử - - - ữ ữ ỗ ỗ + + + + + + + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ - - . 45. Rút gọn biểu thức : 1 1 1 1 A 1(2n 1) 3(2n 3) (2n 3).3 (2n 1).1 1 1 1 B 1 3 5 2n 1 + + + + - - - - = + + + + - . 46. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hai điều kiện abc = 1 và 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1. 47. Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2008 và 1 1 1 1 x y z 2008 + + = . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2008. 48. Giả sử a, b, c là ba số khác nhau thỏa mãn a b c 0 b c c a a b + + = - - - . Chứng minh rằng : 2 2 2 a b c 0 (b c) (c a) (a b) + + = - - - . 49. Cho a b c 1 b c c a a b + + = + + + . Chứng minh rằng 2 2 2 a b c 0 b c c a a b + + = + + + . 50. Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và a b c 0 x y z + + = . Chứng minh rằng ax 2 + by 2 + cz 2 = 0. 51. Cho x 2 4x + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức A = x 5 + 5 1 x và B = x 7 + 7 1 x . 52. Cho 2 x 2008. x x 1 = - + Tính 2 4 2 x M x x 1 = + + và 2 4 2 x N x x 1 = - + . 53. Cho dãy số a 1 , a 2 , a 3 , sao cho : 1 2 1 a 1 a a 1 - = + ; 2 3 2 a 1 a a 1 - = + ; ; n 1 n n 1 a 1 a a 1 - - - = + . 10 [...].. .Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số a) Chứng minh rằng a1 = a5 b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 1 08 11 . : a) 2 2 2 1 1 1 M a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + ; b) 2 2 2 bc ca ab N a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + ; 9 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số c) 2 2 2 2 2 2 a b c P a 2bc b 2ca c 2ab =. ra : 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 1 1 1 1 1 1 1 a b c a ( c) c a + + = + + = - 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 1 1 1 a b c a ( c) c a = = + + + - + 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 1. ứ . b) Tính D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 20 07 20 08 20 09 = + + + + + + + + + + + + 33. Đơn giản các biểu thức sau : a) 3 4 4 4 3 3 5 2 2 1 1 1 1 1 1 1