ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 Mơn Tốn – ĐỀ 03 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 2x +1 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (C) x +1 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2.Tìm đồ thị (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ Câu II (2 điểm) ( ) 6 1.Giải phương trình sau: sin x + cos x + 3 sin x = 3cos x − 9sin x + 11 2 y − x =  Giải hệ phương trình:  2 x − y = y − x  x+ x Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ ( x + − x )e dx Câu IV(1 điểm) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = (ACD) , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng Tính góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) Biết thể khối tứ diện ABCD ( ) 2 Câu V (1 điểm) Với số thực x, y thỏa điều kiện x + y = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x4 + y4 xy + II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIa.( điểm) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 - 2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (Δ) vng góc với đường thẳng: 4x-3y+2 =0 cắt đường tròn (C) A;B cho AB = x −2 y z +1 = = 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : −6 −8 biểu thức P = d2 : x −7 y−2 z = = Xét vị trí tương đối d1 d2 Cho hai điểm A(1;-1;2) B(3 ;- 4;-2), Tìm tọa độ −6 12 điểm I đường thẳng d1 cho IA + IB đạt giá trị nhỏ Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình sau tập hợp số phức: z4 – z3 +6z2 – 8z – 16 = Theo chương trình Nâng cao Câu VIb.(2điểm) x2 y 1.Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): + = đường thẳng ∆ :3x + 4y =12 Từ điểm M ∆ kẻ tới (E) tiếp tuyến MA, MB Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3).Lập phương trình mặt phẳng qua M cắt ba tia Ox A, Oy B, Oz C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ Câu VIIb (1 điểm) Giải phương trình: Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà đủ điểm phần đáp án quy định Hết ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 MƠN:TỐN-KHỐI A&B I: PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH CâuI (2điểm): Cho hàm số y = x3 - 3x2 + (C) 1: Khảo sát hàm số 2: Gọi (d) đường thẳng qua điểm A(2 ; 0) có hệ số góc k.Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A ; M ; N cho hai tiếp tuyến (C ) M N vng góc với Câu II (2 điểm): 1: Giải phương trình: 2: Giải bất phương trình: x x π x sin s inx-cos sin x + = 2cos ( − ) 2 x + 35 < x − + x + 24 Câu III (1điểm): Tính tích phân : I= ln( x − + 1) dx x −1 ∫ x −1 + Câu IV (1điểm): Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân AB = AC = SA = SB = a; SC = b (0 Chứng minh rằng: y x z 1 + 2+ ≤ 2+ 2+ 2 x +y y +z z +x x y z PHẦN RIÊNG: Thí sinh làm hai phần A B A.Theo chương trình chuẩn (2điểm) Câu VII/a: Cho (P) y2 = x đường thẳng (d): x – y – = cắt (P) hai điểm A B Tìm điểm C thuộc cung AB cho ∆ ABC có diện tích lớn Câu VII/b: Cho n số tự nhiên n ≥ 2.Tính n k S = ∑ k 2Cn 2k = 12.Cn + 22.Cn 22 + + n Cnn n k =1 B Theo chương trình nâng cao (2điểm) Câu VII/a Cho ∆ ABC có diện tích ; Điểm A(1;2); B(-2;3) trọng tâm G ∆ ABC thuộc đường thẳng (d): x + y – = 0.Tìm tọa độ điểm C 2( x − 1)  log 2010 = y+x  y