Chơng 2 dãy số và giới hạn 2.1 Khái niệm về d y sốã 1. Định nghĩa Cho f là một ánh xạ từ N vào R xác định bởi: a n =f(n) {n=1,2, } khi đó tập a 1 , a 2 , , a n , đ ợc gọi là một dãy số và ký hiệu { } =1n n a hoặc {a n }. Các số a 1 , a 2 , , a n , gọi là các số hạng của của dãy, còn biểu thức của a n =f(n) gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Cho dãy { } =1n n a ta nói: + Dãy bị chặn trên nếu: M>0 sao cho: a n M, nN + Dãy bị chặn dới nếu: M sao cho:a n M, nN + Dãy giới nội nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dới, hay M>0 sao cho: NnMa n , + Dãy đơn điệu tăng nếu: a 1 a 2 a n + Dãy đơn điệu giảm nếu: a 1 a 2 a n Nếu trong các bất đẳng thức không có dấu = thì dãy tơng ứng đợc gọi là dãy tăng thực sự và dãy giảm thực sự. Ví dụ 2.1: a. Dãy = + 1 1 n n n có a n = n n 1+ là dãy bị chặn b. Dãy = + + 1 12 )1( )1( n n n nn có a n = 12 )1( )1( + + n nn n là dãy không bị chặn c. Dãy = 1 1 n n có a n = n 1 là dãy giảm thực sự. d. Dãy = 1 1 n n n có a n = n n 1 là dãy đơn điệu tăng thực sự. e. Dãy có a n =1 là dãy mà mọi số hạng đều bằng nhau và bằng 1. 2. Giới hạn của dãy số a. Dãy có giới hạn hữu hạn Định nghĩa 1: Một số thực a (hữu hạn) đợc gọi là giới hạn của dãy số { } =1n n a khi n+, ký hiệu: aa n n = lim nếu >0 (bé tuỳ ý cho trớc), n 0 sao cho: 0 , nnaa n < Khi đó ta cũng nói dãy { } =1n n a có giới hạn hữu hạn a, hay a n hội tụ về a và viết a n a khi n. Một dãy không hội tụ ta gọi là dãy phân kỳ. Trong định nghĩa trên số n 0 phụ thuộc vào hay n 0 =n 0 (). Ta cũng thấy sự hội tụ của một dãy không phụ thuộc một số hữu hạn các số hạng đầu của nó, vì khi đó ta chỉ cần chọn n 0 lớn hơn chỉ số lớn nhất của các số hạng đó. Ví dụ 2.2: Chứng tỏ: 1 1 lim = + n n n Xét biểu thức: <= + = nn n aa n 1 1 1 Trang 1 Biểu thức thoả mãn khi: 1 >n Nh vậy nếu ta chọn n 0 = 1 1 + thì với mọi nn 0 ta đều có: <1 n a . Hay 1 1 lim = + n n n . Trong đó 1 là phần nguyên của 1 , đó là số nguyên nhỏ nhất không vợt quá 1 . b. Dãy dần đến vô cùng Định nghĩa 2: Dãy { } =1n n a đợc gọi là: - Dần đến vô cùng nếu với mọi M>0 cho trớc lớn tuỳ ý, đều tồn tại số n 0 sao cho: 0 , nnMa n > , và viết: = n n alim - Dần đến + nếu với mọi M>0 cho trớc lớn tuỳ ý, tồn tại số n 0 sao cho: 0 , nnMa n > , và viết: += n n alim - Dần đến - nếu với mọi M>0 cho trớc lớn tuỳ ý, tồn tại số n 0 sao cho: 0 , nnMa n < , và viết: = n n alim Ví dụ 2.3: Chứng tỏ = + + 12 )1( )1(lim n nn n n Với M>0, xét biểu thức: M n nn > + + 12 )1( Ta có: M n n nn n nn >= + + > + + 2)1(2 )1( 12 )1( Mn 2 > . Chọn n 0 = [ ] 12 +M khi đó với