PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Môn toán được coi là một môn học khó đối với đa số học sinh trường THPT Lang Chánh đặc biệt là phần hình học vì vậy các em thường có suy nghĩ “sợ” môn học này nên không có hứng thú trong học tập. Trong SGK lớp 11 có trình bày phần “Phép dời hình” .đây là phần kiến thức ít có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi tuyển sinh vào ĐH và CĐ, nên khi học các em ít quan tâm và không có hứng thú. Tuy nhiên đây lại là phần giúp các em rèn luyện tư duy toán học,khả năng tưởng tượng và đặc biệt là giúp các em giải được các bài toán thực tiễn có thể được áp dụng trong cuộc sống hằng ngày. Xuất phát từ thực tế trên trong quá trình giảng dạy phần kiến thức này tôi đã nghiên cứu tìm cách giúp các em học sinh năm vững kiến thức đồng thời tạo sự húng thú say mê tìm tòi trong học tập. II. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI : Phép dời hình. III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài. - Khảo sát tình hình học tập của học sinh. IV. CẤU TRÚC ĐỀ TÀI: Phần mở đầu. 1. Lý do chọn đề tài. 2. Phạm vi của đề tài. 3. Phương pháp nghiên cứu. 4. Cấu trúc đề tài. Phần nội dung. A. Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình. B Định nghĩa một số phép dời hình,. I. Phép đối xứng trục II. Phép đối xứng tâm III. Phép tịnh tiến. IV. Phép quay. C.Các dạng bài tập áp dụng I.Dạng 1: Bài toán tìm quỹ tích,tìm điểm. II.Dạng 2: Bài toán chứng minh. III. Dạng 3:Bài toán dựng hình. D. Kết thúc. 1 PHẦN NỘI DUNG : A. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP DỜI HÌNH: I. ĐỊNH NGHĨA: Phép dời hình là một quy tắc để với mỗi điểm M có thể xác định được một điểm M' ( gọi là tương ứng với M )sao cho với hai điểm M', N' tương ứng với M,N thì : M'N' = MN. II. TÍNH CHẤT : 1. Phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. 2. Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A,C thành 3 điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm giữa A',C'. 3. Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một doạn thănghr thành một đoạn thẳng bằng nó. 4. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giácbằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành mmột đường tròn bằng nó,với tâm đường tròn này biến thành tâm đường tròn kia. 5. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình Mở rộng: Tích của n phép dời hình là một phép dời hình. B. ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ PHÉP DỜI HÌNH : I. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: 1. Định nghĩa: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng M qua đường thẳng d gọi là phép đối xứng trục. d : trục đối xứng Kí hiệu : Đ d (M) = M' 2. Chú ý: cho Đ d - Nếu M ∈ d thì M' ≡ M - Đ d Hoàn toàn xác định khi biết trục đối xứng d - Qua phép đối xứng Đ d đường thắng a vuông góc với d sẽ biến thành chính nó II. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM: 1. Định nghĩa: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng với M qua O được gọi là Phép đối xứng tâm. O : Tâm đối xứng KH : Đo(M) = M'. 