 Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . PHẦN MỘT: GIẢI TÍCH A. LÝ THUYẾT: 1. Phương trình tiếp tuyến  tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ) của đồ thị hàm số y = f(x): : y – y 0 = y / (x 0 )(x – x 0 ) trong đó k = y / (x 0 ) = f / (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến . 2. Đạo hàm: cho u = u(x) và v = v(x) là các hàm số một biến x, ta có các công thức sau 3. Vi phân: cho hàm y = f(x). Ký hiệu vi phân của hàm số y = f(x) là dy hay df(x). Ta có: dy = y / dx hoặc df(x) = f / (x)dx. 4. Đồng biến – nghịch biến: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm y / . Nếu y / ≥ 0 (hoặc y / ≤0) và dấu “bằng” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên khoảng (a, b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a, b). 5. Điểm tới hạn: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và x 0 ∈(a, b). Điểm x 0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) nếu x 0 là nghiệm của y / hay tại x 0 thì y / không xác định. * Chú ý: điểm x 0 phải nằm trong MXĐ của hàm số trên. 6. Cực trị của hàm số: a) Định lý Fermat: Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại x 0 ⇒ f / (x 0 ) = 0. b) Dấu hiệu để có cực trị: + Dấu hiệu 1: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là lân cận của điểm x 0 .  Nếu khi x đi qua x 0 mà y / đổi dấu từ “+” sang “–“ thì hàm số có điểm cực đại là x 0 .  Nếu khi x đi qua x 0 mà y / đổi dấu từ “–” sang “+“ thì hàm số có điểm cực tiểu là x 0 . + Dấu hiệu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 tại điểm x 0 và x 0 là nghiệm của y / (y // (x 0 ) ≠ 0).  Nếu y // (x 0 ) > 0 ⇒ x 0 là điểm cực tiểu. Trầm Tấn Phong Trang 1 (u ± v± w) / = u / ± v / ± w / (uvw) / = u / vw + v / uw+w / uv 2 // / v u.vv.u v u − =       (kv) / = k.v / 2 / / v v v 1 −=       (C) / = 0 (C là hằng số) (x) / = 1 (x α ) / = α.x α -1 (α ∉ R) ( ) x2 1 x / = (u α ) / = α.u α -1 .u / (α ∉ R) ( ) u2 u u / / = (sinx) / = cosx (cosx) / = –sinx (tgx) / = xcos 1 2 (cotgx) / = x 2 sin 1 − (e x ) / = e x (a x ) / = (a x ).lna (lnx) / = x 1 ( ) aln.x 1 xlog / a = (sinu) / = u / . cosu (cosu) / = – u / .sinu (tgu) / = u u 2 / cos (cotgu) / = usin u 2 / − (e u ) / = u / . e u (a u ) / = u / . (a u ).lna (lnu) / = u u / ( ) aln.u u ulog / / a =  Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông .  Nếu y // (x 0 ) < 0 ⇒ x 0 là điểm cực đại. 7. Khoảng lồi – lõm - điểm uốn: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai y // trên khoảng (a, b). + Nếu y // > 0 với mọi x ∈(a, b) thì đồ thị hàm số lõm trên (a, b). + Nếu y // < 0 với mọi x ∈(a, b) thì đồ thị hàm số lồi trên (a, b). + Nếu khi x đi qua điểm x 0 mà y // đổi dấu thì điểm U(x 0 , f(x 0 )) là điểm uốn của đồ thị. 8. Tiệm cận: trong phạm vi chương trình lớp 12, chúng ta chỉ nghiên cứu hai đồ thị hàm số có tiệm cận sau đây: // 2 // , bxa cbxax y bxa bax y + ++ = + + = (Dạng này ở chương trình nâng cao) a) Đối với đồ thị hàm số // bxa bax y + + = thì có hai loại tiệm cận: - Tiệm cận đứng: x = a b / − (là nghiệm của mẫu) - Tiệm cận ngang: y = / a a − b) Đối với đồ thị hàm số // 2 bxa cbxax y + ++ = thì có hai loại tiệm cận: Tiệm cận đứng: x = a b / − (là nghiệm của mẫu) Tiệmcận xiên:y = Ax+ B (có được bằng cách lấy tử chia mẫu lấy phần nguyên bỏ phần dư). 