Bài giảng Toán rời rạc 1 LỜI NÓI ĐẦU Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bày những cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí của modul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thị cũng như về ngôn ngữ hình thức) Có thể nói toán học rời rạc là môn tiên quyết và hiệu quả nhất để người học nâng cao tư duy toán học trong phân tích, thiết kế thuật toán và rèn luyện kỹ năng lập trình với những thuật toán phức tạp. Không những thế nó còn là “cửa ngõ” để người học có thể tiếp cận với rất nhiều modul trong khoa học máy tính (như Chương trình dịch, lý thuyết tính toán, Trí tuệ nhân tạo, ). Mặc dù đã rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, tuy nhiên tài liệu không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Chúng tôi rất mong được sự góp ý quí báu của tất cả đọc giả và các bạn đồng 2 nghiệp. Mọi góp xin gửi về: Khoa Công nghệ Thông tin – Trường ĐHSPKT Hưng Yên 3 BÀI 1: TỔNG QUAN MÔN HỌC 1.1. MỞ ĐẦU 1.1.1 Giới thiệu Toán học rời rạc ngày nay đã trở thành quen thuộc trong những năm gần đây bởi những ứng dụng to lớn của nó trong các ngành tinh học. Toán học rời rạc là một ngành toán học giải quyết các đối tượng hay cấu trúc rời rạc. Đối tượng rời rạc là những đối tượng mà chúng có thể được phân biệt, phân tách ra khỏi nhau để có thể đếm được. Số tự nhiên, số hữu tỉ (được coi như là tỉ số của 2 số tự nhiên), môtô, nhà, người, … là những đối tượng rời rạc. Mặt khác số thực bao gồm số vô tỉ là không rời rạc (chúng ta biết rằng giữa hai số thực khác nhau luôn tồn tại một số thực khác chúng). Thuật ngữ “Toán học rời rạc ” cũng để phân biệt với “Toán học liên tục”. Trong khi các đối tượng rời rạc thường được coi như có sự liên quan mật thiết tới số tự nhiên thì các đối tượng liên tục là số thực Trong modul này, chúng ta sẽ nghiên cứu những đối tượng rời rạc như số tự nhiên, mệnh đề, tập, quan hệ, hàm, đồ thị, hay lý thuyết số, …tất cả chúng đều rời rạc. Chúng ta sẽ học các khái niệm, tính chất và quan hệ giữa chúng với nhau và với các đối tượng khác. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m , lý t h uyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật m ã , - Có thể nêu ra đây một vài ví dụ dùng tới toán học rời rạc: - Có bao nhiêu password hợp lệ cho một hệ thống máy tính ? - Có tồn tại một đường nối giữa 2 máy tính trong một mạng - Có bao nhiêu địa chỉ internet hợp lệ? - Đường đi ngắn nhất giữa 2 máy tính trong một mạng là gì? - Có bao nhiêu bước trong quá trình sắp xếp? - Có bao nhiêu mạch để cộng 2 số nguyên được thiết kế? - Khả năng trúng giải thưởng cho một vé số là bao nhiêu? - Cách tốt nhất để lập lịch 8 cuộc họp hội đồng các thành viên mà không có bất kỳ sự cạnh tranh nào, giả thiết đưa ra là 1 vài người có tên trong hơn 1 hội đồng. - Làm thế nào chúng ta có thể lập lịch tất cả các nhiệm vụ trong dự án lớn này 4 (giống như 1 dự án xây dựng hoặc dự án để bắt đầu đưa 1 sản phẩm mới ra thị trường). Sẽ có đủ số điện thoại để cung cấp tất cả điện thoại, máy fax, và điện thoại di động trong cho Việt Nam? - Làm thể nào chúng ta có thể mô hình và phân tích 1 sự thay đổi dân số, hoặc thay đổi lượng tiền trong một dự án đầu tư Modul sẽ học những cấu trúc rời rạc và các kỹ thuật để giải quyết những vấn đề này. Vậy một câu hỏi đặt ra là : Toán rời rạc được dùng khi nào? Thực tế Toán học rời rạc được dùng rất đa dạng trong nhiều chuyên ngành, lĩnh vực. Tuy nhiên, có thể thấy phần lớn nó được dùng khi liên quan tới: - Đếm các đối tượng - Xem xét quan hệ giữa những tập hữu hạn (hoặc đếm được) - Phân tích quá trình có số bước hữu hạn. - Cơ bản về tất cả những xử lý thông tin số: Những thao tác trên các cấu trúc rời rạc trong bộ nhớ. - Nó là ngôn ngữ cơ bản và là khái niệm nền tảng cho tất cả các lĩnh vực trong khoa học máy tính. - Các khái niệm rời rạc cũng được sử dụng rộng rãi trong toán học, kỹ thuật, kinh tế, sinh học,… Đặc biệt toán học rời rạc là một công cụ tuyệt vời để suy luận logic. 