www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 1 4. BÀI TẬP NHẬP MÔN GIẢI TÍCH Bài 1 : Cho ( E , d ) là không gian metric và A E ⊂ và x E ∈ . Ta định nghĩa : + x là điểm dính của A ( ) r 0,B x,r A ⇔ ∀ > ≠ ∅ I . + x là điểm tụ của A ( ) { } r 0, B x,r \ x A ⇔ ∀ > ≠ ∅    I . + x là điểm trong của A ( ) r 0,B x,r A ⇔ ∃ > ⊂ . + x là điểm biên của A ⇔ x cùng là điểm dính của A và của E\A . Ta ký hiệu : + A là tập hợp các điểm dính của A , gọi là bao đóng của A . + A o hoặc Int(A) là tập hợp các điểm trong của A . + A’ là tập hợp các điểm tụ của A . + A ∂ là tập hợp các điểm biên của A , gọi là biên của A . Chứng minh rằng : 1) A A A ' = U . 2) A là tập đóng trong E và là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A . c) A o là tập mở trong E và là mở lớn nhất trong E bị chứa trong A . d) ( ) A E \ A ∂ = ∂ ; A A E \ A∂ = I ; E A A E \ A   = ∂  ÷   o o U U e) A ∂ là tập đóng trong E , và hơn nữa : A đóng A A ⇔ ∂ ⊂ Giải a) Chứng minh : A A A'= U . ( ) x A r 0,B x,r A∈ ⇔ ∀ > ≠ ∅I { } ( ) { } ( ) r 0, x B x,r \ x A⇔ ∀ > ≠ ∅    U I { } ( ) { } x A r 0, B x, r \ x A ≠ ∅  ⇔ ∀ >  ≠ ∅      I I { } ( ) { } x A r 0, B x,r \ x A ≠ ∅  ⇔  ∀ > ≠ ∅      I I x A x A' ∈  ⇔  ∈  x A A ' ⇔ ∈ U . Vậy : A A A ' = U . www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 2 b) Chứng minh : A là tập đóng trong E và là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A . HƯỚNG DẪN : Để chứng minh tập đóng , ta sử dụng tính chất sau đây : F đóng trong E ( ) n n n n x F, x x E x F →∞ ∈ ⇔ ∀ ⊂ → ∈ ⇒ ∈ ¥ Lời giải Ta chứng minh A đóng trong E . Cho dãy ( ) n x A ⊂ sao cho : n n lim x x E →∞ = ∈ . Ta phải chứng minh : x A ∈ Tức là chứng minh : ( ) r 0,B x,r A ∀ > ≠ ∅ I . Thật vậy , cho r > 0 tùy ý . Vì n n lim x x E →∞ = ∈ nên : ( ) N r N ,d x , x 2 ∃ ∈ < ¥ Vì N x A ∈ nên N N r r B x , A a B x , A 2 2     ≠ ∅ ⇒ ∃ ∈  ÷  ÷     I I . ( ) N a A r d x ,a 2 ∈   ⇒  <   ( ) ( ) ( ) N N r r d x,a d x,x d x ,a r 2 2 ⇒ ≤ + < + = ( ) ( ) a B x, r a B x,r A ⇒ ∈ ⇒ ∈ I ( do a A ∈ ) . ( ) B x,r A , r 0 ⇒ ≠ ∅ ∀ > I x A ⇒ ∈ . Vậy : A đóng . Ta chứng minh A là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A . Giả sử F là tập đóng trong E chứa A . Từ : A F ⊂ suy ra : A F F ⊂ = . ( tính chất : A đóng A A ⇔ = ) Vậy A là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A . c) Ta chứng minh Int(A) là tập mở trong E . Với mỗi x int A ∈ , tồn tại r > 0 sao cho : ( ) B x,r A ⊂ . ( ) ( ) B x,r int B x,r int A ⇒ = ⊂ ( tính chất : A mở o A A⇔ = ) Vậy : intA mở . Ta chứng minh intA là mở lớn nhất trong E bị chứa trong A . Cho G là mở trong E bị chứa trong A . Từ : G A ⊂ suy ra : G int G int A = ⊂ . Vậy : intA là mở lớn nhất trong E bị chứa