Vài phơng pháp xác định một đa thức Ngô đức Minh GV THCS Ngô Gia Tự Những năm gần đây, trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp quận , huyện, thành phố hay có dạng bài toán xác định một đa thức . Khi gặp loại toán này các em thờng nhanh chóng giải bằng phơng pháp chia đa thức hay dùng hệ số bất định để đa đến việc tìm các hệ số của đa thức vào việc giải hệ phơng trình. Việc giải hệ phơng trình này cũng khá khó khăn khi gặp hệ phơng trình 3 , 4 ẩn nhất là đối học sinh lớp 8 . Vấn đề đặt ra là : có cách nào xác định nhanh chóng các hệ số của một đa thức cần tìm hay không ? Bài viết này nhằm trang bị cơ sở cho các em một vài phơng pháp xác định một đa thức với 3 nội dung chính , đó là : - Định lý Bơ-zu và ứng dụng . - Hệ số bất định . - Phơng pháp nội suy NEWTON . Các bài tập minh hoạ cho vấn đề này là các bài toán thi học sinh giỏi quận, thành phố . Phần 1 : Định lý Bơ - zu và ứng dụng 1) Định lý Bơ-zu : Phần d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x - a bằng giá trị của đa thức tại điểm a tức là f(a) . Chứng minh : Gọi phần d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x - a là r(x) . Do bậc của đa thức d nhỏ hơn bậc của đa thức chia nên r(x) là một hằng số r và ta có : f(x) = (x - a ) q(x) + r Thay x = a ta đợc : f(a) = ( a - a ) q(a) + r f(a) = r ( đpcm ). */ Hệ quả : Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) ( x -a ). 2 ) ứ ng dụng : Bài toán 1 : Tìm a , b để đa thức 2x 3 +ax+b chia cho x+1 d -6 và chia cho x-2 d 21 . (Đề thi học sinh giỏi vòng 1-Quận Hồng bàng- năm học 1998-1999). Lời giải : Đặt f(x) = 2x 3 +ax+b . Theo định lý Bơ-zu ta có : f(x):(x+1) d -6 <-> f(-1) =-6 <-> 2(-1) 3 + a(-1)+b = -6 <-> -a+b = -4 f(x): (x-2) d 21 <-> f(2) = 21 <-> 2.2 3 + a.2 + b = 21 <-> 2a +b = 5 Để tìm a , b ta giải hệ phơng trình sau : Vậy đa thức cần tìm là f(x) = 2x 3 +3x-1 Bài toán 2: Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 d 4 , khi chia cho x 2 + 1 d 2x + 3 . Tìm số d khi chia f(x) cho (x + 1)(x 2 + 1) . ( Đề thi BDTX giáo viên THCS - Năm học 1999 - 2000 ) Lời giải: Theo định lý Bơ - zu , ta có : f(x) : (x+1) d 4 <-> f(-1) = 4 Do bậc của đa thức chia là 3 nên bậc của đa thức d là bậc 2 .Vì thế ,đa thức d có dạng ax 2 + bx + c . Theo định nghĩa phép chia còn d ta có : f(x) = (x + 1)(x 2 + 1).q(x) + ax 2 + bx + c = (x + 1)(x 2 + 1).q(x) + ax 2 + a - a + bx + c = (x + 1)(x 2 + 1).q(x) + a(x 2 + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x 2 + 1) + bx + c - a = = = =+ = =+ =+ =+ 1 3 3 4 93 4 52 4 b a a ba a ba ba ba Mà f(x) : (x 2 + 1) d 2x + 3 . Vậy ta phải có : Vậy đa thức d cần tìm là : Bài toán 3 : Cho đa thức A = x 4 + ax 2 + b a/ Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A biết A chia hết cho đa thức B = x 2 - 3x + 2 b/ Xác định thơng trong phép chia trên . ( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng A- Lớp8 - năm học 1997-1998 ) Lời giải : a) Ta có : B = x 2 - 3x +2 = (x -1)(x-2) .Theo định lý Bơ-zu , ta có : Vậy đa thức A = x 4 - 5x 2 + 4. b) Để tìm thơng trong phép chia trên, ta đặt : x 4 - 5x 2 + 4 x 2 -3x+2 x 4 - 3x 3 + 2x 2 x 2 + 3x + 2 3x 3 - 7 x 2 + 4 3x 3 - 9 x 2 + 6x 2x 2 - 6x + 4 2x 2 - 6x + 4 0 Thơng của phép chia A cho B là x 2 + 3x + 2. @ Nhận xét : Qua 3 bài