9. Khảo sát hàm số: * Ph ương pháp: - Tìm MXĐ - Tính y / . - Giải phương trình y / = 0. - Tìm điểm cực trị - Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và đường tiệm cận (nếu có). - Lập bảng biến thiên (xét dấu y / , ghi đầy đủ các yêu cầu). - Vẽ đồ thị: + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có). + Biểu diễn các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có). + Vẽ đồ thị: căn cứ vào các điểm đã biểu diễn và các đường tiệm cận để vẽ đồ thị. Chú ý: + Đôi khi ta cần phải tìm thêm một vài điểm đặc biệt khác để vẽ chính xác đồ thị, chẳng hạn: ● Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung. Cho x= 0, tính y = ? (bước này nên tìm). ● Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành. Cho y = 0, tính x = ? (nếu việc giải phương trình y = 0 quá phức tạp thì ta có thể bỏ qua bước này). Khi đó ta nhìn vào hình dáng đồ thị để cho thêm một vài điểm đặc biệt khác. + Nếu đồ thị có hai đường tiệm cận thì đồ thị sẽ đối xứng qua giao điểm của 2 đường tiệm cận. 10. Nguyên hàm: hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F / (x) = f(x). Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) được ký hiệu là: ∫ dx)x(f a) Các tính chất: + ( ) ( ) ∫∫ = dxxfkdxxkf (k là hằng số). + ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ∫∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf b) Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm bổ sung Cx 1α 1 dxx 1αα + + = + ∫ , (α ≠ –1) ( ) C 1)(α bax . a 1 dxb)(ax 1α α + + + =+ + ∫ ,(α ≠ –1, a ≠ 0) Trầm Tấn Phong Trang 2  Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . Cxdx x += ∫ ln 1 Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin ( ) Ctgxxtgdx x +=+= ∫∫ 2 2 1 cos 1 ( ) Cgxcotxgcot1dx xsin 1 2 2 +−=+= ∫∫ Cedxe xx += ∫ C a a dxa x x += ∫ ln (a >0, a ≠ 1) Cxdx += ∫ C x dx x +−= ∫ 11 2 Cxdx x += ∫ 1 Ckxx k +++= + ∫ ln 2 x dx ∫ +−= Ccosxlntgxdx ∫ += Csinxlncotgxdx ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ ln 11 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) [ ] ( ) Cbaxtg a 1 baxtg1dx baxcos 1 2 2 ++=++= + ∫∫ ( ) ( ) [ ] ( ) Cbaxgcot a 1 baxgcot1dx baxsin 1 2 2 ++−=++= + ∫∫ Ce a 1 dxe baxbax += ++ ∫ C lna a1 dxa βαx α βαx += + + ∫ (a >0, a ≠ 1) C xa xa a dx xa + − + = − ∫ ln 2 11 22 , (a ≠ 0) C x tgdx x += ∫ 2 ln sin 1 C x tgdx x +       += ∫ 42 ln cos 1 π ( ) C bax 1 . a 1 dx bax 1 2 + + −= + ∫ 11) Tích phân: a) Công thức Niutơn-laipnit: )()()()( aFbFxFdxxf a b a b −== ∫ b) Các tính chất quan trọng: + 0)( = ∫ a a dxxf + ∫∫ −= a b b a dxxfdxxf )()( + ∫∫ = b a b a dxxfkdxxkf )()( + [ ] ∫∫∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( + ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( (với c∈ [a, b]) + Nếu ( ) 0f x ≥ trên đọan [ ] , ( ) 0 b a a b f x dx⇒ ≥ ∫ Trầm Tấn Phong Trang 3  Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . + Nếu ( ) ( )f x g x≥ trên đọan [ ] , ( ) ( ) b b a a a b f x dx g x dx⇒ ≥ ∫ ∫ + Nếu m ≤ f(x) ≤ M trên đoạn [a, b] ⇒ m(b – a) ≤ )()( abMdxxf b a −≤ ∫ c) Các phương pháp tính tích phân: * Phương pháp đổi biến số: giả sử cần tính tích phân ∫ b a dxxf )(  Đổi biến số dạng 1:  Đặt x = ϕ(t) sao cho f[ϕ(t)]. ϕ / (t) có dạng trong bảng tích phân cơ bản.  Tìm hai số α, β sao cho a = ϕ(α), b = ϕ(β).  Dùng công thức đổi biến số: ∫∫ = β α ϕϕ dtttfdxxf b a )().([)( /  Đổi biến số dạng 2:  Đặt t = ϕ(x). Tính vi phân dt = ϕ / (x)dx.  Tìm hai số α, β sao cho α = ϕ(a), β = ϕ(b).  Dùng công thức đổi biến số: [ ] ∫∫ = β α ϕϕ dttfdxxxf b a ).()().( / * Phương pháp tích phân từng phần: Giả sử cần tính tích phân ∫ b a dxxf )( - Phân tích tích phân ∫ b a dxxf )( thành dạng ∫ b a udv sao cho tính được hàm v. - Dùng công thức: ∫∫ −= b a b a b a vduvuudv . 