SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 CHUYÊN ðỀ ÔN THI ðẠI HỌC MÔN TOÁN NGUYỄN VĂN XÁ TỔ TOÁN TR ƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 CHUYÊN ðỀ ÔN THI ðẠI HỌC MÔN TOÁN B BB BẤT ĐẲNG THỨC ẤT ĐẲNG THỨCẤT ĐẲNG THỨC ẤT ĐẲNG THỨC LỜI NÓI ðẦU ðược sự tạo ñiều kiện của lãnh ñạo Nhà trường và sự cổ vũ của ñông ñảo ñồng nghiệp, tổ Toán ñã tổ chức biên soạn tài liệu ôn thi ðại học, gồm nhiều chuyên ñề bám sát cấu trúc ñề thi do Bộ Giáo dục và ðào tạo qui ñịnh. Tài liệu này ra ñời ñóng góp vào những nỗ lực chung của toàn trường trong việc từng bước nâng cao chất lượng dạy và học. Trong quá trình biên soạn, chúng tôi vừa trao ñổi với các ñồng nghiệp trong và ngoài tổ, vừa tham khảo các tài liệu luyện thi hiện có, vừa căn cứ vào tình hình thực tế học sinh trong trường. Vì vậy, mặc dù hiện nay những tài liệu luyện thi ðại học có rất nhiều, chúng tôi vẫn hi vọng tài liệu này mang tiếng nói của riêng mình. Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC này là một phần trong bộ tài liệu nói trên. Ban ñầu chúng tôi có ý ñịnh biên soạn chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT, nhưng do thời gian không cho phép nên chúng tôi mới chỉ ñề cập ñến một số vấn ñề về bất ñẳng thức, vận dụng bất ñẳng thức ñể tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, còn các vấn ñề chung về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, cũng như ứng dụng của nó chúng tôi chưa có ñiều kiện trình bày. Tới ñây, chúng tôi sẽ cố gắng biên soạn bổ sung các nội dung ñó thành một chuyên ñề khác hoặc cũng có thể tiếp nối vào chuyên ñề này. Vì nhiều lí do mà chất lượng của tài liệu này còn nhiều ñiều ñáng bàn. Chúng tôi rất mong các ñồng nghiệp, các bạn học sinh chỉ giúp những chỗ sai sót hoặc chưa hợp lí ñể chúng tôi kịp thời khắc phục. Các ý kiến xin vui lòng gửi về email: toan.thptyenphong2@gmail.com. Chúng tôi bày tỏ sự kính trọng và biết ơn tới ñồng chí Hiệu trưởng và ñồng chí Tổ trưởng vì những giúp ñỡ của các ñồng chí ñể tài liệu này ñược hoàn thành. Chúng tôi cũng chân thành cảm ơn các ñồng nghiệp, các học sinh ñã quan tâm tới tài liệu này. TÀI LIỆU THAM KHẢO [01] Bộ Giáo dục và ðào tạo – Bộ sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên THPT môn Toán (cơ bản và nâng cao) – NXB GDVN, 2010. [02] Bộ Giáo dục và ðào tạo – Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán 10, 11, 12 –NXB GDVN, 2010. [03] Nguyễn An Ninh (cb) – Cấu trúc ñề thi môn Toán, Vật Lí, Hoá Học, Sinh Học năm 2010 – NXB GDVN, 2010. [04] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán ðại số và Lượng giác 11 – NXB GDVN, 2009. [05] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán Giải tích 11 – NXB GDVN, 2009. [06] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán Hình học 11 – NXB GDVN, 2009. [07] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán Hình học 10 – NXB GDVN, 2009. [08] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán ðại số 10 – NXB GDVN, 2009. [09] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán Lượng giác 10 – NXB GDVN, 2009. [10] Trần Phước Chương, ðỗ Thanh