trong A . d) Chứng minh : A A E \ A∂ = I . www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 3 Theo định nghĩa : x là điểm biên của a khi và chỉ khi ta có đồng thời : + x là điểm dính của A , tức : x A ∈ . + x là điểm dính của E\A , tức : x E \ A ∈ . Do đó : A A E \ A∂ = I . (*) Chứng minh : ( ) A E \ A ∂ = ∂ . Áp dụng (*) cho A và E\A , ta có : ( ) ( ) A A E \ A E \ A A E \ A E \ E \ A E \ A ∂ = = = = ∂ I I I . Chứng minh : ( ) E A int A int E \ A = ∂ U U . ( ) E A E \ A = ∂ ∂ U ( ) A E \ A E \ A   = ∂   U I ( ) ( ) A E \ A E \ E \ A= ∂ U U ( ) ( ) A int E \ A int E \ E \ A= ∂ U U ( do E \ A,E \ E \ A mở ) ( ) ( ) A int E \ A int E \ E \ A ⊂ ∂     U U ( ) A int A int E \ A = ∂ U U ( ) E A int A int E \ A ⇒ ⊂ ∂ U U . ( ) E A int A int E \ A ⇒ = ∂ U U . d) Chứng minh : A ∂ đóng . Vì A,E \ A đóng trong E nên : A A E \ A∂ = I đóng trong E . Chứng minh : A A ∂ ⊂ ⇔ A đóng . Ta có : A A ∂ ⊂ A A A⇔ = ∂U ( ) ( ) ( ) A A A E \ A A A A E \ A⇔ = =U I U I U ( ) ( ) ( ) { } A A E \ A A A E \ A E \ A \ E \ A   = =   I U I U U ( ) { } A E E \ A \ E \ A A E A   = = =   I U I A A ⇔ = ⇔ A đóng . Bài 2 : Cho ánh xạ f từ không gian metric X vào không gian metric Y. www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 4 Chứng minh rằng : f liên tục trên X ( ) ( ) A X,f A f A⇔ ∀ ⊂ ⊂ . Giải a) Phần thuận : Giả sử f liên tục trên X . Cho A X ⊂ tùy ý . CÁCH 1 ( Sử dụng dãy ) Nếu : ( ) y f A ∈ thì : ( ) y f a = với một a A ∈ . Vì a A ∈ nên tồn tại một dãy ( ) n n a A ⊂ hội tụ về a . Vì f liên tục tại a nên ta có : ( ) ( ) ( ) n n n n y f a f lim a lim f a f A →∞ →∞   = = = ∈  ÷   Vậy : ( ) ( ) f A f A⊂ . Cách 2 ( Sử dụng tính chất liên tục và bao đóng ) Ta có : ( ) ( ) 1 1 A f f A f f A − −   ⊂ ⊂       ( ) ( ) 1 1 A f f A f f A − −     ⇒ ⊂ =     ( vì f liên tục và ( ) f A đóng ) ( ) ( ) f A f A⇒ ⊂ . b) Phần đảo : Giả sử : ( ) ( ) A X,f A f A∀ ⊂ ⊂ . (*) Để chứng minh f liênm tục trên X , ta cho F là một tập đóng tùy ý trong Y và ta sẽ chứng minh ( ) 1 f F − đóng trong X . Áp dụng tính chất (*) cho tập ( ) 1 f F X − ⊂ , ta được : ( ) ( ) 1 1 f f F f f F F F − −     ⊂ ⊂ =       ( do F đóng trong X ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 f f F F f F f F f F f F − − − − −   ⇒ ⊂ ⇒ ⊂ ⇒ =     ( ) 1 f F − ⇒ đóng . Vậy : f liên tục trên X . Không gian topo liên thông I. Định nghĩa : + Không gian topo X gọi là liên thông nếu trong X chỉ có tập X và tập ∅ lả các tập vừa đóng , vừa mở trong X mà thôi . + Một tập A X ⊂ gọi là một tập liên thông khi không gian con A là một không gian liên thông . Định nghĩa này rất khó sử dụng để chứng minh một tập là liên thông. Trong thực hành ta sử dụng một trong các định lý sau đây : II. Các định lý cơ bản về không gian topo liên thông : 1) Không gian topo X liên thông nếu X không thể phân hoạch được thành hai tập mở khác rỗng và rời nhau . www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 5 Nghĩa là : X không liên thông khi và chỉ khi tồn tại hai tập 1 2 V ,V X⊂ sao cho : + 1 2 V ,V ≠ ∅ . + 1 2 V ,V mở trong X . + 1 2 V V = ∅I . + 1 2 X V V= U . Định lý này là phương pháp quan trọng nhất và thường được sử dụng để chứng minh một không gian là liên thông . Như vậy , phương pháp chứng minh một không gian liên thông là phương pháp phản chứng . Vì trong không gian topo bất kỳ ta luôn có tính chất : Cho A là tập con khác rỗng của không gian topo X thì : V là tập mở trong không gian con A khi và chỉ khi V có dạng : V G A= I , trong đó G là một tập mở trong X . Nên từ định lý trên ta có hệ quả hiển nhiên sau đây dùng để chứng minh một tập A X ⊂ là liên thông : 2) Một tập A X ⊂ không liên thông khi và chỉ khi tồn tại hai tập 1 2 V ,V X⊂ sao cho : + 1 2 V ,V mở trong X . + 1 2 V A,V A ≠ ∅I I . + ( ) ( ) 1 2 V A V A = ∅ I I I . + 1 2 A V V⊂ U ( tương đương với : ( ) ( ) 1 2 A V A V A = I U I ) 3) Cho ánh xạ f từ không gian topo X vào không gian topo Y . Nếu f liên tục và A X ⊂ liên thông trong X thì f(A) liên thông trong Y . Bài tập 1 : ( Đây là bài tập nền cho các bài tập về liên thông ) Cho không gian topo X và các tập V, A X ∅ ≠ ⊂ và V mở trong X. Chứng minh nếu V A ∩ = ∅ thì V A ∩ = ∅ . Giải Nếu V A ∩ ≠ ∅ thì có x V A ∈ ∩ . + x V ∈ mở trong X ⇒ có lân cận ( ) W x V ⊂ . (1) + ( ) x A W x A∈ ⇒ ∩ ≠ ∅ . (2) ( ) ( ) 1 2 V A ⇒ ∩ = ∅ . Điều này trái với giả thiết V A ∩ = ∅ . Vậy : V A ∩ = ∅ . Bài 2 : Cho tập A liên thông trong không gian topo X và A B A ⊂ ⊂ . Chứng minh B liên thông . Giải www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 6 Nếu B không liên thông thì : ( ) ( ) 1 2 B V B V B = ∩ ∪ ∩ , trong đó : + 1 2 V ,V mở trong X . + 1 2 V B,V B∩ ∩ ≠ ∅ . + ( ) ( ) 1 2 V B V B ∩ ∩ ∩ = ∅ . Ta có : 1 1 1 B A V A V A V B  ⊂  ⇒ ∩ ≠ ∅ ⇒ ∩ ≠ ∅  ∩ ≠ ∅   ( do bài toán 1) Chứng minh tương tự , ta được : 2 V A ∩ ≠ ∅ . Tóm lại , ta có : + 1 2 V ,V mở trong X . + 1 2 V A,V A∩ ∩ ≠ ∅ . + ( ) ( ) 1 2 V A V A ∩ ∩ ∩ = ∅ . + ( ) ( ) 1 2 V A V A A ∩ ∪ ∩ = . ⇒ A không liên thông Điều này trái với giả thiết A liên thông . Vậy : B liên thông . Bài 3 : Cho họ ( ) i i I A ∈ các tập khác rỗng liên thông của không gian topo X thỏa i i I A ∈ I . Chứng minh : i i I A A ∈ = U liên thông . Giải Nếu A không liên thông thì : ( ) ( ) 1 2 A V A V A = I U I , trong đó : + 1 2 V ,V mở trong X . + 1 2 V A,V A ≠ ∅I I . + ( ) ( ) 1 2 V A V A ∩ = ∅ I I . Lấy một i i I x A ∈ ∈ I . (1) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 x A x V A A V A V A x V A V A V A  ∈ ∈ ∩   = ∩ ∪ ∩ ⇒   ∈ ∩   ∩ ∩ ∩ = ∅  Có thể giả sử 1 x V A∈ ∩ . (2) ( ) ( ) 1 i 1 2 x V A , i I ⇒ ∈ ∩ ∀ ∈ . 