2. Chú ý: Cho Đo 2 - Nếu M ≡ O thì M' ≡ O. - Đo hoàn toàn xác định khi biết O. - Mọi đường thẳng qua O đều biến thành chính nó. III. PHÉP TỊNH TIẾN: 1. Định nghĩa: Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M, mộtđiểm M' sao cho . 'MM v= uuuuur r với 0v ≠ r r được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v r KH: ( ) ' v T M M= r ; v r : được gọi là vectơ tịnh tiến 2. Chú ý : - đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến sẽ biến thành chính nó - v T r hoàn toàn xác định khi biết v r . IV. PHÉP QUAY: 1. định nghĩa: Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau tại O . Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' như sau: Đ a (M) = M 1 ; Đ b (M 1 ) = M'.Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M một điểm M' xác định như trên gọi là phép quay tâm O. Trong đó : O : Tâm phép quay . OM = OM' : Bán kính quay . ^MOM' = α : Góc quay. Kí hiệu : Q O α . 2. Chú ý: - Q O α (O) = O - Khi α = 180 o thì Q O α ≡ Đ O - Q O α xác định khi biết O và α. C.CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG I. DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM QUỸ TÍCH, TÌM ĐIỂM. Bài số 1: Cho 2 điểm phân biệt A,B cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d cho trước. Hãy tìm trên d một điểm M sao cho tổng AM + MB nhỏ nhất ? Lời giải Đ d (A) =A' ; Mọi M ∈ d: AM +MB = A'M + MB Để AM + MB nhỏ nhất thì A'M + MB nhỏ nhất . Điều đó xẩy ra khi A',M,B thẳng hàng Vậy {M} = A'B ∩ d. Bài số 2:Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm trên 3 M A' B A Ox một điểm B, trên Oy một điểm C sao cho ∆ABC có chu vi nhỏ nhất. Lời giải: Đox(A) = M;Đoy(A) = N MN ∩ Ox = {B} MN ∩ Oy = {C} →∆ABC có chu vi nhỏ nhất. Chứng minh: CV ∆ABC = AB + BC +CA =MB + BC + CN = MN ∀B’∈ Ox , C’∈ Oy ;B’≠ B , C’≠ C CV ∆AB’C’ = MB’ + B’C’+ C’N > MN. Bài số 3:Cho 2 đường thẳng cắt nhau d và d' , 2điểm A,B không thuộc d,d' . Tìm M ∈d; M' ∈ d' sao cho ABMM' là hình bình hành ? Lời giải: Vì MM' = BA ⇒ BA T uuur : M → M'. Mà M ∈ d , nên M' ∈ d'' là ảnh của d qua BA T uuur vậy {M'} = d' ∩ d'' . Do đó ta có cách xác định M,M' : BA T uuur : d → d'' ; d'' ∩ d' = {M'} ; AB T uuur (M') = M ∈ d. Vậy M,M' là 2 diểm cần tìm thoả mãn điều kiện ABMM' là hbh. Bài số 4: Cho (O;R) và điểm M ∈ (O). Cho đoạn AB trong đó A,B không nằm trên đường tròn cho trước . Tìm tập hợp các điểm M' là đỉnh còn lại của hình bình hành ABMM' khi m thuộc đường tròn cho trước Lời giải: Vì ABMM' là hbh nên MM' = BA → BA T uuur (M) = M' Mà M ∈ (O) nên M' ∈ (O') là ảnh của (O) qua BA T uuur . Vậy {M'} là (O') với (O') là ảnh của (O) qua BA T uuur Bài số 5: Cho (O;R) và 2 điểm B,C cố định thuộc (O;R) . một điểm A di động trên 4 O y x N C B M A M' M A B d' d'' d O' O M' M B A O' H D C B A đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC? Lời giải: Kẻ đường kính BD, vì AH ⊥ BC , DC ⊥ BC → AH // DC (1) Tương tự : CH ⊥ AB , DA ⊥ AB → CH // DA (2) Từ (1), (2) → ABCD là hình bình hành AH DC= uuur uuur mà DC uuur là vectơ cố định ( ) DC T A H⇒ = uuuur Mà A ∈(O;R) nên H∈(O';R) là ảnh của (O;R) qua DC T uuuur Vậy quỹ tích trực tâm H của ∆ABC là (O';R) . Bài số 6 :Cho Mdi chuyển trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. dựng