Đề tài “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô” 1 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 NHÓM CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 2 1.1 Định nghĩa cơ bản……………………………………………… 2 1.2 Định lý Van - Kampen ………………………………………… 11 1.3 Nhóm cơ bản của nhóm tôpô……………………………………. 14 1.4 Nhóm cơ bản của tích các không gian tôpô……………………… 16 CHƯƠNG 2 NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 17 2.1 Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian tôpô………………… 17 2.2 Nhóm đồng luân tương đối. Dãy khớp đồng luân của cặp không gian tôpô………………………………………………………… 23 2.3 Liên hệ với nhóm đồng đều……………………………………… 29 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 2 MỞ ĐẦU Tôpô đại số là một trong những ngành cơ bản của toán học hiện đại. Nó ra đời vào những năm thế kỉ XX. Từ đó cho đến nay, tôpô đại số được nhiều nhà toán học lỗi lạc trên thế giới như H.Poincaré, S.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, N.Esteerod, E.Cech, A.Kolmogorov, E.Cartan, Ch.Ehresman, H.Cartan, R.Godement, quan tâm nghiên cứu và phát triển. Ngày nay, tôpô đại số đã đạt được những thành tựu vô cùng rực rỡ và trở thành một trong những lĩnh vực hàng đầu để mọi người làm toán quan tâm học tập và nghiên cứu. Đây chính là lý do để tác giả chọn “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp. Nội 3 dung chính của luận văn là tìm hiểu việc thiết lập một bất biến của các không gian tôpô, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa các nhóm đồng luân và các nhóm đồng điều của cùng một không gian tôpô. Luận văn này gồm hai chương: Chương I – Nhóm cơ bản của không gian tôpô.Trong chương này tác giả trình bày các khái niệm, kết quả và một số kiến thức cơ sở nhóm cơ bản của không gian tôpô, có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu của đề tài. Chương II – Nhóm đồng luân của không gian tôpô. Đây là nội dung chính của luận văn, và sẽ được trình bày từ các trường hợp đơn giản đến phức tạp. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo của PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Lê Quốc Hán, các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa Sau Đại học đã tận tâm dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua, dưới mái trường Đại học Vinh thân yêu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người bạn học viên cao học khóa 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã tận tình giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô giáo cùng các bạn học viên. Tác giả 4 CHƯƠNG 1 NHÓM CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1. Định nghĩa cơ bản 1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô, [ ] 0,1I = là không gian con của đường thẳng thực R . Một ánh xạ liên tục :I X ω → được gọi là một con đường trong không gian tôpô X. Điểm (0) ω gọi là điểm gốc, điểm (1) ω được gọi là điểm cuối của con đường ω . Nếu 0 (0) (1) x X ω ω = = ∈ thì ω được gọi là con đường đóng tại 0 x . 