Trờng đại học thuỷ lợi Bộ môn cơ học ứng dụng [\ [\ GS.TS Nguyễn Thúc An PGS.TS Nguyễn Đình Chiều PGS.TS Khổng Doãn Điền Lý thuyết dao động H Nội 2003 Lời nói đầu Giáo trình Cơ học Lý thuyết II Lý thuyết Dao động Tác giả PGS. PTS Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại Trờng Đại học Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành Thuỷ điện và ngành Máy Xây Dựng những năm qua, trong đó đề cập đến các bài toán dao động của hệ một bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự do và giải quyết nguyên lý của bộ tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động của một vài trờng hợp cụ thể và cách giải quyết khi hệ có nguy cơ xuất hiện hiện tợng cộng hởng. Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL và các học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến bài toán động lực, chúng tôi biên soạn và đa vào thêm: Chơng IV (Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi và áp dụng Lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc); Chơng V (Cơ sở của Lý thuyết dao động phi tuyến) và có đa vào những ví dụ gần với thực tế tính toán công trình cho ngành Thuỷ lợi. Tài liệu dùng để giảng dạy Lý thuyết dao động cho sinh viên các ngành Công trình, Thuỷ điện, Cấp thoát nớc, Trạm bơm và giảng dạy môn Dao động kỹ thuật cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi. Tài liệu này cũng có thể dùng làm tài liệu ôn tập thi tuyển Cao học và Nghiên cứu sinh cho các ngành Công trình, Động lực và làm tài liệu học tập và tham khảo cho Nghiên cứu sinh các ngành có liên quan. Chúng tôi mong nhận đợc những đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và bạn đọc để bổ xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày một hoàn chỉnh hơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2003. Các tác giả 1 Chơng mở đầu Đ1. Một vi khái niệm v định nghĩa 1.1. Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lợng vô hớng đợc chia thành hai dạng: Các quá trình dao động và các quá trình không dao động. Quá trình dao động đợc đặc trng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của các đại lợng biến đổi. Nó đợc mô tả bằng các phơng trình toán học. Dao động trong đó các phơng trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính, gọi là dao động tuyến tính. Ngợc lại, gọi là dao động không tuyến tính (phi tuyến). 1.2. Chuyển động dao động đợc đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ. Hàm f * (t) mô tả quá trình dao động có chu kỳ, nếu nh tồn tại giá trị T > 0, thoả mãn điều kiện sau: )nTt(f )T2t(f)Tt(f)t(f **** = = = = (1) Trong đó: T gọi là chu kỳ; n là số nguyên dơng. Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hoà. Về mặt động học dao động điều hoà đợc miêu tả bởi hệ thức: )ktsin(Aq + = (2) ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và đợc gọi là biên độ dao động; (kt+) là Argument của sin gọi là pha dao động; là pha ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T bởi hệ thức: ++= + + 2kt)Tt(k , từ đó: )s/rad( T 2 k = (3) Số lần dao động trong một đơn vị thời gian đợc tính theo công thức: == 2 k T 1 f (4) f đợc gọi là tần số; đơn vị thờng dùng là Hecz (Hz). Đ2. Động năng của hệ Xét hệ N chất điểm có n bậc tự do. Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ: q 1 , q 2 , q n (q i , i = n,1 ). Với hệ chịu liên kết dừng, vị trí của một điểm M k bất kỳ đợc biểu diễn: )q ,,q,q(rr nkk 21 = 2 Từ đó: = == n 1i i i kk k q q r dt rd v (5) Động năng của hệ xác định bằng biểu thức: = = n 1k 2 kk vm 2 1 T Thay (5) vào biểu thức trên với chú ý: kk 2 k v.vv = Ta có: = = n 1j,i ji ij qqA 2 1 T (6) ở đây: A ij = A ji là các hệ số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng. Khai triển chúng theo chuỗi lũy thừa tại lân cận vị trí cân bằng )n,1i;0q( i == và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta nhận đợc biểu thức động năng của hệ đã tuyến tính hoá: = = n 1j,i ji ij qqa 2 1 T (7) Trong đó: gọi là các hệ số quán tính (thực tế là khối lợng hoặc mômen quán tính). 0ijjiij )A(aa == Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có: 2 qa 2 1 T = , trong đó a = A(0) (8) Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta đợc: ++= 2 2 22 21 12 2 1 11 2 2 1 qaqqaqaT (9) ở đây: 022220121201111 )A(a;)A(a;)A(a = == . Các hệ số của dạng toàn phơng (7) thoả mãn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định dơng), nghĩa là: 0 a aa a aa a aa ;;0 aa aa ;0a nn2n1n n22221 n11211 2221 1211 11 >>> Đ3. Thế năng của cơ hệ. Với liên kết dừng, thế năng của hệ cũng là hàm của các toạ độ suy rộng: )q ,,q,q( n21 = Trong hệ bảo toàn, tại vị trí cân bằng )n,1i;0q( i == , thế năng của hệ có giá trị cực trị nên: 3 0 0 = = i q i q Với i = n,1 (10) Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân bằng ổn định của hệ bảo toàn, thế năng của hệ cực tiểu. Khai triển theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng ổn định )n,i;q( i 10 == , ta có: == ++ += n 1i n 1j,i jiiji 0 i 0 qqc 2 1 q q )( (11) Nếu chọn vị trí cân bằng ổn định của hệ làm gốc tính thì 0)( 0 = và do (10) nên số hạng thứ hai trong (11) bằng không. Mặt khác với hệ tuyến tính sẽ không chứa trong khai triển của thế năng các thành phần bậc cao hơn hai đối với toạ độ suy rộng. Do đó thế năng của hệ khi tuyến tính hoá là dạng toàn phơng sau: = = n 1j,i jiij qqc 2 1 (12) ở đây: 0 ji 2 jiij qq cc == gọi là các hệ số cứng. Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có: 2 cq 2 1 = , )0(c = (13) Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta đợc: )qcqqcqc( 2 2222112 2 111 2 2 1 ++= (14) Trong đó: 0 2 2 2 22 0 21 2 12 0 2 1 2 11 q c; qq c; q c = = = Tơng tự nh phần Đ2, các hệ số c ij của dạng toàn phơng (12) thoả mãn điều kiện xác định dơng. Đ4. Hm hao tán. Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc: kkk v.R = Trong đó: là hệ số cản (nhớt); 0 k > k v là vận tốc của chất điểm thứ k thuộc hệ. Gọi toạ độ suy rộng của của hệ: )n,1i(q i = . Các lực suy rộng tơng ứng với lực cản bằng: i k n 1k k k i k n 1k ki q r v q r RQ = = == 4 Khi sử dụng đồng nhất thức Lagrăng: , q r q r i r i k = ta có: = = = = 2 v qq r rQ 2 k n 1k k ii k k n 1k ki Hay: i i q Q = (15) ở đây ta đặt: = = n 1k 2 k k 2 v (16) đợc biểu diễn ở (16) gọi là hàm hao tán. Ta có thể viết giống nh động năng T trong tọa độ suy rộng: = = n 1j,i ji ij qqB 2 1 (17) Trong đó: là các hàm chỉ của toạ độ suy rộng: jiij BB = )n,1i(q i = . Khai triển chúng theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng )n,1i(;0q i == và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta nhận đợc biểu thức của hàm hao tán đã tuyến tính hoá: = = n 1j,i ji ij qqb 2 1 (18) ở đây: 0ijjiij )B(bb = = là các hệ số cản suy rộng. Khi hệ có một bậc tự do (n = 1): 0)0(Bb;qb 2 1 2 >== (19) Khi hệ có hai bậc tự do (n = 2): )qbqqb2qb( 2 1 2 2 22 21 12 2 1 1 ++= (20) Trong đó: 022220121201111 )B(b;)B(b;)B(b = == . Các hệ số của dạng toàn phơng (18) cũng thoả mãn tiêu chuẩn xác định dơng. ij b Đ5. Phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân chuyển động. 5.1. Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng trình Lagrăng II. Cơ sở lý thuyết của nhiều công trình nghiên cứu dao động các hệ Hôlônôm nhiều bậc tự do là việc áp dụng phơng trình Lagrăng loại II. Phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân chuyển động của hệ dao động bằng cách sử dụng phơng trình Lagrăng loại II gọi là phơng pháp cơ bản. Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ độ suy rộng độc lập: )n,i:q(q ,q,q in 1 21 = , phơng trình Lagrăng loại II có dạng: n,1i;Q q T q T dt d i i i == (21) 5 5.1a. Nếu các lực tác dụng lên hệ chỉ là lực có thế. Ta có: n,1i; q QQ i ii = == Phơng trình (21) trở thành: n,1i; qq T q T dt d ii i = = (21a) Đa vào hàm Lagrăng: = TL , ta đợc: n,1i;0 q L q L dt d i i == (21b) 5.1b. Nếu các lực tác dụng lên hệ bao gồm cả lực có thế và lực cản nhớt ta có: n,1i; q q QQQ i i iii = =+= Phơng trình (21) trở thành: n,1i; q qq T q T dt d i ii i = = (22) Khi chú ý đến hàm Lagrăng L: n,1i;0 q q L q L dt d i i i == + (22a) 5.1c. Nếu lực tác dụng lên hệ ngoài các lực có thế, và lực cản nhớt còn có các ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t; lực suy rộng của nó ký hiệu Q i P , ta có: n,i;QQQQ P iiii 1=++= Và phơng trình (21) viết ở dạng: n,i;Q q qq T q T dt d P i i ii i 1=+ = (23) Thí dụ 1: Con lắc kép gồm hai thanh đồng chất: AB = BC = 2L, trọng lợng P 1 = P 2 = P nối với nhau bởi bản lề B. Con lắc thực hiện dao động nhỏ trong mặt phẳng thẳng đứng xung quanh vị trí cân bằng Ay; ngoài ra AB quay xung quanh trục A; BC quay xung quanh bản lề B (Hình 1). 6 Bài giải Giả thiết các thanh rắn tuyệt đối ; hệ có hai bậc tự do. Ta chọn 1 , 2 là các góc lệch của thanh với phơng thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng. Tại vị trí cân bằng thì 1 = 2 = 0. Phơng trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là: Hình 1 A x B D C y P 1 P 2 1 2 2,1i;Q TT dt d i i i == (a) Chọn hệ trục tọa độ Axy nh hình vẽ. Động năng của hệ bằng: 2 2 Dz 2 D 2 D BC 2 1 AzBCAB J 2 1 yxm 2 1 J 2 1 TTT + ++=+= Ta có: 2 DzBC 2 Az )L2( g P 12 1 J, g P m,)L2( g P 3 1 J === += += )coscos2(Ly )sinsin2(Lx 21D 21D Ta có: ++= )cos(34 g3 PL2 T 21 21 2 2 2 1 2 Xét dao động nhỏ: 1)cos( 21 , ta nhận đợc: )34( g3 PL2 T 21 2 2 2 1 2 ++= (b) Thế năng của hệ bằng công trọng lợng các thanh khi hệ chuyển dịch từ vị trí khảo sát ( 1 ; 2 ) tới vị trí cân bằng thẳng đứng ( 1 = 0 ; 2 = 0), ta có: [ ] )cos1()cos1(2PL)cos1(PL 211 + += Rút gọn: )coscos34(PL 21 = Với nhỏ: 21 , 2 1cos; 2 1cos 2 2 2 2 1 1 Ta có: )3( 2 PL 2 2 2 1 += (c) Thay (b) và (c) vào (a), ta nhận đợc phơng trình vi phân dao động nhỏ của hệ: 21 2 21 1 g3 L4 g L2 ; g L2 g3 L16 3 == 7 5.2. Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng pháp Đalămbe. Theo nguyên lý Đalămbe: ở mỗi thời điểm các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và các phản lực liên kết cân bằng với các lực quán tính. Từ đó: () = ++ =++ kkk qt kOkO a kO kk qt kk k a k FmNmFm FNF 0 0 (24) Trong đó: kk qt k WmF = 5.3. áp dụng phơng pháp lực để lập phơng trình vi phân dao động nhỏ (trờng hợp riêng của phơng pháp Đalămbe). Giả sử cho một dầm đàn hồi có gắn một số hữu hạn khối lợng tập trung . Để lập phơng trình vi phân dao động (uốn) của dầm, thuận lợi hơn cả là dùng phơng pháp lực. Khi này cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị. n m ,,m,m 21 Các dịch chuyển theo hớng i do lực đơn vị tác dụng theo hớng k gây ra gọi là dịch chuyển đơn vị, ký hiệu ik . Các dịch chuyển đơn vị ik còn gọi là các hệ số ảnh hởng (Hình 2). k ik P k = 1 i Hình 2 m 1 m n m 3 m 2 Đối với các hệ đàn hồi, theo hớng k hệ chịu tác dụng của lực P k thì dịch chuyển do nó gây ra theo hớng i sẽ tỷ lệ với lực, nghĩa là: y i = P k ik . Do đó, dới tác dụng đồng thời của các lực P 1 , P 2 , , P n dịch chuyển toàn phần xác định theo công thức: (25) ik n 1k ki Py = = Công thức (25) là cơ sở để thiết lập phơng trình vi phân dao động của hệ theo phơng pháp lực. Theo kết quả trong giáo trình SBVL, ta có các công thức xác định hệ số ảnh hởng ik sau đây: 8 5.3a. Xác định ik khi uốn của thanh: Dùng công thức MO: = L 0 ki ik EJ dx.M.M (26) Trong đó: EJ là độ cứng của thanh khi uốn; )x(M i và )x(M k là các mômen uốn do lực đơn vị và gây ra (Hình 3). 1P i = 1P k = P i = 1 M i =(x) x M k =(x) x P k = 1 5.3b. Sử dụng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin: EJ M * k i ik = (27) ở đây: là diện tích biểu đồ i * ki M,M là tung độ của biểu đồ k M tơng ứng hoành độ trọng tâm của . Khi sử dụng công thức (27) cần chú ý chia chiều dài thanh sao cho trong mỗi đoạn của i k M là đờng thẳng. Theo định lý Macxoen ta luôn có: kiik = Thí dụ 2: Xác định các hệ số ảnh hởng trong trờng hợp dầm chịu các trọng tải tập trung nh hình vẽ (Hình 4). Hình 3 m m m L/6 L/3 L/3 L/6 L/6 5L/6 P 1 = 1 M 1 5L 36 Hình 5a Hình 4 9 [...]... với dao động tự do tần số riêng k Khi q (0) = q (0) = 0 , những dao động này không xảy ra Số hạng thứ ba cũng là dao động điều hoà với tần số riêng k, nhng biên độ phụ thuộc vào lực kích động Nó luôn xảy ra cùng dao động cỡng bức với điều kiện đầu tuỳ ý 2) Số hạng cuối của (1-38) ký hiệu là q : q= P0 sin pt k p2 2 (1-39) Biểu thị dao động cỡng bức thuần tuý Ta chú ý một số tính chất sau: a) Dao động. .. đợc nghiệm (1-2) dới dạng biên độ: q = Asin(kt +) (1-3) 2 ở đây: A = C1 + C 2 là biên độ dao động; (kt +) là pha dao động; là pha ban đầu; 2 k là tần số vòng (tần số dao động riêng) của hệ 2 a = 2 k c Gọi f là số dao động trong một đơn vị thời gian (tần số dao động) , khi đó: Chu kỳ dao động T tính theo công thức: T = (1-4) 1 k 1 c (1-5) = = T 2 2 a Các hằng số A và đợc xác định từ các điều kiện ban... Do k 2 n 2 = k 1 D 2 , nên chuyển động của hệ đợc phân ra các trờng hợp: D < 1: Độ cản nhỏ D > 1: Độ cản lớn D = 1: Độ cản tới hạn 19 (1-23) Nh thế, khi D < 1 chuyển động của hệ là dao động tắt dần khi D 1 chuyển động của hệ là tắt dần không dao động Giữa độ cản Lehr D với độ suy giảm Lôgarit , có liên hệ bằng hệ thức sau: = 2 D (1-24) 1 D2 Thí dụ 1-1: Xét dao động nhỏ của con lắc toán học có độ... 1) Số hạng đầu của (1-46) ứng với dao động tự do có cản Thực tế nó tắt dần theo thời gian Sau một khoảng thời gian nào đó có thể bỏ qua và xem hệ chỉ thực hiện dao động cỡng bức thuần tuý: q = P0 sin( pt ) ( k 2 p 2 ) 2 + 4n 2 p 2 (1-47) Phơng trình (1-47) xác định chế độ dao động bình ổn của hệ 2) Dao động cỡng bức kể cả khi có cản vẫn xảy ra với tần số lực kích động p Biên độ của nó không phụ thuộc... 