12. Diện tích hình phẳng: cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). + Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ( ) 0 , y f x y x a x b =   =   = =  ● Dùng công thức tổng quát: ∫ = b a dxf(x)S + Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ( ) ( ) , y f x y g x x a x b =   =   = =  ● Dùng công thức tổng quát: [ ] ∫ − b a dxg(x)f(x) 13. Thể tích của vật thể tròn xoay: cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình (H) giới hạn bởi ( ) 0 , y f x y x a x b =   =   = =  quay quanh trục hoành là V = [ ] ∫ b a dxxf 2 )( π Trầm Tấn Phong Trang 4  Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . B. CÁC BÀI TẬP THƯỜNG GẶP - PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1) Khảo sát các hàm số trong chương trình đã học. 2) Dùng đồ thị y = f(x), biện luận số nghiệm của phương trình f(x, m) = 0 (1) theo tham số m. * Ph ương pháp: Đưa phương trình (1) về dạng f(x) = m. Trong đó: + y = f(x) là đồ thị đã vẽ rồi. + y = m là đường thẳng cùng phương với trục Ox. Dựa vào số giao giao điểm của đồ thị y = f(x) và đường thẳng y = m, ta kết luận số nghiệm của phương trình tương ứng với giá trị m tìm được. 3) Biện luận theo m, số giao điểm của một đường thẳng (d): y = ax + b và đồ thị hàm số (C) của hàm số y = f(x). * Ph ương pháp: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và(C) là: f(x) = ax + b ⇔ f(x) – ax + b = 0 (1). (số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (d) và (C)). Tuỳ theo m ta biện luận số nghiệm của phương trình (1), từ đó kết luận số giao điểm của (d) và (C). 4) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f(x): a) Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M 0 (x 0, ,y 0 ): * Ph ương pháp: ptrình tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0, ,y 0 ) là: y – y 0 = f / (x 0 )(x – x 0 ). Tính f / (x) rồi tính f / (x 0 ), từ đó thay vào phương trình tiếp tuyến trên. b) Tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M 1 (x 1 , y 1 ): * Ph ương pháp: ( chương trình củ) ● Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M 1 (x 1 , y 1 ) và có hệ số góc k là: (d): y – y 1 = k(x – x 1 ) ⇔ y = k(x – x 1 ) + y 1 (1) (trong đó k = f / (x)) ● Giải hệ sau ( ) ( )    = +−= xfk yxxky / 11 (x là hoành độ tiếp điểm). Giải hệ PT này ta tìm được x, từ đó tính được k, thế k này vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng y = k 1 x + b. * Ph ương pháp: ● Từ phương trình đường thẳng y = k 1 x + b cho trước ta tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến ⇒ f / (x) = k (1) (x là hoành độ tiếp điểm). ● Giải phương trình (1) tìm được x = ?, tính y =?, từ đó viết được phương trình tiếp tuyến. * Chú ý rằng: Hai đường thẳng song thì hai hệ số góc bằng nhau, còn hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng –1. 5) Xác định giá trị m để đồ thị có cực đại, cực tiểu (dạng bài tập này chỉ hỏi trong hàm sau đây: cbxaxydcxbxaxy bxa cbxax y ++=+++= + ++ = 2423 // 2 ,, ). * Ph ương pháp: + Nếu đồ thị hàm số cho dạng // 2 bxa cbxax y + ++ = , hoặc hàm dcxbxaxy +++= 23 ta làm như sau: ● Tính đạo hàm y / trong đó có chứa giá trị m. ● Để đồ thị (C) có cực đại, cực tiểu thì y / = 0 có hai nghiệm đơn, từ đó ta tìm được giá trị của m. + Nếu đồ thị hàm số cho dạng cbxaxy ++= 24 , ta làm như sau: ● Tính đạo hàm y / bxax 24 3 += (có chứa m). ● Để đồ thị (C) có cực đại, cực tiểu thì y / = 0 có ba nghiệm đơn ⇔ ( ) 024 2 =+ baxx (1) có ba nghiệm đơn hay    =+ = (*)024 0 2 bax x có ba nghiệm đơn khi đó phương trình (*) phải có hai nghiệm đơn khác 0. Từ điều kiện này ta tìm được m. 6) Xác định giá trị tham số m để đồ thị một hàm số y = f(x, m) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x = x 0 cho trước: * Ph ương pháp: Trầm Tấn Phong Trang 5  Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . + Tính y / = f / (x, m). + Hàm số y = f(x, m) đạt trị tại x 0 ⇔ f / (x 0 , m) = 0 (1). + Giải phương trình (1) ta tìm được m để hàm có cực trị tại x 0 . + Thay m tìm được vào hàm số y = f(x, m), từ đó lập bảng biến thiên để chọn ra m thích hợp với đề bài. 7) Xác định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đi qua một điểm M 0 (x 0 , y 0 ) cho trước. * Ph ương pháp: Thế toạ độ điểm M 0 (x 0 , y 0 ) vào phương trình của đồ thị (C), ta được một phương trình với ẩn là m, giải phương trình này tìm được m. 8) Xác định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhận điểm U(x 0 , y 0 ) làm điểm uốn.