Thực Hành Giải Toán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP  Đề tài: GVHD : Lê Xuân Trường SVTH : Nhóm 6 Lớp : Toán 2006A Năm học : 2008 - 2009 Đồng Tháp, ngày 15 tháng 05 năm 2009 1 Danh sách nhóm 6: 1. Nguyễn Đinh Công Danh 2. Ngô Quốc Huy 3. Nguyễn Thị Minh Khôi 4. Đỗ Thành Nhơn 5. Phạm Thị Kim Tuyến (cho điểm như nhau) Thực Hành Giải Toán MỤC LỤC MỤC LỤC 2 A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN 2 I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 2 II.Hệ phương trình bậc cao hai ẩn : 7 B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN 23 I. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 23 II. Hệ phương trình 3 ẩn bậc cao: 25 A. KHÁI NIỆM 29 I.Khái niệm bất phương trình một ẩn: 29 II.Khái niệm hệ bất phương trình một ẩn, hai ẩn: 29 B. PHÂN LOẠI VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 29 I.Hệ bất phương trình một ẩn: 29 II.Hệ bất phương trình hai ẩn: 39 C.Giải bài toán bằng cách đưa về hệ bất phương trình một ẩn: 46 Tài liệu tham khảo: 49 Phần I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 1. Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: 2 Thực Hành Giải Toán    =++ =++ 0''' 0 cybxa cbyax , ( ) ( ) 0 0'' 22 22 ≠+ ≠+ ba ba 2. Phương pháp giải: - Áp dụng phép biến đổi tương đương như quy tắc cộng đại số và phép thế mà ta đã học. - Dùng định thức. Giải hệ phương trình:    =++ =++ 0''' 0 cybxa cbyax , ( ) ( ) 0 0'' 22 22 ≠+ ≠+ ba ba B1: Tính các biểu thức: caac ca ca D bccb bc bc D baab ba ba D y x '' '' '' '' '' '' −== −== −== B2: Xét các trường hợp : Nếu D 0≠ , hệ có nghiệm duy nhất ( ) ;x y trong đó D D y D D x y x == ; Nếu D = 0; ta xét đến x D , y D • Nếu x D 0 ≠ hoặc y D 0≠ hệ vô nghiệm • Nếu x D = 0 và y D = 0. Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình 0ax by c+ + = . 3. Bài tập áp dụng: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:    =− =− 897 345 yx yx Giải: B1: Tính các biểu thức : 17 97 45 −= − =D 3 Thực Hành Giải Toán 19 87 35 5 98 43 == = − − = y x D D B2: Nhận thấy rằng D = -17 0 ≠ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 5 19 ; ; 17 17 y x D D D D     = −  ÷  ÷     Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình: ( )    =−+ −=+ mymx mymx 12 4 Giải: B1: Tính các biểu thức: ( )( ) ( ) ( )( ) 2482 2 4 244 1 14 212 12 1 2 2 2 2 −+=−+= − = −−=−+−= − − = −+=−−= − = mmmm m mm D mmm mm m D mmmm m m D y x B2: Ta xét các trường hợp sau:     ≠ −≠ ⇔≠ 2 1 0 m m D . Khi đó, hệ phương trình có duy nhất nghiệm là: ( )       + + + − −=         = 1 4 ; 1 2 ;; m m m m D D D D yx y x     = −= ⇔= 2 1 0 m m D . Với 1m = thì x D = -9 0 ≠ (Hệ vô nghiệm). Với 2m = thì x y D D= = 0 nên hệ có vô số nghiệm ( ) yx; và được tính theo    −= ∈ xy Rx 22 4 Thực Hành Giải Toán 4. Ứng dụng: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng. Cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình tổng quát: (d 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; (d 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0; Tùy theo giá trị của tham số hãy xác định vị trí tương đối của (d 1 ) và (d 2 ). Phương pháp chung Thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Thiết