§Ị tun sinh míi π /4 ∫ − 2sin x dx + sin x x ∫ + x − dx ∫ ln( x − x)dx ∫ cos x + 4sin x dx 10 dx ∫3 e x + 2e − x − ln π /2 13 ∫ cos x(sin 12 ∫ 1+ x 14 17 ∫x x − 2x dx 16 19 − x dx 20 x π /3 π 25 tgx cos x + cos x x sin x ∫ + cos x dx dx π /4 27 ∫ xtg x dx 29 ∫ ( x + − x − )dx −3 31 ∫ −1 ∫ cos xdx ∫x ln x dx ∫x − x + dx ∫ x5 + 2x3 2dx x+5 +4 Nguyễn Duy Hưng_0932322982 x2 +1 22 ∫ ∫ sin x sin x sin 3x dx ∫ ( x + 1)e dx π /4 dx 3 23 2x x3 +1 ∫ x ln xdx 18 1 + x dx 21 ∫ ( x − 2)e e ∫x + cos x) cos x dx e 3 sin x π /2 x + cos x) dx 15 ∫ (e π /2 ln 11 sin x + sin x dx + 3cos x ∫ sin x ∫ π /2 sin x cos x dx + cos x π /2 ∫ π /2 + ln x ln x dx x − x dx π /2 e 2 ∫x dx  x −1  ∫1 x +  dx  24 −  dx ∫ 1+ ex 26 1+ x ∫ x dx 28 x 2e x ∫ ( x + 2) dx 30 32 ∫ (4 x − x − 1)e x dx 33 ∫ dx x +1 35 x4 34 36 37 39 ∫ 43 1 + x x dx 42 ∫ sin 2004 x dx sin 2004 x + cos 2004 x 44 46 48 ∫ 50 51 ∫x −1 7/3 53 ∫ ∫ 55 sin xdx x sin x + cos x cos 59 x + 2x + 4x + dx ∫ x2 + 3x sin x dx ∫ π /3 ∫ x ln x dx ∫e − 2sin x dx + sin x ln x dx 52 x π /2 cos x ∫ sin x + dx 54 56 ∫ 60 xdx ∫ (x + 1) ∫ 4sin x dx + cos x 64 π /2 62 x cos x dx e Nguyễn Duy Hưng_0932322982 58 dx ∫ x − ln x 61 π /4 dx ∫ (sin x + cos x) cos x 63 ∫ x sin xdx sin x cos x π2 /4 e 57 −1 ∫ x +1 dx 3x + x−3 dx x +1 + x + ∫3 e dx + 2x + π /2 π /4 x + 1x dx ∫ 4sin x dx + cos x π /2 ∫ x − x dx 49 3 ∫ x x + dx 47 xdx ∫ (x + 1) π /2 45 + x dx ln(1 + x) dx x2 38 π /2 sin x ∫ + 3cos x dx 40 sin x dx cos x + ∫ π /2 ∫x −1 ∫ 41 dx ∫ 2x + 5x + π /2 − x dx xdx 2+ x + 2− x ∫ ∫x ∫ x( e 2x ) + x − dx ln ∫x e 65 dx 66 π /4 67 x2 ∫ x (1 + tgx tg )sin xdx 73 ∫ x ln( x + 5)dx π /4 75 ∫ ( x − 1) cos x dx ln 77 e2x ∫ ex + π /2 79 cos x dx − 5sin x − cos x ∫ 81 ∫ −1 83 ∫( 1 85 x−3 dx x +1 + x + 3 e dx x3 + ) ln x dx x ∫x 68 70 +1 89 82 84 86 91 e2x e x −1 ln e 90 92 94 ∫x − x dx + x dx 2x 96 ∫ Nguyễn Duy Hưng_0932322982 (e x + 1) ∫ + cos x sin x cos x dx ∫x − x dx ∫x e x2 dx dx ∫ x+ x ∫ x sin x dx π /2 ln x ∫ x ln x + dx 97 e x dx π2 e + 1.e dx x ln e3 3 ln 95 ∫x dx x +1 ∫ x ln x.dx 93 ∫ x ∫ x + dx n/2 88 ∫ + cos x dx ln ∫x dx −1 )dx sin x − cos x dx + sin x 72 π / π /2 cos x ∫ (sin x − cos x + 3)3 dx 74 π /4 cos x ∫ + 2sin x dx 76 π /2 4sin x ∫ + cos x dx 78 π /4 x ∫ cos2 x dx 80 π /4 ∫ + x + 1)dx 2x dx π /2 87 ∫ x ln(1 + x ln x ∫ x (e ( x + 1) 3 0 ln(1 + x) ∫ x dx 69 1 xdx ∫ 1+ x2 71 ∫ x2 + x 98 ∫ (2 x − 1) cos x dx π /2 dx ∫ 2x + + 4x + 99 10 dx ∫ x − x −1 101 100 ∫ x ln 103 e 102 ∫x − ln x dx + ln x π e ∫ ( x + 1) sin x dx xdx (§H D 07) π π  sin  x − ÷dx 4  ∫ sin x + ( + sin x + cos x ) 105 (§H B08) 