( nâng cao) * Ph ương pháp: Do điểm I(x 0 , y 0 ) là điểm uốn của đồ thị y = f(x) nên x 0 là nghiệm của y // . Mặt khác, tung độ y 0 có được là do ta thay x 0 vào hàm số f(x). Vì vây để điểm I(x 0 , y 0 ) là điểm uốn của đồ thị y = f(x) thì ( ) ( )    = = 00 0 // 0 xfy xy giải hệ phương trình này ta tìm được m. 9) Xác định giá trị m để đồ thị hàm số cbxaxy ++= 24 , cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng. * Ph ương pháp: ● Lập ptrình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành: 0cbxax 24 =++ . (1) Đặt X = x 2 , phương trình trên trở thành: aX 2 + bX + c = 0 (*). Điều kiện là phương trình (1) phải có 4 nghiệm đơn: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 lập thành một cấp số cộng. Khi đó phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt dương thoả điều kiện: 9b 2 – 100ac = 0 ● Theo đề bài ta có hệ          =− > > >∆ ≠ 01009 0 0 0 0 2 acb P S a giải hệ này ta tìm được m. 10) Tìm những điểm trên đồ thị có toạ độ là số nguyên (câu này chỉ hỏi trong hai dạng hàm sau đây: //// 2 bxa bax y, bxa cbxax y + + = + ++ = ). * Ph ương pháp: ● Lấy tử chia cho mẫu rồi lập luận phần dư phải là số nguyên, ta tìm được hoành độ x những điểm có toạ độ nguyên, từ đó thế x vào hàm số đã cho tính được tung độ. 11) Tính diện tích hình phẳng. * Ph ương pháp: Có hai dạng. + Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) 0 y f x y x a x b =   =   =   =  ● Dùng công thức tổng quát: ∫ = b a dxf(x)S (1) ● Ta giải phương trình: f(x) = 0 để tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [a, b] từ đó ta biết được trên đoạn [a, b] diện tích có bao nhiêu tích phân. + Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) ( ) y f x y g x x a x b =   =   =   =  Trầm Tấn Phong Trang 6  Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . ● Dùng công thức tổng quát: [ ] ∫ − b a dxg(x)f(x) (2) ● Ta giải phương trình: f(x) – g(x) = 0 để tìm các nghiệm của pt trên đoạn [a, b] từ đó ta sẽ biết được trên đoạn [a, b] diện tích có bao nhiêu tích phân. 12) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình (H) giới hạn bởi ( ) ( ) y f x y g x x a x b =   =   =   =  quay quanh trục hoành. * Ph ương pháp: Dùng công thức: V = [ ] ∫ b a dxf(x) 2 π 13) Tính tích phân: * Ph ương pháp: để tính một tích phân ta có thể dùng các cách sau 1) Dùng các nguyên hàm có sẵn, các tính chất tích phân, công thức niutơn – lepnit. 2) Dùng phương pháp đổi biến số dạng 1, dạng 2.  Chú ý: a) Nếu f(x) chứa 22 xa − ta đặt x = asint (hay x = acost). b) Nếu f(x) chứa 22 xa + ta đặt x = atgt (hay x = acotgt). c) Nếu f(x) chứa 22 ax − ta đặt x = t a sin (hay x = tcos a ) 3) Dùng phương pháp từng phần.  Chú ý: gọi P(x) là một đa thức trong tích phân ∫ b a dxxf )( - Nếu f(x) = P(x) nhân với      + + +bax e bax bax )cos( )sin( , tg(ax+b); cotg(ax+b) thì đặt u = P(x), dv = phần còn lại. - Nếu f(x) = P(x) nhân với ln(ax+b) thì đặt u = ln(ax+b), dv = phần còn lại. 4) Đối với các tích phân có chứa hàm số lượng giác, đôi khi ta cần phải dùng công thức lượng giác biến đổi để đưa tích phân cần tính về những tích phân đơn giản hơn. 14) Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn [a, b]; trên khoảng (a, b). * Ph ương pháp: + Tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a, b] ● Tính