1 i V A , i I⇒ ∩ ≠ ∅ ∀ ∈ . (3) Ta có : ( ) 2 2 2 i 2 i i I i I V A V A V A V A ∈ ∈   ∩ ≠ ∅ ⇒ ∅ ≠ ∩ = ∩ = ∩  ÷   U U www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 7 0 0 2 i i I: V A ⇒ ∃ ∈ ∩ ≠ ∅ . (4) ( ) 0 1 i 3 V A⇒ ∩ ≠ ∅ . Tóm lại , ta có : + 1 2 V ,V mở trong X . + 0 0 1 i 2 i V A ,V A ≠ ∅ I I . + ( ) ( ) 0 0 1 i 2 i V A V A∩ = ∅I I . + ( ) ( ) 0 0 0 i 1 i 2 i A V A V A= I U I . 0 i A ⇒ không liên thông . Điều này trái với giả thiết 0 i A liên thông . Vậy : A liên thông . Bài 4 : Trong không gian topo X cho hai tập liên thông A,B khác rỗng sao cho A B ∩ ≠ ∅ . Chứng minh A B ∪ liên thông . Giải Nếu C A B = ∪ không liên thông thì : ( ) ( ) C V C W C = ∩ ∪ ∩ trong đó : + V,W mở trong X . + V C, W C ∩ ∩ ≠ ∅ . + ( ) ( ) V C W C ∩ ∩ ∩ = ∅ . Lấy một x A B ∈ ∩ . (1) Vì : ( ) ( ) ( ) ( ) x C,C V C W C , V C W C ∈ = ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ = ∅ Nên x hoặc chỉ thuộc V C ∩ hoặc chỉ thuộc W C ∩ . Có thể giả sử x V C ∈ ∩ . (2) ( ) ( ) 1 2 x V A B V A ⇒ ∈ ∩ ∩ ⇒ ∩ ≠ ∅ . (3) Vì : W C ∩ ≠ ∅ nên : ( ) ( ) ( ) W C W A B W A W B ∅ ≠ ∩ = ∩ ∪ = ∩ ∩ ∩ . W A ⇒ ∩ ≠ ∅ . (4) Từ (3),(4) suy ra : + V,W mở trong X . + V A, W B ∩ ∩ ≠ ∅ . + ( ) ( ) V A W A ∩ ∩ ∩ = ∅ . + ( ) ( ) A V A W A = ∩ ∪ ∩ . ⇒ A không liên thông ( trái giả thiết ) . Vậy : C A B = ∪ liên thông . Bài 5 : www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 8 Trong không gian topo X ,cho n tập liên thông 1 2 n A ,A , ,A khác rỗng sao cho : i i 1 A A , i 1,2, , n 1 + ∩ ≠ ∅ ∀ = − . Chứng minh : n i i 1 A = ∪ liên thông . Giải Ta chứng minh n n i i 1 B A = = ∪ liên thông bằng qui nạp . Theo bài 4 thì đpcm đúng khi n = 1 , 2 . Giả sử ta có n n i i 1 B A = = ∪ liên thông với một số tự nhiên n nào đó. Ta chứng minh n 1 n 1 i i 1 B A + + = = ∪ liên thông . Vì n 1 n n 1 B B A + + = ∪ , mà n n 1 B ,A + là các tập liên thông khác rỗng thỏa n n 1 B A + ∩ ≠ ∅ nên áp dụng kết quả khi n = 2 , ta có n 1 B + liên thông . Vậy , theo nguyên lý quy nạp , ta có : n n i i 1 B A = = ∪ liên thông , n 1 ∀ ≥ . Bài 6 : Cho dãy ( ) n n A các tập liên thông khác rỗng trong KG topo X thỏa : n n 1 A A , n 1 + ∩ ≠ ∅ ∀ ≥ . Chứng minh : n n 1 A A ≥ = U liên thông . Giải Chứng minh được n n i i 1 B A = = ∪ liên thông , n 1 ∀ ≥ .( Bài toán 5 ) . Nếu n n 1 A A ≥ = U không liên thông thì : ( ) ( ) A V A W A = ∩ ∪ ∩ , trong đó : + V , W mở trong X . + V A,W A ∩ ∩ ≠ ∅ . + ( ) ( ) V A W A ∩ ∩ ∩ = ∅ . Vì : V A ∩ ≠ ∅ nên : ( ) n n n 1 n 1 V A V A ≥ ≥   ∅ ≠ ∩ = ∩  ÷   U U . 