Lược đồ giải phương trình logarit Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Phương pháp 2: Logarit hoá và đưa về cùng cơ số Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ a. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ b. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x c. Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụ Phương pháp 4: Hàm số bao gồm: a. Sử dụng tính liên tục của hàm số b. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Bài toán 1: Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số) Dạng 1: Phương trình: ( ) log a f x b= ( ) 0 1 b a f x a < ≠   ⇔  =   Dạng 2: Phương trình: ( ) ( ) log f x log x a a g= 0 1 ( ) ( ) 0 a f x g x < ≠  ⇔  = >  Ví dụ 1: Giải phương trình: Log x (x 2 + 4x – 4) = 3 Biến đổi tương đương pt về dạng: Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số) Vậy, pt có nghiệm… Ví dụ 2: Giải phương trình: Biến đổi tương đương pt về dạng: 2 3 0 1 4 4 x x x x < ≠  ⇔  + − =  3 2 0 1 4 4 0 x x x x < ≠  ⇔  − − + =  ( ) ( ) 2 0 1 1 4 0 x x x < ≠   ⇔  − − =   0 1 1 2 x x x < ≠   ⇔ =     = ±   2x ⇔ = ( ) { } 4 3 2 2 1 2 1 1 3 2 log log log log x+ + =    ( ) 3 2 2 2 1 1 3 2log log log x⇔ + + =    Vậy, pt có nghiệm… Ví dụ 3: Giải phương trình: Biến đổi tương đương pt về dạng: Vậy, pt có nghiệm… Ví dụ 4: Giải phương trình: Điều kiện: Viết lại pt dưới dạng: ( ) 3 2 2 1 1 3 1log log log x⇔ + + =    ( ) 2 2 1 1 3 3log log x⇔ + + = ( ) 2 2 1 3 2log log x⇔ + = 2 1 3 4log x⇔ + = 2 1 2log x x⇔ = ⇔ = ( ) ( ) 3 2 1 3 3 2 2 2 2 0log x x log x   + − + + =   ( ) ( ) 3 2 3 3 2 2 2 2log x x log x   + − = +   ( ) 3 2 2 2 0 2 2 2 2 x x x x + >   ⇔  + − = +   3 2 1 2 2 2 0 x x x x > −   ⇔  + − − =   ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 0 x x x x > −   ⇔    − + + + =     ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 0 x x x x > −   ⇔    − + + + =     ( ) ( ) 2 1 2 0 2 1 2 0 x x x x  > −   ⇔ − =    + + + =  2x⇔ = 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 ( 2) 3 (4 ) ( 6) 2 log x log x log x+ − = − + + ( ) ( ) 2 2 0 6 2 4 0 2 4 6 0 x x x x x  + >  − < < −   − > ⇔ ∗   − < <   + >   1 1 1 4 4 4 3 2 3 3 (4 ) 3 ( 6)log x log x log x+ − = − + + 1 1 1 4 4 4 2 1 (4 ) ( 6)log x log x log x⇔ + − = − + + ( ) 1 1 4 4 4 2 (4 ) 6log x log x x⇔ + = − + Vậy, pt có nghiệm… Hãy nhớ rằng: Ví dụ 5: Giải phương trình: Điều kiện: Viết lại pt dưới dạng: Vậy, pt có nghiệm… Ví dụ 6: Giải phương trình: Điều kiện: Viết lại pt dưới dạng: ( ) 4 2 (4 ) 6x x x⇔ + = − + ( ) ( ) 4( 2) (4 ) 6 4( 2) (4 ) 6 x x x x x x + = − + ⇔  + = − − +   2 8 1 33 1 33 x x x x =   = −  ⇔  = +   = −  2 1 33 x x =  ⇔  = −  log c a b• = log a c b 2 a a• = a b .a b• = ( ) ( ) ( ) 3 2 1 lg 8 lg 58 lg 4 4 2 x x x x+ = + + + + ( ) 3 2 8 0 58 0 2 4 4 0 x x x x x  + >  + > ⇔ > − ∗   + + >  ( ) ( ) ( ) 2 3 1 lg 8 lg 58 lg 2 2 x x x+ = + + + ( ) ( ) 3 lg 8 lg 58 lg 2x x x⇔ + = + + + ( ) ( ) ( ) 3 lg 8 lg 58 2x x x⇔ + = + +    ( ) ( ) ( ) 3 8 58 2x x x⇔ + = + + 2 3 54 0x x⇔ − − = 9 6 x x =  ⇔  = −  9x ⇔ = ( ) ( ) 2 9 3 3 2 log log .log 2 1 1x x x= + − 0 2 1 0 2 1 1 0 x x x  >  + ≥   + − >  0x ⇔ > ( ) 2 3 3 3 1 log log .log 2 1 1 2 x x x⇔ = + − ( ) 2 3 3 3 1 2 log log .log 2 1 1 2 x x x   = + −  ÷   Vậy, pt có nghiệm… Ví dụ 7: Giải phương trình ( ) 2 2 3 2 3 7 4 3 log 3 2 log 1 log 2x x x x + − − − + + − = + Điều kiện: ( ) 2 3 2 0 1 0 2 2 x x x x x  − + >  − > ⇔ > ∗   + >  Nhận xét rằng: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 − + − = ⇒ + = − và ( ) 2 7 4 3 2 3− = − Khi đó phương trình có dạng: ( ) 2 2 3 2 3 2 3 1 log 3 2 log 1 log 2 2 x x x x − − − − − + + − = + ( ) 2 2 3 2 3 2 3 2log 3 2 2log 1 log 2x x x x − − − ⇔ − − + + − = + ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 3 log 3 2 log 1 log 2x x x x − − − ⇔ − − + + − = + ( ) 2 2 3 2 3 1 log log 2 3 2 x x x x − − − ⇔ = + − + 2 1 2 3 2 x x x x − ⇔ = + − + 1 2 2 x x ⇔ = + − ( ) 2 4 1 5 5x x x ∗ ⇔ − = ⇔ = ± ⇔ = Vây, pt có nghiệm Ví dụ 8: Giải phương trình: 3 4 5 log log logx x x+ = Điều kiện: x > 0 Ta biến đổi về cùng cơ số 3: 4 4 3 5 5 3 log log 3.log log log 3.log x x x x = = Khi đó phương trình có dạng: 3 4 3 5 3 log log 3.log log 3.logx x x+ = ( ) 3 4 5 log 1 log 3 log 3 0x⇔ + − = 3 log 0 1x x⇔ = ⇔ = ( ) 2 3 3 3 log 2log .log 2 1 1x x x⇔ = + − ( ) 3 3 3 log 2log 2 1 1 .log 0x x x   ⇔ − + − =   ( ) 3 2 3 3 log 0 log log 2 1 1 0 x x x =   ⇔  − + − =  ( ) 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 x x x x x =   ⇔  = + − = + − + +  1 2 2 1 2 x x x =  ⇔  + = +  1 2 2 1 2 x x x =  ⇔  + = +  ( ) ( ) 0 2 1 4 2 1 2 x x x x > =  ¬ →  + = +   0 0 2 1 1 4 4 0 x x x x x x x > > = =   ¬ → ¬ →   = − =   Vây, pt có nghiệm Ví dụ 9: Giải phương trình: 2 log 4.log 2 1 cosx cos x = Biến đổi phương trình về dạng: 0 1 0 1 0 1 2 log 2 1 log 2.log 2 1 1 log 2 1 2 cosx cosx cosx cosx cosx cosx cosx cosx cosx < <  < <   < ≠    =  = ⇔ ⇔      =      = − =      1 1 2 , . 2 3 co sx x k k Z π π ⇔ = ⇔ = ± + ∈ Ví dụ 10: Giải phương trình: 3 2 3 log 2 1 x x −    ÷   = Điều kiện: 2 3 0 x x − > ⇔ Biến đổi phương trình về dạng: 3 2 3 log 0 3 2 3 2 3 2 2 log 0 1 2 3 3 x x x x x x x x x −    ÷   − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 11: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3 2 2 log 1 2log 1x x x− = + + Biến đổi phương trình về dạng: ( ) 3 2 2 2log 1 2log 1x x x− = + + 3 1 1x x x⇔ − = + + 3 3 3 3 1 0 1 1 1 2 0 0 1 0 1 1 1 2 0 x x x x x x x x x x x x x x  − > >       − = + + + =     ⇔ ⇔ ⇔ =   − < <         − + = + + + =     Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 12: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 2 log 1 log 1x x− = − Điều kiện: 2 1 0 1 1 0 x x x  − > ⇔ >  − >  Biến đổi phương trình về dạng: ( ) ( ) 2 2 2 log 1 log 1x x− = − − ( ) ( ) 2 2 log 1 1 0x x   ⇔ − − =   ( ) ( ) 2 1 1 1x x⇔ − − = ( ) ( ) 3 2 2 1 3 0 1 0 2 x x x x x x ∗ ∗ + ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 13: Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 log 1 log 1 log 1 log 1x x x x x x x x+ + + − + = + + + − + Biến đổi phương trình về dạng: ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 4 2 2 2 2 log 1 log 1 log 1x x x x x x+ + = + + + − + ( ) 4 2 4 2 2 0 log 1 0 1 1 1 x x x x x x =  ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔  = ±  Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 14: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log 3 2 log 7 12 3 log 3x x x x+ + + + + = + Điều kiện: ( ) 2 2 4 3 2 3 2 7 12 0 1 x x x x x x x < −   + + >   ⇔ − < < − ∗   + + >    > −  Viết lại phương trình dưới dạng: ( ) ( ) 2 2 2 2 log 3 2 . 7 12 log 24x x x x+ + + + = ( ) ( ) 2 2 3 2 7 12 24x x x x⇔ + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 24x x x x⇔ + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 5 4 5 6 24 2x x x x⇔ + + + + = Đặt t = x 2 + 5x + 4, điều kiện ( ) 9 4 t ≥ − ∗∗ Khi đó (2) có dạng: ( ) ( ) 2 2 24 2 24 0 4t t t t t ∗∗ + = ⇔ + − = ⇔ = Với t = 4: 2 0 5 4 4 5 x x x x =  ⇔ + + = ⇔  = −  thỏa điều kiện (*) Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 15: Giải phương trình 2 3 4 log log log lgx x x x+ + = Điều kiện: x > 0 Ta biến đổi về cùng cơ số 10: 2 2 3 3 4 4 log log 10.lg log log 10.lg log log 10.lg x x x x x x = = = Khi đó phương trình có dạng: 2 3 4 log 10.lg log 10.lg log 10.lg lgx x x x+ + = ( ) 2 3 4 lg log 10 log 10 log 10 1 0x⇔ + + − = lg 0 1x x⇔ = ⇔ = Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 16: Giải phương trình: ( ) lg 1 2 lg5 lg 6 x x x+ + = + Viết lại phương trình dưới dạng: ( ) ( ) lg 1 2 lg 6 lg5 1 x x+ − = − 1 2 1 lg lg 6 2 x x +   ⇔ =  ÷   1 2 1 6 2 x x + ⇔ = Đặt t = 2 x , điều kiện t > 0, khi đó phương trình có dạng: ( ) 2 3 1 1 6 0 6 2 t loai t t t t t = − + = ⇔ + − = ⇔  =  2 2 1 x x⇔ = ⇔ = Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 17: Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 5 5 1 log 3 log 3 3 log 11.3 9 1 x x x + − + + = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 5 5 5 log 3 log 3 3 log 11.3 9 x x x − + ⇔ + + = − ( ) ( ) 1 1 3 . 3 3 11.3 9 x x x − + ⇔ + = − ( ) ( ) 1 1 2 3 . 3 3 11.3 9 3 10.3 9 0 x x x x x − + ⇔ + = − ⇔ − + = 3 9 2 0 3 1 x x x x  = =  ⇔ ⇔   = =   Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 18: ( ) ( ) ( ) 2 3 4 8 2 log 1 2 log 4 log 4 1x x x+ + = − + + Điều kiện: ( ) ( ) 2 1 0 4 0 4 1 1 4 4 0 x x x x x  + >   − > ⇔ − < < ∨ < < ∗   + >   ( ) 1 2 2 4 log 4 1 log 4 x x x − ⇔ + = + 4 4 1 4 x x x − ⇔ + = + ( ) ( ) 2 2 1 0 1 4 4 1 4 19 12 0 4 1 0 4 1 4 4 19 20 0 4 1 4 x x x x x x x x x x x x x x  + >     > −  −     + =  + + =  +    ⇔ ⇔   + < − ≠ < −        −   + + =   − + =   +   3 4 19 41 8 x x  = −   ⇔ − ±  =   ( ) 3 4 19 41 8 x x ∗  = −   ⇔ − +  =   Vậy, pt có nghiệm . Lược đồ giải phương trình logarit Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Phương pháp 2: Logarit hoá. 1: Phương trình: ( ) log a f x b= ( ) 0 1 b a f x a < ≠   ⇔  =   Dạng 2: Phương trình: ( ) ( ) log f x log x a a g= 0 1 ( ) ( ) 0 a f x g x < ≠  ⇔  = >  Ví dụ 1: Giải phương trình: . log log x⇔ + + =    Vậy, pt có nghiệm… Ví dụ 3: Giải phương trình: Biến đổi tương đương pt về dạng: Vậy, pt có nghiệm… Ví dụ 4: Giải phương trình: Điều kiện: Viết lại pt dưới dạng: ( ) 3 2