mọi n>n 0 ta có: M n nn > + + 12 )1( , hay: = + + 12 )1( )1(lim n nn n n 3. Dãy con và giới hạn riêng a. Định nghĩa Cho dãy { } =1n n a và các số n 1 ,n 2 , ,n k , là một dãy con tăng vô hạn của N. Khi đó dãy: , , ,, 21 k nnn aaa đợc gọi là dãy con của { } =1n n a . Ta thấy một dãy có thể có nhiều dãy con. Ví dụ 2.4: Xét dãy { } =1n n a = = + 1 1 n n n khi đó: + Với n k =2k ta có dãy con là: = + 1 2 12 k k k + Với n=2k-1 ta có dãy con là: = 1 12 2 k k k b. Giới hạn riêng của dãy Định nghĩa 3: Cho dãy số { } =1n n a . Số p gọi là giới hạn riêng của { } =1n n a nếu nó là giới hạn của dãy con { } =1k n k a nào đó của { } =1n n a . Định lý 1: Dãy { } =1n n a có giới hạn a khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều có giới hạn a. Trang 2 Chứng minh: Giả sử n lim a n =a, khi đó >0, n 0 sao cho nn 0 ta có:a n -a<. Xét dãy con { } k n a , hiển nhiên 0 nn k > ta có: < ax k n nên aa k k n n = lim . Ngợc lại, nếu mọi dãy con của {a n } đều có giới hạn a, vì {a n } cũng là một dãy con của chính nó nên cũng có giới hạn a. Hệ quả: Một dãy có hai dãy con có giới hạn khác nhau thì không hội tụ. Ví dụ 2.5: Xét dãy a n =cos(n). Với n=2k ta có n lim a n = n lim cos(2k)=1 Với n=(2k+1) ta có n lim a n = n lim cos(2k+1)=-1 Vậy dãy đã cho có 2 giới hạn riêng nên không có giới hạn khi n. Ví dụ 2.6: Xét sự hội tụ của dãy a n =1+q+q 2 + +q n , (nN) Nếu q=0 suy ra q n =0, nN nên a n =1 hay a n 1 Nếu q=1 ta có q n =1 do đó: a n =1+1+ +1=n nên a n + khi n. Nếu q=-1 ta có += = = 121 21 kn kn q n Xét hai dãy con: a 2k =1+q+ +q 2k =11 khi n a 2k+1 =1+q+ +q 2k+1 =-1 -1 khi n Hai dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy không có gới hạn. Nếu q0 và q1 ta có: a n =1+q+q 2 + +q n = q q n + 1 1 1 Nếu 1<q thì q n+1 0 khi n nên a n q1 1 khi n, vậy dãy hội tụ. Nếu 1>q , q n+1 khi n nên a n khi n, vậy dãy phân kỳ. Định lý 2: (Nguyên lý Bolzano_Weirstrass) Cho dãy giới nội {a n }, khi đó luôn trích đợc một dãy con { k n a } của nó hội tụ. Chúng ta không chứng minh định lý này, tuy nhiên đây là một định lý quan trọng, nó giúp ta chứng minh nhiều tính chất của hàm liên tục. 2.1 D y hội tụã 1. Một số tính chất của dãy hội tụ Tính chất 1: Nếu dãy { } =1n n a có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Chứng minh: Giả sử aa n n = lim và 'lim aa n n = . Với >0 bé tuý ý, ta luôn tìm đợc các số 1 0 n và 2 0 n sao cho: 1 0 , 2 nnaa n >< và 2 0 , 2 ' nnaa n >< Khi đó với n>max( ), 2 0 1 0 nn ta có: <+<+= ''' aaaaaaaaaa nnnn Do >0 bé tuỳ ý nên a=a, hay dãy có giới hạn duy nhất. Hệ quả: aaaa n n n n == limlim