Câu VII/b: Giải hệ phương trình   y2 − x2 + = x − y  ĐÁP ÁN CÂU ĐIỂM I/1 Khảo sát hàm số y=x3-3x2+4 1:Tập XĐ:R 2:Sự biến thiên +Giới hạn lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ 0,25 +Bảng biến thiên +y'=3x2-6x=0 ⇔ x=0;x=2 Hàm số đồng biến (- ∞ ;0) (2;+ ∞ );nghịch biến (0;2);Cực đại (0;4);Cực tiểu (2;0) x -∞ y' + - + +∞ y -∞ 0,25 +∞ 3:Đồ thị +y"=6x-6=0 ⇔ x=1 Điểm uốn đồ thị U(1;2) +Đồ thị 025 025 I/2 II/1 …………………………… +PT đường thẳng d: y=k(x-2) +Hoành độ A;M;N nghiệm PT: x3-3x2+4=k(x-2) ⇔ (x-2)(x2-x-2-k)=0 ⇔ x=2=xA;f(x)=x2-x-2-k=0 +PT có 3nghiệm phân biệt ⇔ f(x)=0 có 2nghiệm phân biệt khác  xM + xN = ∆ > ⇔ ⇔ − < k ≠ Theo Viét ta có   f (2) ≠  xM xN = − k − +Tiếp tuyến M N vng góc với ⇔ y'(xM).y'(xN)=-1 2 ⇔ ( xM − xM )(3 xN − xN ) = −1 ⇔ 9k2+18k+1=0 ⇔ k = −3 ± 2 (tm) PT tương đương 025 025 05 025 II/2 x x sin s inx-cos sin x + = − s inx 2  s inx=0  x x x ⇔ sinx(2sin − sin + 1) = ⇔ sin =  2  x x  2sin − sin + = VN  2 ⇔ x = kπ 025 025 025 025 III 025 x + 35 − x + 24 < x − 11 < 5x − BPT tương đương ⇔ x + 35 + x + 24 025 ⇔ 11 < (5 x − 4)( x + 35 + x + 24) 2 Xét: a)Nếu x ≤ không thỏa mãn BPT 025 b)Nếu x>4/5: Hàm số y = (5 x − 4)( x + 35 + x + 24) với x>4/5 2 2 y'= 5( x + 35 + x + 24) + (5 x − 4)( IV Vậy HSĐB x + 35 +Nếu 4/50 x>4/5 025 +Nếu x>1 y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1 ……………………………………………………………………… Đặt t= x − + * x = ⇒t = 025 05 *x = ⇒ t = 3 (t − 1) ln t ln t ∫ (t − 1)2 + t − dt = 2∫ t dt I=2 2 *dx=2(t-1)dt = ∫ ln td ln t = ln t = ln − ln 2 2 ……………………………………………………………………… S E B D C 025 A V +Gọi D trung điểm BC ⇒ AD ⊥ BC (Vì ABC cân A) ⇒ AD ⊥ (SBC) +Gọi E trung điểm SB ⇒ AE ⊥ SB (Vì SAB đều) ⇒ DE ⊥ SB (Định lý đường vng góc) +SC//DE (DE đường trung bình tam giác) ⇒ SC ⊥ SB Vậy tam giác SBC vuông S 025 025 +AD trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.Nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp SABC thuộc AD.Mặt khác O cách A; B; C nên O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Vậy bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC a + b2 3a − b ⇒ sin C = 2a 2a DC +BC = a + b ⇒ cosC= = AC VI AB a2 = 2sin C 3a − b2 +R= ……………………………………………………………………… +Mặt cầu qua C(2; 2; 0);D1(0; 2; 2);M(1; 0; 0);N(0; 1; 1) có phương trình: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 nên VII/a  4a + 4b + d + =  4b + 4c + d + =  ⇔ a = c = − ;b = − ; d =  2  2a + d + =  2b + 2c + d + =  Suy tâm mặt cầu bán kính mặt cầu là: I(5/2;1/2;5/2); R = 35 =0 + h = d(I;(MNC1)) = + Bán kính đường trịn giao tuyến R − h2 = +VP= 05 2a 2b 2c 2a 2b 2c 1 + 4+ ≤ 2+ 2+ = 2+ 2+ 2 4 a +b b +c c +a 2a b 2b c 2c a ab bc ca 05 1 1 1 + 4+ 4≥ 2+ 2+ 2 a b c ab bc ca (Áp dụng BĐT CôSi cho cặp) ĐPCM Dấu xảy a = b = c =1 hay x = y = z = ……………………………………………………………………… Phần riêng theo chương trình chuẩn VII/b 025 (Theo BĐT CôSi) VII/a 025 3 ……………………………………………………………………… +Đặt a = x > 0; b = y > 0; c = z > +VT= 025 025 u ur u ur uu uu +(MNC1) qua M(1;0;0) nhận  MC1 ; NC1  = (0;3; −3) làm véc tơ pháp tuyến có PT: y – z   VII/b 025  y2 = x +Tọa độ A;B nghiệm hệ:  A(1;-1); B(4;2) x − y − = y − yo − 2 ∈ (P); h=d(C;d)= o +C(yo ;yo) yo − yo − + S ∆ABC = h AB = 2 +Xét hàm số f = yo − yo − Với −1 ≤ yo ≤ Suy Max f = 9/4 Tại C(1/4;1/2) ……………………………………………………………………… n S = ∑ k C = C + C + + n C k =1 k n k n n n k =1 k =1 n k k k k = ∑ k (k − 1)Cn + ∑ kCn Xét khai triển 2 n n n 025 025 025 025 025 n (1+x)n= ∑C k =0 n n-1 n.3 = k n ∑ kC k =0 k n n xk ; n(1+x)n-1= k =0 n ⇔ 2n.3 = ∑ kC k −1 n-1 k =0 n +n(n-1)(1+x)n-2 = ∑ k (k − 1)C k =0 n n(n-1)3n-2= ∑ k (k − 1)C k =0 ∑ kC k n k n k n k n x k −1 Lấy x=2 ta 025 k x k − Lấy x=2 ta n k 2k − ⇔ 4n(n-1)3n-2= ∑ k ( k − 1)Cn k k =0 Vậy S=n.3n-2(2+4n) ……………………………………………………………………… Phần riêng theo chương trình nâng cao +PT đường thẳng AB: x+3y-7=0 +G ∈ (d) ⇒ G(a;2-a) Do G trọng tâm tam giác ABC nên diện tích tam giác GAB 3/2 1 AB.d (G; AB ) = 2a + = giải tìm a = 1; a = -2 2 +Nếu a = ⇒ G(1; 1) Vậy C(4; -2) +Nếu a = -2 ⇒ G(-2; 4) Vậy C(-5; 7) + S ∆GAB = ……………………………………………………………………… x − 3y ≥ x − 3y ≥ 2 ⇔ + y − x + = x − 3y ⇔  2  y = −x − h y = x −1  y + 3y − x − x + = +Với y = -x - thay PT hệ: log 2010 025 025 2( x − 1) 2.20102 − 6.20102 ⇔x= =-2 ;y=(tm đk) −x − 2.20102 + 2.20102 + 025 025 025 025 05 025 +Với y = x - thay PT hệ: x= + log 2010 log 2010 − ; y= Không thỏa mãn điều kiện 2 ……………………………………………………………………… 025 Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trường THPT Lê Văn Hưu KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 MƠN TỐN KHỐI A Tháng 03/2010 Thời gian:180 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Đ CHÍNH THỨ Ề C PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn Câu II (2.0 điểm) 1.Tìm nghiệm phương trình 2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + biết x∈ [ ; π ] 33 x −2 y − 5.6 x + 4.23 x −2 y =  Giải hệ phương trình   x − y = y + ( y − x )( y + x )  Câu III (1.0 điểm) ∫ x3 Tính tích phân ( x e + x 1+ x )dx Câu IV (1.0 điểm) Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Câu V (1.0 điểm) Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c Tính thể tích tứ diện ABCD PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) Thí sinh làm hai phần A B (Nếu thí sinh làm hai phần khơng chấm điểm) A Theo chương trình nâng cao Câu VIa (2.0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d 1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d 1), (d2), trục Oy Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M trung điểm đoạn AD, N tâm hình vng CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua điểm B, C’, M, N Câu VIIa (1.0 điểm) log ( x + 1) − log ( x + 1)3 >0 Giải bất phương trình x2 − 5x − B Theo chương trình chuẩn Câu VIb (2.0 điểm) Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64.Gọi F1, F2 hai tiêu điểm M điểm (E).Chứng tỏ tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 tới đường thẳng x = có giá trị khơng đổi Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vng góc với (Q) Câu VIIb (1.0 điểm) Giải bất phương trình k A2 x − Ax2 ≤ Cx + 10 ( Cn , Ank tổ hợp, chỉnh hợp chập k n phần tử) x HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh số báo danh Sở GD & ĐT Thanh Hố ĐÁP ÁN KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 Trường THPT Lê Văn Hưu MƠN TỐN Tháng 03/2010 Đ CHÍNH THỨ Ề C Thời gian:180 phút (Khơng kể thời gian phát đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) CÂU Câu I (2.0đ) (1.0đ) NỘI DUNG TXĐ : D = R\{1} Chiều biến thiên lim f ( x) = lim f ( x) = nên y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →+∞ x →−∞ THANG ĐIỂM 0.25 0.25 lim f ( x) = +∞, lim = −∞ nên x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số − x →1+ x →1 - bất phương trình ⇔ 1.0 Y D' A' điểm C' B' N M D A X B C Z A2 + B + C − D = 15 0.25 3log ( x + 1) log >0 ( x + 1)( x − 6) log ( x + 1) − 0.25 log ( x + 1) d(AB,A’C) = MH a 15 a 15 ; M’C = ; MM’ = a 10 Vậy V = a3 HC = Câu V: Đặt f(x) = (2x + 1)[ln(x + 1) – lnx] x +1 = (2 x + 1) ln x TXĐ: D = [0;+∞) Gọi x1; x2 ∈ [0;+∞) với x1 > x2 x1 + > x2 + >   Ta có : ln x1 + > ln x2 + > 0 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) : f(x) hàm số tăng  x1 x2  Từ phương trình (1) ⇒ x = y (2) ⇒ x − − ( x − 1)( x + 1) + m x + = ⇔ Đặt X = x −1 x −1 − 24 +m=0 x +1 x +1 x −1 ==> ≤ X < x +1 Vậy hệ có nghiêm phương trình: X2 – 2X + m = có nghiệm ≤ X < Đặt f(X) = X2 – 2X == > f’(X) = 2X – ==> hệ có nghiêm ⇔ -1 < m ≤ Câu VI.a (C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1, (Cm) có tâm I(m +1; -2m) bán kính R ' = (m + 1) + 4m + OI = (m + 1)2 + 4m , ta có OI < R’ Vậy (C) (Cm) tiếp xuc trong.==> R’ – R = OI ( R’ > R) Giải m = - 1; m = 3/5 Gọi I tâm (S) ==> I(1+t;t – 2;t) Ta có d(I,(P)) = AI == > t = 1; t = 7/13 (S1): (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 1; (S2): (x – 20/13)2 + (y + 19/13)2 + (z – 7/13)2 = 121/139 Câu VII.a xy − y P= x + xy + y Với y = ==> P = Với y ≠ đặt x = ty; ta có: P = 5t − ⇔ Pt + ( P − 5)t + P + = t + t +1 + P = phương trình ( 1) có nghiệm t = 3/5 + P ≠ phương trình ( 1) có nghiệm ∆’ = - P2 – 22P + 25 ≥ ⇔ - 25/3 ≤ P ≤ Từ suy maxP , minP Câu VI.b: (1) r d1 qua M0(2;3;3) có vectơ phương a = (1;1; −2) r d2 qua M1(1;4;3) có vectơ phương b = (1; −2;1) u rr r r r u u ur uuu Ta có  a,b  ≠ va  a, b  M M =     (d1,d2) : x + y + z – = ==> A ∈ (d1,d2) t +5 t +5   ; ;3 − t ÷∈ d2 ==> t = - ==> M(2;2;4) B(2 + t;3 + t;3 - 2t); M    uu r ur C( 1+t;4-2t;;3+t) : AC ⊥ a ==> t = ==> C(1;4;2) x2 y x2 y + = ⇒ + = , a2 = b2 + ==> + =1 (E): a b a 4b 2 P = (a + exM)2 + (a – exM)2 – 2( xM + yM ) – (a2 – e2 xM ) = Câu VII.b: Ta có: ( + i ) Mà ( + i ) Vậy 2010 2010 ( ( + 1− i + 1− i ) ) 2010 2010 2k 2008 2010 = ( C2010 − 3C2010 + 32 C2010 + + (−1) k 3k C2010 + + 31004 C2010 − 31005 C2010 ) 2010π 2010π -2010π -2010π   + sin ) + 22010  cos + sin ÷ 3 3   2010 2010 = 2.2 ( cos670π ) = 2.2 = 22010 (cos S = 22010 - ... , Ank tổ hợp, chỉnh hợp chập k n phần tử) x HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh số báo danh Sở GD & ĐT Thanh Hố ĐÁP ÁN KÌ THI. .. ……………………………………………………………………… 025 Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trường THPT Lê Văn Hưu KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 MƠN TỐN KHỐI A Tháng 03/2010 Thời gian:180 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Đ CHÍNH THỨ Ề C PHẦN... DE ⊥ SB (Định lý đường vng góc) +SC/ /DE (DE đường trung bình tam giác) ⇒ SC ⊥ SB Vậy tam giác SBC vng S 025 025 +AD trục đường trịn ngoại tiếp tam giác SBC.Nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp SABC thu? ??c