lập hệ phương trình tạo bởi (d 1 ) và (d 2 ) là: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 A x B y C 0 A x B y = - C A x B y C 0 A x B y = - C + + = +   ⇔   + + = +   Bước 2. Bằng việc biện luận (I) ta có được vị trí tương đối của (d 1 ) và (d 2 ) cụ thể là: • Nếu(I) vô nghiệm ( ) 1 2 ( ) .d d⇔ P • Nếu (I) có nghiệm duy nhất ( ) ( ) 1 2 , . y x D D d d M D D       ⇔ ∩ =    ÷       • Nếu (I) có vô số nghiệm ( ) ( ) 1 2 .d d⇔ ≡ Ví dụ: Cho a 2 + b 2 > 0 và hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình: (d 1 ): (a – b)x + y = 1 và (d 2 ): (a 2 – b 2 )x + ay = b. a. Xác định giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ). b. Tìm điều kiện với a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành. Giải: a. Xét hệ phương trình tạo bởi (d 1 ) và (d 2 ) có dạng: ( ) ( ) 2 2 1a b x y a b x ay b  − + =   − + =   Ta có D = b 2 – ab, D x = a – b, D y = ab – a 2 . 5 Thực Hành Giải Toán Vậy, suy ra: ( ) ( ) { } 2 1 2 0 0,d d I D b ab∩ = ⇔ ≠ ⇔ − ≠ Khi đó giao điểm I có tọa độ 1 , . a I b b   = −  ÷   b. Điểm I ∈ Ox. 2 0 0 0. 0 b ab a a b b  − ≠ =   ⇔ ⇔   ≠ =    Tìm tham số m để hai phương trình bậc hai có nghiệm chung. Ví dụ : Với giá trị nào của m thì 2 phương trình sau có nghiệm chung: 2x 2 + mx – 1 = 0 và mx 2 – x + 2 = 0. Giải: Các phương trình trên có nghiệm chung ⇔ hệ sau có nghiệm: 2 2 2 1 0 2 0 x mx mx x  + − =  − + =  Đặt x 2 = y ta được hệ: 2 1 2 mx y x my + =   − =  Ta có: D = - m 2 – 2; D x = - m – 4; D y = 2m – 1. Vì D ≠ 0, ∀ m, hệ có nghiệm duy nhất 2 2 4 1 2 à y = 2 2 m m x v m m + − = + + Do x 2 = y nên ta phải có: 2 2 2 3 4 1 2 = 2 2 + 6m + 7 = 0 m = -1. m m m m m + −    ÷ + +   ⇔ ⇔ Vậy với m = -1 hai phương trình có nghiệm chung x = 1. 6 Thực Hành Giải Toán II.Hệ phương trình bậc cao hai ẩn : 1.Định nghĩa Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn trong đó có ít nhất một phương trình có bậc lớn hơn 1. 2.Các dạng phương trình thường gặp a) Hệ phương trình đối xứng loại một: Trong mỗi phương trình khi thay thế x bởi y hoặc y bởi x thì phương trình không thay đổi. Phương pháp: Đặt S x y= + và P xy= + Tìm ,S P + Khi đó ,x y là nghiệm của phương trình 2 0X SX P− + = Chú ý: Nếu trong hệ xuất hiện x y− thì đặt t y= − và đặt S x t= + , P xt= Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại I được trình bài ở trên, trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp: 1. Phương pháp thế: bởi rất nhiều hệ đối xứng là hệ “ Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn”. 2. Phương pháp đồ thị. 3. Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng cho hệ với yêu cầu “tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất”. Khi đó ta thực hiện các bước: Bước 1. Điều kiện cần • Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x 0 , y 0 ) thì (y 0 , x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x 0 = y 0 . • Thay x 0 = y 0 ta được giá trị tham số. Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất. Bước 2. Điều kiện đủ. 4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. 5. Nhận xét về miền nghiệm. 