ĐỀ TÀI 5 15- Câu 1: Cho hàm z = x 2 – 2xy + 1. Tìm cực trị Giải: Ta có: z = x 2 – 2xy + 1 = f(x,y) 2 2 0 2 0 x y f x y f x ′ = − =    ′ = − =   ⇒ 0 0 x y x − =   =  ⇒ 0 0 x y =   =  Vậy điểm dừng là (0,0). Ta có: 2 2 x A f ′′ = = mà 2 AC B∆ = − 2 xy B f ′′ = = − 2 0 ( 2)= − − 2 0 y C f ′′ = = 4 0= − < ⇒ Tại (0,0) không có cực trị 24 - Câu 2: Cho hàm z = x 6 – y 5 – cos 2 x – 32y. Tìm cực trị. Giải: Ta có: z = x 6 – y 5 – cos 2 x – 32y = f(x,y) 5 4 6 2sin cos 0 5 32 0 x y f x x x f y ′ = + =   ′ = − − =   ⇒ 5 4 3 sin cos 5 32 x x x y  = −   − =   x = 0 (vì sinx và cosx đối nhau) 4 32 5 y = − (vô nghiệm) Vậy hàm z không có điểm dừng 33- Câu 3: Cho hàm z = x 2 + 4xy + 10y 2 +2x + 16y. Tìm cực trị Giải: Ta có: z = x 2 + 4xy + 10y 2 +2x + 16y = f(x,y) 2 4 2 0 4 20 16 0 x y f x y f x y ′ = + + =    ′ = + + =   ⇒ 2 1 0 5 4 0 x y x y + + =   + + =  ⇒ 1 1 x y =   = −  Vậy điểm dừng là (1,-1). Ta có: 2 2 x A f ′′ = = mà 2 AC B∆ = − 4 xy B f ′′ = = 40 16= − 2 20 y C f ′′ = = 24 0= > mà 2 0A = > ⇒ (1,-1) là điểm cực tiểu. 59 - Câu 4: Xác định cận của tích phân: I = ∫∫ D yxf ,( dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: D: x + y ≤ 1, x – y ≤ 1, x ≥ 0. Giải: Ta có ( , ) D I f x y dxdy= ∫∫ (*) Ta có: x + y ≤ 1 1y x⇒ = − x – y ≤ 1 1y x⇒ = − mà x ≥ 0 Từ (*) ( ) 1 1 0 1 , x x I dx f x y dy − − ⇒ = ∫ ∫ 68 - Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân I = 1 0 dx ∫ 3 0 ( , ) x f x y dy ∫ . Giải: Ta có: 3 3 0 1 0 1 0 1 y x y x y x ≤ ≤  ≤ ≤   ⇒   ≤ ≤ ≤ ≤    ( ) 3 1 1 1 1 3 0 0 1 y I dy dx y dy⇒ = = − ∫ ∫ ∫ 1 4 3 0 3 3 1 1 4 4 4 y y   = − = − =  ÷   78 - Câu 6: Thay đổi thứ tự tính tích phân: I = 2 2 1 ( , ) x x dx f x y dy ∫ ∫ . Giải: [ ] [ ] [ ] 1 1, 1,2 2 ,2 2,4 2 D y x y D x =   =     2 4 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) y y J K I dy f x y dx dy f x y dx= + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 442 4 43 1 4 42 4 43 y = x x = 2 x = 1 y = 2x 1 2 O x y D2 D1 x = 1 O x y D 1 -1 -1 O 1 x y y = x-1 y = 1-x 2 1 -1 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 | 1 2 1 2 2 2 2 y y J x dy y dy y       = = − = − = − − − =  ÷  ÷  ÷       ∫ ∫ 4 4 4 2 2 2 2 2 2 16 4 | 2 2 8 4 1 2 4 4 4 y y y K x dy dy y           = = − = − = − − − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           ∫ ∫ 1 3 1 2 2 I J K= + = + = 87 - Câu 7: Tính tích phân 2 1 3 0 0 3 y xy I dy y e dx= ∫ ∫ Giải: 2 1 3 0 0 3 y xy I dy y e dx= ∫ ∫ 2 1 2 0 0 3 | xy y y e dy   =   ∫ = 3 1 1 2 2 0 0 3 3 y J K y e dy y dy− ∫ ∫ 1 42 43 142 43 J = 3 1 2 0 3 y y e dy ∫ đặt 3 t y= 2 3 dt y dy⇒ = 1 1 0 0 | 1 t t J e dt e e= = = − ∫ (1) 1 2 3 1 0 0 3 | 1K y dy y= = = ∫ (2) (1)(2) → 1 1 2I e e= − − = − 105 - Câu 8: Tính cos D y I dxdy x = ∫∫ D là miền giới hạn bởi 1, 2, 0, 2 x