ĐỀ CƯƠNG TOÁN I) ĐẠI SỐ: A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: • Một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn số x và y là hệ phương trình có dạng : (I) ' ' ' (1) (2) ax by c a x b y c + =   + =  trong đó ax + by = c và a ’ x + b ’ y = c ’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn. 2. Minh họa hình học: Gọi (d 1 ), (d 2 ) lần lượt là hai đường thẳng xác định bởi phương trình (1) và (2) trong hệ (I).Ta có : • Nếu (d 1 ) cắt (d 2 ) thì hệ (I) có nghiệm duy nhất ; • Nếu (d 1 ) // (d 2 ) thì hệ (I) vô nghiệm. • Nếu (d 1 ) ≡ (d 2 ) thì hệ (I) có vô số nghiệm. 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế. a) Để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, ta làm như sau: • Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau . • Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn • Giải hệ phương trình vừa thu được. b) Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế , ta làm như sau: • Từ một phương trình của ẩn, ta biểu thị x theo y (hoặc y theo x ). • Thế biểu thức vừa tìm được của x (hoặc của y)vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn y (hoặc x). Giải phương trình bậc nhất vừa tìm được . • Thay giá trị vừa tìm được của ẩn y (hoặc x) vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại. * Bổ sung 1) Ta chứng minh được: • Hệ (I) có vô số nghiệm nếu ' ' ' a b c a b c = = ; (a’, b’,c’ ≠ 0) • Vô nghiệm nếu ' ' ' a b c a b c = ≠ (a’, b’,c’ ≠ 0) • Có một nghiệm duy nhất nếu ' ' a b a b ≠ (a’, b’ ≠ 0) 2) Để giải một hệ phương trình,có khi ta đặt ẩn phụ rồi sau đó mới giải bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế. 3) Một đa thức bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. B. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PT BẬC 2 MỘT ẨN 1. Phương trình bậc hai một ẩn: * Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0. * Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 và biệt thức ∆ = b 2 – 4ac: • Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = b a − . • Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 2 b a − + ∆ và x 2 = 2 b a − − ∆ * Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có b = 2b’, ∆ ’ = b’ 2 – ac: • Nếu ∆ ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu ∆ ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = 'b a − . • Nếu ∆ ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = ' 'b a − + ∆ và x 2 = ' 'b a − − ∆ . 2. Hệ thức Vi-ét: Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 , x 2 thì 1 2 1 2 . b x x a c x x a  + = −     =   3. Ứng dụng: a) Tính nhẩm nghiệm: + Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = 1, còn nghiệm kia là: x 2 = c a . + Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = -1, còn nghiệm kia là: x 2 = - c a . b) Hệ thức Vi-ét đảo : Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : X 2 – SX +P = 0 (1) (điều kiện để có hai số đó là S 2 – 4P ≥ 0) c) Chú ý : Trước khi áp dụng hệ thức Vi- ét cần tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai: a ≠ 0 và ∆ ≥ 0 4. Bổ sung: * Xét dấu các nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) Điều kiện để phương trình (1) + Có 2 nghiệm trái dấu là: P < 0 + Có hai nghiệm cùng dấu là: ∆ ≥ 0 và P > 0 • Có 2 nghiệm cùng dương là: ∆ ≥ 0, P > 0, S > 0 Có 2 nghiệm cùng âm là: ∆ ≥ 0, P > 0, S < 0 C. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1. Phương trình đa thức có bậc lớn hơn hai: Phương pháp giải : a) Đưa về phương trình tích A(x).B(x) M(x) = 0 trong đó A(x) , B(x), ,M(x) là những đa thức có bậc không quá 2. b) Đặt ẩn phụ : Nhiều phương trình đa thức bậc cao ta có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Để giải bài toán bằng phương pháp này, ta cần chú ý: Bước 1: Lựa chọn một cách đặt ẩn phụ f(x) = t (hoặc u,v, y, ) hợp lí và đặt điều kiện cho ẩn phụ Bước 2: Viết phương trình ban đầu thành phương trình mới theo ẩn t. Bước 3: Giải phương trình theo ẩn t, loại đi những nghiệm không phù hợp với điều kiện và giải phương trình phụ f(x) = t để