76,5 NS 2PL g Đ1.2 Dao động cỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do Dao động cỡng bức xảy ra khi hệ có tác dụng của các kích động ngoài Các kích động này có thể tuần hoàn hoặc va chạm Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động ngoài là hàm của thời gian t: P (t ) Gọi QP là lực suy rộng của lực kích động ngoài Phơng trình... L 1 + C2 mr 16 rC 10 + Nửa đĩa tròn trên mặt phẳng mgrC C r m J C + m(r rC ) 2 (q = ) =0 mgrC J C + (r rC ) 2 m 1.1.2 Dao động tự do có cản ở trên ta coi sự hao tán năng lợng trong dao động không xảy ra và thiết lập đặc tính không tắt dần của dao động tự do Tuy nhiên các dao động gặp trong thực tế là tắt dần, do: ma sát trong các bộ phận giảm chấn, phanh hãm, tiếp xúc với môi trờng xung quanh v.v... 981 cm/s2 (Hình 1-6a) Bài giải: Sàn và động cơ chuyển động theo phơng thẳng đứng Gọi x là toạ độ khối tâm của sàn và động cơ tính từ vị trí cân bằng ổn định Các lực tác dụng lên hệ dao động gồm: Lực đàn hồi của lò xo F = Cx; lực kích động do lực quán tính ly tâm của khối lợng lệch tâm m1 gây ra theo phơng Ox: Fx=m1rp2cospt Đặt lực quán tính lên khối lợng dao động Fqt = m x (Hình 1-6b) r O O m1 m... EJ 2 EJsh ( L ) L ( Lch L sh L ) = N EJ 14 Chơng I Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do Đ1.1 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do 1.1.1 Dao động tự do không cản Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế Toạ độ suy rộng xác định vị trí cơ hệ là q Phơng trình Lagrăng II có dạng: d T T q = q dt q Với dao động nhỏ thì: T = 1 2 1 a q ; = cq 2 : Thay vào phơng trình... k2 - 2n2 p Vậy B = Bmax khi p2 = k2 - 2n2 Biên độ dao động cỡng bức đạt cực đại khi p nhỏ hơn k một chút (trớc cộng hởng) 3) Trong dao động cỡng bức của hệ có cản luôn xảy ra độ lệch pha giữa pha dao động với pha của lực kích động Độ lệch pha xác định bằng công thức: tg = 2np k p2 2 2 4) Gọi độ lệch tĩnh của hệ là B0 (bằng tỷ số biên độ lực kích động với hệ số cứng của Độ lệch pha có giá trị cực... kỳ, vế trái của phơng trình 0 khi t Ta có chuyển động không tuần hoàn tắt dần 1.1.2c Trờng hợp 3: n = k (lực cản tới hạn) Trong trờng hợp này nghiệm của phơng trình đặc trng là thực, âm và bằng nhau NTQ của (1-9) có dạng: q = e nt (C1 t + C 2 ) (1-21) Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động Trong một số tài liệu kỹ thuật trình bày về dao động ngời ta còn sử dụng khái niệm độ cản Lehr - Độ . PGS.TS Khổng Doãn Điền Lý thuyết dao động H Nội 2003 Lời nói đầu Giáo trình Cơ học Lý thuyết II Lý thuyết Dao động Tác giả PGS. PTS Nguyễn Thúc. biên độ dao động; (kt +) là pha dao động; là pha ban đầu; k là tần số vòng (tần số dao động riêng) của hệ. Chu kỳ dao động T tính theo công thức: c a 2 k 2 T = = (1-4) Gọi f là số dao động. của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hoà. Về mặt động học dao động điều hoà đợc miêu tả bởi hệ thức: )ktsin(Aq + = (2) ở đây: q là toạ độ của điểm dao