Sơn, Nguyễn Vũ Thanh – Rèn luyện kĩ năng giải các dạng bài tập ðại số 10 nâng cao – NXB GDVN, 2007. [11] Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà – Các dạng toán về Bất ñẳng thức, Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất – NXB ðà Nẵng, 1998. [12] Trần Tuấn ðiệp, Nguyễn Phú Trường, Ngô Long Hậu – Giới thiệu ñề thi tuyển sinh vào ðại học, Cao ñẳng trong toàn quốc môn Toán – NXB Hà Nội, 2010. [13] Trần Văn Hạo (cb) – Chuyên ñề luyện thi vào ðại học: Bất ñẳng thức, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất – NXB GD, 2001. MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ðẦU 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 MỤC LỤC 3 1. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 4 1.1. ðịnh nghĩa ………………………………………………………………………………… 4 1.2. Một số tính chất …………………………………………………………………………… 4 1.3. Bất ñẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt ñối …………………………………………………… 4 1.4. Bất ñẳng thức Côsi …… ………………………………………………………………………… 5 1.5. Bất ñẳng thức lượng giác ………………………………………………………………………. 5 1.6. Bất ñẳng thức hình học …………………………………………………………………………. 6 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC 7 2.1. Phương pháp biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả; phương pháp làm trội ………………… 7 2.2. Phương pháp phản chứng ………………………………………………………………………. 11 2.3. Phương pháp qui nạp toán học …………………………………………………………………. 11 2.4. Phương pháp vận dụng các bất ñẳng thức ñã biết ……………………………………………… 14 2.5. Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác …………………………………………………… 17 2.6. Phương pháp vận dụng kiến thức hình học……………………………………………………… 19 2.7. Phương pháp vận dụng kiến thức hàm số……………………………………………………… 20 3. VẬN DỤNG BẤT ðẲNG THỨC ðỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 31 3.1. Nhắc lại ñịnh nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ……………………………………………. 31 3.2. Một số ví dụ vận dụng bất ñẳng thức ñể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…………………. 31 4. BÀI T ẬP THAM KHẢO 34 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 4 1. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 1.1 ðịnh nghĩa Cho hai số thực a và b. Ta nói “a lớn hơn b” và viết “a > b” (hoặc viết “b < a”) nếu a – b là số dương (hay b – a là số âm), lúc ñó ta cũng nói “b nhỏ hơn a”. Ta nói “a lớn hơn hoặc bằng b” và viết “a ≥ b” (hoặc viết “b ≤ a”) nếu a – b là số không âm (hay b – a là số không dương), lúc ñó ta cũng nói “b nhỏ hơn hoặc bằng a”. Như vậy: a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0. > ⇔ − > < ⇔ − < ≥ ⇔ − ≥ ≤ ⇔ − ≤ Các mệnh ñề có dạng “a > b” hoặc “a < b” hoặc “a ≥ b” hoặc “a ≤ b” ñược gọi là bất ñẳng thức. Trong ñó, khi cần thiết, hai bất ñẳng thức ñầu tiên ñược gọi là bất ñẳng thức nghiêm ngặt, và hai bất ñẳng thức sau gọi là bất ñẳng thức không ngặt. Nếu không nói gì thêm, khi ñề cập ñến bất ñẳng thức thì ta hiểu ñó là các mệnh ñề ñúng. Bài toán chứng minh bất ñẳng thức là bài toán chứng minh bất ñẳng thức ñã cho là mệnh ñề ñúng. 1.2. Một số tính chất Chúng ta ñề cập tới ở ñây một số tính chất thường gặp của bất ñẳng thức. 1) a b a c b c >  ⇒ >  >  (tính chất bắc cầu). 