tìm x. Một số phương trình bậc cao thường gặp: * Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a ≠ 0) (1) Cách giải: Đặt ẩn phụ x 2 = t ( t ≥ 0). Ta được phương trình bậc hai đối với ẩn t at 2 + bt + c = 0, * Phương trình hệ số đối xứng bậc bốn: ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ( a ≠ 0). Nhận xét: Ở vế trái, các hệ số của các số hạng đối xứng nhau qua số hạng chính giữa và x = 0 không là nghiệm của phương trình. Hướng giải : Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ≠ 0 , rồi nhóm lại ta được a(x 2 + 2 1 x ) + b(x + 1 x ) + c = 0. Đặt + 1 x x = t , điều kiện |t| ≥ 2 thì + 2 2 1 x x = t 2 - 2, sẽ dẫn đến phương trình bậc hai : at 2 + bt + c - 2a = 0. Từ đó tính được t rồi tính x theo phương trình x 2 - tx + 1 = 0 * Phương trình (x + a) 4 + (x + b) 4 = c Cách giải: Đặt ẩn phụ x + + 2 a b = y 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Hướng giải: * Tìm ĐKXĐ của phương trình * Khử mẫu để đưa về phương trình bậc hai. 3. Phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn : Hướng giải: * Tìm ĐKXĐ của phương trình * Bình phương hai vế để khử dần dấu căn. Cần thử lại để loại trừ nghiệm ngoại lai. 4. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp chung là khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Chú ý : Để giải phương trình bậc cao hơn bậc hai ta có thể dùng phép thử trực tiếp để tìm ra một nghiệm. + Nếu tổng các hệ số bằng không thì phương trình có một nghiệm bằng 1. (Với phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 thì điều kiện là a + b + c + d = 0) + Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ, thì phương trình có một nghiệm x = - 1. (Với phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 thì điều kiện là a - b + c - d = 0) Bài 1: Không giải mà dựa vào phương trình trong hệ. Hãy cho biết số nghiệm của hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao? a) 4 2 1 y x y x = −   = −  b) 1 4 3 1 2 3 y x y x −  = +    −  = +   c) 4 4 1 1 4 x y x y − =    − = −   Bài 2: Cho hai phương trình x + 2y = 4 và 2x + 3y = 7 a) Tìm dạng tổng quát nghiệm của mỗi phương trình b) Vẽ các đường thẳng xác định bởi 2 pt trong cùng 1 hệ trục tọa độ rồi xác định nghiệm của chúng Bài 3: Tìm a và b: a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(1;2) và B(3;4) b)Để đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; - 6)và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d 1 ): 2x + 5y = 17, (d 2 ): 2x – 5y = 7. Bài 3: Giải các hpt sau: a) 5 7 40 3 2 8 x y y x − =   − = −  b) 5 7 4 22 x y x y + =   + =  c) 2 1 2 2 1 x y x y  + = +   + = −   d) 1 1 1 2 5 4 x y x y  − =     + =   e) 1 1 2 2 1 3 2 3 2 1 x y x y  + =  − −    − =  − −  Bài 4: Cho hệ phương trình: 3 (1 ) 0 kx ky k x y + = −   − + =  a) Giải hệ với k = 2 b) Tìm k để hệ có 2 nghiệm âm Bài 5: Tìm 2 chữ số biết chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị và nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được một số mới nhỏ hơn số ban đầu là 36 đơn vị. Bài 6: Từ 2 thành phố cách nhau 126km có một ô tô và một người đi bộ cùng khởi hành một lúc. Nếu đi ngược chiều nhau thì sẽ gặp nhau sau 3,5 giờ. Nếu đi cùng chiều thì ô tô đuổi kịp người đi bộ sau 4,5 giờ. Tính vận tốc của ô tô và người đi bộ. Bài 7: Một ô tô đi từ tỉnh A tới tỉnh B trong một thời gian nhất định. Nếu chạy với vân tốc 45km/h thì đến B chậm mất 0,5h. nếu chạy với vận tốc 60km/h thì sẽ đến B sớm hơn 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định ban đầu. Bài 8: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể thì sau 4 3 h sẽ đầy bể nếu cho vòi thứ nhất chảy trong 1 6 h và vòi thứ 2 chảy trong 1 5 h thì chỉ được 2 15 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng một mình thì sau bao lâu thì đầy bể. Bài 9: Hai công nhân cùng làm một công việc thì sau 5h 50 phút xong. Sau khi làm chung được 5h thì một người phải điều đi làm việc khác nên người kia phải làm tiếp trong 2h mới xong công việc. Hỏi nếu một mình thì mỗi người pahir làm trong bao lâu mới xong