x y y π = = = = Giải: 2 2 1 0 cos cos D y y I dxdy dy dx x x π    ÷ = =  ÷   ∫∫ ∫ ∫ 2 2 2 0 1 1 sin x dx dx x x π   = =  ÷   ∫ ∫ 2 1 ln | ln 2x= = 115 - Câu 9: Tính tích phân: ( ) 2 D I x y dxdy= + ∫∫ D là tam giác OAB với O(0,0); A(1,0); B(0,1). Giải: ( ) ( ) 1 1 0 0 2 2 2 D x y I x y dxdy dxdy + = + = ∫∫ ∫∫ O D x y A(1,0) B(0,1) O x y x = 1 x = 2 2 y π = D 1 1 1 2 0 0 0 1 2 2 x xy dy y dy     = + == +  ÷  ÷     ∫ ∫ 2 1 1 0 0 1 1 1 | | 1 2 2 2 2 y y= + == + = 125 - Câu 10: Tính tích phân: 2 2 D dxdy I x y = + ∫∫ trong đó D là hình tròn 2 2 9x y+ ≤ Giải: Ta có 0 2 φ π ≤ ≤ vì 2 2 9x y+ ≤ 0 3r ⇒ ≤ ≤ Ta đặt cos sin x r y r φ φ =   =  2 3 2 3 2 0 0 2 0 0 0 | 3 | 6 rdr I d r d r π π π φ φ φ π ⇒ = = = = ∫ ∫ ∫ Câu 11: Gọi S là diện tích miền giới hạn bởi các đường y x= và y x= . Tính S. Giải: Ta có 0 1x x y x ≤ ≤    ≤ ≤   Vậy 1 0 x D x I dxdy dy dx   = =  ÷  ÷   ∫∫ ∫ ∫ ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 | x x y dx x x dx xdx xdx= = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 2 1 1 0 0 2 2 1 1 | | 3 2 3 2 6 x x= − = − = 149 - Câu 12: Xét tích phân bội ba ( , , )f x y z dxdydz Ω ∫∫∫ trong đó Ω là miền trong không gian được giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2, tìm cận Ω . Giải: Từ hình vẽ ta có cận Ω = [0;2]x[0;2-x]x[0;2] ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 2 2 x x x I dx dy f x y z d z dydx y dx − − − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 O 2 D x yy = 2-x O x y y x= y x = 1 1 O 3 x y = ( ) 2 0 4 2 4x dx− = ∫ 159 - Câu 13: Tính tích phân bội ba z xye dxdydz Ω ∫∫∫ , trong đó Ω là miền: 0 1;0 2;0 ln3x y z≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ . Giải: ( ) 1 2 ln 3 1 2 1 2 ln 3 ln 3 0 0 0 0 0 0 0 0 | z z I xye dzdydx xye dydx xye xy dydx= = = − ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ = ( ) 2 1 1 1 2 ln 3 2 ln 3 ln 3 0 0 0 0 4 4 2 2 2 2 2 2 xy e xy xe x dx dx xe x dx     − = − = −  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ 2 ln3 2 1 ln3 0 ( ) | 1x e x e= − = − = 2 170 - Câu 14: Tính cosI xy zdxdydz Ω = ∫∫∫ , Ω là hình hộp 0 1;0 2;0 2 x y z π ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Giải: 1 2 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 cos sin |I xy zdzdydx xy z dydx xydydx π π = = = ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ = 2 1 1 2 2 1 0 0 0 0 2 | 1 2 xy dx xdx x   = = =  ÷   ∫ ∫ 180 - Câu 15: Cho Ω là phần hình trụ: 2 2 1;1 4x y z+ ≤ ≤ ≤ .