Phụ lục B Hệ động lực hồi quy hệ động lực tuần hoàn Q-1 Ma trận lũy linh Ma trận lũy linh ma trận tuần hoàn vấn đề đề cập đến Trong chương này, nghiên cứu, khai thác mặt ứng dụng chúng; chẳng hạn ma trận cộng đồng hệ sinh học ma trận luỹ linh hay tuần hồn dáng điệu hệ thời gian vô dễ dàng nhận nhờ tính chất đặc biệt ma trận Mặt khác, sử dụng khai triển Jordan tìm cơng thức nghiệm tường minh chứng minh tính ổn định nghiệm hệ động lực (cả rời rạc liên tục) Định nghĩa Q.5 Ma trận vuông A gọi ma trận lũy linh tồn số nguyên dương p cho Ap = (ở ma trận không) Đa thức đặc trưng ma trận định nghĩa χA (λ) = det(λI − A) Định lý Q.9 Cho A ma trận vuông cỡ n × n trường Thế thì, A ma trận lũy linh χA (λ) = λn 539 540 Phụ lục B Chứng minh Nếu đa thức đặc trưng ma trận A có dạng λn áp dụng định lý Caley - Hamilton ta An = Vậy A ma trận luỹ linh Để chứng minh phần đảo lại định lý ta nhận xét với trường k tồn trường K mở rộng trường k cho K đa thức với hệ số k có đủ nghiệm, tức K trường đóng đại số Vì thế, khơng tính tổng quát, ta giả sử trường cho trường đóng đại số Kí hiệu λ giá trị riêng ma trận luỹ linh A ứng với véc tơ riêng v A Khi Av = λv Theo giả thiết A ma trận lũy linh nên tồn số nguyên dương p > cho Ap = Do Apv = λp v = Nhưng véc tơ riêng v nên λp = Suy λ = Vậy đa thức đặc trưng A phải có dạng λn Định lý chứng minh Nhận xét Q.3 Nhận xét rằng, k trường số thực R trường số phức C ta có phép chứng minh khác Thật vậy, k khơng gian Banach nên theo định lý Gelfand, bán kính phổ ρ(A) = sup{| λ |: λ ∈ σ(A)} = lim || An || n n→∞ Mà A ma trận lũy linh nên tồn số nguyên dương p > cho Ap = Do ρ(A) = nên λ = Vậy đa thức đặc trưng A phải có dạng λn Kết hợp định lý với định lý Caley - Hamilton ta có Hệ Q.2 Nếu A ma trận lũy linh cỡ (n × n), ta có An = Nhận xét Q.4 Hệ nói ta cần kiểm tra tính luỹ linh ma trận n × n cần tính đến luỹ thừa thứ n đủ Nếu tới luỹ thừa n mà chưa nhận ma trận ma trận chắn khơng thể ma trận luỹ linh Hơn ta cần ý tổng tích hai ma trận luỹ linh không thiết phải luỹ linh Thật xét hai ma trận luỹ linh (2 × 2) sau A= 0 B= 0 541 Q-1 Ma trận lũy linh Ta có A2 = B = 0, A B ma trận lũy linh Nhưng tổng A+B = 1 tích AB = 0 không ma trận luỹ linh (A + B)2 = I (ma trận đơn vị) (AB)2 = AB (Cũng tính trực tiếp đa thức đặc trưng A + B λ2 − đa thức đặc trưng AB λ2 − λ nên chúng luỹ linh) Mặt khác nhận thấy hai ma trận luỹ linh A B tựa giao hoán với (AB = λ · BA) rõ ràng tổng tích chúng luỹ linh Đảo lại ta có hai mệnh đề quan trọng sau đây: Mệnh đề Q.1 Nếu A, B A + B ma trận lũy linh cỡ (2 × 2) ta có AB = −BA Từ đó, AB BA ma trận lũy linh Chứng minh Theo định lý Q.9 ta có A2 = B = (A + B)2 = Vì vậy, AB + BA = 0, AB = −BA Từ suy ra, (AB)2 = ABAB = −AABB = 0, AB ma trận lũy linh Tương tự ta thu