công việc. Bài 10: Cho hàm số 2 1 2 y x= − 2 y x= − 2 2y x= a) vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ b) tìm 3 điểm A,B,C có cùng hoành độ là 1,5 theo thứ tự trên đồ thị. Xác định tung độ của chúng. c) Tìm 3 điểm A’,B’,C’ có cùng hoành độ là -1,5 theo thứ tự trên đồ thị. Xác định tung độ của chúng d) Có nhận xét gì về sự đb, nb của các hàm số trên Bài 11: Giải các phương trình sau đây a) 2 8 3 0x x− = b) 2 4,5 4,5 0x x− + = c) 2 4 6 2 0x x− + = Bài 12: Cho phương trình 2 2 2( 2) 0x m x m− + + = a) giải phương trình với m = 1 b) giải và biện luận số nghiệm của phương trình bài 13: Đối với pt cho sau đây, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép 2 2(2 1) 2 0mx m x− − + = Bài 14: Đối với pt cho sau đây, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm. tính nghiệm của phương trình theo m. 2 2 2 (4 3) 2 1 0x m x m− + + − = Bài 15: Chứng tỏ rằng pt 2 2 15 0x x+ − = có một nghiệm bằng 3. Hãy tìm nghiệm kia Bài 16: Tìm 2 số u và v biết. a) 5u v + = − 24uv = b) 4u v + = 19uv = c) 2 2 85u v+ = 18uv = Bài 17: Cho pt 2 7 0x x m− + = . Tính giá trị của m biết rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn điều kiện 1 2 5x x− = Bài 18:Cho phương trình x 2 – (2m+1)x + 7m – 1= 0 (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Bài 18: Giải phương trình: a) 2 14 4 7 1 9 3 3 3 x x x x x − + = − − + + − b) 2 1 1 6 1 2 2 3 12 x x x x − − = − − − − c) 4 2 36 13 1 0t t− + = d) 4 2 1,16 0,16 0t t− + = e) ( ) 2 2 2 x 3x – 1 2( 3 1) 8 0x x+ + + − − = f) 2 2 2 (2 2) 10 5 16 0x x x x+ − + + − = Bài 19: Đường cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền Bài 20: Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90km rồi ngược dòng 36km. Thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2h. vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6km/h. tìm vận tốc của ca nô khi xuôi dòng và khi ngược dòng. Bài 21: Hai vòi A và B cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 2h55p. nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi B là 2h. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu mới đầy bể. II) HÌNH HỌC: Câu 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, trên AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S (S nằm giữa A và D) CMR: a) ABCD là một tứ giác nội tiếp. b) Góc ABD = góc ACD. c) CA là phân giác của góc SCB Câu 2: Cho hình vuông ABCD, điểm E ∈ BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường vuông góc đó cắt DE ở H và cắt DC ở K. a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp. b) Tính số đo của góc CHK. c) CMR: KC.KD = KH.KB. Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (0). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB tại D và E. a) CMR: BD 2 = AD . CD. b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp. c) BC // DE. Câu 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên cung AB lấy hai điểm M và N sao cho M » ANÎ . Có AM cắt BN tại E; AN cắt BM tại F. Chứng minh rằng: a) EMFN là tứ giác nội tiếp. b) · · AEF = ABM c) EF ^ AB Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB . biết BH bằng 2cm và HC = 6cm Tính: a) Diện tích hình tròn tâm (o) b) Tổng diện tích 2 hình viên phân AmH và BnH (ứng với các cung nhỏ) c) Diện tích hình quạt tròn AOH (ứng với cung nhỏ AH) Câu 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R = 3 cm a) Hãy tính góc AOB, Biết độ dài cung AmB tương ứng là 4 3 π cm b) Tính diện tích hình quạt tròn OamB Câu 7: Dựng tam giác ABC biết AB=3cm, góc c = 60, AC = 2cm . + + − = Bài 19: Đường cao của một tam giác vuông bằng 9, 6m và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền Bài 20: Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược. bể. Bài 9: Hai công nhân cùng làm một công việc thì sau 5h 50 phút xong. Sau khi làm chung được 5h thì một người phải điều đi làm việc khác nên người kia phải làm tiếp trong 2h mới xong công việc ĐỀ CƯƠNG TOÁN I) ĐẠI SỐ: A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.Khái niệm về hệ phương trình bậc