Phụ lục I : Một số đề thi học kỳ môn toán a1 Đề 01 Câu 1: Chứng minh rằng 333 222 111 2 33333 22222 11111 )1( cba cba cba x cbxaxba cbxaxba cbxaxba = ++ ++ ++ Câu 2: Cho F={(x 1 ,x 2 ,x 3 )R 3 :x 1 +2x 2 -x 3 =m , m là hằng số} a. Tìm m để F là không gian con của R 3 . b. Tìm một cơ sở của F khi m=0. Câu 3: Trong cơ sở E= = = = = 10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 4321 EEEE của không gian M 2x2 các ma trận vuông thực cấp 2 cho các véc tơ: = = = = 31 02 , 12 10 , 02 12 , 10 01 4321 CCCC a. Chứng minh rằng hệ C={C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 } là một cơ sở trong M 2x2 . b. Cho toạ độ của A trong cơ sở C là A= 31 02 , hãy tìm toạ độ của A trong cơ sở E. Câu 4: Trong cơ sở chính tắc {e 1 ,e 2 ,e 3 } của R 3 cho tự đồng cấu g xác định nh sau: g(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(x 1 -x 2 ,x 1 -2x 2 +x 3 ,x 1 +x 2 +2x 3 ) a. Tìm ma trận của g trong cơ sở chính tắc {e 1 ,e 2 ,e 3 }. b. Tìm ma trận của g trong cơ sở {e 1 ,2e 3 ,-e 2 }. Câu 5: Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính cho bởi ma trận sau A= 100 222 201 15 Có tồn tại một cơ sở gồm toàn véc tơ riêng của không? Nếu đợc hãy chéo hoá ma trận A. Câu 6: Đa đờng cong bậc hai có phơng trình sau đây về dạng chính tắc: 080563845 21 2 221 2 1 =+++ xxxxxx với mọi (x 1 ,x 2 ) thuộc R 2 . Đề 02 Câu 1: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 10 6 )1( )31()1( i ii n ++ là một số thực. Câu 2: Cho hệ phơng trình =++ =++ =+ =+ 94 82 2 532 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx a. Giải hệ với =1. b. Tìm để hệ có nghiệm. Câu 3: Cho M là tập các hàm số có dạng f(x)=a cosx+b sinx+c Với phép cộng hai hàm số và phép nhân hàm số với một số thông thờng, chứng minh M là không gian tuyến tính trên R. Tìm số chiều và cơ sở của M. Câu 4: Trong cơ sở chính tắc của không gian R 3 cho 3 véc tơ v 1 =(2,3,4), v 2 =(3,5,7), v 3 =(4,4,6) và phép biến đổi tuyến tính f: R 3 R 3 xác định nh sau: f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(2x 1 +x 2 +x 3 ,3x 1 +2x 2 +x 3 ,x 1 +x 2 +2x 3 ) a. Chứng minh rằng hệ {v 1 ,v 2 ,v 3 } là một cơ sở của R 3 . Tìm toạ độ của véc tơ y=(2,-3,-4) trong cơ sở {v 1 ,v 2 ,v 3 }. b. Tìm ma trận của f theo cơ sở {v 1 ,v 2 ,v 3 }. Câu 5: Trong một cơ sở (B) của không gian M 2x2 các ma trận vuông cấp hai với phép cộng hai ma trận và phép nhân một số với một ma trận thông thờng, cho ánh xạ f : M 2x2 M 2x2 nh sau: 16 f + + = dbca dbca dc ba a. Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính trên M 2x2 . b. Xác định Kerf và dim Kerf. Câu 6: Trong một cơ sở trực chuẩn của R 3 cho dạng toàn phơng f(x,x)= 323121 2 3 2 2 2 1 44822 xxxxxxxxx ++ với x=(x 1 ,x 2 ,x 3 )R 3 . Đa dạng toàn phơng trên về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao. Đề 03 Câu 1: Cho phơng trình ma trận + = 5 2 0 14 112 211 X a. Tìm X khi =-2. b. Phơng trình trên có khi nào vô nghiệm không? Tại sao? Câu 2: Trong không gian véc tơ R 3 cho tập hợp V= == 0 212 121:),,( 321 3 321 xxx Rxxxx Chứng minh rằng V là không gian con của R 3 . Tìm số chiều và một cơ sở của V. Câu 3: Trong không gian P 3 (x) các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3 xét ánh xạ: f[p(x)]=4p(x)-x 2 p(x) p(x)P 3 (x) a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. b. Tìm ma trận của f trong cơ sở {x 2 ,x 3 ,x,1}. Câu 4: Trong không gian các đa thức ẩn x bậc nhỏ hơn hoặc bằng bốn P 4 (x), chứng minh bằng tập các đa thức có nghiệm x=a, x=b (ab) tạo thành một không gian con của P 4 (x). Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con đó. 17 Câu 5: Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính trong R 3 biến đổi hệ các véc tơ a 1 =(2,1,0), a 2 =(0,0,1), a 3 =(5,3,2) thành hệ các véc tơ b 1 =(-1,1,1), b 2 =(2,1,2), b 3 =(1,1,1). Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính đó trên cơ sở chính tắc. Câu 6: Trong R 2 cho dạng toàn phơng f(x,x)= 2 221 2 1 323 xxxx ++ , x=(x 1 ,x 2 ) a. Dùng phép biến đổi trực giao đa f(x,x) về dạng chính tắc. b. Nhận dạng đờng bậc hai f(x,x)=1. Đề 04 Câu 1: Tính n 23 12 . Câu 2: Giả sử hệ các véc tơ {v 1 ,v 2 ,v 3 } của không gian tuyến tính E là độc lập tuyến tính và a 1 = v 1 +v 2 +v 3 a 2 = v 1 -v 2 +v 3 a 3 = v 1 +v 2 -v 3 Chứng minh rằng hệ {a 1 ,a 2 ,a 3 } là độc lập tuyến tính. Câu 3: Trong R 3 cho các không gian con sau: F={x=(x 1 ,x 2 ,x 3 )R 3 : x 1 -2x 2 +x 3 =0} G=={x=(x 1 ,x 2 ,x 3 )R 3 : 2x 1 -x 2 +x 3 =0} a. Tìm số chiều và một cơ sở tơng ứng của F và G. b. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con FG. Câu 4: Phép biến đổi tuyến tính trong cơ sở a 1 =(-3,7), a 2 =(1,-2) có ma trận 35 12 , phép biến đổi tuyến tính trong cơ sở b 1 =(6,-7), b 2 =(-5,6) có ma trận 72 31 . Tìm ma trận của o và + trong cơ sở chính tắc. Câu 5: Trong không gian R 3 cho một dạng song tuyến tính f(x,y)= ( ) 3 2 1 321 02 031 211 y y y m xxx (x 1 ,x 2 ,x 3 ),(y 1 ,y 2 ,y 3 )R 3 Tìm m để f(x,y) là một tích vô hớng trên R 3 . 18 Câu 6: Cho dạng toàn phơng f(x,x)= 323121 2 3 2 2 2 1 3422 xxxxxxxxx ++ a. Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc và nêu rõ các chỉ số quán tính trong dạng chính tắc. b. Hệ cơ sở chính tắc của dạng toàn phơng có phải là cơ sở trực chuẩn không? Tại sao? Đề 05 Câu 1: Dùng đẳng thức = 25 37 30 02 75 32 1235 617 tính 5 1235 617 Câu 2: Cho H={(x,y,z)R 3 : x=5y+2z (y,zR)} a. Chứng minh rằng H là không gian con của R 3 . b. Tìm một cơ sở của H. Câu 3: Cho ánh xạ tuyến tính f: R 4 R 3 xác định nh sau f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )= ),,24( 1324321 xxxxxxx + a. Tìm ma trận A của ánh xạ f. b. Tìm Ker f và dim Im f. Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của sao cho dạng toàn phơng sau là xác định dơng trong R 3 : f(x,x)= 323121 2 3 2 2 2 1 10624 xxxxxxxxx +++++ với x=(x 1 ,x 2 ,x 3 ) R 3 . Câu 5: Cho ma trận A= 400 031 041 a. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. b. Ma trận A có chéo hoá đợc không? Nếu đợc viết ma trận chéo B dới dạng B=T -1 AT và ma trận chuyển T. Câu 6: Giải và biện luận hệ phơng trình 19 =++ =++ =++ 32 32 32 czccyx bzbbyx azaayx Đề 06 Câu 1: Tìm miền biểu diễn hình học các số phức 131 22 2 =+ yzz với z=x+iy. Câu 2: Tìm f(A) biết f(x)=x 2 -x-1 với A= 011 213 112 Câu 3: Trong không gian R 4 xét tập A= =++ =++ = 032 032 :),,,( 4321 4321 4 4321 xxxx xxxx Rxxxxx a. Chứng minh rằng A là không gian con của R 4 . b. Tìm số chiều và một cơ sở của A. Câu 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A= ++ 23 0221 002 ii ii i Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của R 4 cho các véc tơ a 1 =(3,-1,5,1), a 2 =(0,2,-4,1) và b=(1,,0,à) a. Tìm ,à để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a 1 ,a 2 . b. Với ,à tìm đợc hãy trực giao hoá hệ {b,a 1 ,a 2 }. Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f với ma trận 20 A= 133 153 131 a. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. b. Ma trận A có chéo hoá đợc không? Nếu đợc viết ma trận chéo B dới dạng B=T 1 AT. Đề 07 Câu 1: Đa số phức sau về dạng lợng giác i i z + = 3 3 Câu 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A= + + i i iii 100 10 2121 Câu 3: Tìm đa thức bậc hai p(x)=ax 2 +bx+c biết p(1)=-1, p(-1)=9, p(2)=-3. Câu 4: Cho E là không gian Euclide trên R và aE, a. Gọi L={xE: <x,a>=0} a. Chứng minh rằng L là không gian con của E. b. Cho {e 1 ,e 2 , ,e m } là một cơ sở của L. Chứng minh rằng {e 1 ,e 2 , ,e m ,a} là một cơ sở của E. Câu 5: Biết rằng ma trận vuông A cấp n có n giá trị riêng là 1 , 2 , , n . Tìm các giá trị riêng của A 3 . Câu 6: Trong R 3 cho hệ véc tơ {x,e 1 ,e 2 ,e 3 }với e 1 =(1,1,1), e 2 =(1,1,2), e 3 =(1,2,3), x=(6,9,14). a. Tìm hạng của hệ trên b. Hỏi {e 1 ,e 2 ,e 3 } có là một cơ sở của R 3 không? Vì sao? c. Biểu diễn véc tơ x qua {e 1 ,e 2 ,e 3 }. Biểu diễn đó có duy nhất không? Đề 08 Câu 1: Đa số phức sau về dạng lợng giác 21 ) 3 cos 4 (sin 3 sin iz += Câu 2: Với abcde0 tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A= 0000 0000 0000 0000 0000 e d c b a Câu 3: Giải hệ phơng trình =+ =++ =+ =+ 132 3 122 13 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx Câu 4: Cho f: R 2 R 2 xác định bởi f(x,y)=(2x-y, -x+2y). Hãy tìm một cơ sở của R 2 để trong cơ sở đó ma trận của f có dạng đờng chéo và tìm ma trận đờng chéo đó. Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R 4 cho a 1 =(1,1,0,1), a 2 =(0,1,1,0). Với không gian con L={xR 4 :<x,a 1 >=0,<x,a 2 >=0} a. Tìm một cơ sở của L. b. Trực giao hoá hệ gồm các véc tơ a 1 ,a 2 , và các véc tơ trong cơ sở của L vừa tìm đợc. Câu 6: Cho ánh xạ f: R 3 R 3 xác định bởi f(x,y,z)=(x+2y+2z,2x+y+2z,2x+2y+z) a. Chứng tỏ f là phép biến đổi tuyến tính b. Tìm một cơ sở trực chuẩn gồm các véc tơ riêng của f, viết ma trận của f trên cơ sở đó. c. Chứng tỏ f là song ánh trên R 3 , hãy xác định f 1 . Đề 09 Câu 1: Tính 3 44 i Câu 2: Cho phơng trình ma trận 22 = + 1 2 1 493 1272 21 X a. Giải phơng trình trên khi =0. b. Tìm để hệ phơng trình trên có vô số nghiệm. Câu 3: Cho ma trận A= 311 120 011 Hỏi ma trận A có chéo hoá đợc không? Vì sao?. Nếu đợc, hãy tìm ma trận T để đa ma trận A về dạng ma trận đờng chéo B=T -1 AT. Câu 4: Cho ánh xạ f: R 3 R 3 xác định bởi f(x,y,z)=(2x-y+z,-x+2y-z,z+m) 1. Tìm m để f là một phép biến đổi tuyến tính. 2. Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc khi m=0. Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R 4 cho các véc tơ a 1 =(1,-1,0,-1), a 2 =(0,1,-1,-1). Cho không gian con L={xR 4 : <x,a 1 >=0, <x,a 2 >=0} a. Tìm một cơ sở của L. b. Trực giao hoá hệ gồm các véc tơ a 1 ,a 2 và các véc tơ trong cơ sở vừa tìm đợc của L. Câu 6: Gọi M 3x4 là không gian các ma trận 3 hàng, 4 cột và F là tập các ma trận có dạng cdcc bacb dcba . Chứng minh rằng F là không gian con của M 3x4 . Tìm số chiều và một cơ sở của F. Đề 10 Câu1: Cho 3 2 sin 3 2 cos i+= . Hãy biểu diễn số phức (1+) n d- ới dạng lợng giác. Câu 2: Tìm ma trận X thoả mãn đảng thức 23 X = 13215 726 211 101 111 Câu 3: Cho L(X) là không gian con sinh bởi các véc tơ của tập X={a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 } với a 1 =(2,1,3,-1), a 2 =(-1,1,-3,1), a 3 =((4,5,3,-1), a 4 =(1,5,-3,1). a. Xác định số chiều và cơ sở của L(X). b. Hãy tìm tất cả cơ sở của L(X) có thể lấy đợc từ tập X. Câu 4: Cho ánh xạ f: R 3 R 3 xác định bởi f(x,y,z)=(6x-2y-2z,-2x+3y,2x+3z) a. Chứng tỏ f là một phép biến đổi tuyến tính, tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc. b. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của f. Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R 4 , cho các véc tơ a 1 =(1,-1,2,1), a 2 =(0,1,-1,1) và b=(-1,,1,). a. Tìm , để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a 1 và a 2 . b. Với , tìm đợc hãy trực giao hoá hệ {a 1 ,a 2 ,b}. Câu 6: Chứng minh rằng nghịch đảo của ma trận tam giác trên không suy biến là một ma trận tam giác trên. Đề 11 Câu 1: Nếu cos2 2 1 =+z chứng minh mz m m cos2 2 1 =+ Câu 2: Tìm hạng của ma trận A= 5741 312 1123 2431 Với R Câu 3: Trong R 3 xét tập L= =++ =+ = 022 0 ),,( 321 321 321 xxx xxx xxxx a. Chứng tỏ L là không gian con của R 3 . 24 [...]... Trí Bài Tập Toán Cao Cấp Tập 1 Nhà Xuất Bản Giáo Dục_1999 13 Trần Văn Minh, Phí Thị Vân Anh Nguyễn Huy Hoàng, Nguyễn Văn Phấn Đại số tuyến tính N.X.B Giao Thông Vận Tải 2000 mục lục Khái niệm mở đầu về một số cấu trúc đại số 1.1 Tập hợp 1.2 ánh xạ 1.3 Sơ lợc về Logíc mệnh đề 1.4 Quan hệ 1.5 Nhóm, Vành, Trờng 1.6 Trờng số phức C Chơng 1: 1 Biểu diễn của số phức 2 Các phép toán trên tập các số phức 1.7... Thúc Lanh Đại số tuyến tính N.X.B Giáo Dục 1978 2 Sze -Tsen Hu Đại số tuyến tính và phơng trình vi phân N.X.B.Đại Học và T.H.Chuyên Nghiệp_1979 3 Nguyễn Đình Trí Đại số tuyến tính N.X.B Giáo Dục 1997 4 Đoàn Quỳnh và các tác giả Đại số tuyến tính N.X.B Giáo Dục 1996 5 Nguyễn Xuân Hoàng Bài giảng Đại số tuyến tính Đ.H Giao Thông Vận Tải Hà Nội 6 Trần văn Dũng , Trần Văn Minh Bài giảng Toán A4 Đ.H.Giao... ma trận tam giác dới không suy biến là một ma trận tam giác dới Đề 12 Câu 6: Cho phơng trình ma trận 1 2 1 0 1 X = 2 4 1 4 + 5 1 a Tìm X khi =-2 b Phơng trình trên có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao? Câu 3: Trong không gian R3 cho 5 x 4 y = 0 3 L= ( x, y, z ) R : 3y z = 0 a Chứng minh rằng L là không gian tuyến tính b Tìm số chiều và một cơ sở của L Câu 4: Cho ma trận 2 0... 