BA ma trận lũy linh Mệnh đề chứng minh Mệnh đề Q.2 Nếu A, B AB, BA ma trận lũy linh cỡ (2 × 2) A + B ma trận lũy linh ta thu AB = −BA Chứng minh Ta có (A + B)2 = A2 + AB + BA + B = AB + BA Từ đó, (A + B)4 = (AB + BA)2 = (AB)2 + ABBA + BAAB + (BA)2 = Điều chứng tỏ A + B ma trận lũy linh nhờ mệnh đề ta thu AB = −BA Mệnh đề chứng minh Nhận xét Q.5 Đối với ma trận luỹ linh cỡ lớn × mệnh đề Q.1 Q.2 khơng cịn Ta lấy ví dụ sau: 542 Phụ lục B 2 tra A, B, A + B Ví dụ Q.22 Với A = 0 ma 0 B = trận luỹ linh ma −2 0 Dễ kiểm 0 trận 0 0 −4 −4 AB = không ma trận luỹ linh (AB)3 = Ví dụ Q.23 Với A = 0 0 AB, BA, A, B ma 0 0 −32 16 −32 32 = 0 B= trận luỹ linh ma A+B = 0 0 0 Dễ kiểm tra 0 trận 0 1 0 khơng ma trận luỹ linh (A + B)2 = I Nhận xét Q.6 Ma trận luỹ linh xuất lý thuyết hệ động lực hệ động lực hồi quy đơn giản Nếu xuất phát từ véc tơ không gian n chiều hệ thống ln quay gốc toạ độ sau không n bước Tiếp theo ta đề cập đến số khái niệm tính chất ma trận tuần hoàn Q-2 Ma trận tuần hoàn Định nghĩa Q.6 Ma trận vuông U gọi ma trận tuần hoàn tồn số nguyên dương k > cho U k = I (ở I ma trận đơn vị) Ma trận tuần hồn ví dụ đơn giản cho hệ động lực tuần hoàn Sau p bước hệ thống ta trở trạng thái ban đầu Đây chu kỳ hệ động 543 Q-2 Ma trận tuần hoàn lực Các ma trận tuần hoàn ma trận nửa đơn (xem [?], p.613)) Nhắc lại ma trận nửa đơn ma trận có hệ véc tơ riêng đầy đủ (tức chúng đồng dạng với ma trận chéo) Chẳng hạn xét ma trận U = cos(2π/p) sin(2π/p) − sin(2π/p) cos(2π/p) ta có U p = I nên U ma trận tuần hoàn Đây phép quay quanh gốc toạ độ với góc 2π p Rõ ràng sau p bước ta quay vị trí ban đầu Một lớp ví dụ hấp dẫn khác ma trận hoán vị Những ma trận dùng để biểu diễn nhóm đối xứng Để cụ thể vấn đề ta ký hiệu V không gian véc tơ n chiều trường số phức với sở {v1 , v2 , · · · , } Kí hiệu Sn nhóm đối xứng với phần tử hoán vị tập hợp {1, 2, · · · , n} Tương ứng với hoán vị σ ta thành lập ánh xạ tuyến tính Pσ sau Pσ vj = vσ(j) với j = 1, 2, · · · , n Ma trận ánh xạ tuyến tính Pσ sở {v1 , v2 , · · · , } ký hiệu Pσ có tên ma trận hốn vị Về mặt trực quan, ma trận hoán vị bảng số vng mà dịng cột có số 1, số lại Chẳng hạn P(1,2) = 1 0 0 P(1,3,2) = 0 0 với (1, 2) hốn vị đổi chỗ với 2, cịn (1, 3, 2) vịng xích đưa vào 3, vào cịn trở Ta có P(1,2) = P(1,3,2) = I đa thức đặc trưng P(1,2) χP(1,2) = (λ2 −1)(λ−1) đa thức đặc trưng P(1,3,2) χP(1,3,2) = (λ3 −1) Bây ta nghiên cứu chi tiết đa thức đặc trưng ma trận tuần hoàn Bổ đề Q.1 Nếu U p = U q = I, p q số nguyên tố U = I Chứng minh Vì p q hai số nguyên tố nhau, nên tồn số 544 Phụ lục B tự nhiên m n cho pm = nq + Do đó, U mp = U nq+1 Theo giả thiết, ta có vế trái I vế phải U Bổ đề chứng minh Định lý Q.10 Cho A ma trận cỡ n × n trường số hữu tỷ Q với giá trị riêng khác