ra ngoài ∆AMB một hình vuông MBCD. a) Tìm quỹ tích đỉnh C khi M vạch ra nửa đường tròn nói trên. b) Trên tia Bx vuông góc với AB tai B và nằm cùng phía với nửa đường tròn, lấy O' sao cho: BO' = BO ; C/M OM ⊥ O'C. Lời giải: a) Ta có : Q B -90 (M) = C mà M di chuyển trên (O; 2 AB ) nên C di chuyển trên (O 1 ; ' ' 2 A B ) (A'B' = AB) sao cho : (O 1 ) là ảnh của (O) qua Q B -90 (theo gt O 1 ≡ O') b) Vì Q B -90 {O;M} = {O';C'} nên OM ⊥ O'C , (ta còn suy ra OM = O'C) II.DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH Bài số 1:Cho ∆ABC trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ. a) C/M : NC ⊥ BQ ; BQ = NC b) Gọi H là trung điểm của BC . C/M : AH ⊥ QN. Lời giải: a) Ta có: Q A 90 (N) = B Q A 90 (C) = Q ⇒ NC biến thành BQ 5 O' O D C M B A A H N M P Q C B A Qua Q A 90 Vậy : NC ⊥ BQ NC = BQ b) Đ A (B) = (B 1 ); Q A 90 (C; B 1 ) = (Q; N) Do đó : CB 1 ⊥ QN. Mà AH là đường trung bình của tam giác CBB 1 nên AH // CB .Do đó : AM ⊥ QN. Bài số 2: Qua tâm G của ∆ABC đều , Kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, Đồng thời tạo với a một góc 60 0 . C/M: Tứ giác MPNQ là hình thang cân. Lời giải: Ta có : a ∩ CB = {M} b ∩ BA = {Q} mà : Q G -120 biến a thành b (1) C thành B ; B thành A ⇒ CB → BA (2) Từ (1), (2) ⇒ M → Q ⇒ GM = GQ. ⇒ ∆GMQ cân Tương tự: ∆GNP cân ⇒ MQ // NP và NQ = MP. Vậy MPNQ là hình thang cân. Bài số 3: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp một đường tròn cho trước. Từ M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA vẽ các đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện tương ứng. Chứng minh các đường thẳng này đồng quy. Lời giải: Theo g/t: MQ // NP MN // PQ → MNPQ là hình bình hành. Gọi {I} = MP ∩ NQ Ta có: Đ I (M) = P Suy ra Đ I biến MO thành đường thẳng đi qua P và song song với MO, Đó chính là đường thẳng PP 1 . mà MO ⊥ AB ⇒ PP 1 ⊥ AB 6 j k G P Q M N C B A c 1 j O O' I Q P N M D C B A Tương tự : Đ I : NO → QQ 1 , PO → MM 1 , QO → NN 1 Mà MO,NO,PO,QO đồng quy tại O Nên PP 1 , QQ 1 , MM 1 , NN 1 đồng quy tại O' với Đ I (O) = O' III.DẠNG 3: BÀI TOÁN DỰNG HÌNH Bài số 1: Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt Oy tại S. Dựng đường thẳng m vuông góc với d, cắt Ox , Oy tại A,B sao cho A,B cách đều d ? Lời giải: * phân tích : Giả sử đã dựng được đường thẳng m thoả mãn điều kiện đề bài, Ta có: Đd(B) = A Mà B ∈ Oy nên nằm trên đường thẳng ảnh của Oy qua Đd: O'y' Suy ra; {A} = O'y' ∩ Ox * Cách xác định M: Đd(O) = O' ; Đd(S) = S → Đd(Oy) =O'S → O'S ∩ Ox = {A} Đd(A) = B . m là đường thẳng qua AB. Bài số 2: Cho hai đường tròn (Q),(Q') và một đường thẳng d . Xác định hình vuông ABCD có A,C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B,D nằm trên d? Lời giải: * Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn đề bài. Suy ra:Đ BD (A) = C ; mà A ∈ (Q) nên C ∈ (Q1) là ảnh của (Q) qua Đ BD ⇒ {C} = (Q1) ∩ (Q'). Từ đó suy ra cách xác định hình vuông ABCD thoả mãn điều kiện đề bài như sau: Đd(Q) = (Q1) →{C} = (Q1) ∩ (Q') ; Đd(C) = A Giả sử AC ∩ d = {I} ; trên d lấy B,D sao cho IB = ID = IA =IC Khi đó ta xác định được hình vuông ABCD . * Biện luận: - Nếu (Q1)∩ (Q') {C; C'}→ Bài toán có 2 nghiệm. - Nếu (Q1) ∩ (Q') = {C}→ Bài toán có một nghiệm. - Nếu (Q1) ∩ (Q') =φ → Bài toán vô nghiệm. 