II.Nội dung đề tài Tên đề tài Suy nghĩ từ một bài toán chia hết Lý do chọn đề tài : Trong chơng trình lớp 6 có bài tính chất chia hết của một tổng lợng bài tập nâng cao, khái quát hoá, và phát triển bài toán trong sách giáo khoa, sách bài tập phần này còn hạn chế do nhiều lý do nhng theo tôi một trong số các lý do là thời gian phân phối cho tiết học nâng cao cha có, mà những năm gần đây lại bỏ thi học sinh giỏi các khối 6,7,8 nên đây cũng là một trở ngại lớn cho cả học sinh và giáo viên khi ôn thi học sinh giỏi lớp 9. Vì vậy bài viết của tôi nhằm khai thác một số bài toán chia hết dành cho học sinh khá giỏi lớp 6. Tạo nền tảng vững chắc cho những năm học tiếp theo, phần nào đó giúp các em yêu thích môn học hơn III. Cơ sở lí luận Các kiến thức cần sử dụng trong phần này gồm 1. a m ka m 2. a m ,b m (a b) m 3. (a b) m, a m b m 4. Nếu trong một tổng có duy nhất một số hạng không chia hết cho m ,các số hạng còn lại đều chia chia hết cho m thì tổng đó không chia hết cho m 5. a m ,b m ab mn 6. a m a n b n (n N ,n 0 ) 7. ab m, (a,m) = 1 b m 8. a m a n,(m,n) = 1 a mn 9. Tích của k số liên tiếp bao giờ cũng có một thừa số chia hết cho k 10. (n - 1)(n + 1) = n 2 - 1, mở rộng từ tính chất a(b + c) = ab + ac 11. a n.m = (a n ) m III. Phạm vi thực hiện p dụng cho học sinh khá giỏi lớp 6A năm học 2008-2009 Về lí thuyết tôi dạy 3 tiết ,7 tiết thực hành luyện tập IV.quá trình thực hiện đề tài 1.Tình trạng thực tế trớc khi thực hiện Hầu hết các em thực hiện giải một bài toán đến đáp số là xong , không chịu đào sâu suy nghĩ , tự hỏi bài toán còn cách giải khác không nếu thay đổi một trong các điều kiện thì cách giải ra sao ? Hoặc kết luận bài toán có còn đúng khi ta tổng quát hoá .Tất cả các vấn đề trên cha có em nào làm đợc 2.Biện pháp thực hiện Để thực hiện đợc mọi ý tởng trên trong khi giảng dạy cần phải cho học sinh tự viết , nói theo đúng ý hiểu của mình từ đó giáo viên sẽ phát hiện đợc chỗ đúng , chỗ sai lầm mà học sinh mắc phải và làm đúng Tăng khả năng t duy độc lập của HS. Trong mỗi bài toán cần hỏi có cách giải hay hơn không . Dựa vào bài toán các nhóm thảo luận để xuất ra bài toán tơng tự **************** V.NộI DUNG CHI TIếT Bài toán 1 Chứng tỏ rằng chữ số tận cùng của số tự nhiên n và n 5 là nh nhau HD Cần chỉ ra n 5 - n có tận cùng là 0 thì bài toán đã giải quyết xong cách 1 A = n 5 - n A = n.n 4 - n A = n(n 4 -1) A = n(n 2 -1)(n 2 +1) (t/c 10) A = n(n-1)(n+1)(n 2 +1) do n(n-1) 