toán ta có thể rút ra một lời nhận xét : khi sử dụng định lý Bơ-zu giúp ta giải quyết nhanh việc tìm hệ số của đa thức cần tìm .Thông thờng, nhờ định lý Bơ-zu đa việc tìm hệ số của đa thức về việc giải hệ phơng trình 2 , 3 ẩn. Đối với hệ ph- ơng trình 3 ẩn trở lên cần trang bị thêm cho học sinh cách giải hệ bằng phơng pháp Gau- xơ. Thông qua việc giải dạy trực tiếp của mình, tôi nhận thấy học sinh dễ dàng nắm bắt tốt và giải quyết tốt một số bài toán nh xác định hệ số của đa thức biết số d khi chia cho một đa thức khác hay tìm số d trong phép chia đa thức cho đa thức Phần 2 : Phơng pháp hệ số bất định *) Nhận xét chung: Theo định nghĩa hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau nếu chúng nhận giá trị bằng nhau tại mọi giá trị của biến x . Rõ ràng nếu f(x) và g(x) có cùng bậc và với mỗi i các hệ số của x i tơng ứng bằng nhau thì f(x) bằng g(x) . Ngời ta đã chứng minh điều ngợc lại cũng đúng. Cụ thể : f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x 1 + a 0 g(x) = b n x n + b n-1 x n-1 + + b 1 x 1 + b 0 f(x) = g(x) <-> a i = b i với i = o,n - 2 - = = =+ =+ =++ =++ = = 4 5 164 1 02.2 01.1 0 0 24 24 )2( )1( b a ba ba ba ba A A BA = = = =+ = = =+ = = 2 3 2 9 2 6 3 2 4 3 2 a c b ca ac b cba ac b 2 9 2 2 3 2 ++ xx Sau đây là một số bài toán xác định một đa thức có sử dụng định nghĩa hai đa thức bằng nhau còn đợc gọi là phơng pháp dùng hệ số bất định . Bài toán 4 : Xác định a , b để đa thức ax 3 + 12x 2 + bx + 1 là luỹ thừa bậc 3 của một đa thức khác . ( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng B-Lớp 8-Năm học 1998-1999) Lời giải: Vì đa thức ax 3 + 12x 2 + bx + 1 là luỹ thừa bậc 3 của một đa thức khác , nên bậc của đa thức cần tìm phải là bậc nhất . Hay đa thức cần tìm có dạng: mx + n Theo bài ra ta có : ax 3 + 12x 2 + bx + 1 = ( mx + n ) 3 = m 3 x 3 + 3m 2 x 2 n + 3mxn 2 + n 3 Theo phơng pháp hệ số bất định ta phải có : Vậy có hai đa thức thoả mãn điều điện bài toán đó là : 8x 3 + 12x 2 + 6x 2 + 1 = (2x + 1) 3 hoặc - 8x 3 + 12x 2 - 6x 2 + 1 = (-2x + 1) 3 Bài toán 5 : Tìm các số a , b , c để x 3 - ax 2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c) (Đề thi học sinh giỏi thành phố -Bảng A-Lớp 8-Năm học 1999-2000) Lời giải: Theo bài ra ta có : x 3 - ax 2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c) = (x 2 - bx - ax + ab)(x - c) = x 3 - bx 2 - ax 2 + abx - cx 2 + bcx + acx - abc = x 3 - (a + b + c)x 2 +(ab + bc + ca)x - abc. Dùng phơng pháp hệ số bất định, ta phải có : Do b = bc nên b(1 - c) = 0 vậy có hai trờng hợp xẩy ra : *) Nếu b = 0 thì c = 0 và a là tuỳ ý **) Nếu b 0 thì c = 1 và a = -1 ; b = -1 Bài toán 6 : Cho đa thức A = ax 3 + 6x 2 + bx - 10 a/ Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A biết A chia hết cho đa thức B = x 2 - 3x + 2 b/ Xác định thơng trong phép chia trên . ( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng B- Lớp8 - năm học 1997-1998 ) Lời giải : *) Do bậc của đa thức A là 3 và bậc của đa thức B là 2 nên bậc của đa thức th ơng phải là bậc nhất và có dạng : mx + n Theo bài ra ta có : A B <-> ax 3 + 6x + bx - 10 = (x 2 - 3x + 2)(mx + n) = mx 3 - nx 2 - 3mx 2 - 3nx + 2mx + 2n - 3 - === === = = = = = = = = 6;82 6;82 1 3 4 1 3 123 2 3 3 2 2 3 bathim bathim n bm m ma n bmn nm ma = = =+ = ++= =+ = ++= ++= abcc bcb cb abcc bccbab cb abcc cabcabb cbaa 0 )( 0 = mx 3 + ( - n -3m ) x 2 + (2m -3n ) x + 2n Dùng phơng pháp hệ số bất định,ta phải có : Vậy đa thức cần tìm là : **) Đa thức thơng trong phép chia A cho B là : @Nhận xét: Đây là phơng pháp khá chủ lực của học sinh lới 8 khi giải quyết bài toán xác định một đa thức .Cần lu ý về sự cân bằng bậc của đa thức và giải hệ ph- ơng trình . Phần 3 : Phơng pháp nội suy NEWTON *) Nhận xét chung : Trong bộ môn phơng pháp tính - Toán cao cấp - có một phơng pháp xác định nhanh các hệ số của một đa thức đó là phơng pháp nội suy NEWTON Nội dung chính của phơng pháp nội suy NEWTON đó là : Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n+1 điểm : C 1 ,C 2 , , C n+1 ta có thể biểu diễn P(x) dới dạng: P(x)= b 0 + b 1 (x - C 1 )+ b 2 (x - C 1 )(x - C 2 ) + + b n (x -C 1 )(x -C 2 ) (x - C n ) Bằng cách thế x lần lợt các giá trị C 1 , C 2 , , C n+1 vào biểu thức P(x) ta lần lợt tính đợc các hệ số b 0 , b 1 , , b n . ở đây ta không diễn giải việc tìm tòi chứng minh phơng pháp trên mà hãy vận dụng để giải bài toán xác định một đa thức . Bài toán 7 : Tìm một đa thức bậc 3 , P(x) biết : P(0) = 10 ; P(1) = 12 ; P(2) = 4 ; P(3) = 1 ( Đề thi học sinh giỏi CHDC Đức - 1979 ) Lời giải : Đặt : P(x) = d + cx + bx(x - 1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = 0 , P(0) = d , suy ra d = 10 . P(x) = 10 + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = 1 , P(1) = 10 + c , suy ra c = 2 . P(x) = 10 + 2x + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = 2 , P(2) = 10 + 4 + 2b , suy ra b = -5 . P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = 3 , P(3) = 10 + 6 - 30 + 6a , suy ra a = 5/2 . P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + 5/2 .x(x-1)(x-2) Rút gọn ta đợc đa thức cần tìm là : - 4 - 1012 2 25 2 5 )( 23 ++= xxxxP = = = = = = = = = = = = = = = = 5 3 67 3 11 3 11 5 15 3 11 2 3 11 3 11 5 152 356 210 32 36 n b m a n b m a n mb m ma n nmb mn ma 10 3 67 6 3 11 23 += xxxA 5 3 11 + x Bài toán 8 : Cho đa thức P(x) bậc 4 thoả mãn : P(-1) = 0 và P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1) 1. Xác định P(x). 2. Suy ra giá trị của tổng sau đây (n là số nguyên dơng). S = 1.2.3 + 2.3.4 + +n(n+1)(2n+1) (Đề thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh - 1992) Lời giải : Cho x = 0 ,Suy ra P(0) - P(1) = 0 mà P(-1) =0 , vậy P(0) = 0 Cho x lần lợt các giá trị x = -1 ; x = 1 ; x = 2 , ta nhận đợc P(-2) = 0 ;P(1) = 6 ; P(2) = 36 ĐặtP(x) = e + d(x+2) + c(x+2)(x+1) + b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1) Cho x = 2 , P(-2) = e , suy ra e = 0 Cho x = -1 , P(-2) = d , suy ra d = 0 Cho x = 0 , P(0) = 2c , suy ra c = 0 Vậy P(x) = b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1) Cho x = 1 , P(1) = 6b , vậy b = 1 Cho x = 2 , P(2) = 24 + 24a = 36 vậy a = 1/2 Đa thức cần tìm là : **) Theo bài ra : P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1) Cho x = 1 ; 2 ; ; n ta có : P(1) - P(0) = 1.2.3 P(2) - P(1) = 2.3.4 P(n) - P(n-1) = n(n+1)(2n+1) Cộng vế với vế ta đợc : P(n) - P(0) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(2n+1) Bài toán 9 : Xác định đa thức bậc 3 , f(x) thoả mãn f(x) - f(x-1) = x 2 Từ đó suy ra công thức tính tổng S = 1 2 + 2 2 + + n 2 (Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng A-Lớp 8 - Năm học 1998-1999) Lời giải : *) Đặt f(x) = d + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = 0 , suy ra f(0) = d Cho x = 1 , suy ra f(1) = d+c vì f(1) - f(0) = 1 nên (d+c)-d = 1c = 1 Khi đó f(x) = d+x+bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = 2 , suy ra f(2) = d+2+2b vì f(2) - f(1) = 4 nên (d+2+2b)-(d+1) = 4b = 3/2 Khi đó f(x) = d+x+3/2 . x(x-1) + ax(x-1)(x-2) - 5 - )12()1( 2 1 )( 2 ++== nnnnPSdoDo ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 ++= xxxxP Cho x = 3 , suy ra f(3) = d +3+9+6a = d + 12 + 6a vì f(3) - f(2) = 9 nên (d+12+6a)-(d+5) = 9 a = 1/3 **) Theo bài ra ta có :f(x) - f(x-1) = n 2 Cho x = 1 , 2 , , n ta đợc f(1) - f(0) = 1 2 f(2) - f(1) = 2 2 f(n) - f(n-1) = n 2 Cộng vế với vế ta sẽ đợc : f(n) - f(0) = 1 2 + 2 2 + +n 2 @Nhận xét : Phơng pháp nội suy NewTơn khá hay trong bài toán xác đa thức .Nhờ ph- ơng pháp đặt khéo léo f(x) khi tính giá trị tại các điểm mà ta nhẩm đợc thuận tiện,giúp ta nhanh chóng trong việc xác định các hệ số của đa thức .Trong chơng trình toán 8 không đề cập vấn đề này nhng trong quá trình giải dạy và tham khảo sách tôi nhận thấy các tỉnh phía nam đặc biệt là thành phố Hồ Chí Minh giáo viên và học sinh đợc học và làm theo phơng pháp này rất mạnh . Tôi đã dạy thử và nhận thấy rằng kết quả khá mỹ mãn, học sinh tin t- ởng vào phơng pháp nội suy NewTon . Chỉ có khá băn khoăn đó là có đợc áp dụng khi giảng dạy cho học sinh lớp 8 không ? trong khi sách giáo khoa mặc nhiên không đề cập và một số sách tham khảo nh để học tốt, chuyên đề , toán chọn lọc cũng không đề cập ph- ơng pháp này . Trên đây là những suy nghĩ ban đầu về một vấn đề lớn : bài toán xác định một đa thức mà đối tợng là học sinh lớp 8. Hy vọng Bài viết này đợc phát triển và hoàn thiện trong chuyên san sau. Bài tập đề nghị : 1) Tìm một đa thức bậc hai biết : f(0) =19 ; f(1) = 85 ; f(2) = 1985 2) Cho biết đa thức bậc hai f(x) có ba nghiệm , , . Chứng minh : f(x) = 0 với mọi x 3) Cho f(x) là một đa thức bậc 4 thoả mãn : f(1) = f(-1) ; f(2) = f(-2) Chứng minh : f(x) = f(-x) với mọi xQ (Đề thi học sinh giỏi vòng 2 - Quận Hồng Bàng năm học 1998 - 1999) 4) Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện : 16 f(x 2 ) = f 2 (2x) (Đề thi học sinh giỏi thành phố -Bảng A-Lớp 8 -Năm học 1999-2000) 5) Xác định đa thức f(x) = x 2 + ax + b thoả mãn : - 6 - )( 6 1 2 1 3 1 )( )2)(1( 3 1 )1( 2 3 )( 23 RddxxxxPVay xxxxxxdxPdoKhi +++= +++= ( )( ) 6 121 6 32 6 1 2 1 3 1 23 23 ++ = ++ = +++= nnn S nnn ddnnnSraSuy [ ] 1;1)( 2 1 xvoixf (§Ò thi häc sinh giái thµnh phè - B¶ng B - Líp 8 - N¨m häc 1999 - 2000). - 7 - . xx Sau đây là một số bài toán xác định một đa thức có sử dụng định nghĩa hai đa thức bằng nhau còn đợc gọi là phơng pháp dùng hệ số bất định . Bài toán 4 : Xác định a , b để đa thức ax 3 + 12x 2 . nào xác định nhanh chóng các hệ số của một đa thức cần tìm hay không ? Bài viết này nhằm trang bị cơ sở cho các em một vài phơng pháp xác định một đa thức với 3 nội dung chính , đó là : - Định. có : Vậy đa thức d cần tìm là : Bài toán 3 : Cho đa thức A = x 4 + ax 2 + b a/ Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A biết A chia hết cho đa thức B = x 2 - 3x + 2 b/ Xác định thơng