trường số phức C Giả thiết thêm tồn số nguyên tố p cho Ap = I Thế đa thức đặc trưng A phải có dạng λp − λp−1 + λp−2 + · · · + Suy p = n p = n + Chứng minh Cho λ giá trị riêng A Thế λp = Mặt khác giá trị riêng A phân biệt nên đa thức đặc trưng A phải thừa số đa thức λp − Khi phân tích đa thức λp − thừa số nguyên tố trường số hữu tỷ Q ta λp − = (λ − 1)(λp−1 + λp−2 + · · · + 1) Vậy đa thức đặc trưng A hai dạng Ta chứng minh xong Nhận xét Q.7 Điều kiện giá trị riêng A phải phân biệt vô quan trọng bỏ Ví dụ ma trận đơn vị I thoả mãn tất điều kiện khác định lý mà khơng có đa thức đặc trưng hai dạng Hệ Q.3 Nếu p số nguyên tố lớn hai số {cos(2π/p), sin(2π/p)} phải số vô tỷ Chứng minh Ta xét ma trận sau U= cos(2π/p) sin(2π/p) − sin(2π/p) cos(2π/p) Khi U p = I Nếu hai số {cos(2π/p), sin(2π/p)} số hữu tỷ, ta sử dụng định lý 1.2 nhận p = Theo giả thiết ta p số nguyên 545 Q-2 Ma trận tuần hoàn tố lớn Với p = ta có sin(2π/3) = √ 3/2 số vô tỷ Hệ chứng minh xong Bây ta xét đa thức đặc trưng ma trận hoán vị Trước hết nhận xét véc tơ v = v + v2 + · · · + véc tơ riêng ma trận hoán vị ứng với giá trị riêng Mặt khác hốn vị σ khơng thay đổi vị trí j vj véc tơ riêng ma trận Pσ ứng với giá trị riêng Như σ cố định k điểm đa thức đặc trưng Pσ chia hết cho (λ − 1)k Cụ thể ta có Bổ đề Q.2 Giả sử σ ∈ Sn vịng xích độ dài p Thế đa thức đặc trưng χ(λ) ma trận hoán vị Pσ (λp − 1)(λ − 1)n−p Chứng minh Ta liệt kê tất véc tơ riêng (độc lập tuyến tính) ma trận Pσ Khơng tính tổng qt, giả sử σ vịng xích (1, 2, · · · , p) Khi {vp+1 , · · · , } n − p véc tơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng Bây đặt ς = cos(2π/p) + i sin(2π/p) bậc p uj = ς jp v1 + ς j(p−1)v + · · · + ς j vp với j = 1, 2, · · · , p Khi Pσ uj = ς jpv + ς j(p−1) v3 + · · · + ς j v1 = ς j uj Bởi định lý quen thuộc VanderMonde ta có hệ véc tơ riêng ς j j = 1, 2, · · · , p độc lập tuyến tính Suy đa thức đặc trưng ma trận hoán vị Pσ (λ − ς)(λ − ς 2) · · · (λ − ς p )(λ − 1)n−p = (λp − 1)(λ−)n−p Bổ đề chứng minh Định lý Q.11 Giả sử τ ∈ Sn biểu diễn dạng tích k vịng xích rời σ1, σ2, · · · , σk Giả sử pi độ dài σi (với i = 1, 2, · · · , k) 546 Phụ lục B q = n − (p1 + p2 + · · · + pk ) Thế đa thức đặc trưng χ(λ) ma trận hoán vị Pτ (λp1 − 1)(λp2 − 1) · · · (λpk − 1)(λ − 1)q Chứng minh Bằng quy nạp theo k sử dụng bổ đề 1.2, ta có định lý với k = Khơng tính tổng qt, ta giả sử σ1 vịng xích (1, 2, · · · , p1 ) giả sử σ2 vòng xích (p1 + 1, p1 + 2, · · · , p1 + p2 ) Trước hết ta có n − p1 − p2 = q véc tơ riêng độc lập tuyến tính Pτ tương ứng với giá trị riêng vp1 +p2 +1 , · · · , Bây giả sử ς1 = cos(2π/p1 ) + i sin(2π/p1 ) nghiệm phức thứ p1 (ς p1 = 1) giả sử ς2 = cos(2π/p2 ) + i sin(2π/p2 ) nghiệm phức thứ p2 (ς p2 = 1) Nhờ ta viết véc tơ riêng Pτ tương j ứng với ς1 ς2 = 1, 2, · · · , p1 j = 1, 2, · · · , p2 Vì đa thức đặc trưng χ(λ) Pτ có dạng χ(λ) = (λp1 − 1)(λp2 − 1)(λ − 1)n−p1 −p2 Định lý chứng minh Tiếp theo ta ta nghiên cứu khơng gian véc tơ tuyến tính định chuẩn k chiều V trường số phức C Ma trận lũy đẳng ma trận vng U cỡ (k × k) cho U − I ma trận lũy linh Rõ ràng, đa thức đặc trưng ma trận lũy đẳng U (λ − 1)k Vì vậy, bán kính phổ ma trận lũy đẳng Để ý rằng, chuẩn ma trận lũy linh lớn, bán kính phổ chúng Ta định nghĩa eAt = I + tn t A + · · · + An + · · · 1! n! Rõ ràng, chuỗi hội tụ với chuẩn ma trận Từ định nghĩa, dễ thấy ◦ (eAt ) = AeAt , ◦ Nếu A B ma trận vng giao hốn e(A+B)t = eAt eBt, 547 Q-2 Ma trận tuần hoàn ◦ Nếu λ giá trị riêng A eλt giá trị riêng eAt , ◦ Nếu U = I eU t = I cosh t + U sinh t ◦ Nếu N ma trận lũy linh cỡ (k × k) eN t = I + tk−1 t N + ··· + N k−1 1! (k − 1)! ma trận lũy đẳng Ta xét ví dụ sau, ◦ Nếu ◦ Nếu U= U= 1 0 −1 thì eU t = eU t = cosh t sinh t sinh t cosh t cos t sin t − sin t cos t (U = I); (U = −I) Nhắc lại rằng, ma trận A biểu diễn dạng A = S + N , S ma trận nửa đơn, N ma trận lũy linh SN = N S (khai triển Jordan cộng tính) Ta có định lý quen thuộc sau mà phép chứng minh thấy dễ dàng nhờ sử dụng khai triển Định lý Q.12 Nghiệm hệ u(t) = Au(t) với t > có dạng u(t) = eAt u(0) ˙ Hơn hữa, A = S + N khai triển Jordan cộng tính A, S ma trận nửa đơn cỡ k × k có k véc tơ riêng độc lập tuyến tính v 1, v2 , · · · , vk tương ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 , · · · , λk (không thiết khác nhau), nghiệm tổng qt hệ có dạng u(t) = α1eλ1 t eN tv1 + α2 eλ2t eN tv2 + · · · + αk eλk t eN tvk với t ≥ (4.1) Nếu Re (λj ) < với tất j = 1, 2, · · · , k, lim u(t) = t→∞ (4.2) 548 Phụ lục B Chứng minh Từ SN = N S ta có e(S+N )t = eSt eN t từ ta có (4.1) Ta chứng minh(4.2) Để ý độ lớn || eN tvj || giá trị đa thức (t biến số) bậc k − khơng đổi Do đó, lim | eλj t | · || eN tvj ||= 0, t→∞ suy (4.2) Chú ý nghiệm hệ x(t) = y(t) ˙ y(t) = ˙ có dạng x(t) = a + bt y(t) = b Ma trận A hệ ma trận lũy linh có véc tơ riêng (độc lập tuyến tính) Để ý eAt = I + tA = t ta ln có nghiệm hệ u(t) = Au(t) với t > u(t) = eAtu(0) ˙ Tiếp theo, ta chứng minh tính ổn định nghiệm hệ động lực rời rạc cách dùng khai triển Jordan nhân tính Nhắc lại tất ma trận khả nghịch A biểu diễn (duy nhất) dạng tích (giao hốn được) ma trận nửa đơn S ma trận lũy đẳng U (khai triển Jordan nhân tính) Giá trị riêng S giá trị riêng A Ta có định lý quen thuộc sau mà phép chứng minh thấy dễ dàng nhờ sử dụng khai triển Định lý Q.13 Nghiệm hệ un+1 = Aun với n = 0, 1, · · · , có dạng un = An u0 Hơn nữa, A = SU khai triển Jordan nhân tính A (A giả thiết ma trận khả nghịch), S ma trận nửa đơn cỡ (k × k) có 549 Q-2 Ma trận tuần hoàn k véc tơ riêng