Trang 3 Tính chất 2: Nếu aa n n = lim và a > p (a < p) khi đó tìm đợc số n p sao cho a n > p (a n < p) với mọi n > n p . Chứng minh: Vì a > p, chọn pa = , khi đó n p để n>n p : n apa <= <a+ Vậy n>n p : p < a n . Hệ quả: Nếu aa n n = lim >0 thì n 0 sao cho n>n 0 : a n >0. Tính chất 3: Mọi dãy hội tụ đều giới nội. Chứng minh: Cho aa n n = lim ta phải chứng minh: M>0:nN: Ma n < . Vì a-1 < a < a+1, áp dụng tính chất 2 cho p = a-1 và p = a+1 nên n 0 :n n 0 : a n > a-1, n 1 :n n 1 : a n < a+1. Gọi n 2 =max(n 0 ,n 1 ). Khi đó nn 2 : a-1<a n <a+1. Đặt M=max ( ) 1,1,, , 21 + aaaa n , khi đó nN: Ma n < . Tính chất 4: Cho hai dãy hội tụ { } =1n n a và { } =1n n b (i) Nếu n 0 sao cho a n =b n nn 0 thì: n n n n ba = limlim (ii) Nếu n 0 sao cho a n b n nn 0 thì: n n n n ba limlim (iii) Nếu n 0 sao cho a n >b n nn 0 thì: n n n n ba limlim 2. Các phép toán của dãy hội tụ Định lý 3: Nếu aa n n = lim và bb n n = lim thì: (i) baba nn n = )(lim (ii) baba nn n .).(lim = (iii) )0(lim = b b a b a n n n Chứng minh: Ta chứng minh trờng hợp: baba nn n +=+ )(lim , hai tính chất sau bạn đọc tự chứng minh. Vì aa n n = lim và bb n n = lim nên với >0 bé tuý ý, ta luôn tìm đợc các số 1 0 n và 2 0 n sao cho: 1 0 , 2 nnaa n >< và 2 0 , 2 nnbb n >< Khi đó với n>n 0 =max( ), 2 0 1 0 nn ta có: =+<+++ 22 )()( bbaababa nnnn Do đó: baba nn n +=+ )(lim Hệ quả: n n n n acca = lim)(lim Ví dụ 2.7: Tìm n n n 1 lim + Ta có: nn n 1 1 1 += + , đặt a n =1, b n = n 1 . Vậy 101 1 lim1lim 1 lim =+=+= + nn n nnn 3. Các tiêu chuẩn hội tụ của dãy Trong nhiều trờng hợp ta không cần biết giới hạn của dãy số mà chỉ cần biết dãy có hội tụ hay không. Các tiêu chuẩn sau sẽ cho phép ta xét sự hội tụ của một dãy trong một số trờng hợp. a. Tiêu chuẩn Côsi Trang 4 Định lý 4: Điều kiện cần và đủ để dãy {a n } có giới hạn hữu hạn là >0 bé tuỳ ý, n 0 sao cho: a n -a m < , n,m n 0 Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử n lim a n =a, khi đó >0, n 0 : a n -a< 2 , n n 0 Nh vậy n,mn 0 ta có: a n -a m =a n -a+a-a m a n -a+a m -a< 22 + = Điều kiện đủ: Chọn thoả mãn 0<1, và n 0 là số thoả mãn điều kiện với định lý tơng ứng với 2 , nghĩa là: a n -a m < 2 1, n,mn 0 Cố định m=n 0 . Ta có: a n -a n0 <1, n n 0 Hay a n <a n0 +1 n n 0 Đặt M=max(a 1 ,a 2 , , a n0 ,a n0 +1) Khi đó: a n M hay dãy đã cho bị chặn. Theo nguyên lý Bolzano_Weirstrass dãy {a n } có dãy con { } k n a hội tụ tới a nào đó. Chọn k 0 sao cho 0 0 nn k , khi đó ta đợc: k n a - a m < 2 , m n 0 , k k 0 Cho k ta đợc: a-a m 2 <, m n 0 , hay n lim a n =a. Ví dụ 2.8: Chứng tỏ dãy a n = 1 1 +n