ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀ VI PHÂN TRONG TÍNH TOÁN HÌNH HỌC pdf

19 2.8K 34
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀ VI PHÂN TRONG TÍNH TOÁN HÌNH HỌC pdf

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chơng 6 ứng dụng của Tích phân và vi phân trong tính toán hình học 6.1 ứng dụng của tích phân xác định. 1. Diện tích hình phẳng a. Hình phẳng giới hạn bởi đờng cho trong toạ độ Đềcác Nh đã nêu ra ở phần trớc, miền phẳng là hình thang cong giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) với f(x) là hàm liên tục, đơn trị trên [a,b] và 0)( xf ],[ bax có diện tích tính bởi công thức: = b a dxxfS )( Do đó dễ dàng thấy, miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong đó hàm f(x) liên tục, đơn trị trên [a,b] và 0)( xf ],[ bax có diện tích là: = b a dxxfS )( Miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong đó hàm f(x) liên tục, đơn trị trên [a,b] có diện tích là: = b a dxxfS |)(| (1) Miền phẳng đợc giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, y=f 1 (x), y=f 2 (x) trong đó các hàm y=f 1 (x), y=f 2 (x) liên tục, đơn trị trên [a,b] ],[ bax có diện tích là: = b a dxxfxfS )()( 12 (2) Hình 18 Tơng tự, miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, Oy, và x=g(y), trong đó hàm g(y) liên tục, đơn trị trên [c,d] có diện tích là: = d c dyygS )( (3) Diện tích của miền phẳng đợc giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, x=g 1 (y), x=g 2 (y) trong đó các hàm x=g 1 (y), x=g 2 (y) liên tục, đơn trị trên [c,d] ],[ dcy là: = d c dyygygS )()( 12 (4) Ví dụ 6.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng cong: a. { y=2-x 2 , y=x} Trang -1 Ta có: = xx 2 2 = = =+ 2 1 02 2 x x xx Vậy Hình 19 == 1 2 1 2 22 )2(|2| dxxxdxxxS 2 9 23 2 1 2 23 = = xx x b. {y=(x+1) 2 , x=siny, y=0} Từ y=(x+1) 2 có x= 1y , x1 nên y[0,1] . ta có: S= [ ] +=+ 1 0 3 12 1sin dyyy Hình 20 Ví dụ 6.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip 1 2 2 2 2 =+ b y a x Do hình Elip đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính diện tích theo một phần t của hình nằm trong góc phần t thứ nhất. Trong góc phần t thứ nhất, phần hình phẳng giới hạn bởi hai trục toạ độ và cung elip có phơng trình 22 xa a b y = . Vậy dxxa a b dxxa a b S aa == 0 22 0 22 44 ab a xa xa x a b a =+= | 0 2 22 ]arcsin 22 [ 4 b. Miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho dới dạng tham số Miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, và đờng cong cho bởi phơng trình tham số: = = )( )( tyy txx với a=x(t 1 ), b=x(t 2 ), t 1 <t 2 Do ydx=y(t)x(t)dt nên miền phẳng có diện tích là: S= 2 1 )(').( t t dttxty (5) Miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, Oy, và đờng cong cho cho bởi phơng trình tham số: = = )( )( tyy txx với c=y(t 1 ), d=y(t 2 ), t 1 <t 2 có diện tích là: S= 2 1 )(').( t t dttytx (6) Ví dụ 6.