độc lập tuyến tính v , v2, · · · , vk tương ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 , · · · , λk (không thiết khác nhau), nghiệm tổng quát hệ có dạng un = α1 λn U n v1 + α2 λn U n v2 + · · · + αk λn U n vk với n = 0, 1, · · · k (4.3) Nếu | λj |< với tất j = 1, 2, · · · , k lim un = n→∞ (4.4) Chứng minh Do v1 , v2 , · · · , v k véc tơ riêng độc lập tuyến tính khơng gian k chiều, nên chúng tạo thành sở khơng gian Vì vậy, với véc tơ u0 cho trước, ta có u0 = α1 v1 + α2v + · · · + αk vk Thay vào công thức un = An u0 ta có un = An u0 = U n S n (α1 λ1 + α2 λ2 v + · · · + αk λk vk ) = α λ n U n v + α λ n U n v + · · · + α k λn U n v k k Nếu giá trị tuyệt đối λ nhỏ | λn |= (1 + a)−1 tiến tới nhanh n tiến tới vô Còn chuẩn ma trận luỹ đẳng k−1 n n U = (I + N ) = r=0 n(n − 1) · · · (n − r + 1) r N r! bị chặn đa thức k−1 p(n) = r=0 || N ||r n(n−) · · · (n − r + 1) r! có bậc k − (cố định) n Hàm số mũ có độ lớn nhiều so với hàm đa thức Nói cách cụ thể p(n) đa thức cịn a số dương | p(n) | = n→∞ (1 + a)n lim 550 Phụ lục B Vì ta có limn→∞ un = Định lý chứng minh trường hợp A ma trận khả nghịch Nếu A không khả nghịch ta phân tích khơng gian véc tơ cho thành tổng trực tiếp hai không gian bất biến V1 V2 = {v : Av = 0} Hạn chế ánh xạ tuyến tính A khơng gian V1 khả nghịch nên ta áp dụng kết vừa chứng minh để kết luận limn→∞ un = Để ý ma trận lũy linh A= 0 có véc tơ riêng (độc lập tuyến tính) v1 = nên nghiệm tổng quát hệ un+1 = Aun với n = 0, 1, 2, · · · , khơng có dạng (4.3) định lý Hơn nữa, u0 u1 không thiết un = với tất n > Tài liệu tham khảo [1] R Courant, G.Robins, Tốn học gì? (tiếng Nga), NXB Matxcơva, 1967 [2] A.V Dorofeeva, Giáo trình Tốn cao cấp cho khoa Triết học trường đại học (tiếng Nga), NXB MGU, Matxcơva, 1971 [3] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Complexnumbers from A to Z , Birkhăuser, 2006 a [4] I.M Yaglom, Số phức ứng dụng hình học (tiếng Nga), Moskva, 1963 [5] S.I Xvarcburd, Izbrannye voproksy matematiki Fakultativnyi kurs 10, Moskva, 1963 [6] G.Polya, G.Szege, Các định lý tập giải tích, (tiếng Nga), Nhà xuất Mir, Moscow, 1973 [7] D.Shkliarsky, N.Chentsov, I.Iaglom, The USSR Olympiad Problem book, Dover Publications, New York, 1994 [8] Martin Aigner, Gunter M Ziegler, Proofs from the Book, Third Edition, Springer, 2003 [9] Arthur Engel, Problems solving strategies, Springer 1998 551 552 TÀI LIỆU THAM KHẢO [10] Alexeev A., Định lý Abel qua toán lời giải (tiếng Nga), Nhà xuất MCCME, 2001 [11] P.S.Modenov, Problems in Geometry, Mir publishers 1981 [12] H Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their history and solutions, Dover Publications, Newyork 1965 [13] B.J.Venkatachala, Functional Equations, A problem Solving Approach, Prism Books, 2002 [14] Zvezdelina Stankova, Complex numbers in Geometry, Berkeley Mathematical circle [15] Ross Honsberger, Mathematical Gems III, MAA Publications 1985 [16] Nguyễn Cảnh Tồn, Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, 1979 [17] Lê Hải Châu, Thi vơ địch tốn Quốc tế, Nhà xuất trẻ, 2001 [18] Đồn Quỳnh, Số phức với Hình học phẳng, Nhà xuất Giáo dục, 1998 [19] Titu Andresscu, Complex Numbers from A to Z, Birkhauser, 2000 [20] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Một số chuyên đề số học chọn lọc, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [21] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề hình học vấn đề liên quan, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [22] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Một số chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng Nhà xuất Giáo dục, 2008 [23] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỉ , Nhà xuất Giáo dục, 2007 (tái lần thứ hai) TÀI LIỆU THAM KHẢO 553 [24] Đại số 10, Nhà xuất Giáo dục, 1969 [25] Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục, 2009 [26] Bl Sendov, A Andreev and Kjurkchiev, Numerical Solution of Polynomial Equations (Part 2, Vol VIII sách Handbook of Numerical Analysis, Eds., P G Ciarlet and Lions), Nhà xuất Elsevier Science, 1994 [27] Chủ biên: P C Aleksandrov, A I Markusevich, A Ia Khinchin, Từ điển toán sơ cấp, Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên bang Nga, Nhà xuất sách kĩ thuật - lí thuyết, Moskva, 1951 (tiếng Nga), trang 356 - 379 [28] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức ứng dụng Nhà xuất Giáo dục, 2005 [29] Ngô Việt Trung, Lý thuyết Galoa, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [30] Tạ Duy Phượng, Phương trình bậc ba hệ thức tam giác, Nhà xuất Giáo dục, 2004 [31] Eric W Weisstein, CRC Consise Encyclopedia of Mathemtics, CRC Press LLC, USA, 1999 [32] A Sveshnikov, A Tikhonov, The Theory of Function of a complex variable, Mir Publishers, 1973 [33] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐHQGHN, 2007 [34] Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập toán cao cấp, NXB ĐHQGHN, 2007 ‘ ... thuyết hệ động lực hệ động lực hồi quy đơn giản Nếu xuất phát từ véc tơ khơng gian n chiều hệ thống quay gốc toạ độ sau không n bước Tiếp theo ta đề cập đến số khái niệm tính chất ma trận tuần. .. trận tuần hoàn Định nghĩa Q.6 Ma trận vng U gọi ma trận tuần hồn tồn số nguyên dương k > cho U k = I (ở I ma trận đơn vị) Ma trận tuần hồn ví dụ đơn giản cho hệ động lực tuần hoàn Sau p bước hệ. .. trạng thái ban đầu Đây chu kỳ hệ động 543 Q-2 Ma trận tuần hoàn lực Các ma trận tuần hoàn ma trận nửa đơn (xem [?], p.613)) Nhắc lại ma trận nửa đơn ma trận có hệ véc tơ riêng đầy đủ (tức chúng