Chơng 3 Không gian tuyến tính 3.1 Khái niệm về không gian tuyến tính A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa : Cho một tập E và một trờng K. E đợc gọi là một không gian tuyến tính trên K nếu thoả mãn 3 yêu cầu sau: (i) Có một phép hợp thành, gọi là phép cộng, ứng hai phần tử x,yE với một phần tử xác định z=x+yE. (ii) Một phép hợp thành, gọi là phép nhân một phần tử với một số, ứng một phần tử xE và một số K với một phần tử xác định u=.xE. (iii) Hai phép toán trên thoả mãn 8 tiên đề sau: 1. Tính giao hoán: x+y=y+x 2. Tính kết hợp: (x+y)+z=x+(y+z) 3. E, xE: x+=+x=x 4. xE, x (hay x)E: x+x=x+x= 5. xE: 1.x=x Với mọi số ,àK, và x,yE: 6. (à.x)=(à).x 7. (+à).x=.x+àx 8. (x+y)=x+y Chú ý: Một tập E với hai phép hợp thành không phải là không gian tuyến tính nếu: 1. Hoặc thực hiện hai phép toán không cho phần tử của E. 2. Hoặc một trong 8 tiên đề không thoả mãn. 2. Các tính chất Trong mỗi không gian tuyến tính E: 1. Phần tử trung hoà là duy nhất. 2. Với mỗi x phần tử đối -x là duy nhất. 93 3. Với mọi x đều có: 0.x= 4. Với mọi x thì (-1).x là phần tử đối của x 3. Hệ quả 1. Từ tính chất 4 ta gọi hiệu x và y là phần tử: z=x-y=x+(-y) 2. Quy tắc chuyển vế: Nếu x+y=z thì x=z-y 3. Quy tắc giản ớc: Từ x+z=y+z suy ra x=y 4. Từ t.x= suy ra hoặc t=0, hoặc x=. B. Bài tập 1. Kiểm tra các tập sau là không gian tuyến tính a. Tập các ma trận cấp mxn: E={A=(a ij ) m ì n }với hai phép toán: A+B=(a ij +b ij ) m ì n t.A=(t.a ij ) m ì n b. Tập R n với hai phép toán x+y=(x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 , ,x n +y n ) t.x=(tx 1 ,tx 2 , ,tx n ) c. Trên tập các đa thức với các hệ số thực bậc tuỳ ý P(t)={x(t)=a 0 +a 1 t+ +a m t m } Với hai phép toán: x+y=(a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )t+ k.x=ka 0 +ka 1 t+ d. Xét tập các đa thức với các hệ số thực bậc không quá n P n (t)={x(t)=a 0 +a 1 t+ +a n t n } Với hai phép toán: x+y=(a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )t+ +(a n +b n )t n k.x=ka 0 +ka 1 t+ +ka n t n e. Tập L[a,b] các hàm f(x) liên tục trên [a,b]R, với các phép toán (f+g)(x)=f(x)+g(x) (f)(x)=.f(x) f. Tập C các số phức, trên trờng số thực R với hai phép toán: u=a+bi và v=c+di u+v=(a+c)+i(b+d) t.u=ta+i.tb (tR) g. Tập E={x=(x 1 , ,x n )R n :x 1 + +x n =0}với hai phép toán x+y=(x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 , ,x n +y n ) 94 tx=(tx 1 ,tx 2 ,,tx n ) 2. Chứng tỏ các tập sau không là không gian tuyến tính a. Tập E ={x=(x 1 ,x 2 , ,x n )R n : x 1 +x 2 + +x n =1} với hai phép toán: x+y=(x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 , ,x n +y n ) tx=(tx 1 ,tx 2 , ,t x n) b. R 3 với các phép toán (x,y,z)+(x,y,z)=(x+x,y+y,z+z) t(x,y,z)=(tx,y,z) c. Cho E={A,B,C,O} với các phép hợp thành nh sau: A+B=B+A=C, B+C=C+B=A, C+A=A+C=B A+A=B+B=C+C=O+O=O A+O=O+A=A, B+O=O+B=B, C+O=O+C=C t.A=A, t.B=B, t.C=C, t.O=O t0 0.A=0.B=0.C=0.O=O 3. Với các phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với một số trong K n chứng tỏ các tập sau là không gian tuyến tính a. E={x=( x 1 ,x 2 , , x n )K n : x 1 =x 2 = =x n } b. E={x=( 0,x 2 , , x n )R n : x 2 + +x n =0} c. E={x=( x 1 ,x 2 , , x n )R n : x 1 =x n =0} d. E={x=( x 1 ,x 2 , , x n )R n : x 1 +x n =0} 4. Các tập sau không là không gian tuyến tính, vì sao? a. E={x=( x 1 ,x 2 , , x n )R n : x 1 =x 2 = =x n =1} b. E={x=( x 1 ,x 2 , , x n )R n : x 1 +x 2 =1} c. E={x=( x 1 ,x 2 , , x n )R n : x 1 >0} d. E={x=( x 1 ,x 2 , , x n )R n : x 1 >0,x 2 >0, ,x n >0} e. E={x=( x 1 ,x 2 , , x n )R n : x 1 <x 2 < <x n } f. E={x=( x 1 ,x 2 , , x n )R n : x 1 <x 2 < <x n } 5. Với các phép toán cộng hai hàm và tích của một hàm với một số: (f+g)(x)=f(x)+g(x); (tf)(x)=tf(x) Chứng tỏ các tập sau là không gian tuyến tính a. E là tập các hàm f(x) bị chặn trên [a,b]. b. E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a)=f(b)=0. c. E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a)+f(b)=0 d. E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a).f(b)=0 95 Các hàm sau không là không gian tuyến tính, vì sao? e. E là tập các hàm đơn điệu trên [a,b]. f. E là tập các hàm đơn điệu tăng trên [a,b]. g. E là tập các hàm f(x) không âm trên [a,b]. h. E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a)=f(b)=1 i. E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a)+f(b)=1 k. E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a).f(b)=1 6. Với phép cộng hai ma trận và phép nhân một số với một ma trận chứng tỏ các tập sau là không gian tuyến tính a. E={A=(a ij ) nxn : a ii =0; i=1,2, n} b. E={A=(a ij ) nxn : a ij =a ji } c. E={A=(a ij ) nxn : a ij =-a ji } d d. E={A=(a ij ) mxn : a ij j n = = 0 1 ; i=1, ,m} e. E={A=(a ij ) nxn : a ii i n = = 0 1 } Các tập sau không là không gian tuyến tính, vì sao? f. E={A=(a ij ) nxn : a b ii i n = = 1 }b0 g. E={A=(a ij ) mxn : a ij 0} 7. Chứng tỏ rằng R 3 với các phép toán sau không là không gian tuyến tính a. (x,y,z)+(x,y,z)=(x+x+1,y+y,z+z) t(x,y,z)=(tx,ty,tz) b. (x,y,z)+(x,y,z)=(x+y,y+z,z+x) t(x,y,z)=(tx,ty,tz) c. (x,y,z)+(x,y,z)=(x+x,y+y,z+z) t(x,y,z)=(tx+1,ty,tz) 8. E là tập các dãy vô hạn có giới hạn hữu hạn {x n }, x n R với các phép toán: {x n }+{y n }={x n +y n }; t{x n }={tx n } Chứng tỏ rằng E là không gian tuyến tính. 9. Ta gọi chuỗi luỹ thừa là biểu thức có dạng a x n n n = = 0 a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n + Chứng tỏ rằng với hai phép toán 96 (i) a x n n n= 0 + b x n n n = = 0 ( )a b x n n n n + = 0 (ii) t a x n n n ( ) = = 0 ta x n n n= 0 các chuỗi luỹ thừa là một không gian tuyến tính. 10. Ta gọi chuỗi lợng giác là biểu thức có dạng a a nx b nx n n n 0 1 2 + + = ( cos sin ) Chứng tỏ rằng với hai phép toán a a nx b nx n n n 0 1 2 + + = ( cos sin ) + a a nx b nx n n n ' ( ' cos ' sin ) 0 1 2 + + = = a a a a nx b b nx n n n n n 0 0 1 2 + + + + + = ' ( ' ) cos ( ' ) sin ) t a a nx b nx n n n { ( cos sin )} 0 1 2 + + = = ta ta nx tb nx n n n 0 1 2 + + = ( cos sin ) các chuỗi lợng giác là một không gian tuyến tính. 11. Chứng tỏ rằng tập các số ảo R i ={z=ib} với phép cộng hai số phức là không gian tuyến tính trên trờng số thực R nhng không là không gian tuyến tính trên trờng số phức. 12. Chứng tỏ rằng tập các đa thức có bậc không vợt quá n với phép nhân hai đa thức và phép nhân một đa thức với một số không phải là không gian tuyến tính. C. Lời giải, đáp số hoặc hớng dẫn 1. a. Trên E={A=(a ij ) m ì n } các phép toán A+B=(a ij +b ij ) m ì n và t.A=(t.a ij ) m ì n đều đóng trên E. Kiểm tra 8 tiên đề: 1. Do tính giao hoán của phép cộng hai ma trận. 2. Do tính kết hợp của phép cộng hai ma trận. 3. Phần tử của E là ma trận không cấp mxn ta có: A+=+A=A 4. Phần tử đối của A là -A=(-a ij ) m ì n ta có: A+(-A)= 5. 1.A=(1.a ij ) m ì n =(a ij ) m ì n 6. (àA)=(àa ij ) m ì n =à(a ij ) m ì n =(à)A 7 (+à)A=((+à)a ij ) m ì n =(a ij ) m ì n +(àa ij ) m ì n =A+àA 97 8. (A+B)=(a ij +b ij ) m ì n =(a ij ) m ì n +(b ij ) m ì n =A+B Vậy 8 tiên đề đều thoả mãn, hay E là không gian tuyến tính. b. Hiển nhiên hai phép toán: x+y=(x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 , ,x n +y n ) t.x=(tx 1 ,tx 2 , ,tx n ) đóng trên R n , phần tử trung hoà =(0,0, ,0) và phần tử đối của x=(x 1 ,x 2 , ,x n ) là -x=(-x 1 ,-x 2 , ,-x n ) và thoả mãn 8 tiên đề , vậy nó là một không gian tuyến tính. c. Hiển nhiên hai phép toán: x(t)+y(t)=(a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )t+ +(a i +b i )t i + x(t)=a 0 +a 1 t+ +a m t m đóng trên p(t). Với phần tử là đa thức đồng nhất không, phần tử đối của x(t) là -x(t), dễ dàng kiểm tra 8 tiên đề thoả mãn. d. Xét tập các đa thức với các hệ số thực bậc không quá n P n (t)={x(t)=a 0 +a 1 t+ +a n t n } Vì tổng của hai đa thức bậc không quá n và tích của một số với một đa thức bậc không quá n là một đa thức bậc không quá n nên P n (t) là không gian tuyến tính. e. Hiển nhiên hai phép toán: (f+g)(x)=f(x)+g(x) (f)(x)=.f(x) toán đóng trên L([a,b]). Với phần tử là hàm đồng nhất không, phần tử đối của f(x) là f(x), dễ dàng kiểm tra 8 tiên đề thoả mãn, vậy L([a,b]) là không gian tuyến tính. f. Với tR, hiển nhiên hai phép toán: u+v=(a+c)+(b+d)i t(a+bi)=(ta)+(tb)i đóng trên C. Dễ dàng kiểm tra 8 tiên đề thoả mãn nên C là không gian tuyến tính trên trờng R. g. Tập E ={x=(x 1 ,x 2 , ,x n )R n : x 1 +x 2 + +x