Sở giáo dục và đào tạo phú thọ kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên hùng vơng năm học 2009-2010 Môn: Toán ( Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 01 trang) Cõu 1(2 im). Cho phng trỡnh 2 2( 1) 2 4 0x m x m + = (trong ú m l tham s) a) Chng minh rng phng trỡnh ó cho luụn cú hai nghim phõn bit. b) Gi 1 2 ;x x l hai nghim ca phng trỡnh. Tỡm biu thc 2 2 1 2 P x x= + t giỏ tr nh nht. Cõu 2(2 im). a) Gii phng trỡnh: 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2x x x x x x x+ + + + = + + + b) Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 4 4 1 4 3 1 x x y x xy y + = + = Cõu 3(2 im). a) Chng minh vi mi s , ,a b c ụi mt phõn bit ta cú: 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) bc ca ab a b a c b a b c c a c b + + = b) Cho ba s , ,a b c ụi mt phõn bit. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c P b c c a a b = + + Cõu 4(3 im). Hai ng trũn 1 2 ( ),( )O O ct nhau ti hai im phõn bit ,A B . ng thng vuụng gúc vi AB ti B ct li 1 ( )O ti C v ct li 2 ( )O ti D. Mt ng thng quay quanh B ct cỏc ng trũn 1 2 ( ),( )O O theo th t ti giao im th hai ,E F . a) Chng minh t s AE AF khụng i. b) Cỏc ng thng ,EC DF ct nhau ti .G Chng minh rng t giỏc AEGF ni tip. c) Chng minh rng, khi ng thng EF quay xung quanh B thỡ tõm ng trũn ngoi tip t giỏc AEGF luụn thuc mt ng trũn c nh. Cõu 5(1 im). Trong mt phng cho 2009 im, sao cho ba im bt k trong chỳng l nh ca mt tam giỏc cú din tớch khụng vt quỏ 1. Chng minh rng tt c cỏc im ó cho nm trong mt tam giỏc cú din tớch khụng ln hn 4. Ht Chỳ ý: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H tờn thớ sinh SBD S GIO DC V O TO PH TH Đề chính thức KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chuyên Tin học) Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) (0.5đ) + Phương trình đã cho có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ' 1 1 2 4 4 5 2 1 0m m m m m m∆ = − − × − = − + = − + > ∀ 0.25 + Do đó, với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 0.25 b) (1.5đ) + Gọi 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình. Khi đó, theo định lý Viet, ta có ( ) 1 1 1 2 2 1 , 2 4x x m x x m+ = − = − 0.5 + Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 1 2 2 4 4 12 12 x x x x x x m m m m + = + − = − − − = − + 0.25 + Biểu diễn ( ) 2 2 2 3 4 12 12 4 3 3 4 3 3 2 3 " " 2 m m m m m m   − + = − + = − + ≥  ÷   = ⇔ = 0.5 + Kết luận 0.25 2 a) (1đ) + Điều kiện 3 2 2 2 3 3 0 2 0 0 3 0 2 2 0 x x x x x x x x  + + + ≥  ≥  ⇔ ≥  + ≥   + ≥  0.25 + Viết lại phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 3 2 1 2 3 1 1 0x x x x x x x x x+ + + = + + + ⇔ − + + − = 0.25 + Phương trình 2 2 2 3 0 2 3 0x x x x− + = ⇔ − + = vô nghiệm. + Phương trình 1 1 0 0x x+ − = ⇔ = 0.25 + Kết luận nghiệm 0.25 b) (1đ) Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 0 2 1 y x x y x y y x = +  − + + + = ⇔  = − −  0.25 + Nếu 2 1y x = + , thay vào phương trình thứ hai, được 2 2 2 0 4 3 (2 1) (2 1) 1 2 0 1 2 x x x x x x x x =   − + + + = ⇔ + = ⇔  = −  Với 0x = thì 1.y = Với 1 2 x = − thì 0y = 0.25 + Nếu 2 1y x = − − , thay vào phương trình thứ hai, được 2 2 2 0 4 3 ( 2 1) ( 2 1) 1 14 7 1 2 x x x x x x x x =   − − − + − − = ⇔ + ⇔  = −  Với 0x = thì 1.y = − Với 1 2 x = − thì 0y = 0.25 Vậy hệ đã cho có các nghiệm ( ) ( ) 1 ; 0; 1 , ;0 2 x y   = ± −  ÷   0.25 3 a) (1đ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) bc ca ab VT a b a c a b b c a c b c = − + − − − − − − 0.25 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) bc b c ca a c ab a b a b b c a c − − − + − = − − − 0.25 2 2 2 2 ( ) ( )( )( ) b c bc ca ac ab a b a b b c a c − − + + − = − − − 0.25 ( )( )( ) 1 ( )( )( ) a b b c a c VP a b b c a c − − − = = = − − − với a,b,c đôi một khác nhau 0.25 b) (1 đ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c ab bc ca P b c c a a b b c c a c a a b a b b c     = + + − + +     − − − − − − − − −     0.25 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c bc ca ab P b c c a a b a b a c b c b a c a c b     = + + + + +  ÷  ÷ − − − − − − − − −     0.25 2 2.1 2 a b c P b c c a a b   = + + + ≥  ÷ − − −   0.25 Dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại a = -1; b = 0; c = 1, vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt được khi a = -1; b = 0; c = 1. 0.25 4 a) (1đ) I G F D C A B O 1 O 2 E 0.25 Xét hai tam giác ,ACD AEF ta có • · · · · AEF AEB ACB ACD = = = (cùng chắn cung » AB của 1 ( )O ) • · · · · AFE AFB ADB ADC = = = (cùng chắn cung » AB của 2 ( )O ) Suy ra AEF ACD ∆ ∆ : . 0.5 Do đó 1 2 RAE AC const AF AD R = = = 0.25 b) (1đ) Do CD AB ⊥ nên AC là đường kính của 1 ( )O và AD là đường kính của 2 ( )O 0.25 Suy ra · · 0 90AEG AEC = = , và · · 0 90AFG AFD= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0.5 Từ đó, tứ giác AEGF có · · 0 90AEG AFG = = do đó nội tiếp trong đường tròn đường kính AG 0.25 c) (1đ) Chứng minh tương tự phần 2, cũng được tứ giác ACGD nội tiếp. 0.25 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEGF. Khi đó I là trung điểm AG 0.25 Suy ra 1 2 || , ||IO CG IO DG Từ đó · · · · 0 0 1 2 180 180AO I ACG ADG AO I = = − = − . Từ đó, do 1 2 ,O O khác phía với AI suy ra tứ giác 1 2 AO IO nội tiếp, hay ( ) 1 2 I AO O ∈ cố định. 0.5 5 1 đ A' B' C' A B C P P' Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S). Khi đó 1S ≤ . 0.25 Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng này giới hạn nên một tam giác ' ' 'A B C (hình vẽ). Khi đó ' ' ' 4 4 A B C ABC S S= ≤ . Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác ' ' 'A B C 0.25 Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác ' ' ',A B C chẳng hạn như trên hình vẽ. Khi đó ( ) ( ) ; ;d P AB d C AB > , suy ra PAB CAB S S> , mâu thuẫn với giả thiết tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 0.25 Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có diện tích không lớn hơn 4. 0.25 Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa. . đào tạo phú thọ kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên hùng vơng năm học 2009-2010 Môn: Toán ( Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. (Đề thi có 01 trang) Cõu. coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H tờn thớ sinh SBD S GIO DC V O TO PH TH Đề chính thức KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chuyên. C AB > , suy ra PAB CAB S S> , mâu thuẫn với giả thi t tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 0.25 Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có