2 x3 Đề 14 a a a a a b b b Câu 1: Tính định thức = a b c c a b c d Câu 2: Cho n đờng thẳng trên mặt phẳng xác định bởi 1: a1x+b1y+c1=0 2: a2x+b2y+c2=0 n: anx+bny+cn=0 Tìm điều kiện để n đờng thẳng trên cùng đi qua một điểm Câu 3: Gọi M2x2 là không gian các ma trận vuông cấp 2 trên R Cho 0 1 1 1 1 1 1 1 , e2= , e3= , e4= e1= 0 0 1 1 0 0 0 1 a Chứng minh rằng hệ {e1,e2,e3,e4} là một. .. véc tơ u trực giao với v1 sao cho (u,v2,v3) phụ thuộc tuyến tính Câu 6: Tìm các số thực a,b,c để phơng trình (1+ai)x4+(2a+bi)x3 - (5+ci)x2+(b+ci)x+4+ai=0 sau nhận 1,2 làm nghiệm, với i là đơn vị ảo Đề 13 Câu 1: Chứng minh rằng n 1 + itgx 1 + itgnx 1 itgx = 1 itgnx Câu 2: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số a 2ax + y + z = 1 x + 2ay + z = 2a x + y + 2az = 4a 2 Câu 3: Tìm a để ma... Nguyễn Xuân Hoàng Bài giảng Đại số tuyến tính Đ.H Giao Thông Vận Tải Hà Nội 6 Trần văn Dũng , Trần Văn Minh Bài giảng Toán A4 Đ.H.Giao Thông Vận Tải Hà Nội 7 Trần Văn Minh Phơng pháp số và chơng trình bằng Turbo Pascal N.X.B Khoa Học Kỹ Thuật 1998 8 Nguyễn Quốc Chiến và các tác giả Giáo trình Quy hoạch tuyến tính_ Đ.H.Giao Thông Vận Tải Hà Nội_1994 9 Trần Túc Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Đ.H.Kinh Tế Quốc...b Tìm số chiều và một cơ sở của L Câu 4: Với (x1,x2,x3) R3, có giá trị nào của để dạng toàn phơng sau là dạng xác định dơng trong R3 không? 2 2 f(x,x)= 2 x12 + x 2 + 3 x3 + 2x1 x 2 + 2 x1 x3 x 2 x3 Câu 5: Cho ma... cơ sở đó b Tìm toạ độ của 0 1 Câu 4: Cho phơng trình ma trận AX=B có nghiệm X1,X2 Tìm ma trận C sao cho phơng trình AX=C có nghiệm X1+X2 a K.X1 b Câu 5: Gọi P2(x) là không gian các véc tơ đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 Cho ánh xạ f: P 2(x) P2(x) xác định bởi f(p)=p-2p+3p pP2(x) a Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính 27 b Tìm ma trận của f trong cơ sở {1,x,x2} c f có phải là song ánh... hợp 1.2 ánh xạ 1.3 Sơ lợc về Logíc mệnh đề 1.4 Quan hệ 1.5 Nhóm, Vành, Trờng 1.6 Trờng số phức C Chơng 1: 1 Biểu diễn của số phức 2 Các phép toán trên tập các số phức 1.7 Nghiệm của đa thức trên trờng số phức Chơng 2: Ma trận và định thức 2.1 Ma trận 2.2 Định thức 2.3 Ma trận đảo 2.4 Hạng của ma trận Chơng 3: Không gian tuyến tính 3.1 Khái niệm về không gian tuyến tính 3.2 Cơ sở và chiều của không gian... gian tuyến tính 3.3 Không gian con Chơng 4: Hệ phơng trình tuyến tính 4.1 Khái niệm về hệ phơng trình tuyến tính 4.2 Giải hệ phơng trình tuyến tính 4.3 Hệ thuần nhất 30 1 Tập nghiệm của hệ thuần nhất là một không gian con 2 Tìm hệ nghiệm cơ sở của hệ thuần nhất 3 Cơ sở của giao hai không gian con Chơng 5: ánh xạ tuyến tính 5.1 ánh xạ tuyến tính 5.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 5.3 Đẳng cấu của hai . Phụ lục I : Một số đề thi học kỳ môn toán a1 Đề 01 Câu 1: Chứng minh rằng 333 222 111 2 33333 22222 11111 )1( cba cba cba x cbxaxba cbxaxba cbxaxba = ++ ++ ++ Câu. về một số cấu trúc đại số 1.1 Tập hợp 1.2 ánh xạ 1.3 Sơ lợc về Logíc mệnh đề 1.4 Quan hệ 1.5 Nhóm, Vành, Trờng 1.6 Trờng số phức C 1. Biểu diễn của số phức 2. Các phép toán trên tập các số. Cho M là tập các hàm số có dạng f(x)=a cosx+b sinx+c Với phép cộng hai hàm số và phép nhân hàm số với một số thông thờng, chứng minh M là không gian tuyến tính trên R. Tìm số chiều và cơ sở của