Đặt ( , , )I f x y z dxdydz Ω = ∫∫∫ Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân. Giải: Ta có 2 2 1 0 1x y r+ ≤ ⇒ < ≤ Đặt cos 0 1 sin 0 2 1 4 x r r y r z z z ϕ φ φ π = < ≤     = ⇔ ≤ ≤     = ≤ ≤   Vậy I = ( ) 4 2 1 1 0 0 .cos , .sin ,f r r z dz d rdr π φ φ φ ∫ ∫ ∫ 202 - Câu 16: Tính tích phân đường ( ) C I x y dl= − ∫ , trong đó C có phương trình 1;0 1x y x+ = ≤ ≤ . Giải: Ta có: ' 1 1 1 0 1 0 1 0 1 x x y y x y x x x  + = = − = −   ⇒ ⇒    ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤    2 1 ( ) 1 1 2 x dl y dx dx dx ′ = + = + = ( ) 1 1 1 2 0 0 0 1 2 2 (2 1) 2 0I x x dx x dx x x   = − + = − = − =   ∫ ∫ 211 - Câu 17: Tính tích phân đường C I ydl= ∫ , trong đó C có phương trình 1;0 1x y x+ = ≤ ≤ . Giải: Ta có: ' 1 1 1 0 1 0 1 0 1 x x y y x y x x x  + = = − = −   ⇒ ⇒    ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤    2 1 ( ) 1 1 2 x dl y dx dx dx ′ = + = + = ( ) ( ) 1 1 1 2 0 0 0 2 1 2 2 1 2 2 2 x I x dx x dx x   = − = − = − =     ∫ ∫ Câu 18: Tính tích phân đường ( ) C I x y dl= + ∫ , trong đó C là đường biên của tam giác với các đỉnh O(0,0); A(1,0) và B(0,1). Giải: Ta có: C OA AB BO = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 1 0 1 0 2 OA x dx= + = ∫ ∫ (1) Trên AB ta có phương trình đường thẳng y = 1-x 1 x y ′ ⇒ = − 1 1 2ds dx dx⇒ = + = ( ) 1 0 1 2 2 AB x x dx= + − = ∫ ∫ (2) ( ) 1 1 2 0 0 1 0 2 2 BO y y dy= + = = ∫ ∫ (3) (1)(2)(3) 1 1 2 2 1 2 2 C ⇒ = + + = + ∫ 231 - Câu 19: Tìm độ dài cung tròn cos , sinx a t y a t= = với 6 3 t π π ≤ ≤ Giải: Ta có: cos a sin x a t y t =   =  sin cos t t x a t y a t ′ = −  ⇒  ′ =  và 6 3 t π π ≤ ≤ Ta có: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) sin cos t t ds x y dt a t a tdt adt ′ ′ = + = + = O A(1,0) x y B(0,1) 3 3 6 6 6 L ds adt at a π π π π π = = = = ∫ ∫ Câu 20: Tính 2 2 ( 2 ) (2 ) OA I y xy dx xy x dy= − + − ∫ lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(1,2). Giải: Ta có phương trình đường thẳng OA: y = 2x => dy = 2dx ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 3 0 0 0 4 4 4 2 6 2 2I x x dx x x dx x dx x= − + − = = = ∫ ∫ 257 - Câu 21: Cho C là biên của hình chữ nhật D = [-1;1] x [0;2]. Tính sin cos C I y xdx xdy= − ∫Ñ Giải: Áp dụng công thức Green: Ta có sin sin cos sin y x P x P y x Q x Q x ′ =  =   ⇒   = − ′ =    ( ) sin sin 0 C D I Pdx Qdy x x dxdy= + = − + = ∫ ∫∫Ñ 267 - Câu 22: Cho C là biên của hình chữ nhật 1 3;0 3x y≤ ≤ ≤ ≤ . Tính tích phân đường loại 2. ( ) ( ) 2 2I x y dx x y dy= + + − ∫ Giải: Áp dụng công thức Green: Ta có 2 2 2 1 y x P P x y Q x y Q ′ =  = +   ⇒   = − ′ =    ( ) ( ) 3 3 3 1 0 1 2 1 3 3.2 6 C D I Pdx Qdy dxdy dx dy dx= + = − + = − = − = − = − ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫Ñ (Từ câu 23 đến câu 28 là nội dung của Tích phân Mặt, bỏ) 385 - Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 0xydx dy+ = Giải: Ta có 2 0xydx dy+ = (*) Khi 0y ≠ chia 2 vế cho y. Từ ( ) * 2 0 dy xdx y ⇒ + = 2 0 dy xdx y ⇔ + = ∫ ∫ 2 ln | | 0x y⇔ + = (nghiệm tổng quát) 397 - Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 y y y x