2 (t/c9) cần chứng tỏ A 5 cách2 A = n 5 - n A = n.n 4 - n A = n(n 4 - 1) A = n(n 2 - 1)(n 2 + 1) (t/c 10) A = n(n-1)(n+1)(n 2 +1) A = n(n-1)(n+1)(n 2 -4+5) Nếu n = 5k A 5 Nếu n = 5k +1 n - 1 5 A 5 Nếu n = 5k +2 n 2 + 1 5 A 5 Nếu n = 5k + 3 n 2 + 1 5 A 5 Nếu n = 5k + 4 n + 1 5 A 5 Vậy A 5 với mọi n N A 10 n 5 - n có tận cùng là 0 , hay n 5 và n có chữ số tận cùng là nh nhau A =n(n-1)(n+1)(n 2 -4)+5n(n-1)(n+1) A = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1) A 10 n 5 - n có tận cùng là 0 , hay n 5 và n có chữ số tận cùng là nh nhau GV liệu A có chia hết cho số nào đó lớn hơn 10? A = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1) Nên A 2 , 3 , 5 mà 2, 3, 5 là các số nguyên tố A 2.3.5 = 30 Từ suy nghĩ đó ta có bài toán sau Bài tập 1.1 Chứng tỏ rằng n 5 - n chia hết cho 30 với n là số tự nhiên Chúng ta khai thác tiếp dựa trên cơ sở Tích hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8 nên nếu n lẻ thì (n-1)(n+1) chia hết cho 8 và lúc đó n 2 + 1 chẵn (n 2 + 1) 2 Do đó A 3.5.16 = 240 Ta phát triển thành bài toán sau: Bài tập 1.2 Chứng tỏ rằng n 5 - n chia hết cho 240 với n là số tự nhiên lẻ *Liệu ta có thể tổng quát hoá bài toán 1 đợc chăng ? Chứng tỏ rằng a n+4 - a n chia hết cho 10 với n là số tự nhiên khác 0 Giải a n+4 - a n = a n (a 4 - 1) = a n-1 .a(a 4 - 1) = a n-1 (a 5 - a) Theo bài toán 1 có a 5 - a 10 Vậy a n+4 - a n 10 *Sau khi giải quyết đợc bài toán tổng quát, những bài toán phát triển hoặc cụ thể hoá dới đây tuy trông rất ngốt, nhng sẽ đợc giải quyết ngắn gọn Bài tập 1.3 Số sau đây có là số nguyên hay không? x = 0,8.(1994 1994 -1994 1990 ) Hd giải p dụng bài toán tổng quát a n+4 -a n 10 cho trờng hợp a = 1994, n = 1990 x = 0,8.10k = 8k (k Z) x Z Bài tập 1.4 a)Tìm chữ số tận cùng của số x = (2008 2009 -2008 2005 )(2007 2001 +2007 1993 ) b) Tìm hai chữ số tận cùng của số y = (2008 2009 -2008 2005 ).(1994 1994 -1994 1990 ) Hd Giải a) p dụng bài toán tổng quát ta thấy (2008 2009 -2008 2005 ) 10 nên x có tận cùng là chữ số 0 b)Tơng tự có (1994 1994 -1994 1990 ) 10 ,(2008 2009 -2008 2005 ) 10 nên y có hai chữ số tận cùng là 0 Một số bài tập mở áp dụng bài toán 1 và bài toán tổng quát Bài tập 1.5 Chứng tỏ rằng n 8 -n 6 -n 4 +n 2 5760 với mọi n là số tự nhiên lẻ. Bài tập1.6 Chứng tỏ rằng 5 4n+1 -3 4n+1 -2 240 với mọi n là số tự nhiên. Bài tập 1.7 Tìm số d trong phép chia 2009 2001 +2001 2009 cho 240 Bài tập 1.8 tìm 7 chữ số tận cùng của số: A=(1999 1999 - 1999 1995 )(2001 2001 -2001 1997 ) Bài tập 1.9 chứng tỏ rằng: a) 10 4n -1 9999 b) 10 100n+1996 -1 9999 HƯớNG DẫN GIảI BT 1.5 P= n 8 - n 6 - n 4 + n 2 =(n 8 - n 4 ) - (n 6 - n 2 ) =n 4 (n 4 - 1) - n 2 (n 4 - 1) =(n 4 -1).