107 I = ∫ (cos x − 1) cos x dx (Khối A 2009) Nguyễn Duy Hưng_0932322982 104 tg x ∫ cos x dx ( §H A08 ) ln x dx x3 106 ∫ ( §H D08 ) BÀI TẬP SỐ PHỨC PHẦN I VẤN ĐỀ PHẦN THỰC, ẢO , BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Xác định phần thực , phần ảo số phức sau : a) z = − + 5i b) z = − i c) z = d) z = Bieåu diễn số phức sau mặt phẳng phức a) z = + 2i b) z = − 2i c) z = d) z = − + 4i ÑS : a) A(3;2) b) B(0; − 2) c) M(3;0) d) N( − 2; 4) Cho caùc số phức z1 = + 2i,z = + i,z = − 3i a) Biểu diễn số mặt phẳng phức b) Viết số phức liên hợp số phức biểu diễn chúng mặt phẳ ng phức c) Viết số đối số phức biểu diễn chúng mặt phẳng phức Giải a) K(3;2) , M(2;1) , N(1; − 3) b) z1 = + 2i có số phức liên hợp z1= − 2i , biểu diễn điểm K(3; −2) z = + i có số phức liên hợp z2 = − i , biểu diễn điểm M(2; −1) z3 = − 3i có số phức liên hợp z3 = 1+3i , biểu diễn điểm N(1;3) c) z1 = + 2i có số đối − − 2i , biểu diễn điểm K '(−3; −2) z2 = + i có số đối − − i , biểu diễ n điểm M '(−3; −1) z3 = − 3i có số đối − + 3i , biểu diễn ñieåm N '( −1; +3) Cho z = (2a − 4) + (3b + 6)i với a,b ∈ ¡ Tìm điều kiện a b để : a) z số thực b) z số aûo → a) b = − b) a = Tìm số thực a,b cho z = z ′ với trường hợp sau : a) z = ( − 3a − 6) + i , z′ = 12 + (2b − 9)i b) z = (2a − 5) − (3b − 1)i , z′ = (2b − 1) + (3a − 5)i → a = − 6, b = → a = 2, b = VẤN ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC Tính z + z′ , z − z′, z z′ với : a) z = 3+2i , z′ = + 3i HD : a) z + z′= 7+5i , z − z′= − − i , z z′= + 17i b) z = 2-3i , z′= + 4i b) z + z′= 7+ i , z − z′= − − 7i, z z′= 22 − 7i Tìm nghịch đảo số phức sau : a) z = + 4i b) z = − 2i c) z = − + 3i z 1 −2 HD : z = a + bi → z.z = |z|2 = a + b2 → = a) = − i b) = + i c) = − i z a2 + b z 5 z z 5 13 13 Thực phép tính sau : −5 + 6i − 2i A = (1 − i)2 B = (2 + 4i)2 D = (1+ i)3 + 13i E= F= G= (1 + i)(4 − 3i) + 3i − 6i Nguyễn Duy Hưng_0932322982 1 3 − 2i − 4i I=1/( − i) J = K= − 5i 2 i 4−i 39 11 29 HD : A = −2i, B = −12 + 16i, D = −2 + 15i, E = − i, F = − + i,G = + i , H= + i 50 50 25 25 25 50 29 29 H= I= + i J = − − 3i 2 K= 16 13 − i 17 17 Xaùc định phần thực phần ảo số phức sau : a) i + (2 − 4i) − (3 − 5i) b) ( + 5i)2 c) (2 + 3i)(2 − 3i) Ñs : a) − − 2i b) − 23+10 2i c) 20 d) + 7i d) i(2 − i)(3+i) Cho z = − + i 2 Hãy tính : , z,z ,(z)3,1 + z + z z 1 HD : Vì |z| = Ta coù : = z = − − i = z ,(z)3 = ,1 + z + z = z 2 Giải phương trình sau tập số phức : với ẩn z ∈ £ a) iz + − i = b) (2 + 3i)z = z − c) (2 − i)z − = d) (iz − 1)(z + 3i)(z − 2+3i) = e) z + = VẤN ĐỀ CĂN BẶC HAI VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC Tìm bậc hai số phức sau : a) z = b) z = − c) z = − + 12i e) z = 1+ 3i f) z = 17+ 20 2i g) z = − + 6i d) z = i h) z = 46 − 14 3i ĐS : a) Gọi w = a+bi bậc hai số phức z = , tức w2 = → a = ±1, b = → có ± b) ± 3i c) + 3i, −2 − 3i d) ± (1 + i) e) + 3i, − − 3i f) + 2i , − − 2i g) +3i, − − 3i h) − 3i , − + 3i Giải phương trình bậc hai sau tập số phức : a) z = z + b) z + 2z + = c) z − z + = d) z2 + (−2 + i)z − 2i = 1± ± 3i HD : a) b) − ± 2i c) d) 2; − i 2 Nguyễn Duy Hưng_0932322982 PHẦN II BÀI TẬP SỐ PHỨC THAM KHẢO Thực Các phép tính 1+ i 1− i 2+i 3 + − a b Đáp số : 1− i 1+ i i 2−i Giải phương trình : a (3 + 4i)z = (1 + 2i)(4 + i) b 2iz + = 5z + 4i 42 19 23 14 + i − i Đáp số: a z = b z = 25 25 29 29 a b − 14 + 3 − i 7 c 3z(2 – i) + = 2iz(1 + i) + 3i 23 19 c z = − − i 89 89 Tính : + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20 Hướng dẫn: Tính tổng cấp số nhân có cơng bội + i Đáp số: -210 + (210 + 1)i Tìm x y để: a (x + 2y)2 = yi b (x – 2i)2 = 3x + yi  x = −2  x =  x = −1  x = ; ; Đáp số: a  b   y = −8  y =  y =  y = −16 Tính: a (1 + i)2 b (1 + i)3 c (1 + i)4 d (1 + i)5 Đáp số: a 2i b -2 + 2i c -4 d -4 – 4i Tính bậc hai số phức sau: a −1 − 2i b 16 – 30i c + 6i d – i  1+ −1 +  ÷ −i Đáp số:a ±(1 + i 2) b ±(5 − 3i) c ±(3 + i) d ±   ÷ 2   Giải phương trình: a 2z2 + 3z + = b) z + z + = c) z − z + 20 = d) −3 z + z − = e z4 – 3z2 + = 31 ĐS:a) − ± i 4 f) z − z − 12 = g) z2 + (3 – 2i )z + (5 – 5i) =     e) ±  g) -1 + 3i, -1 – i  + i ÷; ±  − i ÷ ÷  ÷     h z2 – (2+ i)z+ (-1 + 7i) = h – i, -1 + 2i Gọi α, β hai nghiệm phương trình: z2 + (2 – i)z + + 5i = Không giải phương trình, tính: α β a α + β2 b α + β4 c + d α 2β + β4α β α 79 27 Đáp số: a -3 - 14i b -55 + 24i c − + i d -63 + 99i 34 34 Giải phương trình : a z3 – = b z3 + = c z4 – = d z4 + =   2   3 3 + i ÷ ±  − i÷ ĐS: a) 1; − + i; − − i b) - 1; + i; − i c) 1; i; -1; -I d) ±    2 ÷ ÷ 2 2 2 2     Nguyễn Duy Hưng_0932322982 PHẦN III MỘT SỐ ĐỀ THI NĂM TRƯỚC Câu : ( Đề TN 2008, phân ban lần I ) Tính giá trị biểu thức : P = (1 + 3i ) + (1 − 3i) Câu : ( Đề TN 2006, phân ban ) Giải phương trình sau tập số phức : x − x + = Câu : ( Đề TN 2007, phân ban L2) Giải phương trình sau tập số phức : x − x + 25 = Câu ( Đề TN 2008, phân ban L2) Giải phương trình sau tập số phức : x − x + = PHẦN IV MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ Câu Tìm môđun số phức z = + 4i + (1 − i ) 1− i Câu Cho số phức z = Tính giá trị z 2010 1+ i Câu Cho số phức z = + i Tính z + ( z )2 Câu Tính giá trị biểu thức Q = ( + i )2 +(2- i )2 Câu Cho số phức: z = ( − 2i ) ( + i ) Tính giá trị biểu thức A = z.z Câu Thực phép tính sau: a i (3 − i )(3 + i ) b + 3i + (5 + i )(6 − i ) Câu Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:(2+i)3- (3-i)3 Câu Giải phương trình sau tập hợp số phức: z + z + 17 = 2+i −1 + 3i z= Câu Giải phương trình : 1− i 2+i Câu Giải phương trình sau tập hợp số phức: x − x + 10 = Câu 10 Giải phương trình x + = tập số phức Nguyễn Duy Hưng_0932322982 Câu 11 Giải phương trình x + 3x + = tập số phức VẤN ĐỀ SỐ PHỨC,BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC A Kiến thức cần nhớ: o Số phức có dạng z = a +bi với a : phần thực ; b: phần ảo (a ,b ∈R i2 = -1) o Số i: đơn vị ảo ; z = bi gọi số ảo( số ảo ) y a = a' o a + bi = a ' + b ' i ⇔   b = b' M b o Số phức z = a +bi biểu diễn điểm M(a ; b) mp tọa độ uuuu r o Độ dài véctơ OM mô đun số phức z , uuuu r 2 tức z = OM = a + bi = a + b o Số phức liên hợp z = a + bi số o Chú ý : • z= z O z = a − bi a • z= z B Bài tập : Câu : Tìm phần thực phần ảo số phức z , biết : a) z = + π i b) z = − i c) z = 2 d) z = -7i d) z = i + e) z = + − i.2 Câu : Tìm số thực x, y thõa mãn a) (3x-2 )+( 2y+1)i = (x+1)-(y-5)i b) ( x + y ) + ( y − x ) i = ( x − y + 3) + ( x + x + 1) i Câu : Tính z , biết a) z = −2 + 3i b) z = − 3i c) z = −5 d ) z = i Câu : Tìm số phức z , biết a) |z| = z số ảo b) |z| = phần thực = lần phần ảo Câu : Tìm z biết z = − i b)z = − + i c)z = d )z = 7i Câu : Cho số phức + 3i ; 1+2i ; 2-i a) Biểu diễn số mặt phẳng b) Viết số phức liên hợp số Câu : Trên măt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đk a) Phần thực = -2 b) Phần ảo = c) Phần thực thuộc khoảng ( -2;2) d) Phần ảo thuộc đoạn [1 ; 3] e) Phần thực phần ảo thuộc đoạn [-2;2] f) |z| = g) |z| ≤ Câu : Hãy biểu diễn số phức z mp tọa độ , biết | z | ≤ phần ảo z thuộc [-1/2;1/2] VẤN ĐỀ PHÉP CỘNG ,TRỪ VÀ PHÉP NHÂN ,CHIA SỐ PHỨC A Kiến thức cần nhớ: * ( a + bi ) + ( c + di) = (a + c ) + (b + d)i bc)i * ( a + bi )( c + di) = (a c - bd ) + (ad + * ( a + bi ) - ( c + di) = (a - c ) + (b - d)i * a + bi ( a + bi ) ( c − di ) = c + di ( c + di ) ( c − di ) Chú ý : z = a + bi z + z = 2a z z = z = a + b B Bài tập : Câu : Thực phép tính : a) ( − 5i ) + ( + 4i ) d) ( − 3i ) − ( − 4i ) e) -2i + 6i d) ( − 5i ) 4i e) ( − 4i ) Câu 2: Thực phép tính : a) ( − 5i ) ( + 4i ) Nguyễn Duy Hưng_0932322982 b) ( + 5i ) − ( − 7i ) c) ( −2 − 3i ) + ( −1 − 7i ) f) – ( 3+2i) g) 5i – 7i b) ( −1 + i ) ( + 7i ) c) ( − 5i ) f) ( − 4i ) g) i 2008 + i 2009 + i 2010 x Câu 3: Tính a) 2+i 1+ i b) − 2i 2+i c) − 3i d) − 2i i e) ( + i ) (2 − 3i) g) − 3i + − 2i + 4i + 6i ( ) 3 Câu 4: Cho z = − + i , Tính 1/z; z ; z2 ; z ; 1+ z + z2 2 −8 − 3i Câu 5: Tìm mơđun số phức z , biết a) z = b) z = −4 + i 48 ( + i ) 1− i Câu 6: Giải pt : a) iz + 2- i = b) ( + 3i)z = z – 1; c) (2-i) z - = 0; d) ( − 2i ) z + ( + 5i ) = + 3i ( e) ( + 3i ) z − ( + 5i ) = ( + 3i ) z f) ) z + ( − 3i ) = − 2i g) ( z + − i ) − ( z + − i ) + 13 = − 3i 2  iz +  iz + h)  − = i) ( z + 1) + ( z + 3) = ÷ −  z − 2i  z − 2i VẤN ĐỀ 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ :  Căn bậc hai số phức : • Số có bậc hai • Mỗi số phức khác ln có hai bậc hai đối ( khác 0) ( Đặc biệt ,số thực a > có hai bậc ± (vì ± a ) =a) số thực a< có hai bậc ± i  Cách giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = ; a, b, c ∈ R a ≠ ? tập số phức Tính ∆ = b2 – 4ac , xét trường hợp sau: + Δ = : pt có nghiệm kép x1 = x2 = −b / 2a + Δ > : pt có nghiệm phân biệt x1,2 = + Δ< 0: pt khơng có nghiệm thực.Nhưng có nghiệm số phức phân biệt x1,2 = B : Bài Tập : Câu 1: Nghiệm pt x + = tập hợp số phức : A/ ±(1-i) B/ ±(1+i) C/ ±2i D/ A,B Câu 2:Tìm bậc số :-2,-3,-5,-6,-8,-9,-10,-12 Câu Giải pt sau tập hợp số phức a) x² + = b) -x² + 2x – = c) x4 – 3x2 – = d) x4 – = Câu Giải pt sau tập số phức: a/ z2 – z + = b / 3z -2z = c / 4z -z+3=0 d / z +2z-3= 0 e/ z4 – = f/ z4 – z2 – = Câu Tìm số phức biết tổng chúng tích chúng Các đề thi tốt nghiệp : Câu Giải phương trình (S) :8z − 4z + = tập số phức (TN năm 2009_Chuẩn) Câu Giải phương trình 2z − iz + = tập số phức (TN năm 2009_NC ) Câu Cho z = ( − 2i ) ( + i ) Tính A= z.z Câu Tìm nghiệm phức pt : z + z = − 4i Câu 10 Giải pt : a) x − − i x + 2i = b) x2 + 4x +5 = c) x3 + = ( ) Câu 11 Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z mp tọa độ thỏa mãn đk : z + z + = Nguyễn Duy Hưng_0932322982 Câu 12 Tìm nghiệm pt z = z , z số phức liên hợp z Câu 13: Tìm số phức z thỏa |z|= phần thực hai lần phần ảo Câu 14: Cho z = − + i , tính z2+z+3 2 ( Câu 15: Tính giá trị P = + i Nguyễn Duy Hưng_0932322982 ) + ( 1− i ) 2 ... c) 1; i; -1; -I d) ±    2 ÷ ÷ 2 2 2 2     Nguyễn Duy Hưng_0932322982 PHẦN III MỘT SỐ ĐỀ THI NĂM TRƯỚC Câu : ( Đề TN 2008, phân ban lần I ) Tính giá trị biểu thức : P = (1 + 3i ) + (1 −... Câu ( Đề TN 2008, phân ban L2) Giải phương trình sau tập số phức : x − x + = PHẦN IV MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ Câu Tìm mơđun số phức z = + 4i + (1 − i ) 1− i Câu Cho số phức z = Tính giá trị z 2010... z.z Câu Thực phép tính sau: a i (3 − i )(3 + i ) b + 3i + (5 + i )(6 − i ) Câu Tìm phần thực va? ? phần ảo của số phức sau:(2+i)3- (3-i)3 Câu Giải phương trình sau tập hợp số phức: z + z