1 1 1 n n n 1: V A V B ⇒ ∃ ≥ ∩ ≠ ∅ ⇒ ∩ ≠ ∅ . Tương tự , từ W A ∩ ≠ ∅ suy ra : 2 2 n n 1: V B ∃ ≥ ∩ ≠ ∅ . Chọn { } 0 1 2 n max n ,n = thì : 0 0 n n V B ,W B ∩ ∩ ≠ ∅ . Đến đây , ta có : + V,W mở trong X . + 0 0 n n V B , W B ∩ ∩ ≠ ∅ . + ( ) ( ) 0 0 n n V B W B∩ ∩ ∩ = ∅ . + ( ) ( ) 0 0 0 n n n V B W B B∩ ∪ ∩ = . 0 n B ⇒ không liên thông ( trái giả thiết ) www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 9 Vậy : n n 1 A A ≥ = U liên thông . Bài 7 : Chứng minh không gian topo X có tính chất : “ Với mọi x,y thuộc X , luôn tồn tại không gian con liên thông Y sao cho x, y Y ∈ “ thì X liên thông . Giải Cố định một x X ∈ thì với mỗi y Y ∈ , tồn tại một không gian con y Y sao cho : y x, y Y ∈ . Vì : y y Y Y ∈ ≠ ∅I ( nó luôn chứa x ) và : y y Y X Y ∈ = U Nên theo bài tập 6 , ta có X liên thông . Bài 8 : Trong không gian topo X , cho các tập liên thông A và B sao cho A B ∩ ≠ ∅ . Chứng minh A B ∪ liên thông . Giải Nếu C A B = ∪ không liên thông thì : ( ) ( ) C V C W C = ∩ ∪ ∩ Trong đó : + V,W mở trong X . + V C, W C ∩ ∩ ≠ ∅ . + ( ) ( ) V C W C ∩ ∩ ∩ = ∅ . Lấy một x A B ∈ ∩ . Ta có : + x A C ∈ ∩ + ( ) ( ) A C A V C W C ∩ = ∩ ∩ ∪ ∩    ( ) ( ) ( ) ( ) A C V A C W A B V A B W= ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ Bài 9 : Cho B là một tập con liên thông của không gian metric X và A là một tập con bất kỳ của X sao cho : ( ) A B, X \ A B ∩ ∩ ≠ ∅ . Chứng minh rằng : B A ∩∂ ≠ ∅ . Giải Từ giả thiết : ( ) B A, B X \ A ∩ ∩ ≠ ∅ và tính chất : ( ) ( ) ( ) B A B A X \ A B A B X \ A∩∂ = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ Ta suy ra : nếu B A ∩ ∂ = ∅ thì : + B A;B X \ A ∩ ∩ ≠ ∅ . + B A;B X \ A ∩ ∩ đóng trong B . + ( ) ( ) B A B X \ A∩ ∩ ∩ = ∅ . + ( ) ( ) B A B X \ A B∩ ∪ ∩ = . ⇒ B không liên thông ( mâu thuẫn ) . Vậy , phải có : B A ∩ ∂ ≠ ∅ . Bài 10 : Cho không gian metric X . Chứng minh X liên thông nếu và chỉ nếu với mọi A X, A X ⊂ ∅ ≠ ≠ ta đều có phần biên A ∂ ≠ ∅ . www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 10 Giải a) Phần thuận : Giả sử X liên thông và A X, A X ⊂ ∅ ≠ ≠ . Ta có : A A X \ A ∂ = ∩ . Vậy , nếu A ∂ = ∅ thì : + A,X \ A là các đóng khác rỗng trong X . + A X \ A ∩ = ∅ . + X A X \ A = ∪ . ⇒ X không liên thông ( mâu thuẫn ) . Vậy : nếu A X, A X ⊂ ∅ ≠ ≠ thì A ∂ = ∅ . b) Phần đảo : Nếu X không liên thông thì tồn tại A X, A X ⊂ ∅ ≠ ≠ sao cho A vừa đóng vừa mở trong X . Khi đó : A A X \ A ∂ = ∩ ( ) A X \ A = ∩ ( Vì A , X\A đóng ) = ∅ . Bài 11 : Cho (E,d) là một không gian metric liên thông , không bị chặn . Chứng minh rằng mọi mặt cầu ( ) ( ) { } S x,r y E / d , x r = ∈ = đều khác rỗng . Giải: Ta có : ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) S x,r y E / d y,x r B x,r B' x,r C x,r = ∈ = = ∂ = ∩ Với : ( ) ( ) { } B' x,r E / d y, x r = ∈ ≤ và ( ) { } C y E / d y,x x = ∈ ≥ Nếu ( ) ( ) { } S x,r y E / d y,x r = ∈ = = ∅ thì ta có : + ( ) ( ) B' x,r ,C x,r là các tập đóng khác rỗng trong E . + ( ) ( ) B' x,r C x,r ∩ = ∅ . + ( ) ( ) E B' x,r C x,r = ∪ . ⇒ E không liên thông ( mâu thuẫn ) . Vậy : ( ) S x,r ≠ ∅ . 