n =0} Với x=(x 1 ,x 2 , ,x n ), y=(y 1 ,y 2 , ,y n ) E ta có x+y= (x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 , ,x n +y n ) và (x 1 +y 1 )+(x 2 +y 2 )+ +(x n +y n )=0 tx=(tx 1 ,tx 2 , ,tx n ) và tx 1 +tx 2 + +tx n =0 tR 98 Nh vậy hai phép toán đóng trên E. Dễ dàng kiềm tra 8 tiên đề đều thoả mãn. Nên E là một không gian tuyến tính. 2.a. Tập E ={x=(x 1 ,x 2 , ,x n )R n : x 1 +x 2 + +x n =1} không là không gian tuyến tính vì: 0.x= (0x 1 ,0x 2 , ,0x n ) =(0,0, ,0) Do 0+ +0=01 nên phép nhân với một số không đóng trên E. b. R 3 với các phép toán (x,y,z)+(x,y,z)=(x+x,y+y,z+z) t(x,y,z)=(tx,y,z) không là không gian tuyến tính vì tiên đề 7 không thoả mãn: (t+k)(x,y,z)=((k+t)x,y,z)t(x,y,z)+k(x,y,z)=((k+t)x,2y,2z) c.Hai phép toán đóng trên E, nhng tiên đề 7 không thoả mãn. Thật vậy: (+à).A=A, .A+à.A=A+A=O Vậy E không phải là không gian tuyến tính. 3. Dễ dàng kiểm tra theo định nghĩa. 4. a. Phép cộng không đóng b. Phép cộng không đóng. c. Phép nhân không đóng. d.Phép nhân không đóng. e e. Phép nhân không đóng. f. Phép cộng không đóng. 5. a,b,c,d: Kiểm tra thoả mãn định nghĩa. e. Phép cộng hai hàm không đóng trên E, chẳng hạn y 1 =x 3 và y 2 =x là hai hàm đơn điệu nhng y 1 -y 2 không đơn điệu. f. Cả hai phép toán cộng và nhân đều không đóng trên E g. Phép nhân không đóng. h. Phép cộng không đóng. i. Phép cộng không đóng . k. Phép nhân không đóng . 6. f. Cả hai phép toán đều không đóng trên E. g. Cả hai phép toán đều không đóng trên E. 7. a. Tiên đề 3 không thoả mãn (x,y,z)+(0,0,0)(x+1,0,0) b. Tiên đề 1 không thoả mãn (x,y,z)+(x,y,z)(x,y,z)+(x,y,z) c. Tiên đề 5 không thoả mãn 1(x,y,z)(x,y,z) 8. Dễ dàng kiểm tra theo định nghĩa với: n n n n nn n yxyx +++ +=+ limlim}{lim n n n n xttx ++ = lim}{lim , ={0}, -{x n }={-x n } 99 9. Dễ dàng kiểm tra theo định nghĩa. 10. Dễ dàng kiểm tra theo định nghĩa. 11. R i không là không gian tuyến tính trên C vì tích của hai số ảo là một số thực. 12. Vì tích của hai đa thức bậc nhỏ hơn n có thể là một đa thức bậc lớn hơn n. 3.2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính A. Tóm tắt lý thuyết 1. Hệ độc lập tuyến tính và hệ phụ thuộc tuyến tính Cho E là một không gian tuyến tính trên trờng K. Định nghĩa : Véc tơ x đợc gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ n véc tơ {a 1 ,a 2 , ,a n } nếu tồn tại các số t 1 ,t 2 , ,t n K để x=t 1 a 1 +t 2 a 2 + +t n a n = t a i i i n = 1 Định nghĩa : Hệ n véc tơ {a 1 ,a 2 , ,a n } gọi là độc lập tuyến tính nếu từ: t 1 a 1 +t 2 a 2 + +t n a n = kéo theo t 1 =t 2 = =t n =0. Hệ phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính, hay tồn tại các số t 1 ,t 2 , ,t n K không đồng thời bằng 0 để t 1 a 1 +t 2 a 2 + +t n a n =. 