Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 2: Định thức Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2010) www.tanbachkhoa.edu.vn NỘI DUNG - I – Định nghĩa định thức và ví dụ II – Tính chất của định thức III – Dùng định thức tìm ma trận nghịch đảo Tài liệu tham khảo: Anton Howard Elementary linear algebra with applications Ninth edition I Định nghĩa và ví dụ Cho A = ( aij ) n×n là ma trận vuông cấp n Định thức của A là một số ký hiệu bởi det ( A) = aij n×n = A Ký hiệu M ij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A; Định nghĩa bù đại số của phần tử aij Bù đại số của phần tử aij là đại lượng Aij = (−1)i + j M ij I Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa định thức bằng qui nạp a) k =1: A = [ a11 ] → A = a11  a11 a12  b) k =2: A =   → A = a11a22 − a12 a21 = a11 A11 + a12 A12  a21 a22   a11 a12 c) k =3: A =  a21 a22   a31 a32  a13  a23  → A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13  a33    a11 a12 L a1n  d) k =n:A =   → A = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n *   I Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Tính det (A), với Giải 1 2 − 3 A = 2 3 0    3 2 4    A = 1×A11 + 2 ×A12 + (−3) ×A13 1 2 −3 1+1 1+1 3 0 A11 = (−1) 2 3 0 = ( −1) = 12 2 4 3 2 4 1+1 A = 1 ⋅ (−1) 3 0 0 3 1+ 2 2 1+3 2 + 2 ⋅ (−1) + (−3) ⋅ (−1) 2 4 3 4 3 2 A = 12 − 16 + 15 = 11 II Tính chất của định thức 1 Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đó A = ai1 * ai 2 L ain = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain * a1 j A= * a2 j * L anj = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj II Tính chất của định thức Ví dụ Tính định thức det (A), với 3 − 1 3  A = 5 2 2   4 0 0    Giải Khai triển theo hàng thứ 3 3 −1 3 3 −1 3 3+1 3+1 − 1 3 A = 5 2 2 = 4 ⋅ (−1) 5 2 2 = 4 ⋅ (−1) = −32 2 2 4 0 0 4 0 0 II Tính chất của định thức Ví dụ  2 −3 3  3 0 1 Tính định thức det (A), với A =   −2 0 3  4 0 −1  2 4÷ ÷ 2÷ 5÷  II Tính chất của định thức Giải Khai triển theo cột thứ hai 2 −3 3 3 0 1 A= −2 0 3 4 0 −1 2 4 = (−3) ×A12 + 0 ×A22 + 0 ×A32 + 0 ×A42 = −3 A12 2 5 3 1 4 A = 3 −2 3 2 = L = 87 4 −1 5 II Tính chất của định thức Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo Ví dụ 2 −1 0 −3 A=0 0 0 0 0 0 3 6 5 0 0 0 7 2 4 0 4 1 8 = 2 ⋅ (−3) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅1 = −120 9 1 Ví dụ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2,3), B(-1,4) x y 1 Định thức của ma trận hệ số bằng 0: 2 3 1 = 0 −1 4 1 Phương trình đường thẳng: x + 3y – 11 = 0 Vdụ Viết ptrình đường tròn qua 3 điểm A( x A , y A ), B ( xB , yB ), C ( xC , yC ) ( ) 2 2 Giả sử ptrình đường tròn: a x + y + bx + cy + d = 0 Lập luận tương tự ví dụ trên ta có: x2 + y 2 2 2 xA + y A 2 2 xB + y B 2 2 xC + yC x xA xB xC y yA yB yC 1 1 =0 1 1 Vdụ Viết ptrình đường tròn qua 3 điểm A(1,7), B (6, 2), C (4,6) Ta có định thức x2 + y 2 50 40 52 x y 1 1 7 1 =0 6 2 1 4 6 1 2 2 Tính định thức ta có: 10( x + y ) − 20 x − 40 y − 200 = 0 Phương trình đường tròn: ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 25 Vdụ Phương trình tổng quát của đường cônic a1 x 2 + a2 xy + a3 y 2 + a4 x + a5 y + a6 = 0 Bằng cách chia cho một hệ số, ta có ptrình phụ thuộc 5 hệ số Cần xác định 5 ẩn, suy ra cần biết 5 điểm trong mặt phẳng Lập luận tương tự, ta có phương trình: x2 x12 2 x2 x32 2 x4 x52 xy x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 y2 y12 2 y2 y32 2 y4 y52 x x1 x2 x3 x4 x5 y y1 y2 y3 y4 y5 1 1 1 =0 1 1 1 Vdụ Nhà du hành vũ trụ muốn xác định quỹ đạo của tiểu hành tinh của hệ mặt trời Xét hệ trục toạ độ Đề các với gốc toạ độ là mặt trời Một đơn vị thiên văn = khoảng cách từ trái đất đến mặt trời = = 149,637 triệu km Theo định luật thứ nhất của Kepler: Quỹ đạo cần tìm phải là ellipse Để tìm quỹ đạo, nhà du hành vũ trụ cần xác định 5 vị trí của mình tại 5 thời điểm khác nhau và tính khoảng cách từ đó đến mặt trời Giả sử có bảng số liệu: (8.025,8.310); (10.170,6.355); (11.202,3.212) (10.736,0.375); (9.092,-2.267) ⇔ 386.799 x 2 − 102.896 xy + 446.026 y 2 − 2476.409 x − 1427.971 y − 17109.378 = 0 mặt trời Vdụ Phương trình mặt cầu Có phương trình: ( ) x 2 + y 2 + z 2 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 = 0 x2 + y 2 + z 2 x12 + y12 + z12 2 2 2 x2 + y2 + z2 2 2 2 x3 + y3 + z3 2 2 2 x4 + y4 + z4 x x1 x2 x3 x4 y y1 y2 y3 y4 z z1 z2 z3 z4 1 1 1 =0 1 1 Vdụ Phương trình mặt cầu (0,3,2), (1,-1,1), (2,1,0), (5,1,3) x2 + y 2 + z 2 13 3 5 35 x y 0 3 1 −1 2 1 5 1 z 2 1 0 3 1 1 1 =0 1 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 3) = 9 2 2 2 Ví dụ 3 2 f ( x) = 1 x 3 3 −2 x2 + 3 1 3 6 x3 + 2 x 1 2x + 1 9 5 3 Khẳng định nào sau đây đúng? a) Bậc của f(x) là 5 b) Bậc của f(x) là 4 c) Bậc của f(x) là 3 d) Các câu khác đều sai Ví dụ 6 Giải phương trình, với a, b, c là các số thực x2 x3 1 a a2 a3 2 3 1 x 1 b b 1 c c2 b c3 =0 Ví dụ 7 Giải phương trình 1 1 1 L 1 1 1− x 1 L 1 1 1 2− x L 1 L L L L L 1 1 =0 1 L n−x Ví dụ Tính định thức 7 2 Dn = 0 L 0 5 7 2 L 0 0 5 7 L 0 L L L L L 0 0 0 L 7 Giải ví dụ Khai triển theo hàng 1, ta có Dn = 7 A11 + 5 A12 7 2 5 7 0 5 L 0 L 0 2 0 5 7 0 5 L 0 L 0 Dn = 7(−1)1+1 0 2 7 L 0 + 5(−1)1+1 0 2 7 L 0 L L L L L L L L L L 0 0 0 L 7 7 2 Dn = 7 Dn−1 − 5.2(−1)1+1 0 L 0 5 7 2 L 0 0 0 5 7 L 0 0 L L L L L 0 0 0 L 7 0 L 7 Dn = 7 Dn −1 − 10 Dn − 2 ⇔ Dn − 5 Dn−1 = 2( Dn−1 − 5 Dn−2 ) Dn−1 − 5 Dn−2 = 2( Dn−2 − 5 Dn−3 ) ⇒ Dn − 5Dn−1 = 22 ( Dn−2 − 5 Dn−3 ) ⇒ Dn − 5Dn−1 = 2n−2 ( D2 − 5 D1 ) (*) Dn = 7 Dn −1 − 10 Dn − 2 ⇔ Dn − 2 Dn−1 = 5( Dn−1 − 2 Dn−2 ) Dn−1 − 2 Dn−2 = 5( Dn−2 − 2 Dn−3 ) ⇒ Dn − 2 Dn−1 = 5n−2 ( D2 − 2 D1 ) (**) (*) & (**) ⇒ Dn theo D1 vaø D2 ⇒ Dn − 5Dn−1 = 2n−2 ( D2 − 5 D1 ) (*) Ví dụ Cho A ∈ M 3[ R ]; B ∈ M 3[ R ];det( A) = 2;det( B ) = −3 1) Tính det (4AB)-1 2) Tính det (PAB) II Tính chất của định thức Tính định thức bằng bù đại số cần n! phép toán Nếu một máy tính siêu tốc độ có thể tính tỉ tỉ phép toán trong một giây thì để tính một định thức cấp 25 cần 500.000 năm (cần 25! , khoảng 1.5x1025 phép toán) Phần lớn các máy tính sử dụng biến đổi sơ cấp để tính det (A) Các phép biến đổi sơ cấp cần (n3+2n-3)/3 phép nhân và chia Bất kể máy tính nào cũng có thể tính định thức cấp 25 trong vòng phần của 1 giây, chỉ cần khoảng 5300 phép toán ... 1) Tính det (4AB )-1 2) Tính det (PAB) II Tính chất định thức Tính định thức bù đại số cần n! phép tốn Nếu máy tính siêu tốc độ tính. .. khơng x Định thức ma trận hệ số 0: x A xB y yA = yB Tính định thức, ta có phương trình đường thẳng Ví dụ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2,3), B (-1 ,4) x y Định thức ma trận hệ số 0:... trận A; Định nghĩa bù đại số phần tử aij Bù đại số phần tử aij đại lượng Aij = (−1)i + j M ij I Định nghĩa ví dụ Định nghĩa định thức