f / (x) . Giải phương trình f / (x) = 0, giả sử có nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , …… thuộc [a, b]. ● Tính các giá trị f(a), f(b), f(x 1 ), f( x 2 ), f(x 3 ), ……… ● So sánh các số f(a), f(b), f(x 1 ), f( x 2 ), f(x 3 ). Số nào lớn nhất là GTLN, số nhỏ nhất là GTNN 15) Chứng minh đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhận điểm I(x 0 , y 0 ) làm tâm đối xứng. * Ph ương pháp: Ta cần nhớ lại rằng một hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ta thay x thành –x thì ta có: f(–x) = –f(x). Đồ thị của hàm số lẻ luôn nhận gốc toạ độ O(0; 0) làm tâm đối xứng. Để giải bài toán trên ta tiến hành các bước sau: ● Dùng công thức đổi trục để đổi từ hệ trục Oxy sang hệ trục mới IXY như sau:    += += Yyy Xxx 0 0 thế hệ này vào phương trình y = f(x) để được hàm số dạng Y = f(X) (1) trong hệ trục IXY. ● Chứnh minh hàm số (1) là hàm số lẻ, khi đó đồ thị sẽ nhận điểm I(x 0 , y 0 ) làm tâm đối xứng. Kết thúc điều phải chứng minh. Trầm Tấn Phong Trang 7  Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . 16) Số phức: - Số phức liên hợp, cộng trừ số phức. - Phép nhân, chia số phức. -Phương trình bậc hai đối với hệ số thực. C. BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ I. Chủ đề 1: Khảo sát hàm số – phương trình tiếp tuyến – biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị – tìm các điểm trên đồ thị có toạ độ nguyên – tính diện tích hình phẳng – tính thể tích – Tâm đối xứng của đồ thị – Sự tương giao của hai đường. Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điễm có hoành độ đã chỉ ra: a) y= x 3 +2x-1 tại x 0 =-1 b) y=-x 4 +2x 2 -3 tại x 0 = 1 c) 2 2 2 1 x x y x + − = + tại x 0 = 0. Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của 2 1 1 x y x + = + biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của 2 2 1 1 x x y x + − = − tại giao điểm của (C ) với trục hoành. Bài 4 ( Ban Nâng cao). Viết phương trình tiếp tuyến của: a) 3 2 4 4y x x x= − + qua A(0,6) b) 2 4x y x + = qua A(-4,0).Chứng minh rằng hai tiếp tuyến vuông góc nhau c) 3 2 3 3 7y x x x= − + + qua A(0, 7) d) 3 3 1y x x = − + qua A(-1,-3). e) 1 2 1 1 y x x = + − + qua A(1,3). f) 3 2 3y x x = − qua A( 1 3 ,0 ). f) 3 2 3 2y x x = + − qua A(0,-3) Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của 3 2 3 4y x x= − + − biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 1 2 9 y x = + . Bài 6 . Viết phương trình tiếp tuyến của 3 2 4 4y x x x= − + tại điểm uốn của (C ). Trầm Tấn Phong Trang 8  Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của 4 2 2 3y x x= − − + biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 8 2y x = + . Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của y = 2 3 2x x x − + − tại giao điểm với trục hoành. Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến trên. Bài 9: ( Ban Nâng cao). Viết phương trình tiếp tuyến của y = 2 1 2 x x x − − − đi qua M(1;2). Bài 10: Viết phương trình tiếp tuyến của y = 2 1 2 x x − − song song đường thẳng y = -x 3 4 +2 Bài 11: a)Viết phương trình tiếp tuyến của 3 2 3 4 1y x x x = − + + biết hệ số góc k = 4. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của 2 2 2 x x y x − − = + biết rằng tiếp tuyến đó song song đường thẳng y = 2- 3x. c/ Viết phương trình tiếp tuyến của 2 2 3 1 x x y x − + = + biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y= 2 3 x + . Bài 12: ( Ban Nâng cao). Viết phương trình tiếp tuyến của y = 2 1 x x − + đi qua A(0;3) Bài 13: ( Ban Nâng cao). Viết phương trình tiếp tuyến của 3 3 1y x x = − + đi qua B(1;6). Bài14: Cho hàm số y = x 2 2 3x− − có đồ thị ( C ) . a)Viết phương trình tiếp tuyến` của ( C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): x+4y-20=0. b/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 4x +m cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bài15 .Cho hàm số 23 23 −+++= mmxxxy , đồ thị là (C m ). a) Xác định giá trị m để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. b) Khảo sát đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. c) Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A. d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và tiếp tuyến ở câu (c). * Đáp số: a) m < 3; c) y = 3x+1; d) S= 4 27 Bài16 Cho hàm số 2x3xy 3 −+−= . a) Khảo sát hàm số trên. b) ( Ban Nâng cao). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2; –4). * Đáp số: b) có hai tiếp tuyến: y = –4; y = –9x+14 Trầm Tấn Phong Trang 9  Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . Bài17 Cho hàm số 1x3x2 3 x y 2 3 ++−= a) Khảo sát hàm số trên. b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 2x3y += . c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x 8 1 y + − = . * Đáp số: b) có hai tiếp tuyến: y = 3x+1; y = 3 29 x3 − c) có hai tiếp tuyến: y = 3 11 8 +x ; y = 3 97 8 −x Bài18 Cho hàm số y = x 3 – 6x 2 + 9x, có đồ thị là (C). a) Khảo sát đồ thị (C). b) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số m: 2x 3 –12x 2 + 18x – m = 0. c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) trục Ox và x = 1, x = 2. * Đáp số: c) S = 4 13 Bài19 Cho hàm số 13 23 ++= xxy , đồ thị là (C). a) Khảo sát đồ thị (C). b) ( Ban Nâng cao). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ. c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình : 0mx3x 23 =++ d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị (C) và các tiếp tuyến trên. * Đáp số: b) có hai tiếp tuyến: y = –3x; y = x 4 15 ; d) S = 64 27 Bài20 Cho hàm số 2 )2)(1( −+= xxy , đồ thị là (C). a) Khảo sát đồ thị (C). b) ( Ban Nâng cao). Gọi d là đường thẳng qua A(2, 0) và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt. c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị (C) và đường thẳng x – y + 1 = 0. * Đáp số: b) 0 hoaëc 0 4 9 ><<− mm ; c) S = 8 Bài21 Cho hàm số y = x 3 – 3m 2 x + m 2 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. * Đáp số: 0 maø ≠>−< v 2 1 m 2 1 haym Bài23 Cho hàm số y = mx 3 – 3mx 2 + (2m +1)x + 3 – m, đồ thị (C m ). a) Tìm m để đồ thị có cực đại, cực tiểu. b) Khảo sát đồ thị (C) khi m = 4. c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng y = x –1. Bài 24Cho hàm số y = 2x 3 –3(2m –1)x 2 + 6m(m – 1)x + 1, đồ thị là (C m ). a) Khảo sát đồ thị (C) khi m = 1. b) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (C m ) luôn có cực đại, cực tiểu và hiệu số giữa hoành độ của điểm cực đại và cực tiểu bằng một hằng số. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn. Chứng minh rằng tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến với đồ thị (C). Bài 25Cho hàm số 1x3xy 3 +−= , đồ thị là (C). a) Khảo sát đồ thị (C). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị, trục Ox, Oy và đường thẳng 1x −= . Trầm Tấn Phong Trang 10 . liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông . c) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (H) quay quanh trục Ox. Bài 35 ( Ban Nâng cao). Khảo sát hàm số 1 13 2 − +− = x xx y Bài 36( Ban. y / bxax 24 3 += (có chứa m). ● Để đồ thị (C) có cực đại, cực tiểu thì y / = 0 có ba nghiệm đơn ⇔ ( ) 024 2 =+ baxx (1) có ba nghiệm đơn hay    =+ = (*)024 0 2 bax x có ba nghiệm đơn. các tung độ của chúng luôn bằng 0. * Hứớng dẫn: Tính y / , giải y / = 0, nếu y / có hai nghiệm đơn với mọi k thì ta kết luận đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu với mọi k. Bài 45 ( Ban Nâng cao).