2. Điều kiện phụ thuộc tuyến tính Định lý : Hệ {a 1 , ,a n } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại. Hệ quả 1. Hệ có hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính. 2. Mọi hệ chứa véc tơ đều phụ thuộc tuyến tính. 3. Hệ có hai phần tử tỷ lệ thì phụ thuộc tuyến tính 4. Hệ con của hệ độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 3. Hệ con độc lập tuyến tính cực đại và hạng Định nghĩa : Cho U={u 1 ,u 2 , ,u n } là hệ gồm n véc tơ của E. Nếu hệ con V={u j1 , ,u jr } U độc lập tuyến tính, và thêm bất kỳ véc tơ u k U vào hệ con đó đều đợc một hệ phụ thuộc tuyến tính thì V đợc gọi là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U. 100 Hệ quả : Nếu V={u j1 , ,u jr }là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U={u 1 ,u 2 , ,u n } thì mọi xU đều biểu diễn tuyến tính duy nhất qua hệ con đó. Định lý : Với hệ hữu hạn các véc tơ U={u 1 ,u 2 , ,u n } thì số phần tử của mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U đều bằng nhau và số đó gọi là hạng của hệ U, ký hiệu r(U). 4. Cơ sở của không gian tuyến tính Định nghĩa : 1. Một hệ véc tơ trong E đợc gọi là một hệ sinh nếu mọi véc tơ của E đều biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ đó. Nếu {u 1 , ,u n } là một hệ sinh của E, ký hiệu: E=L{u 1 , ,u n } 2. Một hệ sinh độc lập tuyến tính trên E gọi là cơ sở của E. Nh vậy muốn chứng tỏ một hệ là cơ sở ta phải chứng minh: a. Hệ là hệ sinh b. Hệ độc lập tuyến tính. 5. Chiều của một không gian tuyến tính Định nghĩa : Cho E là không gian tuyến tính trên trờng K 1. Nếu E có cơ sở gồm hữu hạn n phần tử thì E là không gian hữu hạn chiều, và n gọi là số chiều của E, ký hiệu dim(E)=n. Nếu E={} thì dim(E)=0. 2. Nếu với mọi số tự nhiên n trong không gian tuyến tính E đều có một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính, nhng hệ đó không phải là hệ sinh thì E là không gian tuyến tính vô hạn chiều. Chúng ta chỉ xét các không gian tuyến tính hữu hạn chiều. 6. Toạ độ của véc tơ Định lý : Điều kiện cần và đủ để hệ I={e 1 , e 2 , , e n } lập thành một cơ sở của không gian tuyến tính E trên trờng K là với mọi xE tồn tại duy nhất các số x 1 , x 2 , , x n K sao cho: x= x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n bộ n số (x 1 ,x 2 , ,x n ) gọi là toạ độ của x trên cơ sở I, và ký hiệu: x= x x x n 1 2 hoặc x=( x 1 ,x 2 , , x n ) 101 x i là chiếu của x trên e i (i=1,2, ,n). Nh vậy toạ độ của x trên I là một phần tử của K n . 