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một nhịp đờng xycloit: = = )cos1( )sin( tay ttax với ]2,0[ t và trục Ox. Trang -2 Hình 21 Ta có ]2,0[ ax và do y=a(1-cos t), dx=a(1-cos t)dt nên: dttt a dttaS )2coscos43( 2 )cos1( 2 0 2 2 0 22 +== 2 2 0 2 3)2sinsin86( 4 | attt a =+= Ví dụ 6.4: Tính diện tích giới hạn bởi đờng Axtroit 3 2 3 2 3 2 ayx =+ Phơng trình tham số của đờng Axtroit là: = = tay tax 3 3 sin cos với ]2,0[ t Do hình đã cho đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta chỉ cần tính theo một phần t diện tích của hình nằm trong góc phần t thứ nhất: Hình 22 == 2 0 2 0 242 cossin12|)(').(|4 tdttadttxtyS += 2 0 2 )6cos4cos22cos2( 8 3 dtttt a 8 3 6 6sin 2 4sin 2 2sin 2 8 3 2 2 0 2 | attt t a = += b. Miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho trong toạ độ cực Xét miền phẳng là hình quạt cong cho trong toạ độ cực, giới hạn bởi các tia OA, OB có phơng trình = , = và đờng cong có phơng trình )( rr = trong đó hàm )( rr = là hàm số liên tục trên đoạn ],[ . Chia đoạn ],[ thành n phần bởi các điểm chia: =<<<<= n 210 Khi đó góc AOB đợc chia thành n góc nhỏ có số đo , 1 = iii ni , ,1= và hình quạt đã cho đợc chia thành n hình quạt con. Goi tên và diện tích của hình quạt con thứ i là i S , ni , ,1= . Chọn ],[ 1 iii tuỳ ý, Khi đó xấp xỉ i S là diện tích của quạt tròn vẽ trên góc i với bán kính là )( i rr = , ta có: iii rS )( 2 1 2 Trang -3 Hình 23 Nh vậy diện tích hình quạt cong xấp xỉ là: = n i ii rS 1 2 )( 2 1 Do hàm )( rr = liên tục trên đoạn ],[ nên hàm )( 2 rr = cũng liên tục trên đoạn ],[ do đó khả tích trên đoạn ],[ . Vế phải của công thức xấp xỉ trên là tổng tích phân của hàm )( 2 rr = ứng với phân hoạch của đoạn ],[ . Nh vậy, khi cho n sao cho 0max i ta có: = drS )( 2 1 2 (7) Ví dụ 6.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng hình tim )cos1( += ar ( Hình Cacđiôit) Do hình phẳng đối xứng qua Ox nên ta có: Hình 24 ++=+= 0 22 0 22 )coscos21()cos1( 2 1 .2 dadaS ++= 0 2 ) 2 2cos cos2 2 3 ( da 2 0 2 2 3 ) 4 2sin sin2 2 3 ( | aa =++= Ví dụ 6.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng Lemnitscat (Đờng hoa hồng hai cánh): )()( 222222 yxayx =+ Chuyển sang toạ độ cực: = = sin cos ay ax đờng cong đã cho có phơng trình là 2cos 22 ar = . Hình 25 Do hình phẳng đối xứng qua Oy nên ta tính theo nửa bên phải trục Oy, ứng với 44 (vì 02cos ). Nh vậy: 2 4 4 4 4 22 4 4 2 | 2 2sin 2cos 2 1 .2 aadadrS ==== 2. Độ dài đờng cong phẳng a. Đờng cong trong toạ độ Đềcác Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Giả sử rằng đồ thị hàm y=f(x) là cung AB. Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia ByxAyxAyxAyxAA nnn == ),(), ,,(),,(),,( 222111000 sao cho: bxxxxa n =<<<<= 210 . Trang -4 Khi đó độ dài AB xấp xỉ bằng độ dài của đờng gấp khúc n AAA 10 . Khi cho số cạnh của đờng gấp khúc n AAA 10 tăng lên vô hạn sao cho độ dài của cạnh lớn nhất của nó dần tới 0 thì độ dài đờng gấp khúc n AAA 10 dần tới độ dài s của cung AB, do đó độ dài s của cung AB là giới hạn: = = n i ii AAs 1 1 0 lim trong đó ii ni AA 1 1 max = . với ii AA 1 là độ dài của đoạn thẳng ii AA 1 . Hình 26 Gọi 1 = iii xxx ; )()( 1 = iii xfxfy là chiếu của các đoạn thẳng ii AA 1 xuống các trục toạ độ, theo công thức Pitago ta có: 22 1 )()( iiii yxAA += áp dụng định lý Largange cho hàm f(x) trên đoạn ],[ 1 ii xx ta có: iiiii xfxfxfy == )(')()( 1 , ],[ 1 iii xx Suy ra iiii xfAA += )('1 2 1 . Do đó = += n i ii xfs 1 2 