Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình Năm học 2007-2008 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (1,5 điểm) Cho phơng trình bậc hai x 2 + bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = 1. Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện x 1 x 2 = 3. Bài 2 (1,5 điểm) Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d R), thoả mãn các điều kiện sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4. Hãy tính P(5). Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. 1. Đờng phân giác trong của góc ã BAC cắt cạnh BC tại D. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC. Biết rằng AD = l , AH = h và AD là trung tuyến của tam giác MAH. Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC theo l và h. 2. Giả sử ã ã ACB 2.BAC= . Chứng minh rằng AB 2 = BC.(BC+AC). Bài 4 (1,0 điểm) Giải phơng trình: 2 2 2 x 1 y y 9 z z 10 x 10 + + = (x, y, z là ẩn số ) Bài 5 (1,0 điểm) Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + ab + bc + ca < 0. Chứng minh bất đẳng thức a 2 + b 2 < c 2 . Bài 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng số M = 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 là bình phơng của một số nguyên. Bài 7 (1,0 điểm) Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a 3 + 2008a 2007 = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức 3 2 3 2 S 3a 2005a 2006 3a 2005a 2008 = + + + . Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình Năm học 2007-2008 ĐáP án môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Bài 1 (1,5 điểm) Đề chính thức Cho phơng trình bậc hai x 2 + bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = 1. Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện x 1 x 2 = 3. Cách Nội dung Điểm Cách 1 Từ b + c = 1 nên phơng trình đã cho có hai nghiệm là x 1 x c = = 0,5 * Nếu x 1 = 1; x 2 = c 1 c = 3 c = 2 Khi đó b = 1 0,5 * Nếu x 1 = c; x 2 = 1 c 1 = 3 c = 4 Khi đó b = 5 0,5 Cách 2 Các số b, c phải thoả mãn hệ điều kiện sau b 2 4c > 0 (1) b c = 1 (2) x 1 + x 2 = b (3) (x 1 , x 2 là 2 nghiệm của pt) x 1 x 2 = 3 (4) x 1 .x 2 = c (5) Từ (3) (4) ta có x 1 = b 3 2 + x 2 = b 3 2 0,5 Thay vào (5), ta đợc: b 3 b 3 . c 2 2 + = 2 b 9 4 = 1 b (vì b + c = 1) b 2 + 4b 5 = 0 b 1 b 5 = = 0,5 Với b = 1 c = 2 b = 5 c = 4 (đều thoả mãn (1)) Kết luận: b = 1, c = 2 hoặc b = 5, c = 4 0,5 Bài 2 (1,5 điểm) Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d R), thoả mãn các điều kiện sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4. Hãy tính P(5). Cách Nội dung Điểm Cách 1 Đặt Q(x) = P(x) x (Q(x) là đa thức bậc 4 có hệ số của x 4 là 1) Q(1) = P(1) 1 = 0 Q(2) = P(2) 2 = 0 Q(3) = P(3) 3 = 0 Q(4) = P(4) 4 = 0 0,5 Vậy Q(x) có 4 nghiệm là x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 Q(x) = (x1) (x2) (x3) (x4) 0,5 Từ đó suy ra P(x) = Q(x) + x = (x1) (x2) (x3) (x4) + x Do đó P(5) = 4 . 3 . 2 . 1 + 5 = 29 0,5 Cách 2 Chú ý: Có thể làm theo cách sau: Từ giả thiết, ta có hệ pt sau: 1 1 a b c d 2 16 8a 4b 2c d 3 81 27a 9b 3c d 4 256 64a 16b 4c d a b c d 0 8a 4b 2c d 14 27a 9b 3c d 78 64a 16b 4c d 252 = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + + + + = + + + = + + + = + + + = 0,5 Giải hệ phơng trình này ta đợc: a 10 b 35 c 49 d 24 = = = = (Phải trình bày cách giải hệ phơng trình này) 0,5 Vậy P(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 49x + 24 P(5) = 29. 0,5 Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. 1. Đờng phân giác trong của góc ã BAC cắt cạnh BC tại D. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC. Biết rằng AD = l , AH = h và AD là trung tuyến của tam giác MAH. Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC theo l và h. 2. Giả sử ã ã ACB 2.BAC= . Chứng minh rằng AB 2 = BC.(BC+AC). ý Nội dung Điểm 1. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. AD cắt (O) tại N. O, M, N thẳng hàng. 0,5 Vì M là trung điểm BC OM BC Vậy MN // AH. Lại có vuông AHD = vuông NMD (DH = DM và ã ã ADH NDM= ) MN = AH Vậy NMAH là hình bình hành. 0,5 Mà D là giao điểm 2 đờng chéo hình hình hành NMAH D là trung điểm AN OD AN. 0,5 Xét tam giác vuông ODN: DN 2 = NM.NO ON = 2 2 DN MN = l h . Vậy bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC là R = 2 l h 0,5 2. Từ: ã ã ACB 2.BAC= Dựng tia phân giác CE à ả à 1 2 C C A= = BCE ~ BAC ( à B chung, à à 1 C A= ) BE BC BC BA = hay BE a a c = (1) (a = BC, b = CA, c = AB) 0,5 Theo tính chất phân giác BE a EA b = BE a c a b = + BE c a a b = + (2) Từ (1) (2) a c c a b = + c 2 = a(a+b) đpcm. 0,5 A C B Ec b a 1 2 A B C M DH O N h l Bài 4 (1,0 điểm) Giải phơng trình: 2 2 2 x 1 y y 9 z z 10 x 10 + + = (x, y, z là ẩn số ) ý Nội dung Điểm ĐK: 2 2 2 10 x 0 10 x 10 1 y 0 1 y 1 3 z 3 9 z 0 Với a, b R, ta có a.b 2 2 a b 2 + . Dấu = xảy ra a = b. áp dụng kết quả trên, ta có : 2 2 2 x 1 y x 1 y 2 + Dấu = xảy ra x = 2 1 y 2 2 2 y 9 z y 9 z 2 + Dấu = xảy ra y = 2 9 z 2 2 2 z 10 x z 10 x 2 + Dấu = xảy ra z = 2 10 x Cộng từng vế các bất đẳng thức trên với nhau, ta đợc : 2 2 2 x 1 y y 9 z z 10 x 10 + + 0,5 Vậy pt đã cho tơng đơng với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x, y, z 0 x 1 y x y 1 y 9 z y z 9 z 10 x z x 10 x, y, z 0 x 1 x 1 y 0 y 0 z 3 z 9 x 1 KL y 0 z 3 = + = = + = = + = = = = = = = = = = 0,5 Bài 5 (1,0 điểm) Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + ab + bc + ca < 0. Chứng minh bất đẳng thức a 2 + b 2 < c 2 . ý Nội dung Điểm Giả sử a 2 + b 2 c 2 Từ gt a 2 + b 2 + a 2 + b 2 + 2(ab + bc + ca) < 0 0,5 Lại có: a 2 + b 2 + a 2 + b 2 + 2(ab + bc + ca) a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c) 2 (a + b + c) 2 < 0 (vô lý) Vậy a 2 + b 2 < c 2 đpcm. 0,5 Bài 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng số M = 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 là bình phơng của một số nguyên. Cách Nội dung Điểm Cách 1 Từ a + b + c = 0 c = a b c 4 = (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 2c 4 = 2a 4 + 8a 3 b + 12a 2 b 2 + 8ab 3 + 2b 4 0,5 Lúc đó: M = 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 = 4a 4 + 4b 4 + 8a 3 b + 12a 2 b 2 + 8ab 3 = 4a 4 + 4b 4 + 4a 2 b 2 + 8a 3 b + 8a 2 b 2 + 8ab 3 = ( ) 2 2 2 2a 2b 2ab+ + Do a, b, c Z 2a 2 + 2b 2 + 2ab Z Từ đó suy ra đpcm. 0,5 Cách 2 Xét đa thức bậc ba mà 3 nghiệm là: x = a, x = b, x = c P(x) = (x a) (x b) (x c) P(x) = x 3 + (ab + bc + ca)x abc (vì a + b + c = 0) 0,25 Do P(a) = P(b) = P(c) = 0 nên ta có hệ: 3 3 3 a (ab bc ca)a abc 0 (1) b (ab bc ca)b abc 0 (2) c (ab bc ca)c abc 0 (3) + + + = + + + = + + + = 0,25 Nhân 2 vế của các đẳng thức (1), (2), (3) thứ tự với 2a, 2b, 2c rồi cộng lại, ta đợc: 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 + 2(ab + bc + ca) (a 2 + b 2 + c 2 ) = 0 0,25 Mà a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca) 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 = ( ) 2 2 ab bc ca + + đpcm. 0,25 Chú ý: Từ a + b + c = 0 (a + b) 2 = c 2 (a + b) 2 = c(a + b) a 2 + b 2 + 2ab = ac bc a 2 + b 2 + ab = ab ac bc Do đó ( ) ( ) 2 2 2 2 a b ab ab bc ca+ + = + + Bài 7 (1,0 điểm) Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a 3 + 2008a 2007 = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức 3 2 3 2 S 3a 2005a 2006 3a 2005a 2008 = + + + . ý Nội dung Điểm Từ a 3 + 2008a -2007 = 0 (1) a 3 = 2008a + 2007 a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = 2008a + 2007 + 3a 2 + 3a + 1 (a + 1) 3 = 3a 2 2005a + 2008 0,5 Lại có (1) a 3 = 2008a - 2007 1 3a + 3a 2 a 3 = 1 3a + 3a 2 + 2008a 2007 (1 a) 3 = 3a 2 + 2005a 2006 Vậy S = ( ) ( ) 3 3 3 3 1 a a 1 + + = 1 a + a + 1 = 2 0,5 Chú ý: * Điều kiện bài toán số 7 bao giờ cũng tồn tại, vì pt: x 3 + 2008x 2007 = 0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1). * Mọi cách giải khác mà hợp lý, vẫn cho điểm tối đa. * Khi chấm, yêu cầu bám sát biểu điểm. * Tổ chấm thảo luận để thống nhất biểu điểm chi tiết. * Nếu trong lời giải có nhiều bớc liên quan với nhau, học sinh làm sai ở bớc nào thì từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. * Điểm toàn bài không làm tròn (lấy đến 0,25đ). . C M DH O N h l Bài 4 (1,0 điểm) Giải phơng trình: 2 2 2 x 1 y y 9 z z 10 x 10 + + = (x, y, z là ẩn số ) ý Nội dung Điểm ĐK: 2 2 2 10 x 0 10 x 10 1 y 0 1 y 1 3 z 3 9 z 0 Với. Dấu = xảy ra y = 2 9 z 2 2 2 z 10 x z 10 x 2 + Dấu = xảy ra z = 2 10 x Cộng từng vế các bất đẳng thức trên với nhau, ta đợc : 2 2 2 x 1 y y 9 z z 10 x 10 + + 0,5 Vậy pt đã cho tơng. Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình Năm học 2007-2008 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150