1.2 TẠI SAO LẠI HỌC TOÁN RỜI RẠC Có một số lý do quan trọng để nghiên cứu Toán học rời rạc. Thứ nhất, thông qua modul này, người học có thể phát triển khả năng toán học, đó là khả năng hiểu và tạo ra các chủ đề của toán học. Người học sẽ vô cùng khó khăn để tiến xa trong ngành tin học mà không có những kiến thức toán học này. Thứ hai, Toán học rời rạc cung cấp cơ sở toán học để mở ra cánh cửa cho người học có thể tiếp tục với những modul cao hơn cho các khóa học của khoa học máy tính, bao gồm: cấu trúc dữ liệu, thuật toán, lý thuyết cơ sở dữ liệu, lý thuyết automat, ngôn ngữ hình thức, trình biên dịch, bảo mật máy tính, thiết kế mạch máy tính, mạng máy tính và hệ điều hành, …sinh viên có thể nhận thấy những khóa học trên vô cùng khó khăn nếu không có một cơ sở toán học của modul Toán học rời rạc này. Toán học rời rạc là toán tính toán Khoa học máy tính hiện đại được xây dựng hầu hết dựa trên Toán học rời rạc, đặc biệt là toán tập hợp và lý thuyết đồ thị. Điều này có nghĩa là: các 5 nhà lập trình máy tính và sinh viên muốn học các thuật toán cơ bản thì sẽ phải cần một nền tảng Toán học rời rạc chắc chắn. Bởi vậy, tại hầu hết các trường đại học, môn Toán học rời rạc là bắt buộc với sinh viên bậc đại học. Toán học rời rạc là toán thế giới thực Nhiều sinh viên than phiền về tính truyền thống của toán cấp 3 như: đại số, đồ thị, lượng giác, và phần tương tự như vậy- câu hỏi đặt ra là: “học toán cấp 3 với nội dung truyền thống như vậy tốt ở điểm nào?” Một vài chủ đề trừu tượng của toán học thường làm sinh viên sợ và không vượt qua được. Ngược lại, Toán học rời rạc , đặc biệt là toán đếm và xác suất, cho phép sinh viên ( kể cả h/s đang học cấp 3 – nhanh chóng tìm ra vấn đề quan trọng trong thế giới thực những vấn đề khó nhưng lại rất thú vị). Toán học rời rạc dạy suy luận toán học và các kỹ thuật chứng minh Đại số thường dạy sinh viên nhớ chuỗi các công thức và thuật toán (ví dụ, công thức quadratic, các hệ thống phương trình tuyến tính ), và hình học thường được dạy như là 1 chuỗi các bài tập áp dụng “định nghĩa – định lý – chứng minh”. Còn với Toán học rời rạc , sinh viên sẽ suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo. Có các mối quan hệ giữa 1 vài công thức. Có 1 số khái niệm cơ bản để làm chủ và ứng dụng Toán học rời rạc trong nhiều cách khác nhau. Toán học rời rạc rất vui Nhiều sinh viên, đặc biêt là những sinh viên sáng dạ và năng động tìm ra rằng đại số, hình học và thậm chí cả tích phân không gây thích thú. Hiếm khi những chủ đề này gây thích thú như những chủ đề Toán học rời rạc . Khi chúng ta hỏi sinh viên về chủ đề mà họ thích, hầu hết đều nhận được trả lời là toán tập hợp hoặc lý thuyết số. (Khi chúng ta hỏi sinh viên về chủ đề mà ít gây thích thú với họ nhất, phần đa trả lời là “hình học”). Và thật đơn giản hầu hết sinh viên đều nhận ra rằng Toán học rời rạc nhiều niềm vui hơn đại số và hình học. 1.3 TOÁN HỌC RỜI RẠC NGHIÊN CỨU NHỮNG GÌ? Toán học rời rạc là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc , các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học m áy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Có thể nói toán học rời rạc ngày càng có tầm quan trọng trong nhiều ngành khoa học máy tính cũng như trong công việc lập trình. Có nhiều khái 6 niệm của toán học được nghiên cứu trong Toán học rời rạc. Chúng ta có thể nhắc tới một số chủ đề trong Toán học rời rạc sau đây khi chúng đã được áp dụng rất nhiều trong khoa học máy tính: Algorithmics – Thuật toán, còn gọi là giải thuật, là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán. Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thể nhằm giải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một kết quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào. Thuật toán đôi khi còn được gọi là phương thức, thủ tục, hay kỹ thuật. Trong ngành khoa học m áy tính , thì thuật toán là được thể hiện thông qua một chương trình m áy tính (hay một tập hợp các chương trình máy tính) được thiết kế để giải quyết một số loại vấn đề một cách có hệ thống. Một thí dụ kinh điển trong ngành khoa học máy tính là thuật toán đệ quy dùng để giải bài toán t h áp H à Nội Boolean Algebra – cách tính toán và biểu diễn các biểu thức trên hệ cơ số, nó cũng nghiên cứu các khái niệm điện tử học như cổng logic…. Combinatorics – Là một nhánh của toná học nghiên cứu tới liệt kê, tổ hợp, hoán vị các tập phần tử, những tính chất và những quan hệ của chúng. Computability and Complexity Theories – Lý thuyết về độ phức tạp và khả năng tính toán - Liên quan tới combinatorics và algorithmics, nhưng nó tập trung vào những giới hạn về thực hành cũng như lý thuyết trong các mô hình tính toán khác nhauđể giải quyết bài toán. Lý thuyết về độ phức tạp và khả năng tính toán. Trong khoa học máy tinh, nó thường dùng ký hiệu O (Big-O). Counting – Liên quan tới các khái niệm và kỹ thuật đếm, liệt kê và tính toán trong các hệ số khác nhau. Graph Theory – Lý thuyết đồ thị - Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu trúc, nhiều bài toán thực tế có thể được biểu diễn bằng đồ thị. Ví dụ, cấu trúc liên kết của một website có thể được biểu diễn bằng một đồ thị có hướng như sau: các đỉnh là các trang web hiện có tại website, tồn tại một cạnh có hướng nối từ trang A tới trang B khi và chỉ khi A có chứa 1 liên kết tới B. Do vậy, sự phát triển của các thuật toán xử lý đồ thị là một trong các mối quan tâm chính của khoa học m áy tính Information Theory – Lý thuyết thông tin – Áp dụng toán học vào truyền thông, nó dựa phần lớn vào xác suất và thông kê để nghiên cứu những lĩnh vực như phân tích dữ liệu, mạng, truyền thông, tính toán lượng tử … 7 Logic – Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học . Kể từ giữa thế kỉ 19 logic đã thường được nghiên cứu trong toán học và luật. Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học m áy tính và trí tuệ nhân tạo . Là một ngành khoa học hình thức , logic nghiên cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả hai đều thông qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sự nghiên cứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên. Mathematical Relations – Quan hệ - liên quan tới lý thuyết tập, các quan hệ là việc gán một giá trị cho một tổ hợp của k-phần tử. Number Theory – Là một nhánh lớn của toán học nghiên cứu những tính chất của số nguyên. Proofs – chứng minh – Dùng lập luận logic toán học để chứng minh một biểu thức là đúng, sai. Functions- Hàm - Trong toán học , khái niệm hàm số (hay hàm) được hiểu tương tự như khái niệm ánh xạ . Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một qui tắc tuơng ứng áp dụng lên hai tập hợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồn và tập đích), mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tương ứng với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn và tập đích đều là tập hợp số Set Theory – Nghiên cứu tập các phần tử. Mặc dù bất ký một kiểu đối tượng nào cũng có thể tập hợp lại thành tập nhưng lý thuyết tập thường áp dụng cho các đối tượng trong toán học. Linear algebra - Đại số tuyến tính - được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương , giải tích hà m , hình học giải tích để giải các bài toán như phép quay trong không gian , nội suy bình phương nhỏ nhất , nghiệm của hệ phương trình vi phân , tìm đường tròn qua ba điể m Nó cũng có vô vàn ứng dụng trong khoa học tự nhiên (vật lý , công nghệ ) và khoa học x ã hội (kinh tế ), vì các mô hình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấp xỉ bằng mô hình tuyến tính. Ký hiệu “→” :≡ “có thể được định nghĩa bởi” 8 Như chúng ta đã thảo luận phần trước, các cấu trúc toán học có thể được xây dựng hay chỉ ra thông qua các cấu trúc đơn giản hơn. Chính biểu đồ trên phác thảo một vài cách mà các cấu trúc rời rạc (và liên tục) đa dạng cuối cùng cũng được tạo nên từ cấu trúc rời rạc rất đơn giản là tập (set), cấu trúc này chúng ta sẽ sớm tiếp cận. Biểu đồ cũng cho chúng ta thấy được phần nào quan hệ của các đối tượng toán học. Tuy nhiên, biểu đồ đã được đơn giản hóa đi rất nhiều, nhiều cấu trúc khác cũng như các cách định nghĩa các cấu trúc thông chúng đã được lược bỏ. Ví dụ, các tập có thể được định nghĩa thông qua các hàm, hoặc các quan hệ. Không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Các tập chỉ có thể là điểm bắt đầu nhưng chúng phổ cập được bởi vì định nghĩa của chúng quá đơn giản. Trong modul này, chúng ta sẽ xem xét biểu đồ chi tiết để thấy được các cấu trúc này liên hệ với nhau như thế nào. 1.4 HỌC TOÁN RỜI RẠC NHƯ THẾ NÀO? Một số lời khuyên cho người học để có thể đạt hiệu quả cho modul này như sau: Thứ nhất, sinh viên hãy coi bài tập như một phần quan trọng trong quá trình học. Người học sẽ học được phần lớn kiến thức thông qua bài tập, do vậy sinh viên hãy làm càng nhiều bài tập càng tốt, bao gồm cả bài tập cuối mỗi phần và các bài tập giảng viên cung cấp. Sinh viên hãy cố gắng tự giải bài tập trước khi xem lời giải. Đây là một yêu cầu rất quan trọng với sinh viên, người học chỉ có thể đạt được nhiều kiến thức nhất khi trải qua quá 9 trình tự làm, tự học. Thứ hai, sinh viên không được bỏ một buổi học nào, thời gian học trên lớp là quá trình trao đổi rất tốt giữa giảng viên và sinh viên. Thứ ba, nếu học viên học ít hơn 3 ngày trong tuần trong quá trình học modul này thì học viên đang lãng phí thời gian của mình, do vậy tốt nhất cho học viên là học tập thường xuyên. Thứ tư, hãy tạo cho mình môi trường học tập thoải mái: có thể đan xen giữa việc giải toán, nghỉ ngơi và …giải toán. Cuối cùng, không bao giờ quên bài giảng Hãy nhớ là: cho dù là bạn có khả năng vượt qua các kỳ thi bằng cách học rất ít trước kỳ thi, nhưng với cách học như vậy thì kiến thức toán mà bạn học sẽ chỉ đi vào “bộ nhớ tạm thời” mà thôi. Kết quả cuối cùng là kiến thức toán của bạn sẽ ở mức độ mà không tồn tại lâu dài do cách học “sổi”, và chính thói quen học tập nghiên cứu như vậy của bạn sẽ làm hại chính bạn. 10 [...]... nhau 26 Kí hiệu là: 2.2.3 Ứng dụng Giải bài toán bằng suy luận lôgic Thông thường khi giải một bài toán dùng công cụ của lôgic mệnh đề ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Phiên dịch đề bài từ ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ của lôgic mệnh đề: • Tìm xem bài toán được tạo thành từ những mệnh đề nào • Diễn đạt các điều kiện (đã cho và phải tìm) trong bài toán bằng ngôn ngữ của lôgic mệnh đề Bước... chứng minh một luận cứ toán học có thể được công thức hóa thành các luật suy diến • Các chứng minh toán học có thể được thể hiện hình thức như là chính các cấu trúc rời rạc Một số thuật ngữ: Một hệ thống toán học bao gồm • Định lý (Theorem) – Một mệnh đề được chứng minh là đúng • Tiên đề, giả thiết (Axioms, hypotheses) – Một giả định (không chứng minh) định nghĩa về các cấu trúc mà