(n 4 - n 2 ) =(n 4 - 1). n 2 .(n 2 - 1) =(n 5 - n). n .(n - 1)(n + 1) Do n 5 -n 240 (bt 1.2) và n lẻ nên (n-1)(n+1) 8 mà n(n-1)(n+1) có một số chia hêt cho 3 ,(3,8) = 1 => p 240 . 3 . 8 P 5760 BT 1.6 B=5 4n+1 -3 4n+1 -2 =5(5 4n -1)-3(3 4n -1)-2-3+5 =5[(5 n ) 4 -1] - 3[(3 n ) 4 -1] 240 240 (bt 1) B 240 BT 1.7 C= 2009 2001 +2001 2009 = 2009(2009 4 . 500 -1)+2001(2001 4 . 500 -1)+2009 + 2001  240  240 +4010 Do 4010 chia cho 240 d 170 => C chia cho 240 d 170  BT 1.8 T×m 7 ch÷ sè tËn cïng cña sè: P = (1999 1999 - 1999 1995 ) =1999 1995 (1999 4 - 1) =1999.(1999 2 ) 997 .(1999 2 -1)(1999 2 +1). =1999. 1 . (1999+1)(1999-1). 2 . = 9 .2000.1998. 2 = 4 .2000 = 8000 Q = 2001 2001 -2001 1997 = 2001 2001 -2001 1997 ) = 1 .(2001 2 +1)(2001 2 -1) = 1 . 2 .( 2001+1)(2001-1) = 2 .2002.2000 = 8000 VËy A = P.Q = .8000 . .8000 = .4000000 Suy ra 7 ch÷ sè tËn cïng cña A lµ 4000000  BT 1.9 Chứng tỏ rằng: a) 10 4n -1 9999 b) 10 100n+1996 -1 9999 Hd a)Do 10 4 = 9999 + 1 nên khi chia cho 9999 luôn d 1 10 4n chia cho 9999 luôn d 1 10 4n - 1 9999 Hd b) tơng tự VI. KếT QUả THựC HIệN Có SO SáNH ĐốI CHứNG Qua điều tra kết cho thấy ở nhóm HS mà tôi áp dụng cách làm trên thì số HS có hứng thú học toán 54% HS khá giỏi bộ môn vợt hơn hẳn so với lớp cùng khối .Tôi nghĩ đây là kết quả mà một ngời thầy nào khi đứng trên bục giảng cũng mong đợi điều đó . Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi trong việc giảng dạy bộ môn Toán .Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và Hội đồng khoa học. ngày 14 tháng 5 năm 2009 Ngời viết ý kiến nhận xét đánh giá và xếp loại của Hội đồng khoa học cơ sở Chñ tÞch héi ®ång (Ký tªn ,®ãng dÊu) . toán 1 và bài toán tổng quát Bài tập 1.5 Chứng tỏ rằng n 8 -n 6 -n 4 +n 2 5 760 với mọi n là số tự nhiên lẻ. Bài tập1 .6 Chứng tỏ rằng 5 4n+1 -3 4n+1 -2 240 với mọi n là số tự nhiên. . 1.9 chứng tỏ rằng: a) 10 4n -1 9999 b) 10 100n+19 96 -1 9999 HƯớNG DẫN GIảI BT 1.5 P= n 8 - n 6 - n 4 + n 2 =(n 8 - n 4 ) - (n 6 - n 2 ) =n 4 (n 4 - 1) - n 2 (n 4 - 1) =(n 4 -1).(n 4. (n-1)(n+1) 8 mà n(n-1)(n+1) có một số chia hêt cho 3 ,(3,8) = 1 => p 240 . 3 . 8 P 5 760 BT 1 .6 B=5 4n+1 -3 4n+1 -2 =5(5 4n -1)-3(3 4n -1)-2-3+5 =5[(5 n ) 4 -1] - 3[(3 n ) 4 -1]