7. Biểu thức các phép toán qua toạ độ x,yE trên cơ sở I={ e 1 , e 2 , , e n } x+y= x y x y x y n n 1 1 2 2 + + + , tx= = tx tx tx n 1 2 8. Ma trận của một hệ véc tơ Định nghĩa : Giả sử hệ p véc tơ { a 1 , a 2 , , a p } trong cơ sở I={ e 1 , e 2 , , e n } có toạ độ: a 1 = a a a n 11 21 1 a 2 = a a a n 12 22 2 a p = a a a p p np 1 2 khi đó A= a a a a a a a a a p p n n np 11 12 1 21 22 2 1 2 gọi là ma trận của hệ véc tơ {a 1 ,a 2 , ,a p } trong cơ sở I. Định lý : Hạng của một hệ véc tơ bằng hạng ma trận của hệ. Ma trận của hệ cơ sở I={ e 1 , e 2 , , e n } trên chính nó là một ma trận đơn vị cấp n. Một hệ cơ sở mà ma trận của nó là ma trận đơn vị gọi là hệ cơ sở chính tắc. 9. Biểu thức của tổ hợp tuyến tính dới dạng toạ độ Cho hệ p véc tơ A={a 1 ,a 2 , ,a p } với ma trận A và véc tơ b: A= a a a a a a a a a p p n n np 11 12 1 21 22 2 1 2 b= b b b n 1 2 với b là một tổ hợp tuyến tính của hệ A. b= t 1 a 1 +t 2 a 2 + +t p a p dới dạng toạ độ là hệ phơng trình: 102 [...]... tx+syE 124 2 Không gian con sinh bởi một tập Mệnh đề: Cho E là không gian tuyến tính trên trờng K khi đó tập L{X} mọi tổ hợp tuyến tính của tập con không rỗng hữu hạn X là không gian con của E, hơn nữa L{X} là không gian con nhỏ nhất chứa X Ta gọi X là tập sinh của L{X}, và L{X} là không gian con sinh bởi tập X hay bao tuyến tính của tập X 3 Cơ sở và chiều của không gian sinh Định lý: Không gian con sinh... phụ thuộc tuyến tính Vậy {a 1, a2} là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại và hạng của hệ r(U)=2 3 a Phụ thuộc tuyến tính b Phụ thuộc tuyến tính c t1a1+ +tnan=(t1+ +tn)b1+ +tnbn=t1= =tn=0 nên hệ độc lập tuyến tính d t1a1+ +tn-1an-1+tnan=t1b1+ +(tn-1+tn)bn1+ttnbn=t1= =tn=0 chỉ khi t0 hay t0 hệ độc lập tuyến tính, t=0 hệ phụ thuộc tuyến tính, 4 x=-69a+43b+15c 5 x=2a+b+2c+d 6 a Độc lập tuyến tính b a=10b+7c... con độc lập tuyến tính cực đại của A đều là cơ sở của L{A} Hệ quả: Nếu {a1,a2, ,am } có ma trận A thì mọi hệ con ứng với một hệ các cột cơ sở của A đều là cơ sở của L{A} 4 Giao của một họ không gian con Mệnh đề: Trong không gian tuyến tính E, giao của hai không gian con bất kỳ E1 và E2 của E cũng là một không gian con Ta thấy giao của một họ bất kỳ các không gian con cũng là một không gian con Hệ quả... dim(E1E2)=dim(E1)+dim(E2) 2 E1,E2 là hai không gian con của không gian tuyến tính n chiều E, nếu: E1E2={} và dim(E1)+dim(E2)=dim(E) thì E= E1E2 125 6 Không gian véc tơ thơng a Lớp tơng đơng Giả sử E1 là một không gian con của không gian véc tơ E trên trờng K Khi đó quan hệ trong E nh sau: a b a-bE1 có các tính chất: 1 Tính phản xạ: a a 2 Tính đối xứng: a bb a 3 Tính bắc cầu: a b và b c a c nên... Hệ quả 1 aE1 thì a=E1 do đó E1= 2 ba thì b=ahay mỗi lớp tơng đơng không phụ thuộc vào đại diện b Không gian thơng Định lý: Tập E/E1 với các phép toán 1 a+b=a+b 2 ta=ta tK là một không gian tuyến tính trên K, gọi là không gian thơng (của E chia cho E1) c Cơ sở và chiều của không gian thơng Định lý: Nếu E1 là một không gian con của không gian hữu hạn chiều E thì : dim(E/E1)=dim(E)-dim(E1) Nếu W={1,2, ,q}là... 1 