x ′ = − Giải: Ta có 2 y y y x x ′ = − (*) Đặt . y u y u x y u x u x ′ ′ = ⇒ = ⇒ = + Từ (*) 2 u x u u u ′ ⇒ + = − 2 du x u dx ⇔ = − 2 du dx u x ⇔ = − 2 1 ln | | dx u du u x x − − ⇔ = − ⇔ − = − ∫ ∫ 1 ln | | ln | | x x x C u y ⇔ = ⇔ = + (nghiệm tổng quát) 413 - Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: ( ) ( ) 2 1 1 0y tgx tg x y ′ + − + = Giải: Ta có: ( ) ( ) 2 1 1 0y tgx tg x y ′ + − + = (*) Khi 1 4 tgx x π ≠ − ⇔ ≠ − , chia 2 vế cho 1 tgx+ (*) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 tg x dx tg x dy tg x dy y y y tgx dx tgx y tgx +     + + ′ ⇒ − ⇔ = ⇔ =  ÷  ÷ + + +     ( ) { ( ) ( ) 2 1 2 1 1 tg x dy dx y tgx + ⇔ = + ∫ ∫ 1 442 4 43 (**) (1) = ln|y| (2) Đặt u = 1 + tgx ( ) 2 1du tg x dx⇒ = + ln | | ln |1 | du u tgx u ⇒ = = + ∫ Từ (**), ta có được nghiệm tổng quát: ( ) ln | | ln |1 | 1 .y tgx C y tgx C⇒ = + + ⇒ = + 425 - Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 3xy y x ′ + = Giải: Ta có: 2 3xy y x ′ + = (*) Đặt . y u y u x y u x u x ′ ′ = ⇒ = ⇒ = + Từ (*) khi 0x ≠ chia 2 vế cho x ta được 2 3 3 2 y y u x u u x ′ ′ = − ⇒ + = − ( ) 3 1 du x u dx ⇔ = − 3 1 du dx u x ⇔ = − 3 ln |1 | 3.ln | | 1 du dx u x u x ⇔ = ⇔ − − = − ∫ ∫ ln |1 | 3.ln | | y x C x ⇔ − = − + (nghiệm tổng quát) 443 - Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 4 16 0y y ′′ − = Giải: Ta có: 4 16 0y y ′′ − = (*) Phương trình đặc trưng: 2 4 16 0k − = 1 2 2 2 k k =  ⇒  = −  Phương trình vi phân (*) có 2 nghiệm phân biệt 2 2 1 2 ; x x y e y e − = = Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: 2 2 1 2 . . x x y C e C e − = + Câu 34: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: ( ) 2 2 8 12 1 x y y y e x ′′ ′ − + = − Giải: Ta có: ( ) 2 2 8 12 1 x y y y e x ′′ ′ − + = − (*) Xét phương trình thuần nhất: 8 12 0y y y ′′ ′ − + = (**) Ta có phương trình đặc trưng: 2 8 12 0k k− + = 1 2 6 2 k k =  ⇒  =  Phương trình (**) có 2 nghiệm riêng: 6 2 1 1 ; x x y e y e= = Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là ( ) ( ) 1 1 2 2 . .y C x y C x y= + (***) Trong đó ( ) 1 C x và ( ) 2 C x là nghiệm của hệ phương trình ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 . . 0 . . 1 x C y C y C y C y e x ′ ′ + =    ′ ′ ′ ′ + = −   ( ) 6 2 1 2 6 2 2 2 1 2 . . 0 6 . 2 . 1 x x x x x C e C e C e C e e x ′ ′ + =   ′ ′ + = −   Đơn giản e 2x , ta được : 4 1 2 4 2 1 2 . 0 6 . 2 1 x x C e C C e C x ′ ′ + =   ′ ′ + = −   Áp dụng định thức Wronsky, ta được ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 C x C x dx x ′ = = − − ⇒ = − − − ∫ ( ) ( ) 4 4 2 4 2 2 2 2 4 0 1 1 1 6 x x x x e C e x C e x dx x e ′ = = − ⇒ = − − ∫ Thế 1 C , 2 C vào phương trình (***), ta được: y = ( ) ( ) 6 2 2 4 2 . 1 . 