0 )('1lim Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên )('1 2 xf+ khả tích trên [a,b], do đó độ dài đờng cong đợc cho bởi công thức: += b a dxxfs )('1 2 (8) Giả sử M(x,f(x)) là điểm bất kỳ trên đờng cong, khi đó độ dài cung AM là: += x a duufxs )('1)( 2 (9) Lấy vi phân hai vế ta đợc: ds= dxxf )('1 2 + Công thức trên gọi là công thức vi phân cung trong toạ độ Đềcác. Nếu đờng cong cho bởi phơng trình x=(y), cyd thì độ dài đờng cong là: s= + d c dyy)('1 2 Ví dụ 6.7: Tính độ dài cung cho bởi a. y=a )0(ln 22 2 abx xa a < s= + b dx xa xa 0 222 22 )( 4 1 = + b dx xa xa 0 22 22 = b ba ba a + ln b. 2 yx = với ]1,1[x Ta có yx 2' = , và đờng cong đối xứng qua Ox nên độ dài của đờng cong là: Trang -5 | 1 0 22 1 0 2 412ln 2 1 41412 ++++=+= yyyydyys )52ln( 2 1 5 ++= b. Đờng cong cho bởi phơng trình tham số Giả sử đờng cong có phơng trình tham số = = )( )( tyy txx ],[ t Do dx=x'(t)dt và )(' )(' )(' tx ty dx dy xf == , ta có công thức: += dttytxs )(')(' 22 (10) Công thức vi phân cung khi đó là: ds= dttytx )(')(' 22 + Ví dụ 6.8: Tính độ dài cung giới hạn bởi a. Đờng Axtroit 3 2 3 2 3 2 ayx =+ (Xem hình 22) Tham số hoá ta đợc = = tay tax 3 3 sin cos với ]2,0[ t Ta có ,sincos3)(' 2 ttatx = ttty cossin3)(' 2 = . Suy ra ttattayx tt 24224222 cossin9sincos9'' +=+ 2 2sin3 |cossin3| ta tta == (vì ] 2 ,0[ t ). Do Axtroit là đờng cong đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính theo góc phần t thứ nhất. Nh vậy: atadt ta s 62cos3 2 2sin3 4 | 2 0 2 0 === b. Một nhịp đờng Xycloit (Xem hình 21) = = )cos1( )sin( tay ttax với ]2,0[ t Ta có )cos1(' tax t = , tay t sin' = nên dttadttatas =+= 2 0 2 0 2222 cos22sin)cos1( a t adt t a 8 2 cos4 2 sin2 | 2 0 2 0 === c. Đờng cong cho trong toạ độ cực Nếu đờng cong có phơng trình: ),( rr = ],[ Dùng phép chuyển toạ độ: = = sin)( cos)( ry rx ta đa phơng trình đờng cong về dạng tham số. Do: Trang -6 cos)(sin)(')(' sin)(cos)(')(' rry rrx += = Khi đó: )(')()(')(' 2222 rryx +=+ cho nên ta có công thức: += drrs )(')( 22 (11) Công thức vi phân cung khi đó là: ds= drr 22 '+ Ví dụ 6.9: Tính độ dài đờng Cácđiôit (Xem hình 24) )cos1( += ar Vì đờng Cácđiôit đối xứng qua trục Ox nên ta tính theo độ dài của nửa bên trên trục Ox daadrrs ++=+= 0 2222 0 22 sin)cos1(2'2 da += 0 cos222 aada 8 2 sin8 2 cos4 | 0 0 === 3. Tính thể tích vật thể Cho một vật thể giới hạn bởi các mặt x=a, x=b(a<b), và một mặt cong kín. Gọi S =S(x) là diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại ],[ bax và vật thể đã cho. Giả thiết rằng S(x) là hàm liên tục trên [a,b]. Hình 27 Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia bxxxxa n =<<<<= 210 Đặt 1 = iii xxx và i xd = max . Khi đó, vật thể ban đầu đợc chia thành n phần nhỏ, gọi tên và thể tích của các phần nhỏ này là V 1 , V 2 , ,V n . Phần nhỏ thứ i ứng với x nằm trong đoạn ],[ 1 ii xx . Do S(x) liên tục nên khi 1 = iii xxx đủ nhỏ, x ],[ 1 ii xx hàm S(x) có giá trị thay đổi không đáng kể. Lấy ],[ 1 iii xx tuỳ ý, có thể coi )()( i SxS , ],[ 1 ii xxx . Xấp xỉ V i (i= n,1 ) với hình tru đứng có đáy là )( i S và chiều cao là 1 = iii xxx : iii xSV )( Khi đó hình trụ ban đầu có thể tích xấp xỉ : ii