7 Thực Hành Giải Toán Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Giải: Hệ phương trình được viết lại Đặt S = x + y, P = xy Khi đó với: x, y là nghiệm của phương trình: Với ⇒ là nghiệm phương trình: Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm Ví dụ 2: 8 Thực Hành Giải Toán Cho hệ phương trình: 2 2 1x xy y m x y xy m + + = +   + =  a. Giải hệ khi m = 2 b. Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm thoã: x > 0, y > 0. Giải: Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ: 1S P m SP m + = +   =  ⇒ S, P là hai nghiệm của phương trình: 1 2 2 1 ( 1) 0 z z m z m z m =  − + + = ⇒  =  (*) a. Với m = 2 thế vào (*) ta được: 1 ( ) 2 2 ( ) 1 x y I xy x y II xy  + =    =    + =    =    . - Hệ (I) vô nghiệm. - hệ (II) có nghiệm x = y =1. b. Để hệ có nghiệm x, y > 0 : 2 2 1 4 4 1 0 0 0 4 4 2 0 0 m S P m m S m m P m  ≥   ≥    > < ≤     ⇔ > ⇔ ⇔     ≥  ≥  >    >    Ví dụ 3: Giải hệ phương trình    −=−+ =+−+ 1 2 22 yxxy yxyx . Giải: Nhận thấy trong hệ có x y− , ta đặt t y= − . Hệ thành: 9 Thực Hành Giải Toán ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 x t x t x t xt x t xt x t xt x t   + − − = + − − + =  ⇔   − + + = − − + + = −    Đặt S x t= + , P xt= . Hệ thành:    = = ∨    = −= ⇔    −=+− =−− 5 4 0 1 1 22 2 P S P S SP SPS    = −= 0 1 P S . Khi đó ,x t là nghiệm của phương trình: 2 0X X+ =           = −= ⇔    = −=    = = ⇔    −= = ⇔    −= = ⇔ 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 1 y x t x y x t x X X    = = 5 4 P S . Khi đó ,x t là nghiệm của phương trình: 2 4 5 0X X− + =           = −= ⇔    −= −=    = −= ⇔    −= −= ⇔    −= −= ⇔ 1 5 1 5 5 1 5 1 5 1 y x t x y x t x X X . Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1;5;5;1;0;1;1;0 −−− Ví dụ 4: Cho hệ phương trình: 2 2 6 x y m x y  + =  + =  Giải: Ta có thể giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ như sau: Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x 0 , y 0 ) thì (y 0 , x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x 0 = y 0 . Khi đó: (I) 2 0 0 2 18 2 6 x m m x  = ⇔ ⇒ =  =  10 [...]... x)  2 2    f n ( x) ≤ g n ( x )  Hệ bất phương trình hai ẩn là hệ có dạng như sau:  f 1 ( x, y ) ≤ g 1 ( x, y )  f ( x, y ) ≤ g ( x, y )  2 2    f n ( x, y ) ≤ g n ( x, y )  B PHÂN LOẠI VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I Hệ bất phương trình một ẩn: 1 Hệ gồm có các bất phương trình bậc nhất: Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn là hệ phương trình có dạng như sau: 29 Thực Hành... có g(0)=0 ⇔ phương trình (*) nghiệm đúng + với x>0, ta có g(x)>g(0)=0 ⇔ phương trình (*) vô nghiệm + với x . LỤC 2 A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN 2 I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 2 II .Hệ phương trình bậc cao hai ẩn : 7 B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN 23 I. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 23 II. Hệ phương trình. bất phương trình một ẩn: 29 II.Khái niệm hệ bất phương trình một ẩn, hai ẩn: 29 B. PHÂN LOẠI VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 29 I .Hệ bất phương trình một ẩn: 29 II .Hệ bất phương. bằng cách đưa về hệ bất phương trình một ẩn: 46 Tài liệu tham khảo: 49 Phần I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 1. Định nghĩa: Hệ phương trình bậc