1 x x x e x dx e e x dx− − + − ∫ ∫ =0 Câu 35: Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0x y y y x xy ′ + + − = Giải: Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0x y y y x xy ′ + + − = (*) Khi 0x ≠ , ta chia 2 vế cho x, từ (*) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 y y x y x y x ′ ⇒ − = − + (**) Đặt . y u y u x y u x u x ′ ′ = ⇒ = ⇒ = + Từ (**) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3u x x u x u x u x u ′ ⇔ − + = − + ; đơn giản x 2 , và nhân phân phối : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3u u x u u u u ′ ⇔ − + − = − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 1u u x u u u ′ ⇔ − = − + − − ( ) ( ) 2 2 1 2 1u u x u u ′ ⇔ − = − + ( ) 2 2 1 2 1 u dx du x u u − ⇔ = − + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 u du dx du x u u u ⇔ − = − + + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 M N u du dx du x u u u ⇔ − = − + + ∫ ∫ ∫ 1 442 4 43 1 42 43 (***) Tính M: Đặt 2 2t u dt udu= ⇒ = 2 1 1 1 ln | 1| ln | 1| 2 1 2 2 dt M t u t ⇒ = = + = + + ∫ (1) Tính N: N = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 du udu u u u u = + + ∫ ∫ Đặt 2 2t u dt udu= ⇒ = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 t dt dt t t t t + − ⇔ = + + ∫ ∫ 2 2 1 1 1 1 1 ln | | ln | 1| ln | | ln | 1| 2 1 2 2 2 2 dt dt t t u u t t   ⇔ − = − + = − +  ÷ +   ∫ ∫ (2) Thay (1) và (2) vào (***), có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ln | 1| ln | | ln | 1| ln | 1| ln | | 2 2 2 2 u u u u u+ − + + = + − Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là : 2 2 2 2 1 ln | 1| ln | | 2 y y C x x + = + Câu 36: Giải phương trình ( ) 2 2 1 1 0x y y ′′ ′ + + + = Giải: Ta có: ( ) 2 2 1 1 0x y y ′′ ′ + + + = (*), đây là dạng phương trình khuyết y: ( ) ,y f x y ′′ ′ = Nên ta đặt y p y p ′ ′′ ′ = ⇒ = [...].. .2 2 ( Từ (*) => ( 1 + x ) p ′ + p + 1 = 0 ⇒ p′ = − ⇒ 1+ p2 1 + x2 ) ⇒ dp = − ( 1 + p ) 2 dx 1 + x2 dp dx =− ⇒ arctgp = − arctgx + C ⇒ p = tg ( − arctgx + C ) 2 1+ p 1 + x2 Mà y′ = p ⇒ y = ∫ p ( x ) dx ⇒ y = ∫ tg (−acrtgx + C )dx Vậy nghiệm tổng quát của phương tình (*) là: y = ∫ tg ( −arctgx . dx= + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 4 42 4 43 1 4 42 4 43 y = x x = 2 x = 1 y = 2x 1 2 O x y D2 D1 x = 1 O x y D 1 -1 -1 O 1 x y y = x-1 y = 1-x 2 1 -1 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 | 1 2 1 2 2 2 2 y y J x dy y dy. = 2, z = 0 và z = 2, tìm cận Ω . Giải: Từ hình vẽ ta có cận Ω = [0 ;2] x[0 ; 2- x]x[0 ;2] ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 2 2 x x x I dx dy f x y z d z dydx y dx − − − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 O 2 D x yy. 1 2 1 2 1 t dt dt t t t t + − ⇔ = + + ∫ ∫ 2 2 1 1 1 1 1 ln | | ln | 1| ln | | ln | 1| 2 1 2 2 2 2 dt dt t t u u t t   ⇔ − = − + = − +  ÷ +   ∫ ∫ (2) Thay (1) và (2) vào (***), có: 2 2 2 2