chúng ta dùng để lập... cho và phải tìm) trong bài toán bằng ngôn ngữ của lôgic mệnh đề Bước 2: Phân tích mối liên hệ giữa điều kiện đã cho với kết luận của bài toán bằng ngôn ngữ của lôgic mệnh đề Bước 3: Dùng các phương pháp suy luận lôgic dẫn dắt từ các điều kiện đã cho tới kết luận của bài toán Ví dụ: Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và Inđônêxia Trước khi thi đấu vòng bán kết,...11 BÀI 2: LOGIC Logic sử dụng để biểu diễn những luận điểm chính xác các mênh đề toán học Những luật trong logic được dùng để phân biệt những luận điểm đúng và sai Bài học này cũng giúp người học cách thức để hiểu và xây dựng các luận điểm toán học đúng đắn Logic là nội dung trung tâm của khoa học máy tính từ khi ngành này... đoạn nào đó, khi gặp phải sự bế tắc thì ta sẽ phải tự hỏi rằng phải chăng bài toán không có lời giải, hay vì kiến thức của ta chưa đủ, hay ta phải sử dụng một phương pháp chứng minh nào khác? Quả thật là không thể trả lời được các câu hỏi một cách đầy đủ và chính xác Nó phụ thuộc chủ yếu vào kiến thức, kinh nghiệm của người giải bài toán và cả sự nhạy bén, tính năng động sáng tạo của họ Tuy nhiên Những... đạt dưới những dạng khác nhau, chẳng hạn: • "Tồn tại ít nhất một sao cho T(x)" • "Có một sao cho T(x)" • "Có ít nhất một sao cho T(x)" • "Ít ra cũng có một người là nhà toán học" • "Một số người là nhà toán học" • "Có nhiều người là nhà toán học" • 2 Ta dùng kí hiệu với nghĩa "Tồn tại duy nhất một 24 sao cho T(x)" Mệnh đề tổng quát Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X Nếu ta đặt thêm cụm từ... và khoa học máy tính, và những ngành này cung cấp một nguồn dồi dào các bài toán trong logic hình thức và phi hình thức Lý thuyết lý luận là một ví dụ tốt cho thấy logic được áp dụng vào trí tuệ nhân tạo như thế nào Thêm vào đó, máy tính có thể được sử dụng như công cụ cho các nhà logic học Ví dụ, trong logic biểu tượng và logic toán học, các chứng minh bởi con người có thể được hỗ trợ bởi máy tính... Nếu như trong Lôgic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lí 0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng lôgic mờ, mà ở đó giá trị chân lí của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1 Mệnh đề có giá trị chân lí 0 là sai, có giá trị chân lí 1 là đúng Còn giá trị chân lí nằm giữa 0 và 1 chỉ ra mức độ thay đổi của chân lí 2.1.2 Các phép toán lôgic cơ bản Trong toán học, khi có hai... phản đảo, đảo và phản là những cặp mệnh đề tương đương Đây chính là cơ sở của phương pháp chứng minh gián tiếp trong toán học 2.1.3 Sự tương đương lôgic và luật Công thức Trong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề Như vậy, nếu có các mệnh đề a, b, c, khi dùng các phép toán lôgic tác động vào, chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh... đề sai: "0 + 3 > 7" • Thay x = 5 ta được mệnh đề đúng: "5 + 3 > 7" Ví dụ 3: "Ông A là nhà toán học vĩ đại" Câu trên chưa phải là mệnh đề Nhưng nếu ta chọn "ông A" là "Gausơ" sẽ được mệnh đề đúng: "Gausơ là nhà toán học vĩ đại", nếu ta chọn "ông A" là "Đinh Bộ Lĩnh" thì sẽ được mệnh đề sai: "Đinh Bộ Lĩnh là nhà toán học vĩ đại" Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau: Những câu có chứa các biến mà . có một cơ sở toán học của modul Toán học rời rạc này. Toán học rời rạc là toán tính toán Khoa học máy tính hiện đại được xây dựng hầu hết dựa trên Toán học rời rạc, đặc biệt là toán tập hợp. Bài giảng Toán rời rạc 1 LỜI NÓI ĐẦU Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời. thuật toán cơ bản thì sẽ phải cần một nền tảng Toán học rời rạc chắc chắn. Bởi vậy, tại hầu hết các trường đại học, môn Toán học rời rạc là bắt buộc với sinh viên bậc đại học. Toán học rời rạc