5 1.1.2. Định nghĩa. Cho , ' ω ω là hai con đường trong không gian tôpô X mà (1) '(0) ω ω = . Ánh xạ liên tục ω ∗ ': I X ω → cho bởi 1 (2 ) 2 '( ) 1 '(2 1) 1 2 t t t t ω ω ω ω  ≤ ≤   ∗ =   − ≤ ≤   nÕu 0 t nÕu được gọi là nối tiếp hai con đường , ' ω ω . Chú ý rằng ' ω ω ∗ là ánh xạ liên tục vì 1 1 2. ' 2. 1 2 2 ω ω     = −  ÷  ÷     . Con đường ' ω ω ∗ có điểm gốc '(0) (0) ω ω ω ∗ = và điểm cuối '(1) '(1) ω ω ω ∗ = . (1) ω '(1) ω (0) ω '(0) ω 1.1.3. Định nghĩa. Cho hai con đường , ' ω ω có cùng điểm gốc và điểm cuối trong không gian tôpô X. Ta nói ω tương đương đồng luân mút cố định với ' ω và kí hiệu 'rel I ω ω & ; nếu tồn tại một ánh xạ liên tục :h I I X× → sao cho: ( ,0) ( )h t t ω = ( ,1) '( )h t t ω = (0, ) (0) '(0)h τ ω ω = = (1, ) (1) '(1)h τ ω ω = = với mọi ,t I I τ ∈ ∈ . Khi đó ta cũng nói ω đồng luân mút cố định với ' ω nhờ h . ( ,0)h t 6 . . . . . . . . '(0) ω (1) ω (0) ω ( ', )h t τ '(1) ω ( ,1)h t Nhận xét: Quan hệ đồng luân mút cố định giữa các con đường trong không gian tôpô X là một quan hệ tương đương. Thật vậy rel I ω ω & ; vì có thể chọn ánh xạ h theo công thức ( , ) ( ), ,h t t t I τ ω τ = ∀ ∈ . Nếu 'rel I ω ω & ; nhờ ánh xạ h thì ' rel I ω ω & ; nhờ ánh xạ 'h với '( , ) ( ,1 )h t h t τ τ = − . Nếu 'rel I ω ω & ; nhờ ánh xạ h , ' ''rel I ω ω & ; nhờ ánh xạ 'h thì ''rel I ω ω & ; nhờ ánh xạ ''h xác định công thức 1 ( ,2 ) 2 ''( , ) 1 '( ,2 1) 1 2 h t h t h t τ τ τ τ τ  ≤ ≤   =   − ≤ ≤   nÕu 0 nÕu Lớp tương đương của con đường ω được kí hiệu là [ ] ω . 1.1.4. Mệnh đề. 1. Nếu ' 1 1 , 'rel I rel I ω ω ω ω = & & ; và (1) '(0) ω ω = thì [ ] ' 1 1 ' ω ω ω ω   ∗ = ∗   . 2. Giả sử : , ( ) , x x I X t x t I ε ε → = ∀ ∈ (với x là phần thuộc X ) và ω là một con đường trong X nối 0 x với 1 x . Khi đó [ ] [ ] 0 1 , x x ε ω ω ω ε ω     ∗ = ∗ =    . 3. Cho 0 1 : , (0) , (1)I X x x ω ω ω → = = Ta xác định con đường ω bởi công thức µ ( ) (1 )t t ω ω = − Khi đó µ µ 0 1 , x x ω ω ε ω ω ε         ∗ = ∗ =         . 7 4. Nếu ω nối 0 x với 1 , 'x ω nối 1 x với 2 , ''x ω nối với 2 x với 3 x thì ( ) ( ) ' '' ' '' ω ω ω ω ω ω     ∗ ∗ = ∗ ∗     . Chứng minh. 1. Giả sử 1 rel I ω ω & ; nhờ ' 1 , 'h rel I ω ω & ; , nhờ 'h . Ta xác định ánh xạ '':h I I X× → bởi công thức 1 (2 , ) 2 ''( , ) 1 '(2 1, ) 1 2 h t t h t h t t τ τ τ  ≤ ≤   =   − ≤ ≤   nÕu 0 nÕu Vì (1, ) '(0, )h h τ τ = nên ''h là ánh xạ liên tục. Ta có 1 (2 ,0) 2 ''( ,0) 1 '(2 1,0) 1 2 h t t h t h t t  ≤ ≤   =   − ≤ ≤   nÕu 0 nÕu 1 ' 1 1 (2 ) 2 1 (2 1) 1 2 t t t t ω ω  ≤ ≤   =   − ≤ ≤   nÕu 0 nÕu ' 1 1 ( )t ω ω = ∗ Tương tự, ''( ,1) '( )h t t ω ω = ∗ Dễ thấy ' 1 1 ''(0, ) (0), ''(1, ) (1)h h τ ω τ ω = = . Do đó ' 1 1 'rel I ω ω ω ω ∗ ∗ & ; , tức là [ ] ' 1 1 ' ω ω ω ω   ∗ = ∗   . 2. Xác định ánh xạ : I I ϕ → 8 1 0 2 ( ) 1 2 1 1 2 t t t t ϕ  ≤ ≤   =   − ≤ ≤   nÕu 0 nÕu Ánh xạ này có đoạn 1 0, 2       về 0 và dãn 1 ,1 2       thành I Xét ánh xạ :h I I X× → ( , ) ( ( ) (1 ) )h t t t τ ω τ ϕ τ = + − Ta có ( ,0) ( )h t t ω = 1 (0) 2 ( ,1) ( ( )) 1 (2 1) 1 2 t h t t t t ω ω ϕ ω  ≤ ≤   = =   − ≤ ≤   nÕu 0 nÕu 0 0 1 (2 ) 2 ( ) 1 (2 1) 1 2 x x t t t t t ε ε ω ω  ≤ ≤   = = ∗   − ≤ ≤   nÕu 0 nÕu Dễ thấy (0, ) (0), (1, ) (1)h h τ ω τ ω = = Vậy 0 x rel I ω ε ω = ∗ & hay [ ] 0 x ω ε ω   = ∗   Xét ánh xạ : I I ψ → 9 1 2 1 2 1 1 00 1 2 2 ( ) 1 1 1 2 t t t t ψ  ≤ ≤   =   ≤ ≤   nÕu 0 nÕu và ánh xạ ':h I I X× → '( , ) ((1 ) ( ) )h t t t τ ω τ ϕ τ = − + Dễ kiểm tra rằng 1 x rel I ω ε ω ∗ & ; , tức là [ ] 1 x ω ε ω   ∗ =   3. Vì ¶ ( ) ω ω = nên chỉ cần chứng minh µ 0 x ω ω ε ∗ ; . Xét ánh xạ :h I I X× → 0 0 ( , ) 2 1 (2 ) 2 2 1 2 (2 2 ) 2 2 2 1 2 h t x t t t t t x t τ τ τ ω τ τ ω τ τ  ≤ ≤    − ≤ ≤  =  −  − − ≤ ≤   −  ≤ ≤  nÕu 0 nÕu nÕu nÕu Dễ thấy ánh xạ h là liên tục Ta có 1 (2 ) 2 ( ,0) 1 (2 2 ) 1 2 t t h t t t ω ω  ≤ ≤   =   − ≤ ≤   nÕu 0 nÕu µ 1 (2 ) 2 1 (2 1) 1 2 t t t t ω ω  ≤ ≤   =   − ≤ ≤   nÕu 0 nÕu µ ( )t ω ω = ∗ 0 0 0 ( , 1) ( ), (0, ) (1, ) x h t x t h h x ε τ τ = = = = Vậy µ 0 x rel I ω ω ε ∗ & ; 4. Ta xác định ánh xạ :h I I X× → 10 [...]... , y ) 29 2.2 Nhóm đồng luân tương đối Dãy khớp đồng luân của cặp không gian tôpô Cho X là một không gian tôpô A là một không gian con của nó và x0 ∈ A ⊂ X Ta sẽ định nghĩa nhóm π n ( X , A, x0 ) với mọi số tự nhiên n > 1 và trong trường hợp A = { x0 } thì πn ( X , x0 , x0 ) = πn ( X , x0 ) 2.2.1 Định nghĩa Một triad ( X ; A, B ) bao gồm không gian tôpô X và hai không gian con A, B của nó Cho hai... các không gian tôpô đơn liên thì X × Y là không gian tôpô đơn liên 22 CHƯƠNG 2 NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 2.1 Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian tôpô Kí hiệu I n là lập phương đơn vị trong Rn { I n = (t1 , , t n ) ∈Rn ; } 0 ≤1, i =1, 2, , n Kí hiệu I& n là biên của I n { & I n = (t1 , t n ) ∈ n ; có ít nhất một ti bằng 1 hoặc bằng 0} Với I không gian tôpô có điểm đánh dấu ( X , x0 ) ta... trên là một đẳng cấu nhóm Như vậy, nếu X là liên thông cung thì với x0 , x1 tuỳ ý của X , các nhóm π 1 ( X , x0 ) và π1 ( X , x1 ) luôn đẳng cấu Các nhóm đẳng cấu đó được kí hiệu chung là π1 ( X ) và gọi là nhóm cơ bản của không gian liên thông cung X Vậy nhóm cơ bản là một bất biến đồng luân của các không gian tôpô liên thông cung 1.1.8 Định nghĩa Không gian tôpô liên thông cung có nhóm cơ bản tầm thường...  ˆ & Là đồng luân nối f * f ; εx relI n 0 ˆ & Tương tự, f * f ; ε relI n x 0 Do đó  fˆ  là phần tử đối xứng của [ f ]    2.1.5.Định nghĩa Nhóm πn ( X , x0 ) được gọi là nhóm đồng luân thứ n của không gian tôpô với điểm đánh dấu ( X , x0 ) 26 1 Chú ý rằng với n = thì π ( X , x0 ) chính là nhóm cơ bản Ta biết 1 nhóm cơ bản nói chung không giao hoán, tuy nhiên với n ≥2 các nhóm đồng luân π1 (... nhóm Nhóm π n ( X , A, x0 ) gọi là nhóm đồng luân tương đối thữ n của cặp ( X , A) với điểm đánh dấu x0 31 Chú ý rằng với n ≥ 3 các nhóm πn ( X , A, x0 ) là các nhóm giao hoán Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng với mỗi bộ ba ( X , A, x0 ) có thể xây dựng được một dãy khớp của các nhóm đồng luân & Nhận xét rằng I n −1 ⊂ J n −1 và nếu f ∈S n ( X , A, x0 ) thì f'= f I n−1 ∈ S n −1 ( A, x0 ) và lớp đồng luân của. .. rel I & Tương tự ω ω' ; ω' ∗ ωrel I & ω ' ω ; ω ' ∗ ω rel I  1.3.4 Mệnh đề Nhóm cơ bản π1 (G, e) của nhóm tôpô G là nhóm giao hoán Chứng minh Theo mệnh đề trên [ ω ] ∗ [ ω '] = [ ω ∗ ω '] = [ ω ω '] = [ ω ' ω ] = [ ω ' ∗ ω ] = [ ω '] ∗ [ ω]  1.4 Nhóm cơ bản của tích các không gian tôpô 21 1.4.1 Mệnh đề Đối với hai không gian tôpô ( X 1 , x0 ), (Y , y0 ) các phép chiếu p1 : X × Y → X , p1 ( x,... n Vậy nhóm π ( X , x0 ) chỉ bao gồm một phần tử ε x  n   0 Ví dụ 2 Nhóm đồng luân của S n n Ta chứng minh rằng nhóm π i ( S , x0 ) của mặt cầu S n là nhóm tầm thường nếu i < n n S Cho f ∈ i ( S , x0 ) , tức là f : I i →S n , f ( I& ) = x n 0 Ta có thể biểu diễn f là hợp thành của hai ánh xạ liên tục ϕ : I i → S i , f ' : S i → S n Vì S i có thể coi là không gian thương I i trên không &i gian. .. , x0 ) = { f : ( I , I& ) → ( X , x0 )} cùng với phép toán ∗ là một nhóm Nhóm π1 ( X , x0 ) được gọi là nhóm cơ bản của không gian tôpô X với điểm đánh dấu x0 (hay với điểm gốc x0 ) 12 Chú ý Ta xét các cặp ( X , A) trong đó X là không gian tôpô và A là một tập con của X Khi A là một điểm { x0 } thì viết ( X , x0 ) và gọi là không gian tôpô X với điểm đánh dấu x0 (hay điểm gốc x0 ) Ánh xạ f :( X ,... các không gian tôpô liên thông cung 1.1.8 Định nghĩa Không gian tôpô liên thông cung có nhóm cơ bản tầm thường được gọi là không gian tôpô đơn liên Ví dụ Không gian thắt được gọi là không gian đơn liên Cho không gian thắt được X và x0 , x1 là hai điểm tuỳ ý của X Vì X là không gian thắt được nên tồn tại ánh xạ liên tục h : X × I → X mà h( x, 0) = x, h( x, 1) = x0 , h( x0 , t ) = x0 , ∀t ∈ I Xét ánh... Chú ý rằng nếu f ; grelI& n thì ϕ o f ; ϕ o grelI n nên ϕ* thực sự là một ánh xạ Ánh xạ ϕ* là đồng cấu nhóm Ngoài ra ta có ( Id( x , x0 ) ) (ψo ϕ * ) * =Idπ ( x , x0 ) n = * oϕ ψ * ' Nếu ϕ, ϕ : ( X , x0 ) →( Y , y0 ) và ϕ ; ϕ ' thì ϕ* ; ϕ '* Ví dụ 1 Nhóm đồng luân của không gian thắt được Cho X là không gian tôpôthắt được và f ∈S n ( X , x0 ) Ta có ánh xạ liên tục h : X ×I →X h ( x, 0 ) =x h ( x,1) . 11 1.3 Nhóm cơ bản của nhóm tôpô……………………………………. 14 1.4 Nhóm cơ bản của tích các không gian tôpô……………………… 16 CHƯƠNG 2 NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 17 2.1 Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian. chọn “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp. Nội 3 dung chính của luận văn là tìm hiểu việc thiết lập một bất biến của các không gian tôpô, đồng. Đề tài “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô” 1 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 NHÓM CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 2 1.1 Định nghĩa cơ bản………………………………………………