n i xSV = )( 1 Cho n sao cho 0d , nếu nh vế phải dần tới một giới hạn hữu hạn thì ta gọi giới hạn đó là thể tích của vật thể đã cho: = = n i ii d n xSV 1 0 )(lim Do hàm S(x) đợc giả thiết là liên tục trên [a,b] nên cũng khả tích trên đó vì vậy ta có công thức Trang -7 = b a dxxSV )( (12) Ví dụ 6.10: a.Tính thể tích của elipxoit: 1 2 2 2 2 2 2 ++ c z b y a x . Cắt elipxoit bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thuộc đoạn [-a,a]. Khi đó ta thu đợc thiết diện giới hạn bởi elip có phơng trình 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y =+ 1 )1()1( 2 2 2 2 2 2 2 2 = + a x c z a x b y diện tích thiết diện là = 2 2 1)( a x bcxS . Hình 28 Do đó elipxoit có thể tích: 3 4 3 1 | 2 3 2 2 abc a x xbcdx a x bcV a a a a = = = b. Tính thể tích vật thể là phần chung của hai hình trụ: x 2 +z 2 =a 2 và y 2 +z 2 =a 2 Vì phần thể tích vật thể đối xứng qua gốc toạ độ, nên ta chỉ cần xét phần vật thể trên góc phân tám thứ nhất. Chọn thiết diện là giao của vật thể và mặt phẳng cắt vuông góc với trục Oz. Mặt cắt là hình vuông có cạnh: 22 za Do đó diện tích mặt cắt là: Hình 29 S(z)=a 2 - z 2 Vậy ta có thể tích vật thể là: V= == a aa a zzadzza 0 3 0 3 0 222 3 16 ) 3 1 (8)(8 4. Thể tích vật thể tròn xoay a. Cho hình phẳng giới hạn bởi x=a, x=b, Ox, y=f(x) với f(x) liên tục trên [a,b]. Khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox ta đợc một hình tròn xoay. Thiết diện tạo bởi hình tròn xoay với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm ],[ bax là một hình Hình 30 tròn có bán kính )(xfR = cho nên diện tích của thiết diện là )(.)( 2 xfxS = . Từ đó, ta thu đợc công thức tính thể tích hình tròn xoay: = b a dxxfV )( 2 (13) b. Tơng tự, khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=c, y=d, Oy, x=g(y) với g(y) liên tục trên [c,d] quanh trục Oy ta đợc một hình tròn xoay có thể tích là = d c dyygV )( 2 Trang -8 Ví dụ 6.11: Tính thể tích vật thể tròn xoay thu đợc khi quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi Ox, Oy, x+y=2. Ta có: yxyx ==+ 22 Hình 31 Nh vậy: 3 8 )2( 3 )2( | 2 0 3 2 0 2 === ydyyV Ví dụ 6.12: Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu đợc khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và một nhịp Xyclôit = = )cos1( )sin( tay ttax ]2,0[ t Do )cos1( tay = , dttadx )cos1( = . Suy ra: = a dxxyV 2 0 2 )( dtta = 2 0 33 )cos1( dtttta )coscos3cos31( 3 2 0 23 += )(sin)sin1()2cos 2 3 cos3 2 5 ( 2 0 23 2 0 3 tdtadttta += 32 2 0 3 3 2 0 3 5) 3 sin (sin)2sin 4 3 sin3 2 5 ( || a t tattta =+= 5. Diện tích mặt tròn xoay Xét cung AB có phơng trình y=f(x), trong đó f(x) và đạo hàm f'(x) của nó xác định và liên tục trên [a,b]. Khi quay cung AB quanh trục Ox ta thu đợc một mặt tròn xoay. Hình 32 Xét trờng hợp 0)( xf , ],[ bax . Chia cung AB thành n phần bởi các điểm chia ByxAyxAyxAyxAA nnn == ),(), ,,(),,(),,( 222111000 sao cho bxxxxa n =<<<<= 210 . Đặt 1 = iii xxx và i xd = max . Khi quay quanh Ox đoạn thẳng ii AA 1 sinh ra một mặt nón cụt tròn xoay có diện tích là: S i = )]()([ 11 iiii xfxfAA + trong đó iiii xfAA += )('1 2 1 . Vì vậy, khi quay quanh Ox đờng gấp khúc n AAA 10 sinh ra một mặt tròn xoay có diện tích = = ++== n i iiii n i in xxfxffSS 1 1 2 1 )]()([)('1 = += n i iii xff 1 2 )(.)