6. Không gian compact Bài 1 ( Số Lebesgue ) : Cho không gian metric (X,d) và ( ) i i I G ∈ là một họ phủ mở của nó . Ta nói số 0 α > là số Lebesgue của họ phủ mở ( ) i i I G ∈ nếu : i A X,diamA iG I : A G∀ ⊂ < α ⇒ ∃ ∈ ⊂ . Chứng minh rằng trong một khong gian metric compact , mọi bao phủ mở đều có một số Lebesgue . Chú ý : Từ đề bài ta suy ra : Họ phủ mở ( ) i i I G ∈ của (X,d) có số Lebesgue nếu và chỉ nếu : i 0 : A X,diamA i I: A G∃α > ∀ ⊂ < α ⇒ ∃ ∈ ⊂ . Giải [...]... , họ phủ mở ( G i ) i∈I có số Lebesgue Bài 2 : (i) Chứng minh rằng mọi không gian compact đều tiền compact (ii) Từ (i) và bài tập 1 , hãy suy ra rằng : Để không gian metric (X,d) compact , ĐKCVĐ là mọi bao phủ mở của X đều có một bao phủ con hữu hạn Giải (i) Giả sử (X,d) là không gian compact Nếu (X,d) không tiền compact thì tồn tại ε > 0 sao cho không thể phủ được X bằng một số hữu hạn hình cầu... minh hợp của một số hữu hạn các tập compact khác rỗng cũng là một tập compact Giải Giả sử : K1, K 2 , , K n ≠ ∅ là các tập com pact www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 12 ) ) 1≤i≤n n Ta chứng minh tập K = ∪ K i compact i =1 ( ) Giả sử K có phủ mở G j j∈J ( ( )) ( ) i Với mỗi i = 1 , 2 , … , n , vì G j j∈J là phủ mở của tập compact K i nên tồn tại phủ con hữu hạn G jp 1≤p≤n i n n ni (... phủ con hữu hạn G jp 1≤i≤ n trich ra từ phủ mở G j j∈J 1≤p≤ n i n Vậy , K = ∪ K i compact i =1 -Bài 4 : Cho ( K n ) n∈¥ là dãy giảm các tập compact khác rỗng của không gian metric X Chứng minh tập K = ∩ K n là tập compact không rỗng của X n∈¥ Giải Với mỗi n ∈ ¥ , K n ≠ ∅ , ta chọn ra một x n ∈ K n Ta được dãy ( x n ) n trong tập compact K 0 nên tồn tại dãy con... n∈¥ Ta chứng minh K compact Cho dãy ( x m ) m ⊂ K tùy ý và cố định một n tùy ý Vì ( x m ) m ⊂ K n compact nên tồn tại dãy con hội tụ : ( ) ( n) xm k k →∞ k → x ∈ Kn Vì : x ∈ K n , ∀n ∈ ¥ nên : x ∈ I K n = K n∈¥ Vậy : K compact Bài 5 : n →∞ Trong không gian metric E , cho dãy ( x ) → a n n www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 13 Chứng minh tập K = { a} ∪ { x n / n ∈ ¥ } compact Giải Cách... ra đươc phủ con hữu hạn G in 0≤n ≤n 0 Vậy : K compact -Bài 6 : Cho X,Y là các không gian metric và ánh xạ f : X → Y sao cho với mọi tập compact K ⊂ X , ta có Chứng minh f liên tục trên X Giải f|K liên tục Trong X , cho một dãy ( x n ) n tùy ý hội tụ về phần tử x ∈ X Theo bài 5 thì tập K = { x} ∪ { x n / n ∈ ¥ } compact Vì f|K liên tục trên tập compact K nên... ra được phủ con hữu hạn G ik 1≤ k ≤n b) Phần đảo : Gỉả sử từ mọi phủ mở của (X,d) ta đều trích ra được một phủ con hữu hạn Cho ( x n ) n ⊂ X tùy ý Nếu A = { x n / n ≥ 1} hữu hạn thì có dãy con hội tụ là một dãy hằng Nếu A vô hạn và nếu A không có điểm tụ nào cả thì : ∀x ∈ X, ∃rx > 0 :  B ( x, rx ) \ { x}  ∩ A = ∅   Suy ra : ∀x ∈ X, ∃rx > 0 : B ( x, rx ) ∩ A ⊂ { x} ( ( Không gian compact nhận... www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 13 Chứng minh tập K = { a} ∪ { x n / n ∈ ¥ } compact Giải Cách 1 : Mọi dãy trong K đều là dãy con của dãy ( x n ) n∈¥ n →∞ Vì ( x ) → a nên mọi dãy con trong K đều hội tụ về a ∈ K n n Vậy : mọi dãy trong K đều chứa một dãy con hội tụ về a Vậy : K compact Cách 2 : Gỉa sử ( G i ) i∈I là một phủ mở của K Ta có : a ∈ K ⊂ U G i nên : ∃i0 ∈ I : a ∈ G i0 i∈I Vì lim x n =... phủ mở nên tồn tại một phủ con hữu hạn B x, rx i Vậy : n  n A = A ∩ X = A ∩  ∪ B x i , rxi  = ∪ A ∩ B x i , rxi    i=1  i=1 ( ) ( ) n ⊂ ∪ { x i } = { x1, x 2 , , x n } i =1 ⇒ A hữu hạn ( vô lý ) Vậy , A phải có một điểm tụ x ∈ X và do đó tồn tại một dãy con ( x n ) k ⊂ A hội tụ về x ∈ X k Tóm lại , mọi dãy trong X đều chứa một dãy con hội tụ Vậy : X là không gian compact ... một dãy ( xn ) n ⊂ X sao cho d ( x m , x n ) ≥ ε, ∀m ≠ n www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 11 Như vậy , mọi dãy con của dãy ( x n ) n không phải là dãy Cauchy nên không thể hội tụ và như vậy thì (X,d) không compact ( mâu thuẫn ) (ii) a/ Phần thuận : Giả sử (X,d) compact Cho ( G i ) i∈I là một phủ mở của (X,d) thì tồn tại một số Lebesgue 3α > 0 sao cho : ∀A ⊂ X, diam ( A ) < 3α ⇒ ∃i ∈...Cho (X,d) là không gian metric compact và ( G i ) i∈I là một họ phủ mở của nó Giả sử họ ( G i ) i∈I không có số Lesgue thì : 1  d iamA n < ∀n ∈ ¥ , ∃A n ⊂ X :  n A n ⊄ G i , ∀i ∈ I  ∗ (1) Với mỗi n ∈ ¥ ∗ , ta chọn ra một a n ∈ A n thì được dãy ( a n ) trong không gian compact X nên tồn tại dãy con ( a n ) k hội tụ về một phần tử a ∈ X k Vì X = U G i nên tồn . rằng mọi không gian compact đều tiền compact . (ii) Từ (i) và bài tập 1 , hãy suy ra rằng : Để không gian metric (X,d) compact , ĐKCVĐ là mọi bao phủ mở của X đều có một bao phủ con hữu hạn . Giải (i). một dãy con ( ) k n k x A ⊂ hội tụ về x X ∈ . Tóm lại , mọi dãy trong X đều chứa một dãy con hội tụ . Vậy : X là không gian compact . Bài 3 : Chứng minh hợp của một số hữu hạn các tập compact. K đều là dãy con của dãy ( ) n n x ∈¥ . Vì ( ) n n n x a →∞ → nên mọi dãy con trong K đều hội tụ về a K ∈ . Vậy : mọi dãy trong K đều chứa một dãy con hội tụ về a . Vậy : K compact . Cách