hội tụ. Giả sử n m, xét biểu thức: << + + + + + mmnmn 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy nếu ta chọn n 0 = 1 4 2 + thì n,mn 0 : a n -a m <, hay dãy đã cho hội tụ. Ví dụ 2.9: Chứng tỏ dãy a n = n 1 2 1 1 +++ (n=2,3, ) phân kỳ. Đặt m=n+k xét: kn k knn aa mn + > + ++ + = 1 1 1 Chọn k=n và 0<< 2 1 ta có: >= + > 2 1 2 nn n aa nn Tiêu chuẩn Côsi không thoả mãn, hay dãy đã cho không hội tụ, b. Tiêu chuẩn kẹp Định lý 5: Cho ba dãy {a n }, {b n } và {c n }. Nếu a n b n c n , nN và nếu: n lim a n = n lim c n =p thì: n lim b n =p Trang 5 Chứng minh: Vì n lim a n = n lim c n =p nên >0, n 1 , n 2 sao cho: n>n 0 =max(n 1 ,n 2 ) ta có: p-<a n b n c n <p+ Do đó: 0 , nnpb n < hay n lim b n =p. Ví dụ 2.10: Tìm )2 (6.4.2 )12 (5.3.1 lim n n n Đặt a n = )2 (6.4.2 )12 (5.3.1 n n , vì 1 1 + < k k k k (k>1) nên: 0<a n < n annn n )12( 1 )12)(12 (5.3.1 2 6.4.2 + = + 12 1 0 2 + << n a n 12 1 0 + << n a n Do n lim 0 12 1 = +n nên n lim a n =0. c. Tiêu chuẩn về giới hạn của dãy đơn điệu Định lý 6: Cho dãy số {a n } (i) Nếu {a n } là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M thì nó hội tụ và có giới hạn không vợt quá M. Nếu nó đơn điệu tăng và không bị chặn trên thì a n +. (ii) Nếu {a n } là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dới bởi M thì nó hội tụ và giới hạn không nhỏ hơn M. Nếu nó đơn điệu giảm và không bị chặn dới thì a n -. Ví dụ 2.11: ( Số e) Chứng tỏ dãy a n = n n + 1 1 hội tụ. Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có: a n = n n n nnnn n nn n n 1 ! )1) (1( 1 !2 )1(1 . !1 1 2 + ++ ++ = ++ ++ n n nnnn 1 1 2 1 1 1 ! 1 1 1 !2 1 1 1 1 a n+1 = + + + ++ + ++ 1 1 1 1 1 )!1( 1 1 1 1 !2 1 1 1 1 n n nnn Vì 0< 1 11 + < n k n k (0<kn) nên từ số hạng thứ ba trở đi mỗi số hạng trong khai triển của a n+1 lớn hơn mỗi số hạng trong khai triển của a n nên a n <a n+1 , hay dãy đơn điệu tăng. Do 11 < n k (1kn) nên ta có: a n = ++ ++ n n nnnn 1 1 2 1 1 1 ! 1 1 1 !2 1 1 1 1 < ! 1 !3 1 !2 1 11 n +++++ < 3 2 1 21 2 1 2 1 2 1 11 112 <+=+++++ nn Do đó dãy bị chặn trên bởi M=3. Vì dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M=3 nên dãy có giới hạn, và đặt: e n n n = + 1 1lim 3. Ngời ta chứng minh đợc e là một số vô tỷ và: e2,718281828459045 Trang 6 Ví dụ 2.12: Cho 1 2 += nn aa với a 1 = 2 . Chứng tỏ 2lim = n n a Ta có: a 2 = 2222 1 >+=+ a =a 1 . Giả sử ta có a k >a k-1 , khi đó theo quy nạp ta có: a k+1 = kkk aaa =+>+ 1 22 Vậy a n >a n-1 với mọi n>1, hay dãy đã cho đơn điệu tăng. Ta có: a 2 = 12122222 +=++<+ Giả sử a k < 12 + , khi đó xét: a k+1 = 1212221222 +=++<++<+ k a Vậy dãy đã cho bị chặn trên bởi 12 + . Đặt x= n n a lim , x>0. Lấy giới hạn 2 vế biểu thức: 1 2 += nn aa Khi n ta đợc: x= x+2 x 2 =2+x Phơng trình cho x=-1 và x=2. Vì x>0 nên ta lấy x=2. Vậy 2lim = n n a Bài tập chơng II 1. Dùng phơng pháp quy nạp chứng minh a. 1+2+ +n= 2 )1( +nn b. 1 2 +2 2 + +n 2 = 6 )12)(1( ++ nnn c. 1 3 +2 3 + +n 3 =(1+2+ +n) 2 = 2 2 )1( +nn d. 2 )1( )1()1( 4321 122222 + =+++ nn n nn e. 1.2+2.3+3.4+ +(n-1)n= 3 )1.().1( + nnn f. (1+x 1 )(1+x 2 ) (1+x n )1+x 1 +x 2 + +x n , trong đó x 1, x 2, ,x n là các số cùng dấu lớn hơn 1. 2. Chứng minh rằng với n=1,2, a. Nếu x> -1 thì (1+x) n 1+nx b. Với a+b>0, ab thì (a+b) n <2 n-1 (a n +b n ) 3. Chứng minh các bất đẳng thức a. nia n aaa aaa i n n n ,1,0, 21 21 => +++ b. nia aaa n aaa i n n n ,1,0, 1 11 21 21 => +++ 4. Bằng định nghĩa chứng tỏ các dãy sau hội tụ a. n n x n 1+ = b. 1 1 2 + = n x n c. 1 2 + = n n x n d. n n n x 2 = e. ! 1 n x n = f. )1( >= a a n x n k n 5. Tìm giới hạn của dãy a. )1,1( 1 1 lim 2 2 << ++++ ++++ ba bbb aaa n n n Trang 7 b. ++++ n n n 2 12 2 5 2 3 2 1 lim 32 c. + +++ )1( 1 3.2 1 2.1 1 lim nn n d. ! 2 lim n n n e. 222 1 1 3 1 1 2 1 1lim n n 6. Tìm giới hạn a. ( ) nnn n 2 lim b. ( ) nann n + )(lim c. ( ) 3 3 1lim nn n + d. n nn n 32 cossin lim 7. Chứng minh a. )0(1lim >= aa n n b. 1lim = n n n 8. Chứng tỏ dãy n nx n )1( = không bị chặn nhng cũng không có giới hạn. 9. Cho dãy 1 1 1 += n nn x xx với x 0 =1. Chứng tỏ rằng += n n xlim 10. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy 1 2 1 += n n x x Với x 0 =1 11. Cho a 0 >0, b 0 >0 và: a n =2a n-1 +3b n-1 b n =a n-1 +2b n-1 Chứng tỏ dãy: n n n b a x = là dãy đơn điệu và bị chặn do đó có giới hạn. 12. Cho hai số a, b thoả mãn: 0<a<b. Xét hai dãy: 11 . = nnn yxx và )( 2 1 11 += nnn yxy với x 0 =a, y 0 =b. Chứng tỏ hai dãy cùng hội tụ và có chung giới hạn. 13. Xét sự hội tụ của dãy 1 1 += nn xx với 3 0 =x 14. Cho x 0 =1 và x n (3+x n-1 )+1=0, tìm n n x lim Trang 8 . dãy mà mọi số hạng đều bằng nhau và bằng 1. 2. Giới hạn của dãy số a. Dãy có giới hạn hữu hạn Định nghĩa 1: Một số thực a (hữu hạn) đợc gọi là giới hạn của dãy số { } =1n n a khi n+, ký hiệu: aa n n = lim nếu. hay: = + + 12 )1( )1(lim n nn n n 3. Dãy con và giới hạn riêng a. Định nghĩa Cho dãy { } =1n n a và các số n 1 ,n 2 , ,n k , là một dãy con tăng vô hạn của N. Khi đó dãy: , , ,, 21 k nnn aaa đợc gọi là dãy con của {. = 1 12 2 k k k b. Giới hạn riêng của dãy Định nghĩa 3: Cho dãy số { } =1n n a . Số p gọi là giới hạn riêng của { } =1n n a nếu nó là giới hạn của dãy con { } =1k n k a nào