SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 02/4/2010 Câu 1 (3,0 điểm). Rút gọn biểu thức 11 6 2 3 5 7 3 5 2 2 3 14 5 3 A − + + + − − = + + − Câu 2 (4,0 điểm). a. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 18 1 1 72 x x y y xy x y  + + + =   + + =   b. Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 4 2 2 1 2 1 3 10 1 0x x x x + − − + + = Câu 3 (4,0 điểm). a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, giá trị biểu thức 2 2 4 1 3 2 1 1 n M n n n = + + − + không thể là một số tự nhiên. b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( ) 2 2 3 2 18 73 0x y xy x y + + − + + = Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, có diện tích bằng S, các đường cao AD, BE, CF. Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của D trên cạnh AB và AC. a. Chứng minh rằng FE // GH. b. Chứng minh rằng DA.PF.PC = PA.DB.DC, với P là trực tâm ∆ABC. c. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và bán kính đường tròn nội tiếp ∆DEF. Hãy tính diện tích ∆DEF theo S, R, r. Câu 5 (2,0 điểm). Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + . Đẳng thức xảy ra khi nào? ===== Hết ===== ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Câu 1. Rút gọn biểu thức 3.0 Câu 2.b. Giải phương trình 2.0 + ( ) 2 11 6 2 3 2 3 2− = − = − + ( ) 1 3 5 7 3 5 6 2 5 14 6 5 2 + + − = + + − = ( ) ( ) 2 2 1 1 5 3 5 2   + + −  ÷   = ( ) 1 4 1 5 3 5 2 2 2 2 + + − = = + Biểu thức trên tử của A: 3 2 2 2 2 3− + − = + ( ) 1 2 3 14 5 3 4 2 3 28 10 3 2 + + − = + + − = ( ) ( ) 2 2 1 1 3 5 3 2   + + −  ÷   = ( ) 1 6 1 3 5 3 3 2 2 2 + + − = = + Tính được A = 3 2 2 3 2 = 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 + PT đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 0x x x x x x   + + − − + + + − =   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 2 1 2 2 1 0x x x x x x ⇔ + + − + + − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 3. 2 0 2 1 2 1 x x x x x x   + + + + ⇔ − − =  ÷ − −   (Vì x = ½ không là nghiệm của pt đã cho) + Đặt 2 2 1 2 1 x x t x + + = − , ta có pt: 2t 2 – 3t – 2 = 0 Tìm được nghiệm t = 2, t = - ½ + Với t = 2, ta có pt: x 2 - 2x +3 = 0 : pt vô nghiệm + Với t = - ½ , ta có pt: 2x 2 + 6x + 1 = 0  x = 3 7 2 − ± + Tập nghiệm của pt đã cho: { 3 7 2 − ± } 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3. 4.0 a. C/m biểu thức không là số tự nhiên 2.0 + M = ( ) ( ) 2 4 1 3 1 1 1 n n n n + − + + = ( ) ( ) 2 4 3 1 4 1 3 1 1 3 1 n n n n n n + − − = − + − + Giả sử M là số tự nhiên với mọi số tự nhiên n. Suy ra: (4n–1) M (3n–1), ∀n ⇒ (12n –3) M (3n – 1), ∀n Mặt khác: (12n – 4) M (3n – 1 ) , ∀n Suy ra: [(12n –3) - (12n – 4)] M (3n -1),∀n Hay 1 M (3n – 1) , ∀n (vô lý) Vậy M không thể là số tự nhiên (đpcm) 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 2. 4.0 a. Giải hệ phương trình 2.0 + Hệ pt đã cho được viết lại như sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 18 72 x x y y x x y y  + + + =   + + =   (1) + Đặt u = x 2 +x, v = y 2 +y. Ta có hệ pt: 18 . 72 u v u v + =   =  (2) Suy ra u,v có thể là nghiệm của pt: X 2 – 18X + 72 = 0 Phương trình này có hai nghiệm: X = 6, X = 12 + Hệ (2) có các nghiệm (u,v)∈{(6;12), (12;6)} + Với u = 6, v = 12, ta có hệ pt: 2 2 2 2 6 6 0 12 12 0 x x x x y y y y   + = + − =   ⇔   + = + − =     Tìm được x = 2, x = -3 ; y = 3, y = - 4 +Tương tự, với u = 12 , v = 6, tìm được : x = 3, x = - 4 ; y = 2, y = -3 + Kết luận tập nghiệm của hệ pt đã cho: {(2;3),(2;-4),(-3;3),(-3;-4),(3;2),(3;-3),(-4;2),(-4;-3)} 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b. Tìm nghiệm nguyên 2.0 + Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) 2 2 2 2 9 9 8 2x x y y y+ − + − = − ( ) 2 2 9 8 2x y y⇔ + − = − (*) + Pt (*) có nghiệm nguyên khi: y∈Ζ, 8 – 2y 2 ≥ 0 ⇒ y∈Ζ và 2y ≤ ⇒ y ∈ { 0, - 1, 1, -2, 2 } 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Câu 3. b. Tìm nghiệm nguyên (tiếp theo) Câu 4.c. (tiếp theo) + Với y = 0, ta có: ( x + y – 9 ) 2 = 8 ( loại ) + Với y = ± 1, ta có: ( x + y – 9 ) 2 = 6 ( loại ) + Với y = ± 2, ta có: ( x + y – 9 ) 2 = 0 - Nếu y = 2 thì x = 7 (thỏa) - Nếu y = -2 thì x = 11 (thỏa) Vậy nghiệm nguyên (x; y) cần tìm: ( 7; 2), (11; - 2) 0.25 0.25 0.25 0.25 +dt(ABC)=dt(AEOF)+dt(BDOF)+dt(CDOE) (*) + dt(AEOF) = dt(AOE) + dt(AOF) = 1 2 OA.EF + Tương tự, dt(CEOD) = 1 2 OC.ED dt(BDOF) = 1 2 OB.DF +Thay vào (*): dt(ABC) = 1 2 R(EF + FD + DE) (7) +Do r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF, nên dễ dàng c/m được: dt ( DEF) = 1 2 r (EF + FD + DE) (8) + Từ (7) và (8) suy ra: dt (DEF) = .S r R 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4. 7.0 a. CMR: FE // GH 2.0 t P K G H F E D O A B C + Chứng minh được tứ giác AGDH nội tiếp ⇒ ∠ADG = ∠AHG (3) + Tam giác vuông ADB, đường cao DG, có: ∠ABC = ∠ABD = ∠ADG (4) + Từ (3), (4) , suy ra ∠AHG =∠ABC (*) + Chứng minh được tứ giác BFEC nội tiếp ⇒ ∠FBC =∠ABC= ∠AEF (**) + Từ (*) và (**), suy ra: ∠AHG =∠AEF Vậy EF // GH (đpcm) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5. Chứng minh bất đẳng thức 2.0 + Ta có: a 2 – ab + b 2 ≥ ab, ∀a, b ≥ 0 ⇒ (a+b)( a 2 – ab + b 2 ) ≥ ab(a+b), ∀a, b ≥ 0 ⇒ a 3 +b 3 +1 ≥ ab(a+b+c), ∀a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1) ⇒ 3 3 a+b+c a b 1 0 c + + ≥ > , ∀a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1) ⇒ 3 3 1 1 c a b a b c ≤ + + + + (9) + Tương tự, ta chứng minh được: 3 3 1 1 a b c a b c ≤ + + + + (10) và 3 3 1 1 b c a a b c ≤ + + + + (11) + Cộng vế theo vế (9), (10) và (11): 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + (đpcm) + Nêu được đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 ====//==== Ghi chú: Nếu HS có cách giải khác mà đúng thì Ban giám khảo môn Toán thảo luận và thống nhất biểu điểm phù hợp với hướng dẫn chấm nêu trong hướng dẫn chấm này./. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b. C/m đẳng thức 1.5 + Gọi K là giao điểm của tia AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. +C/m ∆DBA~∆DKC=>DA.DK=DB.DC (5) +C/m ∆PDC~∆PFA=>PD.PA=PF.PC Và c/m được D là trung điểm PK=>PD=DK Suy ra: DK.PA= PF.PC (6) +Chia (5) cho(6): DA.PF.PC=PA.DB.DC 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 c. Tính dt(DEF) theo S, R, r 3.5 + Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC +Kẻ tiếp tuyến At, ta có: ∠CAt = ∠ABC (cùng chắn cung nhỏ AC) +Mặt khác: ∠ABC = ∠AEF (cmt) +Suy ra: ∠CAt = ∠EAt = ∠AEF ⇒ At // EF (so le trong) Mà At ⊥ OA Suy ra OA ⊥ EF + Tương tự, suy ra: OB ⊥ DF, OC ⊥ DE 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3 . SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2 009 - 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 02/4/2010 Câu 1 (3,0. + + . Đẳng thức xảy ra khi nào? ===== Hết ===== ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2 009 – 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Câu