('12 Trang -9 Do f(x) và f'(x) liên tục trên [a,b] nên : = += n i iii n xffS 1 2 )(.)('12lim dxxfxf b a += )('1)(2 2 Khi f(x) có dấu bất kỳ ta có: dxxfxfS b a += )('1|)(|2 2 (14) Khi quay quanh trục Oy cung AB có phơng trình )( ygx = , dyc trong đó g(y) và g'(y) liên tục trên [c,d] ta đợc một mặt tròn xoay có diện tích tính theo công thức: dyygygS d c += )('1|)(|2 2 Ví dụ 6.13: a. Tính diện tích của mặt tròn xoay tạo bởi cung 2 xy = giới hạn giữa các giao điểm của nó với đờng thẳng y=x khi quay quanh trục Ox. Ta có diện tích cần tính là: dxxxS += 1 0 22 412 Đổi biến 2x=sht ta có: 2dx=cht dt, x=0: t=0, x=1: )52ln( +=t , chtx =+ 2 41 Do đó: + + == )52ln( 0 )52ln( 0 2 2 14 1616 dt tch tdtshS )52ln( 3216 59 2 2 4 64 )52ln( 0 += = + t tsh b. Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đờng Axtroit: = = tay tax 3 3 sin cos với ]2,0[ t quanh trục Ox. Ta có: ttatytx cossin3)(')(' 22 =+ , do tính đối xứng nên: S= ==+ 2 0 2 0 24222 5 12 cossin12'')(2 atdttadtyxty c. Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đờng Lemnitscat (x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 ), (x>0, y>0) quay quanh trục Ox. Chuyển sang toạ độ cực: = = sin cos ry rx Ta đợc: r= 2cosa , (0 4 ) Xem đó là phơng trình tham số của x,y theo ta có: 2cos ''' 2 2222 a rryx =+=+ Vậy Trang -10 [...]... tuyến của đờng túc bế của L tại khúc tâm I ứng với M Nh vậy túc bế của một đờng cong L là đờng tiếp xúc với họ đờng pháp tuyến của L tại các khúc tâm Tính chất 2: Độ dài của một cung trên đờng bằng trị số tuyệt đối của hiệu các khúc tâm bán kính của thân khai L của nó tại hai mút của cung ấy, nếu dọc theo cung ấy khúc bán kính biến thiên đơn điệu Nói các khác, nếu gọi là số gia của một cung trên , và. .. tại mội điểm đều bằng nhau Trang -16 Bài tập chơng 6 A ứng dụng tích phân trong hình học 1 Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho trong hệ toạ độ vuông góc 1 {y=x2+4, x-y+4=0} 2 {y=2x-x2, x+y=0} 3 {y=2x, y=2, x=0} 2 {y=x3 , y=x, y=2x.} 3 { x2+y2=4x, y2=2x} 4 { y2=x3 , y=4, x=0} 5 x2 y2 x2 y2 + 2 = 1, 2 + 2 = 1 a2 b b a 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng cho bởi phơng trình... gia của một cung trên , và R là số gia tơng ứng của khúc bán kính = R trên thân khai của nó thì: 6.3 Hình học vi phân trong không gian 1 Đờng cong trong không gian Tơng tự nh trong mặt phẳng, mọi đờng cong L trong không gian đều có thể biểu diễn bằng có phơng trình tham số: x = x(t ) y = y (t ) z = z (t ) t [ , ] Ví dụ 6.17: Lập phơng trình quỹ đạo của điểm M nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục... 3 + y 3 = 1 khi quay quanh Ox a a 3 Một nhịp của Xycloit x=a(t-sint), y=a(1-cos t) khi quay quanh Ox và khi quay quanh Oy 4 r=a(1+cos) khi quay quanh trục cực 5 r2=a2cos2 khi quay quanh trục cực B ứng dụng phép tính vi phân trong hình học 12 Tính độ cong của 1 b2x2+a2y2=a2b2 tại (0,b) và (a,0) Trang -18 2 xy=12 tại (3,4) 2 2 3 x 3 + y 3 = 1 tại điểm bất kỳ trên đờng cong a a x = a (... trình của đờng tròn chính khúc là: (x-2)2+(y-2)2=2 3 Đờng túc bế Đờng thân khai Định nghĩa 2: Ngời ta gọi đờng túc bế của đờng cong L là quỹ tích, nếu có, của các khúc tâm của đờng đó Nh vậy các phơng trình (8), (9), (10) là phơng trình tham số của đờng cong túc bế tơng ứng khi L có phơng trình trong toạ độ Đề Các, phơng trình tham số và phơng trình trong toạ độ cực Ví dụ 6.16: Tìm bán kính chính khúc và. .. 