2) a b a c b c (a b c a c b)< ⇔ + < + < + ⇔ − < (cộng hai vế bất ñẳng thức với cùng một số). 3) a b a c b d c d <  ⇒ + < +  <  (cộng vế với vế hai bất ñẳng thức cùng chiều). 4) a b a b a.c b.c; a.c b.c c 0 c 0 < <   ⇒ < ⇒ >   > <   (nhân hai vế của bất ñẳng thức với một số khác 0). 5) 0 a b ac bd 0 c d ≤ <  ⇒ <  ≤ <  (nhân vế với vế hai bất ñẳng thức cùng chiều có các vế không âm). 6) 0 a b 1 1 a b 0 a b < <  ⇒ >  < <  (nghịch ñảo hai vế (cùng dấu) bất ñẳng thức). 7) Nếu n ∈ℕ thì 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 a b a b a b. + + + + < ⇔ < ⇔ < N ế u n *∈ℕ và 0 a b≤ < thì n n a b< và n n a b.< 8) N ế u a > 1 thì u v a a u v.< ⇔ < N ế u 0 < a < 1 thì u v a a u v.< ⇔ > 9) N ế u 0, a 0, b 0α > > > thì a b a b. α α > ⇔ > N ế u 0, a 0, b 0α < > > thì a b a b. α α > ⇔ < 10) a b a b, a,b 0.+ ≥ + ∀ ≥ D ấ u “=” x ả y ra khi a.b = 0. . Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 5 5 11) 2n x 0, x , n *. ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ ℝ ℕ Ta hay sử dụng bất ñẳng thức ở dạng 2 x 0, x . ≥ ∀ ∈ ℝ 12) Nhờ công thức khai triển nhị thức Niu−tơn, với x 0,n *, ≥ ∈ ℕ ta có n n (1 x) 1 nx x 1 nx, + = + + + ≥ + bất ñẳng thức n (1 x) 1 nx + ≥ + ñược gọi là bất ñẳng thức Béc−nu−li. Từ bất ñẳng thức Béc−nu−li hoặc nhờ bất ñẳng thức Côsi ta có n 1 na 1 a, n ,n 1, a 0. + < + ∀ ∈ > ∀ > ℕ 13) Nếu a, b là các số nguyên và a < b thì a 1 b. + ≤ 1.3. Bất ñẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt ñối 1) |a| ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a = 0. 2) |a| + a ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a ≤ 0. 2) | a | | b | | a b | || a | | b ||. + ≥ + ≥ − | a | | b| |a b| a.b 0; || a | | b|| | a b| a.b 0. + = + ⇔ ≥ − = + ⇔ ≤ 3) Nếu b ≥ 0 thì a b | a | b b a b; | a | b . a b ≥  ≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥ ⇔  ≤ −  1.4. Bất ñẳng thức Côsi 1) Bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm a, b: a b ab. 2 + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a = b. 2) Bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm a, b, c: 3 a b c abc. 3 + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. 3) Bất ñẳng thức Côsi cho n số không âm a 1 , a 2 , …, a n : 1 2 n n 1 2 n a a a a a a . n + + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a 1 = a 2 = …= a n . 4) Hệ quả: Với n số dương a 1 , a 2 , …, a n ta có 2 1 2 n 1 2 n 1 1 1 (a a a )( ) n . a a a + + + + + + ≥ D ấ u “=” x ả y ra khi a 1 = a 2 = …= a n . 5) V ớ i n s ố không âm a 1 , a 2 , …, a n , kí hi ệ u 1 2 n 1 1 n a a a S ; C + + + = i j 1 i j n 2 2 n a a S ; C ≤ < ≤ = ∑ i j k 1 i j k n 3 3 n a a a S ; C ≤ < < ≤ = ∑ … ; 1 2 n n n n a a a S ; C = ( ở ñ ó k n n! C , n,k ,n k). k!.(n k)! = ∀ ∈ ≥ − ℕ Ta có dãy b ấ t ñẳ ng th ứ c 3 n 1 2 3 n S S S S , ≥ ≥ ≥ ≥ d ấ u “=” x ả y ra khi a 1 = a 2 = …= a n . M ộ t s ố tác gi ả g ọ i ñ ây là dãy b ấ t ñẳ ng th ứ c xen k ẽ Côsi. 1.5. Bất ñẳng thức lượng giác 2 2 1) a.sin x b.cosx a b , x . + ≤ + ∀ ∈ ℝ D ấ u “=” x ả y ra khi a.cosx = b.sinx. Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 6 Hệ quả: 1 sinx 1; 1 cosx 1.− ≤ ≤ − ≤ ≤ 2) tan x cot x 2, x k ,k . 2 π + ≥ ∀ ≠ ∈ℤ Dấu “=” xảy ra khi x k ,k . 4 π = ± + π ∈ℤ 1.6. Bất ñẳng thức hình học 1) Với ba ñiểm bất kì A, B, C thì AB AC BC,+ ≥ dấu “=” xảy ra khi A thuộc ñoạn BC. 2) Với mọi u, v   ta có u v u v , + ≥ +     dấu “=” xảy ra khi u, v   cùng hướng. 3) Với mọi u, v   ta có u . v u.v , ≥     dấu “=” xảy ra khi u, v   cùng phương. 4) Ba số dương a, b, c là ñộ dài ba cạnh một tam giác khi và chỉ khi tổng của hai số bất kì trong ba số ñó lớn hơn số còn lại. Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 7 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC 2.1. Phương pháp biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả; phương pháp làm trội ðể chứng minh bất ñẳng thức A > B ta có thể chứng minh A – B > 0. Ta thường vận dụng các phép biến ñổi tương ñương ñể chuyển bất ñẳng thức A – B > 0 thành bất ñẳng thức luôn ñúng hoặc giả thiết. Ta cũng có thể xuất phát từ giả thiết hoặc một mệnh ñề ñúng nào ñó, qua các phép biến ñổi hệ quả dẫn ñến bất ñẳng thức A – B > 0. Lưu ý một số sự kiện: i) 2 A 0, A .≥ ∀ ∈ℝ Dấu”=” xảy ra khi A = 0. ii) a 0, a ,≥ ∀ ∈ℝ dấu “=” xảy ra khi a = 0. iii) a a 0, a ,+ ≥ ∀ ∈ℝ dấu “=” xảy ra khi a 0.≤ iv) n n 2 2 k k i j k 1 k 1 1 i j n ( a ) a 2. a a . = = ≤ < ≤ = + ∑ ∑ ∑ v) n n k n k k n k 0 (a b) C a b . − = + = ∑ vi) n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 a b (a b)(a a b a b ab b ). − − − − − − = − + + + + + vii) 3 3 3 2 2 2 a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ca).+ + − = + + + + − − − ðể ch ứ ng minh b ấ t ñẳ ng th ứ c có d ạ ng 1 n u u+ + ≤ α ta có th ể ch ứ ng minh k k k 1 u v v , k 1,2, ,n, + ≤ − ∀ = và ch ứ ng minh 1 k 1 v v . + − ≤ α ðể ch ứ ng minh b ấ t ñẳ ng th ứ c có d ạ ng 1 2 n u .u u ≤ α ta có th ể ch ứ ng minh k k k 1 v u , k 1,2, ,n, v + ≤ ∀ = và ch ứ ng minh 1 k 1 v . v + ≤ α ðể ch ứ ng minh b ấ t ñẳ ng th ứ c có d ạ ng a + b + c ≤ x + y + z ta có th ể ch ứ ng minh a b 2z b c 2x c a 2y + ≤   + ≤   + ≤  ho ặ c 2a y z 2b z x. 2c x y ≤ +   ≤ +   ≤ +  ðể ch ứ ng minh b ấ t ñẳ ng th ứ c có d ạ ng abc xyz≤ (v ớ i a, b, c, x, y, z 0)≥ ta có th ể ch ứ ng minh 2 2 2 ab z bc x ca y  ≤   ≤   ≤   ho ặ c 2 2 2 a yz b zx. c xy  ≤   ≤   ≤    VÍ DỤ 1. 1) Ch ứ ng minh r ằ ng 8 5 2 1 a a a a 0 (1), a . 3 − + − + > ∀ ∈ℝ Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 8 8 2) Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 (ax by) (a b )(x y ) (2), a,b,x,y + ≤ + + ∀ ∈ ℝ (bất ñẳng thức Bunhiacôpxki). ☺ HƯỚNG DẪN. 1) Ta thấy 4 2 2 a a 3 1 (1) (a ) ( ) 0 (1'). 2 2 3 ⇔ − + − > Do hai bất ñẳng thức 4 2 a (a ) 0 2 − ≥ và 2 a 3 1 ( ) 0 2 3 − ≥ ñúng với mọi a, dấu “=” lại không ñồng thời xảy ra, nên (1’) ñúng với mọi a. Vậy (1) ñúng với mọi a. 2) Bất ñẳng thức 2 (2) (ay bx) 0 ⇔ − ≥ ñúng với mọi a, b, x, y; dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay = bx.  VÍ DỤ 2. 1) Chứng minh rằng n n n a b a b, n ,n 2, a,b 0. + ≥ + ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ ℕ 2) Chứng minh rằng n m n m n m m n x y x y x y , x,y , n,m *, + + + ≥ + ∀ ∈ ∀ ∈ ℝ ℕ và m, n cùng tính chẵn lẻ. ☺ HƯỚNG DẪN. 1) Ta thấy n n n 1 n 1 n 1 n 1 n n n n n n ( a b) a C a . b C a. b b a b 0, n ,n 2, a,b 0 − − − + = + + + + ≥ + ≥ ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ ℕ nên n n n a b a b, n ,n 2, a,b 0. + ≥ + ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ ℕ 2) Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với m m n n (x y )(x y ) 0 (*). − − ≥ – Nếu n, m cùng lẻ thì m m m m n n n n x y 0 x y x y x y x y 0 − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ và m m n n x y 0 x y 0, − ≤ ⇔ − ≤ nên (*) ñúng, dấu “=” xảy ra khi x = y. – Nếu n, m cùng chẵn thì m m m m n n n n x y 0 x y | x | | y | x y x y 0 − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ và m m n n x y 0 x y 0, − ≤ ⇔ − ≤ nên (*) ñúng, dấu “=” xảy ra khi x = ± y. Vậy bất ñẳng thức ñã cho ñược chứng minh.  VÍ DỤ 3. Cho tam giác ABC. Chứng minh với mọi x, y, z ta có 2 2 2 x y z xy.cosC yz.cosA zx.cosB . 2 + + + + ≤ ☺ HƯỚNG DẪN. ðặt BC CA AB a , b , c BC CA AB = = =       thì a b c 1 = = =    và    (a,b) C, (b,c) A, (c,a) A. = π− =π− =π−       Ta xuất phát từ bất ñẳng thức luôn ñúng 2 (x.a y.b z.c) 0 + + ≥    2 2 2 2 2 2 x y z 2xy.cos(a,b) 2yz.cos(b,c) 2zx.cos(c,a) 0 x y z 2xy.cosC 2yz.cosA 2zx.cosB 0 ⇔ + + + + + ≥ ⇔ + + − − − ≥       [...]... d > 0 Ch ng minh r ng M = a b c d + + + a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b không ph i là s nguyên ☺ HƯ NG D N a a a Ta có < < a +b+c+d a+b+c a+c b b b < < a+b+c+d b+c+d b+d c c c < < a +b+c+d c+d+a a +c 9 Nguy n Văn Xá – T Toán – Trư ng THPT Yên Phong s 2 – B c Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c và 10 d d d < < Suy ra 1 < M < 2 V y M không ph i là s nguyên a+b+c+d d+a+b b+d VÍ D 6 n Ch ng minh 1 ∑ k α... u 10 Nguy n Văn Xá – T Toán – Trư ng THPT Yên Phong s 2 – B c Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c 11 2.2 Phương pháp ph n ch ng Gi s ta ph i ch ng minh b t ñ ng th c nào ñó ñúng, ta hãy gi s b t ñ ng th c ñó sai và k t h p v i gi thi t và các tính ch t ñúng ñã bi t ñ suy ra ñi u vô lí ði u vô lí ñó có th là ñi u trái v i gi thi t ho c trái v i m t m nh ñ ñúng nào ñ y, cũng có th là hai ñi u... 3 ab + ac  ra khi và ch khi  3 = 2c, 3 = b ⇔ a = b = c = 0 (ñi u này không x y ra) V y ta luôn  a 2a a = b = c  có a + b + 2c 6 > 1+ , v i m i a, b, c dương 3 ab + ac VÍ D 14 Cho a + b + c = 0 Ch ng minh 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 14 Nguy n Văn Xá – T Toán – Trư ng THPT Yên Phong s 2 – B c Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c 15 ☺ HƯ NG D N ð t: x = 2a , y = 2b , z = 2c thì x, y, z > 0... (5) ch ng t ñi u ta gi s là sai 2 2 V y trong ba s |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| có ít nh t m t s không bé hơn 1 2 2.3 Phương pháp qui n p toán h c ð ch ng minh b t ñ ng th c là m nh ñ có d ng " ∀n ∈ ℤ, n ≥ n 0 : P(n)" (n0 là 11 Nguy n Văn Xá – T Toán – Trư ng THPT Yên Phong s 2 – B c Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c 12 m t s nguyên cho trư c) ta có th làm theo 2 bư c: + Bư c 1 (bư c cơ s ): Ch ng... Yên Phong s 2 – B c Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c 23 ☺ HƯ NG D N Ta xét tam th c b c hai n x là f(x) = x2 – (b + c + d + e)x + b2 + c2 + d2 + e2, có bi t th c ∆ = (b + c + d + e)2– 4(b2 + c2 + d2 + e2) = – (b – c)2– (b – d)2– (b – e)2– (c – d)2– (c – e)2– (d – e)2≤ 0 nên 1.f(x) ≥ 0 ∀x∈R, suy ra f(a) ≥ 0 hay a2 – (b + c + d + e)a + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ 0 V y ta luôn có a2 + b2 + c2 + d2 +... ∈ ℕ* n n! n ☺ HƯ NG D N Trư c h t ta th y n! = 1.2.3…n ≤ nn ⇒ 23 1 1 ≤ n , ∀ n ∈ N * Ti p ñó, v i ∀k = 1, n ta n n! Nguy n Văn Xá – T Toán – Trư ng THPT Yên Phong s 2 – B c Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c 24 luôn có (n − k)(k − 1) ≥ 0 ⇒ k(n − k + 1) ≥ n , l n lư t cho k = 1, 2, 3, …, n – 1, n ta thu ñư c n b t ñ ng th c mà hai v ñ u dương: 1.n ≥ n 2.(n –1) ≥ n 3.(n – 2) ≥ n …………… (n –1).2... w2 − w v i 24 15 ≤ 2 ≤ 2 , suy ra 2 −3 u w= 2 Ta ñ t ti p ≤w≤ 2 15 ⇒ Do −3 ≤ u ≤ 15 nên 2 ≤ w ≤ 128 2 Bây gi 4 ta xét hàm 2 ≤ w ≤ 128 2 , có b ng bi n thi n 4 Nguy n Văn Xá – T Toán – Trư ng THPT Yên Phong s 2 – B c Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c 2 4 -∞ w 25 1 2 128 2 +∞ +∞ +∞ 1− 2 2 8 y=w −w 2 32768 − 128 2 − 1 u 1 4 1 4 4 u 2 Như v y − ≤ w − w ≤ 32768 − 128 2 , hay − ≤ 2 − 2 ≤ 32768... Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c 2 26 Xét tam th c b c hai f (x) = x − 2xyz + (2y z − y z + y − 2yz + 2) n x (coi y, z là tham 2 2 2 2 s ) có h s c a x 2 b ng 1 và ∆ 'x = g(y) = (−z 2 + z − 1)y2 + 2yz − 2 Ta l i xét tam th c b c hai g(y) n y (coi z là tham s ) có h s c a y2 là 1 3 − z 2 + z − 1 = −(z − ) 2 − < 0, ∀z ∈ ℝ, và ∆ 'y = − z 2 + 2z − 2 = −(z − 1)2 − 1 < 0, ∀z ∈ ℝ Do 2 4 ñó g(y) luôn... Cho n ∈ ℕ*, a + b ≥ 0 Ch ng minh ≥  2  2  n (xem ví d 12) ☺ HƯ NG D N N u a + b = 0 thì ta ñư c b t ñ ng th c a n + (−a)n ≥ 0 luôn ñúng, d u “=” x y ra khi n l ho c a = b = 0 28 Nguy n Văn Xá – T Toán – Trư ng THPT Yên Phong s 2 – B c Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c 29 Ta xét trư ng h p a + b > 0 V i n = 1 b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng, và x y ra d u “=” V i n > 1, ta ñ t c = a + b >... − Phương trình π π  2 π g '(x) = 0 có nghi m duy nh t x0 trên kho ng (0; ) Ta có b ng bi n thi n 2 π x0 x 0 2 g’(x) + 0 – g(x0) g(x) 0 0 π π 2x (4), ∀x ∈ (0; ) T ñó suy ra g(x) > 0, ∀x ∈ (0; ), hay sin x > π 2 2 29 Nguy n Văn Xá – T Toán – Trư ng THPT Yên Phong s 2 – B c Ninh Chuyên ñ B T ð NG TH C ôn thi ð i h c T (2) và (4) ta có esinx > 1 + esin x > 1 + π 2.ln(x + 1) , ∀x ∈ (0; ) (ñpcm) π 2 30 . CHUYÊN ðỀ ÔN THI ðẠI HỌC MÔN TOÁN NGUYỄN VĂN XÁ TỔ TOÁN TR ƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 CHUYÊN ðỀ ÔN THI ðẠI HỌC MÔN TOÁN B BB BẤT ĐẲNG THỨC ẤT ĐẲNG THỨCẤT. ñược gọi là bất ñẳng thức. Trong ñó, khi cần thi t, hai bất ñẳng thức ñầu tiên ñược gọi là bất ñẳng thức nghiêm ngặt, và hai bất ñẳng thức sau gọi là bất ñẳng thức không ngặt. Nếu không nói gì. không bé hơn 1 . 2 2.3. Phương pháp qui nạp toán học ðể chứng minh bất ñẳng thức là mệnh ñề có dạng 0 " n ,n n : P(n)"∀ ∈ ≥ℤ (n 0 là ấ Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học