2 3 Trong không gian tuyến tính E trên trờng K cho hệ 1 2 {a ,a ,an} Hệ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính nếu a Véc tơ không {a1,a2 ,an} b Trong hệ có hai véc tơ bằng nhau c a1=b1,a2=b1+b2, ,an=b1+ +bn và hệ {b1,b2 ,bn} độc lập tuyến tính d a1=b1, , an-1=bn-1,an=bn-1+tbn với tK và hệ {b1,b2 ,bn} độc lập tuyến tính 4 Trong R3 chứng tỏ rằng x=(6,2,7) là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ:... không gian các đa thức 1 2 1 0 0 1 e a= c= 0 1 b= 1 1 1 2 trên không gian các ma trận vuông cấp hai 7 Trong không gian các hàm số thực trên R các hàm sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính a {f1(t)=3t, f2(t)=5+t, f3(t)=4t2} b {f1(t)=1, f2(t)=et, f3(t)=e-t} d {f1(t)=1, f2(t)=sin(t), f3(t)=cos(t)} 8 Tìm một cơ sở của không gian M2x3 các ma trận cấp 2x3 9 Gọi M2x2 là không gian. .. hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ gồm r phần tử và các cột cơ sở của A tuơng ứng với các véc tơ của hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ 2 Trong không gian tuyến tính n chiều E, A là ma trận của hệ n véc tơ {a1,a2, ,an}, khi đó nếu r(A)=n hay det(A)0 thì hệ là một cơ sở của E 10 Bổ sung hệ độc lập tuyến tính thành cơ sở Hệ quả : Nếu A={ a1,a2, ,ap } là một hệ độc lập tuyến tính và I={ e1,... hợp tuyến tính của các véc tơ a=(1,2,-1,-2) b=(2,3,0,-1) c=(1,2,1,3) d=(1,3,-1,1) 6 Với bộ ba các véc tơ sau, xác định xem trong trờng hợp nào chúng phụ thuộc tuyến tính, trong trờng hợp nào chúng độc lập tuyến tính a a=(1,2,1) b=(2,0,-3) c=(1,-1,0) trên R3 b a=4-3i b=-1-i c=2+i trên không gian các véc tơ phức c a= ex, b=cosx, c=sinx trên không gian các hàm liên tục d a=x-1, b=x2+1, c= x2-2x+1 trên không. .. E={A=(aij) 3ì3: a i =1 ii = 0} 19 Chứng tỏ rằng nếu I={e1,e2, ,en} là cơ sở của không gian n tuyến tính E trên trờng K và trong tổ hợp tuyến tính a= xi ei có i =1 106 chỉ số k để xk0 thì hệ W={e1, ,ek-1,a,ek+1, , en} cũng là một cơ sở của E 20 Tìm cơ sở và chiều của không gian các véc tơ phức C trên trờng số thực R 21 Trong không gian các ma trận tam giác trện cấp 2 U2x2 tìm ma trận của hệ các véc tơ sau . trong không gian tuyến tính E đều có một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính, nhng hệ đó không phải là hệ sinh thì E là không gian tuyến tính vô hạn chiều. Chúng ta chỉ xét các không gian tuyến tính. giác là một không gian tuyến tính. 11. Chứng tỏ rằng tập các số ảo R i ={z=ib} với phép cộng hai số phức là không gian tuyến tính trên trờng số thực R nhng không là không gian tuyến tính trên. Chơng 3 Không gian tuyến tính 3.1 Khái niệm về không gian tuyến tính A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa : Cho một tập E và một trờng K. E đợc gọi là một không gian tuyến tính trên K nếu