a b c M b c c a a b = + + + + + UBND huyện thanh sơn PHòNG GD&ĐT THANH SƠN Đề THI HọC SINH NĂNG KHIếU CấP HUYệN Năm học: 2009-2010 Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 ( 4,0 điểm): a. Tính giá trị của biểu thức A = + + 4 3 2 19 19 19 20x x x x tại x = 18. b. Chứng minh rằng: Với a, b là 2 số nguyên tùy ý ta luôn có 8ab(a 2 - b 2 +6) M 48 Bài 2 ( 4,0 điểm): a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( ) ( ) ( )A ab a b bc b c ac a c = + + + b) Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho 4x 2 + 12 là bình phơng của một số tự nhiên. Bài 3 ( 6,0 điểm): Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đờng chéo. Qua O kẻ đ- ờng thẳng song song với AB cắt AD tại E; cắt BC tại F. a. Chứng minh : AOD BOC S S = b. Chứng minh: OE = OF. c. Chứng minh: + = 1 1 2 AB CD EF Bài 4 ( 4,0 điểm): Giải các phơng trình sau a) 4x 2 - 4x -3 = 0 b) 2 2 2 ( ) 4 4 12x x x x + + + Bài 5 (2,0 điểm): Cho a+b ạ 0; b+c ạ 0; c +a ạ 0 và thỏa mãn điều kiện a 3 + b 3 + c 3 = 3abc a) Chứng minh a+b+c = 0 hoặc a = b = c. b) Tính giá trị biểu thức . Hết UBND huyện thanh sơn PHòNG GD&ĐT THANH SƠN hớng dẫn chấm THI HọC SINH NĂNG KHIếU CấP HUYệN Năm học: 2009-2010 Môn: Toán 8 Câu Đáp án Điểm 1 a) Tính giá trị của biểu thức A = + + 4 3 2 19 19 19 20x x x x tại x = 18. (1,5) A = x 4 -18x 3 -x 3 +18x 2 +x 2 -18x-x+18+2 = x 3 (x-18)-x 2 (x-18)+x(x-18)-(x-18)+4 Với x = 18, giá trị của biểu thức A là 2 0,5 0,5 0,5 b) Chứng minh rằng: Với a, b là 2 số nguyên tùy ý ta luôn có 8ab(a 2 - b 2 + 6) M 48 (2,5) Với a,b Z, ta có ab(a 2 - b 2 + 6) = ab[(a 2 -1)-(b 2 -1)+ 6] = ab(a 2 -1) - ab(b 2 -1) + 6ab= ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1) + 6ab Ta thấy a(a-1)(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a(a-1)(a+1) M 3. a(a-1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên a(a-1) M 2 hay a(a-1)(a+1) M 2. Mà (2,3) = 1 => a(a-1)(a+1) M 6. Tơng tự b(b-1)(b+1) M 6 suy ra ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1) M 6 hay ab(a 2 - b 2 ) M 6 =>ab(a 2 - b 2 ) + 6ab M 6 Suy ra 8ab(a 2 - b 2 + 6) M 48 (Đpcm) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 2 (4) a) Phân tích đa thức ( ) ( ) ( )A ab a b bc b c ac a c = + + + thành nhân tử (2) ( ) ( ) ( )A ab a b bc b c ac a c = + + + = a 2 b + ab 2 - b 2 c - bc 2 + ac(a-c) = b(a 2 - c 2 ) + b 2 (a - c) + ac(a-c) = b(a-c)(a+c) + b 2 (a - c) + ac(a-c) = (a-c)(ab + bc + b 2 + ac) = (a-c)(a+b)(b+c) 0,5 0,5 0,5 0,5 b) Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho 4x 2 + 12 là bình phơng của một số tự nhiên. (2) Giả sử có số tự nhiên x thỏa mãn đề bài Ta có 4x 2 + 12 = 4(x 2 + 3) là bình phơng của một số tự nhiên => x 2 + 3 = 4y 2 (1) (Với y N) <=> 4y 2 - x 2 = 3 <=> (2y-x)(2y+x) = 3 (2) Theo (1): 4y 2 = x 2 + 3 > x 2 hay (2y) 2 > x 2 Nhng x, y N nên 2y>x => 2y-x > 0 và 2y+x > 0 Mặt khác (2y+x) - (2y-x) = 2x 0 (do x N) Từ (2) => 2 1 2 3 y x y x = + = => 2y= 1 3 2 2 + = => y=1 => x =2y-1=1 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy x=1 là giá trị duy nhất cần tìm. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 3 (6) O A B D C F E H K . = + + 4 3 2 19 19 19 20x x x x tại x = 18. (1,5) A = x 4 -18x 3 -x 3 +18x 2 +x 2 -18x-x+ 18+ 2 = x 3 (x- 18) -x 2 (x- 18) +x(x- 18) -(x- 18) +4 Với x = 18, giá trị của biểu thức A là 2 0,5 0,5 0,5 b). + + + + + UBND huyện thanh sơn PHòNG GD&ĐT THANH SƠN Đề THI HọC SINH NĂNG KHIếU CấP HUYệN Năm học: 2009-2010 Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 ( 4,0. Tính giá trị biểu thức . Hết UBND huyện thanh sơn PHòNG GD&ĐT THANH SƠN hớng dẫn chấm THI HọC SINH NĂNG KHIếU CấP HUYệN Năm học: 2009-2010 Môn: Toán 8 Câu Đáp án Điểm 1 a) Tính giá trị