7 B m A O O' S d y x Bài số 3: Cho ∆ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Dựng ∆ cân đỉnh P có đáy song song với BC và có 2 đỉnh làn lượt thuộc AB,AC của ∆ABC. Lời giải: * Phân tích: Giả sử đã dựng được ∆PBC thoả mãn điều kiện đề bài . Thế thì : với IB = IC ta có PI BC Do đó: ĐPI(B 1 ) = C 1 Mà B 1 ∈ AB nên C 1 ∈ A'B' là ảnh của AB qua ĐPI. Suy ra: {C 1 } = A'B'∩ AC. * Cách xác định: Vì BC // B 1 C 1 nên kẻ đường thẳng qua P, vuông với BC (giả sử đường thẳng đó là d). Đd(AB) = A'B' ; A'B' ∩ AC = {C 1 } ; Đd(C 1 ) = B 1 Khi đó ta có : ∆PB 1 C 1 là tam giác cần tìm thoả mãn đề bài. Bài số 4: Cho góc xOy và một điểm A thuộc miền trong góc đó. Hãy xác định đường thẳng qua A cắt 0x tại B, cắt Oy tại C sao cho A là trung điểm của BC. Lời giải: Vì A là trung điểm BC nên ta có Đ A (B) =C . Vậy ta có cách xác định đường thẳng qua A cắt Ox, Oy lần lượt tại B,C sao cho AB = AC : Đ A (Ox) = x' Khi đó x'∩ Oy = {C} Đ A (C) = B ∈ Ox Vậy đường thẳng cần tìm là BC. Bài số 5:Xác định hình bình hành ABCD , cho biết 2 đỉnh A,C, còn 2 đỉnh B,D nằm trên (O;R) cho trước? Lời giải: * Phân tích: vì ABCD là HBH nên AC ∩ BD = {I} với I là trung điểm mỗi đường. 8 d B1 C1 B' A' P C B A B C A y x' x O I D B O C A T ú : B,D l nh ca nhau qua I B,D nm trờn (O') l nh ca (O) qua I. * Cỏch xỏc nh: Lỏy trung im I ca AC , I (O) =(O'). Khi ú: (O') (O) = {B,D}. Ta cú hỡnh bỡnh hnh ABCD tho món K bi. * Bin lun: - Nu I thuc min trong (O) thỡ X 1 hỡnh bỡnh hnh ABCD. - Nu I thuc min ngoi (O) thỡ bi toỏn vụ nghim. - Nu I (O) thỡ B D I suy ra hbh suy bin thnh on thng AC IV.BI TP NGH Bi s 1: Cho 2 ng thng ct nhau x,y v 2 im A,B khụng nm trờn x,y. Xỏc nh 2 im C,D ln lt nm trờn 2 ng thng x,y sao cho t giỏc ABCD l hỡnh thang cõn cú AB l cnh ỏy. Bi s 2: Cho hai ng trũn ng tõm O, cú bỏn kớnh ln lt l R, r (R>r ). Hóy xỏc nh ng thng qua im A nm trờn (O;r), ct ng trũn (O;r) ti B, ct (O;R) ti C,D sao cho : CD = 3AB Bi s 3: Cho 2 ng thng a, b v (O;R). Xỏc nh hỡnh vuụng ABCD sao cho A(O); C b ; B,D a. Bi s 4 : Cho ABC . Tỡm im M bờn cnh AB v N bờn cnh AC sao cho MN // BC v AM = CN. Bi s 5: Cho 2 ng thng a // b , vi mt im C khụng nm trờn 2 ng thng ú . Tỡm trờn a,b ln lt 2 im A,B sao cho ABC u V. PHN THAM KHO: Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép quay. 1. Tích của 2 phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là 1 và 2 song song với nhau là một phép tịnh tiến theo một véc tơ v có phơng vuông góc với 2 trục, có h- ớng từ 1 đến 2 và có mô đun bằng hai lần khoẩng cách giửa hai trục đó. 2. Tích của 2 phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục 1 , 2 cắt nhau ở một điểm O là một phép quay tâm O , góc quay 2( 1 , 2 ). 3. Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc là một phép quay góc 9 . 4. Tích cua 2 phép quay có tâm khác nhau, nói chung là một phép quay với góc quay bằng tổng của 2 góc quay của 2 phép quay đã cho ( Đặc biệt đó sẽ là một phép tịnh tiến nếu 2 phép quay đã cho có các góc đối nhau.) 10