4 = 2 a cos 2 sin 0 a2 d cos 2 4 = 2a 2 sin d = 2a 2 cos 04 = a 2 (2 2 ) 0 6.2 Hình học vi phân trong mặt phẳng 1 Độ cong a Định nghĩa Cho đờng cong L, không tự giao nhau và có tiếp tuyến tại mọi điểm Trên L chọn một chiều làm chiều dơng, trên tiếp tuyến của L tại M, ta chọn một hớng ứng với hớng dơng của L và gọi là tiếp tuyến dơng Nếu tại mỗi điểm M0 trên L ta vẽ một tiếp tuyến dơng thì khi... là đờng tròn chính khúc của L tại M Tâm I của đờng tròn chính khúc Hình 34 1 đợc gọi là khúc tâm ứng với M, bán kính R= của đờng tròn chính khúc gọi là khúc bán kính C (M ) Đờng tròn chính khúc tại M của L có chung tiếp tuyến với L tại M và tại M chúng có cùng độ cong 1 C(M)= Tại lân cận của M xấp xỉ L bởi đờng tròn chính khúc sẽ tốt hơn xấp xỉ bằng tiếp tuyến tại R M b Toạ độ của khúc tâm Giả sử tại... phơng trình của mặt axtroit lệch Định nghĩa 3: Nếu đờng cong L nhận đờng cong làm đờng Hình 35 túc bế thì L đợc gọi là đờng thân khai của Từ ví dụ trên ta thấy Elip x = a cos t (a>b>0) y = b sin t là thân khai của axtroit lệch: c2 x= cos 3 t a (c2=a2 b2) 2 y = c sin 3 t b Ta thừa nhận các tính chất sau đây của đờng túc bế và thân khai Tính chất 1: Pháp tuyến tại mỗi điểm M(x,y) của đờng cong... 2t ) 3 Tính diện tích hình phẳng cho bởi toạ độ cực 1 r = p , = , = 1 cos 4 2 2 r 2 + 2 = 1 2at r = 1 + t 2 3 = t 1+ t2 4 Bằng cách chuyển qua toạ độ cực hoặc phơng trình tham số, tính diện tích miền giới hạn bởi 1 r2=a2cos2 (đờng Lemnixcat ) 2 { r=a(1-cos), r=a (Đờng Cácđiôt và đờng tròn) 3 {r=a(1- cos) , x2+y2=2ax(Đờng Cácđiôt và đờng tròn) 4 {r=a(1+cos), x2+y2=2ay(Đờng Cácđiôt và đờng... t 7 Tính độ dài đờng cong cho trong toạ độ cực 1 r=3+2cos 2 6 3 4 7 5 r = 1 + cos t t 0 t T < = t tg 2 = r, 0 r 5 r=a, 0 2 (Đờng Acsimet) p r= , 1 + cos 2 8 Tính độ dài đờng cong cho bởi phơng trình 1 3y2=2(x-1)3, chắn bởi y2= x 3 8 2 (y - arcsin x)2=1-x2 9 3 9ay2=x(x-3a)2 10 4 5y3=x2 trong hình tròn x2+y2=6 9 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 1 Pa roboloit z=4-x2 và các . Chơng 6 ứng dụng của Tích phân và vi phân trong tính toán hình học 6.1 ứng dụng của tích phân xác định. 1. Diện tích hình phẳng a. Hình phẳng giới hạn bởi đờng cho trong toạ độ Đềcác . là số gia của một cung trên , và R là số gia tơng ứng của khúc bán kính trên thân khai của nó thì: R= 6.3 Hình học vi phân trong không gian 1. Đờng cong trong không gian Tơng tự nh trong mặt. ] +=+ 1 0 3 12 1sin dyyy Hình 20 Ví dụ 6.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip 1 2 2 2 2 =+ b y a x Do hình Elip đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính diện tích theo một phần t của hình nằm trong

Ngày đăng: 03/07/2014, 19:20

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • H×nh 22

  • Bµi tËp ch­¬ng 6

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan