1 Chơng 3 Không gian tuyến tính 3.1 Khái niệm về không gian tuyến tính 1. Không gian véc tơ a. Các phép toán và tính chất Trong không gian xét tập V các véc tơ với gốc tại O. Hiển nhiên V là tập khác trống chứa véc tơ không, ký hiệu là véc tơ không. Chúng ta xét hai phép toán sau: (i) Phép cộng hai véc tơ trên V Nếu a , b là hai véc tơ bất kỳ thuộc V, khi đó véc tơ tổng c a b = + xác định theo quy tắc hình bình hành là véc tơ có gốc trùng với gốc của a và b nên c cũng có gốc tại O. Vậy phép cộng hai véc tơ trên V cho ta một véc tơ thuộc V. (ii) Phép nhân vô hớng một số với một véc tơ Nếu a là véc tơ thuộc V, và là một số thực tuỳ ý, khi đó véc tơ tích u = a là một véc tơ có chung điểm gốc với a nên thuộc V. Vậy phép nhân một số với một véc tơ trên V cho ta một véc tơ thuộc V . Hai phép toán trên các véc tơ có 8 tính chất sau: 1. Tính giao hoán: a + b = b + a 2. Tính kết hợp: ( a + b )+ c = a +( b + c ) 3. ( a V) a += + a = a 4. Với mọi véc tơ a V, tồn tại véc tơ đối - a =(-1). a và: a +(- a ) = 5. Với mọi a V: 1. a = a Với mọi số ,à R : 6. (à. a )=(.à). a 7. (+à). a = . a +à. a 8. .( a + b )= . a +. b b. Toạ độ của véc tơ trong hệ toạ độ Đềcác Trong không gian xét hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz với các véc tơ đơn vị tơng ứng là: i , j , k và gọi là một cơ sở trực chuẩn của V. Cho a thuộc V. Gọi hình chiếu của a trên các trục toạ độ là: x a =ch ox a , y a =ch oy a , z a =ch oz a (3_1) z z a O y a y x a x Hình 1 Khi đó a đợc biểu diễn duy nhất dới dạng: 2 a = x a . i +y a . j +z a . k (3_2) Gọi (x a ,y a ,z a ) hay a a a z y x là toạ độ của a trong hệ cơ sở { i , j , k }, ký hiệu: a =(x a ,y a ,z a ) (3_3) Ngợc lại với mỗi cặp 3 số (x a ,y a ,z a ) xác định duy nhất một véc tơ a mà: a =x a . i +y a . j +z a . k Nh vậy mỗi véc tơ a V tơng ứng với một phần tử (x a ,y a ,z a ) R 3 , và ngợc lại mỗi phần tử (x a ,y a ,z a )R 3 tơng ứng với một véc tơ a V, hay tồn tại một song ánh giữa V và R 3 ứng a (x a ,y a ,z a ) (3_4) Toạ độ của i , j , k khi đó là: i =(1,0,0), j =(0,1,0), k =(0,0,1) Khi đó dới dạng toạ độ ta có, với: a =(x a ,y a ,z a ), b =(x b ,y b ,z b ) Ta có: a + b =(x a +x b ,y a +y b ,z a +z b ) (3_5) . a =(x a ,y a ,z a ) (3_6) c. Không gian R 3 Trên R 3 ={x=(x 1 ,x 2 ,x 3 )x i R} xét các phép toán: + x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ), y=(y 1 ,y 2 ,y 3 )R 3 : x+y=(x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 , x 3 +y 3 ) + R: x =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) Do (3_5) và (3_6) dễ dàng kiểm tra đợc hai phép toán trên R 3 cũng thoả mãn 8 tính chất đã nêu. Hiển nhiên mọi x=(x 1 ,x 2 ,x 3 )R 3 có biểu diễn duy nhất: x=x 1 0 0 1 +x 2 0 1 0 +x 3 1 0 0 Nên ta cũng gọi: e 1 = 0 0 1 , e 2 = 0 1 0 , e 3 = 1 0 0 là cơ sở của R 3 Song ánh (3_4) ứng mỗi véc tơ a ( x a ,y a ,z a )V với phần tử (x a ,y a ,z a )R 3 và sự tơng ứng của các phép toán (3_5) và (3_6) đã đồng nhất không gian các véc tơ V với tập R 3 do đó ta cũng gọi R 3 là không gian véc tơ 3 chiều, và mỗi phần tử của R 3 cũng đợc gọi là một véc tơ trong R 3 . 2. Không gian R n Xét tập hợp:R n ={x=(x 1 ,x 2 , ,x n ): x i R} Cho x=(x 1 ,x 2 , ,x n ), y=(y 1 ,y 2 , ,y n ) R n xét các phép toán nh sau: Phép cộng: x+y=(x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 , ,x n +y n ) (3_7) Phép nhân với một số: t.x=(tx 1 ,tx 2 , ,tx n ) (3_8) 2 3 Vì R n chỉ là mở rộng của R 3 từ phần tử là bộ có thứ tự gồm 3 số sang phần tử là bộ có thứ tự gồm n số, nên dễ dàng kiểm tra hai phép toán cộng và nhân với một số trên R n cũng thoả mãn 8 tính chất nh phép cộng các véc tơ và nhân véc tơ với một số, trong đó phần tử đối của x là: -x=(-x 1 ,-x 2 , ,-x n ) Phần tử không là: =(0,0, ,0) Gọi e 1 =(1,0, ,0) e 2 =(0,1, ,0) e n =(0,0, ,1) (3_9) Khi đó với mọi x=(x 1 ,x 2 , ,x n )R n ta đều có: x=x 1 e 1 +x 2 e 2 + +x n e n So sánh biểu diễn của các phần tử trong R n qua {e 1 ,e 2 , ,e n } với biểu diễn của các phần tử trong R 3 qua {e 1 ,e 2 ,e 3 } ta thấy {e 1 ,e 2 , ,e n } tơng ứng nh cơ sở {e 1 ,e 2 ,e 3 } trong R 3 , còn (x 1 ,x 2 , ,x n ) tơng ứng là các toạ độ của x trong R n trên cơ sở {e 1 ,e 2 , ,e n }. Nh vậy với các phép toán cộng và nhân đợc định nghĩa nh trên ta thấy R 3 và R n có cùng một cấu trúc, chúng chỉ khác nhau bởi số toạ độ của mỗi phần tử vì vậy ta cũng gọi R n là không gian véc tơ n chiều, và mỗi phần tử của R n cũng đợc gọi là một véc tơ. Trong toán học ngoài tập R n còn có nhiều tập hợp khác khi có phép cộng hai phần tử của tập và phép nhân một số của trờng K với phần tử của tập, cũng có cấu trúc giống nh tập các véc tơ V. Vì vậy tổng quát ngời ta đa ra định nghĩa chung cho một không gian véc tơ hay còn gọi là không gian tuyến tính dựa trên phép cộng hai phần tử của không gian và phép nhân một phần tử của không gian với một số của một trờng K thoả mãn 8 tính chất chung cho ở trên. 3.2. Không gian tuyến tính 1. Định nghĩa Định nghĩa 3.1: Cho một tập E và một trờng K. E đợc gọi là một không gian tuyến tính trên K nếu thoả mãn 3 yêu cầu sau: (i) Có một phép hợp thành, mà ta sẽ gọi là phép cộng, ứng hai phần tử x,yE với một phần tử xác định zE; z đợc gọi là tổng của x và y, ký hiệu: z=x+y (3_10) (ii) Một phép hợp thành, mà ta sẽ gọi là phép nhân một phần tử với một số, ứng một phần tử xE và một số K với một phần tử xác định uE, gọi là tích của với x, ký hiệu: u=.x (3_11) (iii) Hai phép toán trên thoả mãn 8 tiên đề sau: 1. Tính giao hoán: x+y=y+x 2. Tính kết hợp: (x+y)+z=x+(y+z) 3. Tồn tại phần tử E, mà ta gọi là phần tử trung hoà hay phần tử không, thoả mãn: xE: x+=+x=x 4. Với mỗi phần tử xE, tồn tại phần tử xE sao cho: x+x=x+x= x gọi là phần tử đối của x và ký hiệu là x=-x. 5. Với mọi x ta đều có: 1.x=x. Với mọi số ,àK, và x,yE: 6. (à.x)=(à).x 7. (+à).x=.x+àx 8. (x+y)=x+y Chú ý: Ta gọi một phép toán là đóng trên E nếu kết quả thực hiện phép toán đợc phần tử thuộc E. Khi đó một tập E với hai phép hợp thành không phải là không gian tuyến tính nếu: 1. Hoặc một trong hai phép toán không đóng trên E. 2. Hoặc một trong 8 tiên đề không thoả mãn. 2. Một số ví dụ về không gian tuyến tính Ví dụ 3.1: Không gian R n Xét tập R n với hai phép toán x+y=(x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 , ,x n +y n ) 4 t.x=(tx 1 ,tx 2 , ,tx n ) Với phần tử trung hoà =(0,0, ,0) và phần tử đối của x=(x 1 ,x 2 , ,x n ) là -x=(-x 1 ,-x 2 , ,-x n ) thoả mãn 8 tiên đề , vậy nó là một không gian tuyến tính. Ví dụ 3.2: Không gian các ma trận cấp mxn Gọi M mxn ={A=(a ij ) m ì n }, với phép cộng hai ma trận và phép nhân một số với một ma trận: A+B=(a ij +b ij ) m ì n t.A=(t.a ij ) m ì n Kiểm tra 8 tiên đề: 1. Do tính giao hoán của phép cộng hai ma trận. 2. Do tính kết hợp của phép cộng hai ma trận. 3. Phần tử của M mxn là ma trận không cấp mxn ta có: A+=+A=A 4. Chọn -A=(-a ij ) m ì n ta có: A+(-A)= 5. 1.A=(1.a ij ) m ì n =(a ij ) m ì n 6. (àA)=(àa ij ) m ì n =à(a ij ) m ì n =(à)A 7 (+à)A=((+à)a ij ) m ì n =(a ij ) m ì n +(àa ij ) m ì n =A+àA 8. (A+B)=(a ij +b ij ) m ì n =(a ij ) m ì n +(b ij ) m ì n =A+B Vậy 8 tiên đề đều thoả mãn, hay M mxn là không gian tuyến tính. Ví dụ 3.3: Không gian các đa thức hệ số thực Trên tập các đa thức với các hệ số thực bậc tuỳ ý P(t)={x(t)=a 0 +a 1 t+ +a m t m } Cho: x(t)=a 0 +a 1 t+ +a m t m , y(t)=b 0 +b 1 t+ +b k t k Với phép cộng đa thức và phép nhân một số với một đa thức, ta có: x(t)+y(t)=(a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )t+ +(a i +b i )t i + x(t)=a 0 +a 1 t+ +a m t m Vì tổng của hai đa thức là một đa thức và tích của một số với một đa thức là một đa thức nên hai phép toán trên đóng trên P(t). Với phần tử là đa thức đồng nhất không, phần tử đối của x(t) là -x(t) và do phép cộng hai đa thức là phép cộng các hệ số tơng ứng, phép nhân một số với một đa thức là nhân số đó với các hệ số của đa thức nên chúng thoả mãn 8 tiên đề. Vậy P(t) là không gian tuyến tính. Ví dụ 3.4: Không gian các đa thức bậc không quá n Xét tập các đa thức với các hệ số thực bậc không quá n P n (t)={x(t)=a 0 +a 1 t+ +a n t n } với các phép toán cộng hai đa thức và phép nhân một số với một đa thức. Vì tổng của hai đa thức bậc không quá n và tích của một số với một đa thức bậc không quá n là một đa thức bậc không quá n nên P n (t) là không gian tuyến tính. Ví dụ 3.5: Không gian C[a,b] các hàm liên tục trên [a,b] Xét các hàm f(x) liên tục trên [a,b]R, với các phép toán (f+g)(x)=f(x)+g(x) (f)(x)=.f(x) Khi đó hai phép toán đóng trên C([a,b]); với phần tử là hàm đồng nhất không, phần tử đối của f(x) là -f(x), dễ dàng kiểm tra 8 tiên đề thoả mãn, vậy C([a,b]) là không gian tuyến tính. Ví dụ 3.6: Không gian véc tơ các số phức C Trên tập C các số phức, cho: u=a+bi và v=c+di là hai số phức bất kỳ và t là số thực tuỳ ý, với các phép toán u+v=(a+c)+(b+d)i t(a+bi)=(ta)+(tb)i dễ dàng thấy 8 tiên đề thoả mãn nên C là không gian tuyến tính trên trờng R. Do trên mặt phẳng phức mỗi số phức a+bi đợc biểu diễn bởi một véc tơ có gốc tại O nên ta gọi C là không gian các véc tơ phức. Ví dụ 3.7: Tập E ={x=(x 1 ,x 2 , ,x n )R n : x 1 +x 2 + +x n =1} không là không gian tuyến tính vì: 0.x= (0x 1 ,0x 2 , ,0x n ) =(0,0, ,0) 4 5 Do 0+ +0=01 nên phép nhân với một số không đóng trên E. Ví dụ 3.8: Cho E={A,B,C,O} với các phép hợp thành nh sau: A+B=B+A=C, B+C=C+B=A, C+A=A+C=B A+A=B+B=C+C=O+O=O A+O=O+A=A, B+O=O+B=B, C+O=O+C=C t.A=A, t.B=B, t.C=C, t.O=O t0 0.A=0.B=0.C=0.O=O Hai phép toán đóng trên E, nhng tiên đề 7 không thoả mãn. Thật vậy: (+à).A=A, .A+à.A=A+A=O Vậy E không phải là không gian tuyến tính. 3. Các tính chất a. Các tính chất Trong mỗi không gian tuyến tính E: 1. Phần tử trung hoà là duy nhất. 2. Với mỗi x phần tử đối -x là duy nhất. 3. Với mọi x đều có: 0.x= 4. Với mọi x thì (-1).x là phần tử đối của x Chứng minh: 1. Giả sử có 1 , 2 là hai phần tử trung hoà, khi đó: 1 = 1 + 2 = 2 Chứng tỏ hai phần tử trung hoà là một. 2. Giả sử x có hai phần tử đối x 1 ,x 2 , khi đó: x 1 =x 1 +(x+x 2 )=(x+x 1 )+x 2 =+x 2 =x 2 Hay x 1 =x 2 . 3. Ta có: 0.x=0.x+=0x+{x+(-x)}=0.x+1.x+(-x) =(0+1)x+(-x)= x+(-x)= 4. Xét: x+(-1).x=1.x+(-1).x=(1-1)x=0.x= b. Hiệu của hai phần tử Hiệu của hai phần tử x và y là phần tử: z=x+(-y), ký hiệu: z=x-y Hệ quả 1: Quy tắc chuyển vế: Nếu x+y=z thì x=z-y Hệ quả 2: Quy tắc giản ớc: Từ x+z=y+z suy ra x=y Hệ quả 3: Từ t.x= suy ra hoặc t=0, hoặc x=. Thật vậy, nếu t0 ta có: x=1.x=(t -1 .t)x=t -1 (tx)=t -1 .= 3.3 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính 1. Hệ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính a. Định nghĩa Cho E là một không gian tuyến tính trên trờng K. Định nghĩa 3.2: Véc tơ x đợc gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ n véc tơ {a 1 ,a 2 , ,a n } nếu tồn tại các số x 1 ,x 2 , ,x n K để x=x 1 a 1 +x 2 a 2 + +x n a n = = n i i i ax 1 (3_12) Ví dụ 3.9: Trong R 3 cho: 6 b= 3 1 2 , a 1 = 2 1 1 , a 2 = 3 2 1 Ta có: 3 1 2 = 3 2 1 2 1 1 3 Hay b=3a 1 -a 2 , vậy b là tổ hợp tuyến tính của {a 1 ,a 2 }. Định nghĩa 3.3: Hệ n véc tơ {a 1 ,a 2 , ,a n } gọi là độc lập tuyến tính nếu từ: x 1 a 1 +x 2 a 2 + +x n a n = (3_13) kéo theo x 1 =x 2 = =x n =0. Hệ gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính. Nh vậy hệ {a 1 ,a 2 , ,a n } phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số x 1 ,x 2 , ,x n K không đồng thời bằng không để (3_13) thoả mãn. Ví dụ 3.10: Trong P 3 (t)={x(t)=a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3 } a. Xét hệ {e 0 =1, e 1 = t, e 2 = t 2 , e 3 = t 3 } do biểu thức: a 0 .1+a 1 .t+a 2 t 2 +a 3 t 3 = Trong đó là đa thức đồng nhất không, chỉ xẩy ra khi a 0 =a 1 =a 2 =a 3 =0, nên hệ độc lập tuyến tính. b. Xét hệ {u 0 =1+t+t 3 , u 1 =1-t 2 +2t 3 , u 2 =-1+t+2t 2 -3t 3 } Với a 0 =1, a 1 =-2, a 2 =-1 ta có: a 0 u 0 +a 1 u 1 +a 2 u 2 =1(1+t+t 3 )-2(1-t 2 +2t 3 )-1(-1+t+2t 2 -3t 3 ) =(1-2+1).1+(1-1)t+(2-2)t 2 +(1-4+3)t 3 = 0.1+ 0.t+0.t 2 +0.t 3 = Vậy hệ phụ thuộc tuyến tính. b. Điều kiện phụ thuộc tuyến tính Định lý 3.1: Hệ {a 1 ,a 2 , ,a n } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại. Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ phụ thuộc tuyến tính, từ biểu thức: x 1 a 1 + x 2 a 2 + +x n a n =` (3_14) có ít nhất một x i 0. Giả sử x 1 0, từ (3_14) ta có: a 1 = n n a x x a x x a x x 1 3 1 3 2 1 2 Nh vậy a 1 là tổ hợp tuyến tính của các phần tử còn lại của hệ. Điều kiện đủ: Giả sử a 1 là tổ hợp tuyến tính của các phần tử còn lại của hệ: a 1 = x 2 a 2 + +x n a n chuyển vế ta đợc: a 1 - x 2 a 2 x n a n = (3_15) Chứng tỏ hệ phụ thuộc tuyến tính. Hệ quả 4: (Hệ phụ thuộc tuyến tính) 1. Hệ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính là một hệ phụ thuộc tuyến tính. 2. Mọi hệ chứa véc tơ đều là hệ phụ thuộc tuyến tính. 3. Hệ có hai phần tử tỷ lệ (a=b) thì phụ thuộc tuyến tính Hệ quả 5: (Hệ độc lập tuyến tính) 1. Một hệ độc lập tuyến tính nếu không có véc tơ nào của hệ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại trong hệ. 2. Mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính đều độc lập tuyến tính. 2. Hệ con độc lập tuyến tính cực đại Cho E là một không gian tuyến tính trên trờng K. Định nghĩa 3.4: Cho U={u 1 ,u 2 , ,u n } là hệ gồm n véc tơ của E. Hệ con V={u j1 , ,u jr } U gọi là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nếu {u j1 , ,u jr }độc lập tuyến tính, và thêm bất kỳ véc tơ u k U vào hệ con đó thì đều đợc một hệ phụ thuộc tuyến tính. 6 7 Ví dụ 3.11: Trong R 3 xét các véc tơ: a 1 = 1 2 1 a 2 = 3 1 2 a 3 = 4 1 1 a 4 = 2 4 2 Ta có {a 1 ,a 2 }độc lập tuyến tính vì x 1 a 1 +x 2 a 2 = chỉ khi x 1 =x 2 =0. Mặt khác ta lại có: a 3 = a 1 - a 2 và a 4 = 2 a 1 +0. a 2 hay các hệ con { a 1 , a 2 , a 3 }, { a 1 , a 2 , a 4 } phụ thuộc tuyến tính. Vậy {a 1 , a 2 } là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại. Định lý 3.2: Nếu V={u j1 , ,u jr }là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U={u 1 ,u 2 , ,u n } thì mọi xU đều biểu diễn tuyến tính duy nhất qua hệ con đó. Chứng minh: Theo định nghĩa hệ {u j1 , ,u jr ,x} phụ thuộc tuyến tính nên x biểu diễn tuyến tính qua hệ V. Giả sử x có hai biểu diễn: x= x 1 u j1 +x 2 u j2 + +x r u jr x= x 1 u j1 +x 2 u j2 + +x r u jr Trừ các vế tơng ứng đợc: =(x 1 -x 1 )u j1 +(x 2 -x 2 )u j2 + +(x r -x r )u jr Do V là hệ độc lập tuyến tính nên kéo theo: x 1 -x 1 =x 2 -x 2 = =x r -x r =0 Hay hai biểu diễn của x là một, vậy x có biểu diễn duy nhất. Định lý 3.3: Với hệ hữu hạn các véc tơ U={u 1 ,u 2 , ,u n } thì số phần tử của mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U đều bằng nhau. Khi đó ta gọi số véc tơ trong hệ con độc lập tuyến tính cực đại là hạng của hệ và ký hiệu r(U). Chứng minh: Giả sử U có hai hệ con độc lập tuyến tính cực đại là: V1={a 1 , ,a r } V2={b 1 , ,b s } Vì V1 là hệ con độc lập tuyến tính cực đại nên mọi b i V2 đếu biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ của hệ V1: b 1 =t 11 a 1 +t 12 a 2 + +t 1r a r (3_16) Do b 1 nên các t 1k không đồng thời bằng 0, giả sử t 11 0 thì: a 1 = 1 11 t b 1 - t t 12 11 a 2 - t t r1 11 a r (3_17) Lập hệ: {b 1 ,a 2 , ,a r } (3_18) Tơng tự có: b 2 =t 21 a 1 +t 22 a 2 + +t 2r a r (3_19) Thay a 1 bởi biểu thức (3_17) đợc: b 2 =t 21 b 1 +t 22 a 2 + +t 2r a r (3_20) Nh vậy b 2 biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ (3_18). Hoàn toàn tơng tự ta thấy mọi véc tơ của V2 biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ (3_18). Do V2 độc lập tuyến tính nên trong (3_20) phải có ít nhất một hệ số của t 2k 0 (k>1), giả sử t 22 0, nên khi đó: a 2 = 11 ' 1 t b 2 - t t ' ' 21 22 b 1 - t t ' ' 23 22 a 3 t t r ' ' 2 22 a r (3_21) Lập hệ { b 1 , b 2 , a 3 , , a r } (3_22) Vì mọi véc tơ của V2 biểu diễn tuyến tính qua đợc V1 nên mọi véc tơ của hệ V2 biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ (3_22). Tiếp tục quá trình trên, nếu s>r thì sau r lần thay thế các véc tơ của hệ V2 phải biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ {b 1 , ,b r }. Điều này vô lý, vì hệ V2={b 1 , ,b s }là một hệ độc lập tuyến tính, vậy sr. 8 Thay đổi vai trò của hệ V1 và V2 trong phép thay thế trên ta có rs. Điều đó chứng tỏ s=r, hay số phần tử của mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ véc tơ là bằng nhau. Ví dụ 3.12: Hạng của hệ U={a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 } với a 1 = 1 2 1 a 2 = 3 1 2 a 3 = 4 1 1 a 4 = 2 4 2 Dễ dàng kiểm tra đợc các hệ{a 1 ,a 2 }, {a 1 ,a 3 }, {a 2 ,a 3 }, {a 2 ,a 4 }, {a 3 ,a 4 } đều là các hệ con độc lập tuyến tính cực đại. Các biểu diễn: a 3 = a 1 - a 2 và a 4 = 2 a 1 +0. a 2 là duy nhất và r(U)=2. 3. Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính a. Định nghĩa Định nghĩa 3.4: Cho E là không gian tuyến tính trên trờng K 1. Một hệ véc tơ trong E đợc gọi là một hệ sinh nếu mọi véc tơ của E đều biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ đó. Nếu {u 1 ,u 2 , ,u n } là hệ sinh của E ký hiệu: E=L{u 1 ,u 2 , ,u n } 2. Một hệ sinh độc lập tuyến tính trên E gọi là cơ sở của E. Nh vậy nếu I={ e 1 ,e 2 , ,e n } là một cơ sở của E thì nó là hệ con đôc lập tuyến tính cực đại của E, nên khi đó: (i) Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm nhiều nhất là n phần tử. (ii) Mọi hệ n véc tơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. (iv) Mọi hệ có nhiều hơn n phần tử đều phụ thuộc tuyến tính. Số n nh vậy đợc gọi là chiều của không gian E. Định nghĩa 3.5: 1. Nếu E có một hệ cơ sở gồm hữu hạn n phần tử thì ta nói E là không gian hữu hạn chiều, và n gọi là số chiều của E, ký hiệu dim(E)=n. Nếu E={} chỉ gồm duy nhất một phần tử thì ta nói dim(E)=0. 2. Nếu với mọi số tự nhiên n trong không gian tuyến tính E đều có một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính, nhng hệ đó không phải là hệ sinh thì ta nói E là không gian tuyến tính vô hạn chiều. Chúng ta chỉ xét các không gian tuyến tính hữu hạn chiều. Chú ý: Từ định nghĩa, muốn chứng tỏ một hệ véc tơ là cơ sở ta phải chứng minh: a. Hệ là hệ sinh, hay mọi véc tơ của E đều là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong hệ. b. Hệ độc lập tuyến tính. Ví dụ 3.13: Trong R n xét hệ các véc tơ e 1 = 1 0 0 e 2 = 0 1 0 e n = 0 0 1 Biểu thức x 1 e 1 +x 2 e 2 + +x n e n = n x x x 2 1 == 0 0 0 kéo theo x 1 =x 2 = =x n =0 vậy hệ độc lập tuyến tính. Với mọi x=(x 1 ,x 2 , ,x n )R n ta đều có: x= x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n Vậy {e 1 ,e 2 , ,e n } là cơ sở của R n và dim(R n )=n. 8 9 Ví dụ 3.14: Trong P n (t)={x(t)=a 0 +a 1 t+ +a n t n }là tập các đa thức bậc không quá n xét hệ các véc tơ: I={1,t, ,t n } Biểu thức: a 0 +a 1 t+ +a n t n 0 kéo theo a 0 =a 1 = =a n =0 vậy hệ độc lập tuyến tính. Với mọi x(t) ta đều có: x(t)=a 0 +a 1 t+ +a n t n Vậy {1,t, ,t n } là hệ cơ sở của P n (t) và dim(P n (t))=n+1. Ví dụ 3.15: a. Tập P(t) các đa thức bậc tuỳ ý, vì với mọi n hệ {1,t, ,t n } đều là hệ độc lập tuyến tính nhng không phải là cơ sở nên dim(E)=. b. C[0,1]={tập các hàm liên tục trên [0,1]}. Vì C[0,1] P(t) nên dim(C[0,1])= b. Tọa độ của véc tơ trong một hệ cơ sở Để chứng tỏ một hệ véc tơ là cơ sở của không gian tuyến tính n chiều E, ta thờng sử dụng định lý sau: Định lý 3.4: Điều kiện cần và đủ để hệ I={e 1 , e 2 , , e n } lập thành một cơ sở của không gian tuyến tính E trên trờng K là với mọi xE tồn tại duy nhất các số x 1 , x 2 , , x n K sao cho: x= x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n (3_23) Bộ n số (x 1 ,x 2 , ,x n ) gọi là toạ độ của x trên cơ sở I, còn x i gọi là toạ độ thứ i của x trong cơ sở I hay là chiếu của x trên e i (i= n,1 ) và ký hiệu: x= x x x n 1 2 (3_24) Hay x T =( x 1 ,x 2 , , x n ) (3_25) Chứng minh: Điều kiên cần: Vì I={ e 1 , e 2 , , e n } là cơ sở của E nên I là hệ con độc lập tuyến tính cực đại trên E, do đó xE , x 1 ,x 2 , ,x n K sao cho x có biểu diễn duy nhất: x= x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n Điều kiện đủ: Vì mọi xE đều biểu diễn duy nhất qua hệ I nên I là hệ sinh và cũng biểu diễn duy nhất qua I: =0.e 1 +0.e 2 + +0.e n Nên từ biểu thức: =t 1 e 1 +t 2 e 2 + +t n e n phải kéo theo t 1 =t 2 = =t n =0, chứng tỏ I là hệ sinh độc lập tuyến tính. Vậy I={ e 1 , e 2 , , e n } là cơ sở. Ta thấy toạ độ của x trên I là một phần tử của K n . Cho một phần tử (x 1 ,x 2 , , x n ) K n lập biểu thức: x= x 1 e 1 +x 2 e 2 + +x n e n x là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong I nên xE. Do mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất qua cơ sở nên x là duy nhất. Vậy ta có tơng ứng giữa xE và (x 1 ,x 2 , , x n )K n là tơng ứng 1_1. x 1_1 (x 1 ,x 2 , , x n ) (3_26) Ví dụ 3.16: Gọi M 2x2 là không gian các ma trận cấp 2x2. a. Tìm cơ sở và chiều của M 2x2 . b. Tìm toạ độ của các phần tử trong M 2x2 qua cơ sở đó. Với mọi A= dc ba M 2x2 , ta có: A= dc ba =a 00 01 +b 00 10 +c 01 00 +d 10 00 Giả sử A có biểu diễn khác: 10 A= dc ba =a 00 01 +b 00 10 +c 01 00 +d 10 00 Trừ hai vế cho nhau ta đợc: 00 00 =(a-a) 00 01 +(b-b) 00 10 +(c-c) 01 00 +(d-d) 10 00 Từ đó a=a, b=b, c=c, d=d, hay A có biểu diễn duy nhất qua hệ: e 1 = 00 01 , e 2 = 00 10 , e 3 = 01 00 , e 4 = 10 00 Vậy hệ {e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 } là một cơ sở và dim(M 2x2 )=4. Hiển nhiên trên cơ sở {e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 }, A có tọa độ: A= d c b a c. Biểu thức các phép toán qua toạ độ Giả sử I={ e 1 , e 2 , , e n } là một cở sở của E. Nếu x,yE, trên cở sở I có tọa độ: x= x x x n 1 2 , y= y y y n 1 2 Khi đó: x+y=( x 1 e 1 +x 2 e 2 + +x n e n )+( y 1 e 1 +y 2 e 2 + +y n e n ) =( x 1 + y 1 )e 1 +(x 2 + y 2 )e 2 + +(x n + y n )e n tx= t x 1 e 1 +t x 2 e 2 + +t x n e n Do đó trên cơ sở I, x+y và tx có tọa độ: x+y= x y x y x y n n 1 1 2 2 + + + tx= tx tx tx n 1 2 (3_27) Nh vậy muốn cộng hai véc tơ ta cộng các toạ độ tơng ứng của chúng, muốn nhân một véc tơ với một số ta nhân số đó với mọi toạ độ của véc tơ. Đó cũng là phép cộng các phần tử và phép nhân một phần tử với một số của K n . Do phép tơng ứng một-một (3_26) và các phép toán (3_27) ta đa đợc các phép toán trên E về các phép toán tơng ứng trên K n . 4. Ma trận của một hệ véc tơ a. Định nghĩa Định nghĩa 3.6: Giả sử hệ p véc tơ { a 1 , a 2 , , a p } trong cơ sở I={ e 1 , e 2 , , e n } có toạ độ: a 1 = a a a n 11 21 1 a 2 = a a a n 12 22 2 a p = a a a p p np 1 2 (3_28) Lập ma trận A=(a ij ) n ì p mà cột thứ j (j= p,1 ) của A là toạ độ của véc tơ a j trong cơ sở I: 10 [...]... là không gian tuyến tính trên trờng số thực R nhng không là không gian tuyến tính trên trờng số phức B Hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 7 Trong không gian tuyến tính E trên trờng K cho hệ {a1,a2 ,an} Hệ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính nếu a Véc tơ không {a1,a2 ,an} b Trong hệ có hai véc tơ bằng nhau c a1=b1,a2=b1+b2, ,an=b1+ +bn và hệ {b1,b2 ,bn} độc lập tuyến tính d a1=b1,... Chứng tỏ biểu diễn là duy nhất 43 Cho E là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều trên trờng K và V là một không gian con của E Chứng minh rằng luôn tồn tại không gian con Z mà ta gọi là phần bù tuyến tính của V sao cho:VZ=E Hỏi Z có duy nhất không 44 Chứng minh nếu U={u1,u2, ,un} là một tập sinh của không gian tuyến tính E, khi đó mọi tập độc lập tuyến tính V={v1, ,vm}những véc tơ thuộc E, phải có... véc tơ sẽ thay đổi khi đổi cơ sở 3.4 Không gian con 1 Định nghĩa Cho E là một không gian tuyến tính trên trừơng K Ta gọi tập con khác rỗng FE là một không gian con của E nếu: (i) x,yF: x+yF (ii) xF,tK: txF Dễ dàng kiểm tra hai phép toán (i) và (ii) thỏa mãn 8 tiên đề Nh vậy, nếu F là một tập con của không gian tuyến tính E, để chứng tỏ F cũng là một không gian tuyến tính với các phép toán của E, ta chỉ... x 2 + x3 = 1 Không là không gian con của R3 vì phần tử (0,0,0) có: 0+0+01 Hay R3 2 Không gian con sinh bởi một tập a Định nghĩa Cho X={u1,u2,,up} là một tập con khác rỗng hữu hạn phần tử của không gian tuyến tính E trên trờng K Gọi L{X} là mọi tổ hợp tuyến tính của các phần tử trên X L{X}={u=t1u1+t2u2+ +tpupt1,t2,,tpK} Định lý 3.7: L{X} là không gian con của E, hơn nữa L{X} là không gian con nhỏ nhất... trên R3 b a=4-3i b=-1-i c=2+i trên không gian các véc tơ phức c a= ex, b=cosx, c=sinx trên không gian các hàm liên tục d a=x-1, b=x2+1, c= x2-2x+1 trên không gian các đa thức 1 2 1 0 0 1 e a= b= c= 0 1 1 1 1 2 trên không gian các ma trận vuông cấp hai 26 11 Trong không gian các hàm số thực trên R các hàm sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính a {f1(t)=3t, f2(t)=5+t, f3(t)=4t2}... con độc lập tuyến tính cực đại là: {a1,a2},{a1,b1},{a2,b1},{a2,b2},{b1, b2} Do đó mỗi cặp 2 véc tơ trên đều là cơ sở của L{a1,a2,b1,b2} 20 21 b Vì {a1,a2} và {b1,b2} đều là các hệ con độc lập tuyến tính cực đại nên: L{a ,a }=L{b1,b2}=L{a1,a2,b1,b2} 3 Giao của một họ không gian con Mệnh đề: Trong không gian tuyến tính E, giao của hai không gian con bất kỳ E1 và E2 của E cũng là một không gian con Thật... E1E2={} và dim(E1)+dim(E2)=dim(E) Nên ta có: E1E2=R3 3.5 Không gian véc tơ thơng 1 Lớp tơng đơng Giả sử E1 là một không gian con của không gian véc tơ E trên trờng K Xét quan hệ R trong E nh sau: a R b a-bE1 (3_51) Ta thấy quan hệ R có các tính chất: 1 Tính phản xạ: a R a vì a-a= E1 2 Tính đối xứng: a R bb R a vì E1 là không gian con nên a-bE1 b-aE1 3 Tính bắc cầu: a R b và bRc a R c vì a-c=(a-b)+(b-c)E1... chiều của không gian tuyến tính 12 Tìm cơ sở và chiều của các không gian sau a E={x=( x1,x2, , xn)Kn: x1=x2= =xn} b E={x=( x1,x2, , xn)Kn: x1=xn=0} c E={x=( 0,x2, , xn)Rn: x2+ +xn=0} d E={x=( x1,x2, , xn)Rn: x1-x2+ +(-1)nxn=0} e E={A=(aij) 3ì3: aii=0, i=1,2,3} 3 f E={A=(aij) 3ì3: a i =1 ii = 0} 13 Giả sử {e1,e2, ,en} là cơ sở của không gian tuyến tính E trên trờng K và trong tổ hợp tuyến tính n a=... là tổ hợp tuyến tính của r-1 véc tơ khác, mâu thuẫn với hệ { a1,a2, ,ar } độc lập tuyến tính Vậy r(A)=r Ngợc lại nếu r(A)=r, không mất tính tổng quát ta có thể xem định thức con cấp r ở góc trên bên trái khác không và mọi định thức con cấp r+1 bằng không Khi đó các cột r+1, ,p đều là tổ hợp tuyến tính của r cột đầu.Vì cột thứ j (j=r+1, ,p) là toạ độ của véc tơ a j nên aj là tổ hợp tuyến tính của r... e2={x=(x1,x2,x3): (x1-0,x2-1,x3-0)=(y,0,0)}={x=(x1,1,0)} Ta thấy { a, e2} chính là cơ sở của không gian thơng E/E1 Hiển nhiên phần tử không của E/E1 là: =E1=L{(1,0,0)} và dim(E/E1)=2 Bài tập chơng 3 A Không gian tuyến tính 1 Với các phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với một số trong K n chứng tỏ các tập sau là không gian tuyến tính a E={x=( x1,x2, , xn)Kn: x1=x2= =xn} b E={x=( 0,x2, , xn)Rn: x2+ +xn=0} . 1 Chơng 3 Không gian tuyến tính 3.1 Khái niệm về không gian tuyến tính 1. Không gian véc tơ a. Các phép toán và tính chất Trong không gian xét tập V các véc tơ với gốc. E, nhng tiên đề 7 không thoả mãn. Thật vậy: (+à).A=A, .A+à.A=A+A=O Vậy E không phải là không gian tuyến tính. 3. Các tính chất a. Các tính chất Trong mỗi không gian tuyến tính E: 1. Phần. có: x=1.x=(t -1 .t)x=t -1 (tx)=t -1 .= 3.3 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính 1. Hệ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính a. Định nghĩa Cho E là một không gian tuyến tính trên trờng K. Định nghĩa 3.2: