Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 12Chia sẻ: xuantrung1997 | Ngày: 25062014Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 12 dưới đây trình bày kiến thức về khám phá phương pháp sử dụng đạo hàm trong bài Toán tìm cực trị của hàm nhiều biến, tài liệu cung cấp kiến thức lý thuyết, công thức và các bài tập áp dụng. Hy vọng tài liệu này sẽ hỗ trợ kiến thức cần thiết cho các em trong việc học toán đạt hiệu quả cao.
www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn A Lý chọn đề tài chọ đề Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tốn ln có mặt hầu hết kỳ thi HSG tuyển sinh Đại Học Khơng cịn tốn hay khó đề thi Trong chương trình giảng dạy học tập bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề hấp dẫn người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để cho học sinh học tốt chủ đề môt vấn đề khó Chủ đề thường dành cho học sinh giỏi nên tốn đưa thường hay khó Để chứng minh Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có nhiều phương pháp, khơng có phương pháp vạn để giải toán cực trị mà chỉ có phương pháp giải nhóm tốn mà thơi Một phương pháp hiệu dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng khảo sát biến, cách xem biến lại tham số cố định Khơng có thuật giải chi tiết cho phương pháp mà thơng qua ví dụ để HS rèn luyện để tự tìm cách giải toán cụ thể từ tìm thấy sơ đồ giải cho riêng Vì lý chúng tơi viết chuyên đề nhằm giúp học sinh có nhìn rộng phương pháp sử dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm GTLN, GTNN B Nội Dung biế biế Phương pháp đưa biến toán hai biến Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm cực trị để tìm mối quan hệ giữ chúng biể thứ cầ cự trị mố hệ giữ rồ Biế đổ giả thiế tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức cho hàm biến để khảo sát tìm phụ lý, biể thứ hàm mộ biế để khả Thí dụ 1: Cho x, y số thực thoả mãn xଶ + yଶ = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ dụ biểu thức: 2008ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ - - ܲ = 2ሺ ݔଷ + ݕଷ ሻ − 3ݕݔ ሺCao đẳng khối A, B – đẳ khố Từ giả thiết xଶ + yଶ = đưa tốn ẩn khơng? Ta nghĩ tới đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ = ሺݕ + ݔሻଶ − 2 ݔ ; ݕݔଷ + ݕଷ = ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − 2ݕ+ݕݔ Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất x ଶ + yଶ để sử dụng giả thiết Biến đổi biểu thức P vào ݔଶ + ݕଶ = ta có: ܲ = 2ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ − 3ݕݔ Từ giả thiết: ሺ ݕ + ݔሻଶ − 2= ݕݔ ⇒ = ݕݔ = 2ሺݕ + ݔሻሺ − ݕݔሻ − 3ݕݔ ሺ௫ା௬ሻమିଶ ଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt: ݕ + ݔ = ݐ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ ≥ Lời giải: giả Ta có: ሺ௫ା௬ሻమ ଶ ܲ = 2ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ − 3ݕݔ = 2ሺݕ + ݔሻሺ − ݕݔሻ − 3ݕݔ Ta có: = ݕݔ ሺ௫ା௬ሻమ ିଶ ଶ Ta có: ݔଶ + ݕଶ ≥ , sau đặt ,ݕ + ݔ = ݐthì ܲ ሺݐሻ = 2 ݐቆ2 − ሺ௫ା௬ሻమ ଶ ݐଶ − ݐଶ − ቇ−3 = − ݐଷ − ݐଶ + 63 + ݐ 2 ⇒ ሺݕ + ݔሻଶ ≤ ⇒ −2 ≤ 2 ≤ ݐ Xét hàm số: ܲ ሺݐሻ = − ݐଷ − ݐଶ + 6 + ݐvới −2 ≤ 2 ≤ ݐ ଷ ଶ Ta có: ܲ ᇱ ሺݐሻ = −3 ݐଶ − 36 + ݐ Ta có bảng biến thiên t -2 P’ሺtሻ − + ଵଷ Pሺtሻ Vậy: ଶ -7 max ሾିଶ;ଶሿ ݂ ሺݐሻ = ݂ ሺ1ሻ = ଵଷ ଶ =ݔ ;= ݕ ଶ ଶ ଵା√ଷ ଵି√ଷ ;= ݕ =ݔ ଵା√ଷ ଵି√ଷ ଶ ଶ minሾିଶ; ଶሿ ݂ ሺݐሻ = ݉݅݊ሼ݂ሺ−2ሻ; ݂ ሺ2ሻሽ = ݉݅݊ሼ−7; 1ሽ = −7 1− = ݕ = ݔ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Thí dụ 2: Cho x, y ≥ x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu dụ thức: ܵ = ሺ4 ݔଶ + 3ݕሻሺ4 ݕଶ + 3ݔሻ + 25ݕݔ 2009ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ - ሺĐại học khối D – ሺĐạ họ khố Từ giả thiết x + y = đưa tốn cho ẩn không? Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất ݕ + ݔđể sử dụng giả thiết Chú ý đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ = ሺݕ + ݔሻଶ − 2ݕݔ ݔଷ + ݕଷ = ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ Sau khai triển vào x + y = 1, ta có: ܵ = 16 ݔଶ ݕଶ − 221 + ݕݔ - Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt: ݕݔ = ݐ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: ≤ ≤ ݕݔ Lời giải: giả ሺ௫ା௬ሻమ ସ Ta có: ܵ = ሺ4 ݔଶ + 3 ݕሻሺ4 ݕଶ + 3ݔሻ + 25 ݔ61 = ݕݔଶ ݕଶ + 12ሺ ݔଷ + ݕଷ ሻ + 34ݕݔ = 16 ݔଶ ݕଶ + 12ሺ ݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ + 34ݕݔ = 16 ݔଶ ݕଶ + 12ሾሺݕ + ݔሻଶ − 3ݕݔሿ + 34ݕݔ = 16 ݔଶ ݕଶ − 221 + ݕݔ ሺ݀1 = ݕ + ݔ ሻ Đặt xy = t Ta có: ݊ ≥ ݕ ,0 ≥ ݔê݊ ≤ ≤ ݕݔ ሺ௫ା௬ሻమ ସ ሺ݀1 = ݕ + ݔ ሻ = ଵ ସ ⇒ 0≤≤ݐ ଵ ସ Xét hàm số: ݂ሺݐሻ = 16 ݐଶ − 2 21 + ݐvới ≤ ≤ ݐTa có: ݂ ᇱ ሺݐሻ = 322 − ݐ Bảng biến thiên t f’ሺtሻ fሺtሻ ଵ ସ ଵ ଵ ଵ ସ 12 − SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 + www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ଶହ ଶ Vậy: minቂ;భቃ ݂ሺݐሻ = ݂ ቀ ቁ = ଵ ଵ ర ଵଽଵ ଵ =ݔ =ݔ ଶା√ଷ ଵଽଵ ଵ ;= ݕ ସ ଶି√ଷ ;= ݕ ସ max ቂ;భቃ ݂ ሺ ݐሻ = ݉ܽ ݔቄ݂ሺ0ሻ; ݂ ቀ ቁቅ = ݉ܽ ݔቄ12; ଵ ଶହ ସ ర ଶ ଶି√ଷ ቅ= ସ ଶା√ଷ ସ ଶହ ଶ = ݕ = ݔ Thí dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: dụ ଵ ଶ 3 = ܣሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + với x, y số thoả mãn điều kiện: ሺݕ + ݔሻଷ + 4.2 ≥ ݕݔ ሺĐại học khối B – ሺĐạ họ khố 2009ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ - Vì giả thiết biểu thức phức tạp nên ta khai thác trước cho gọn để dễ sử dụng ݔଶ + ݕଶ = ሺݕ + ݔሻଶ − 2ݕݔ Chú ý đẳng thức: ݔଷ + ݕଷ = ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ ሺݕ + ݔሻଶ ≥ 4 ݕݔKhi điều kiện toán trở thành: 1 ≥ ݕ + ݔ - Ta biến đổi A sau: 3 = ܣሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + = ଶ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ଶ ሺ ݔସ + ݕସ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ଷ ≥ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ଷ ଶ hay - ଷ ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯ ሺdo ݔସ + ݕସ ≥ ସ ൫௫ మା௬ మ൯ ଶ ≥ ܣሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ଽ మ మ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ሻ ସ Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa A hàm biến số không?ሺnếu ta đặt: ݔ = ݐଶ + ݕଶ ሻ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ ≥ Lời giải: giả ሺ௫ା௬ሻమ ଶ Theo bất đẳng thức hiển nhiên: ሺݕ + ݔሻଶ ≥ 4 ,ݕݔnên từ ሺݕ + ݔሻଷ + 4 ⇒ ≥ ݕݔሺ ݕ + ݔሻଷ + ሺݕ + ݔሻଶ ≥ ሺݕ + ݔሻଷ + 42 ≥ ݕݔ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ሺݕ + ݔሻଷ + ሺݕ + ݔሻଶ ≥ ⇒ ሾሺx+yሻ-1ሿሾ ሺݕ + ݔሻଶ + ሺݕ + ݔሻ + 2ሿ ≥ ⇒ ሺx+yሻ - 1≥ ଵ ଶ ሺdo ሺݕ + ݔሻଶ + ሺݕ + ݔሻ + = ቂሺݕ + ݔሻ + ቃ + > 0, ∀ݕ ,ݔሻ ଶ ସ Bài tốn đưa tìm min, max của: 3 = ܣሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + với x, y thoả mãn: x+y ≥ Ta biến đổi A sau: 3 = ܣሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + = ଷ ଶ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ሺ ݔସ + ݕସ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ≥ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ଷ ଶ Vì ݔଶ + ݕଶ ≥ ଶ ଶ ଽ ସ ଽ ସ ᇱ ሺݐሻ ⇒݂ = 2−ݐ ଽ ସ Ta có bảng biến thiên: ସ +∞ ଽ ଽ ଵ ଵ ଶ ଵ ଽ ଵ ଵ ଶ ଶ + ଵ ଽ ଵ +∞ xẩy t = ଵ ଶ Mặt khác ta dễ thấy = ݕ = ݔthì = ܣ Tóm lại: minA = ሻ ଶ f’ሺtሻ Vậy min௧ஹభ ݂ ሺݐሻ = ݂ ቀ ቁ = ଶ ଶ మ ଵ ଽ fሺtሻ ൫௫ మା௬ మ൯ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ሺdo x+y ≥ 1ሻ nên ݔଶ + ݕଶ ≥ Ta có: ݂ሺݐሻ = ݐଶ − 2 + ݐvới ≥ ݐ t ସ మ ≥ ܣሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ − 2ሺ ݕ + ݔଶ ሻ + ሺ௫ା௬ሻమ Đặt ݕ + ݔ = ݐ ଶ Suy ≥ ܣ ଶ ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯ ሺdo ݔସ + ݕସ ≥ hay మ ଷ = ݕ = ݔ ଵ ଵ ଶ ଽ ଵ ଶ Thí dụ 4: Cho hai số thực x, y ሺkhác 0ሻ thay đổi thoả mãn điều kiện: ሺݕ + ݔሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − dụ ݕݔ Tìm giá trị lớn biểu thức: SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN =ܣ Hoạt động khám phá: Hoạ độ Gv Thái Văn Duẩn 1 + ଷ ଷ ݔ ݕ ሺĐại học khối A – 2006ሻ ሺĐạ họ khố 2006ሻ Từ giả thiết ሺݕ + ݔሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ݕݔcó thể đưa tốn ẩn khơng? Biến đổi biểu thức A, ta được: - =ܣ ሺݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ ݕ+ݔଶ 1 ଶ ݔଷ + ݕଷ ൰ = ൬ + ൰ = =൬ ݔଷݕଷ ݕݔ ݕ ݔ ݔଷݕଷ Do giả thiết biểu thức mà số mũ hạng tử vế trái lớn vế phải nên ta đặt x = ty ta rút x y theo t: ሺݕ + ݔሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ⟹ ݕݔđặt x = - ty ⟹ = ݕ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ; = ݕݐ = ݔ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ Vậy đến ta đưa A hàm biến t Đến ta khảo sát hàm biến t đến kết - Lời giải: giả Từ giả thiết, ta có: ሺ ݕ + ݔሻሺ ݔଶ − ݕ + ݕݔଶ ሻ 1 ݔଷ + ݕଷ ݕ+ݔଶ 1 ଶ ൰ = ൬ + ൰ =ܣଷ+ ଷ= = =൬ ݔଷݕଷ ݕ ݔ ݔ ݕ ݔଷݕଷ ݕݔ Đặt: ݕݐ = ݔ từ giả thiết ሺݕ + ݔሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ⟹ ݕݔሺ1 + ݐሻ ݕݐଷ = ሺ ݐଶ − 1 + ݐሻ ݕଶ đó: = ݕ Từ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ; = ݕݐ = ݔ Xét hàm số: Ta có bảng biến thiên: t f’ሺtሻ −∞ +∞ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ ݐଶ + 21 + ݐ 1 ଶ ቇ =ܣ൬ + ൰ = ቆ ଶ 1+ݐ− ݐ ݕ ݔ ݂ ሺ ݐሻ = - ଶ ݐଶ + 21 + ݐ −3 ݐଶ + ܿó ݂ ᇱ ሺݐሻ = ଶ ሺ1 + ݐ − ݐሻଶ ݐଶ − 1 + ݐ -1 + SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 - www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN fሺtሻ Gv Thái Văn Duẩn ଵ Vậy: GTLN A là: ݂ ଶ ሺ1ሻ = 16 = ݕ = ݔ ଶ khả lầ lượ từ biế biế Phương pháp khảo sát biến toán ba biến Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta khảo sát biến vớ bấ đẳ thứ nhiề biế thể khả lầ lượ từ biế mộ bằ cách chọn biến làm tham số biến thiên cố định biến cịn lại, tốn chọ mộ biế số biế cố biế lạ lúc trở thành bất đẳng thức biến Ln có tâm nhìn biểu thức nhiều trở bấ đẳ thứ mộ biế Luôn biể thứ nhiề biến mà ta cần tìm GTLN, GTNN dạng hàm số để ta sử dụng biế cầ tìm dướ số sử đượ cơng cụ hiệu giải toán đạo hàm cụ hiệ giả đạ hàm Sơ đồ tổng quát đồ Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến x, y, z: Pሺx, y, zሻ với điều kiện T Giả cự trị biể thứ biế điề kiệ • Bước 1: Xem Pሺx, y, zሻ hàm theo biến x, y, z la số Khảo sát Bướ biế hằ số Khả hàm tìm cực trị với điều kiện T Ta được: cự trị điề kiệ đượ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻሺࢎặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻሻ • Bước 2: Xem gሺy, zሻ hàm biến y, z số Khảo sát hàm với Bướ biế số Khả vớ điều kiện T Ta ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ሺࢎặࢉ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻሻ điề kiệ đượ • Bước 3: Cuối Khảo sát hàm biến hሺzሻ với điều kiện T tìm min, Bướ Cuố Khả mộ biế hሺz điề kiệ max hàm này Ta đến kết luận: ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ≥ đế kế luậ ሺࢎặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻ ≤ ࡹሻ Thí dụ 5: Cho hai số thực x, y, z số thực thuộc ሾ1; 4ሿ ݖ ≥ ݔ ,ݕ ≥ ݔTìm giá trị nhỏ dụ biểu thức: 2011ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ ܲ= ݔ ݕ ݖ + + 2ݔ + ݖ ݖ + ݕ ݕ3 + ݔ ሺĐại học khối A – ሺĐạ họ khố Khảo sát biến nào? Xem P hàm theo biến z, x, y số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy GTNN P, tức ܲሺݖ ,ݕ ,ݔሻ ≥ ܲሺݕ ,ݔሻ - Khảo sát hàm Pሺx, yሻ, đưa Pሺx, yሻ hàm biến khơng? - - Bằng cách đặt ẩn phụ = ݐට௬ để đưa ܲሺݕ ,ݔሻ hàm biến Tìm GTNN hàm ௫ biến ଷସ - Vậy ܲሺݖ ,ݕ ,ݔሻ ≥ ܲ ሺݕ ,ݔሻ = ܲሺݐሻ ≥ ଷଷ Lời giải: giả SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Ta có: Gv Thái Văn Duẩn ݕ ݖ ݔ + + 2ݔ + ݖ ݖ + ݕ ݕ3 + ݔ ܲ= Xem hàm theo biến z; x, y số ሺݕ − ݔሻሺ ݖଶ − ݕݔሻ ݔ −ݕ + = ܲ ݖሻ = ሺݖ + ݕሻଶ ሺݔ + ݖሻଶ ሺݖ + ݕሻଶ ሺݔ + ݖሻଶ ᇱሺ Theo giả thiết: ≥ ݕ − ݔ ⇒ ݕ ≥ ݔnếu ܲ ≥ ⇔ ≥ ݖඥ ݕݔሺdo x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿሻ t P’ሺzሻ ඥݕݔ - Pሺzሻ + Từ bảng biến thiên: ܲ ≥ ܲ൫ඥݕݔ൯ = = ௫ ଶ௫ାଷ௬ ೣ ೣ ଶାଷ + + ଶ√ ௬ √௫ା√௬ ଶ ೣ ଵାට Đặt = ݐට , ݖ ≥ ݔ ,ݕ ≥ ݔvà x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿ nên ≤ .2 ≤ ݐ ௫ Xét hàm ௬ ݂ሺݐሻ = ݂ ᇱ ሺݐሻ = ௧మ ଶ௧ మ ାଷ + ଶ ଵା௧ ିଶൣସ௧ య ሺ௧ିଵሻାଷሺଶ௧ మ ି௧ାଷሻ൧ ሺଶ௧ మ ାଷሻమ ሺଵା௧ሻమ < 0, ∀ ∈ ݐሾ1; 2ሿ Suy fሺtሻ giảm ሾ1; 2ሿ, ܲ ≥ ܲ൫ඥݕݔ൯ = ݂ ሺݐሻ ≥ ݂ሺ2ሻ = SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 ଷସ ଷଷ www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Đẳng thức xẩy ra: ቐ Vậy: ܲ = ଷସ ଷଷ = ݖඥݕݔ =ݐට =2 ௫ ௬ Gv Thái Văn Duẩn ⇒ 2 = ݖ ,1 = ݕ ,4 = ݔ ݇ℎ݅ 2 = ݖ ,1 = ݕ ,4 = ݔ Thí dụ 6: Cho hai số thực ܽ, ܾ, ܿ số thực thuộc ቂଷ ; 3ቃ Tìm giá trị lớn biểu dụ ଵ thức: ܲ= Hoạt động khám phá: Hoạ độ ܽ ܾ ܿ + + ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ Khảo sát biến nào? Xem P hàm theo biến a, b, c số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN P của, tức ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ - Xem Pሺb, cሻ hàm theo biến c, b số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN Pሺb, cሻ, tức ݃ሺ ܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ ଼ - Tiếp theo khảo sát hàm hሺbሻ suy ℎሺܾሻ ≤ ହ - - Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ ≤ ହ ଼ Lời giải: giả Đặt ܲሺܽሻ = ܽ ܾ ܿ + + ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ Xem hàm theo biến a; b, c số ܲᇱ ሺܽሻ = ሺܾ − ܿሻሺܽ ଶ − ܾܿሻ ܾ ܿ − = ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ • Trường hợp 1: ܽ ≥ ܾ ≥ ܿ ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ Suy ra: ܾ − ܿ ≥ 0; ܽ − ܾܿ ≥ nên ܲ ܽ ሻ ≥ Do đó: Pሺaሻ tăng ቂ ; 3ቃ ଶ ᇱሺ ܾ ܿ ⇒ ܲ ሺܽ ሻ ≤ ܲ ሺ3ሻ = + + = ݃ሺܿ ሻ 3+ܾ ܾ+ܿ ܿ+3 ሺxem gሺcሻ hàm theo biến cሻ Mặt khác ݃ᇱ ሺܿሻ = ଵ ଷ ሺܾ − 3ሻሺ3ܾ − ܿ ଶ ሻ −ܾ + = ≤0 ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Do đó: gሺcሻ giảm ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ 3ܾ 1 + + = ℎሺܾሻ ⇒ ݃ሺܿ ሻ ≤ ݃ ൬ ൰ = + ܾ 3ܾ + 10 ሺxem hሺbሻ hàm theo biến bሻ Ta có ℎ ᇱ ሺܾ ሻ = Ta có bảng biến thiên: b ሺ1 − ܾሻሺ1 + ܾሻ 3 − = ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ ଵ ଷ h’ሺbሻ + ଼ ହ hሺbሻ Suy ℎሺܾ ሻ ≤ ℎሺ1ሻ = - ଼ ହ Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ܲሺ3, ܾ, ܿሻ ≤ ܲ ቀ3, ܾ, ቁ ≤ ܲ ቀ3, 1, ቁ = ଵ ଷ ଵ ଷ • Trường hợp 2: ܿ ≥ ܾ ≥ ܽ ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ Từ kết trường hợp 1, ta có: ܲሺܿ, ܾ, ܽሻ ≤ Mặt khác: ܲ ሺܽ, ܾ, ܿሻ − ܲ ሺܿ, ܾ, ܽ ሻ = = ଼ ହ ܽ = 3; ܾ = 1; ܿ = ଵ ଷ ଼ ହ ሺܽ − ܾሻሺܾ − ܿሻሺܽ − ܿሻ ≤0 ሺܽ + ܾሻሺܾ + ܿሻሺܽ + ܿ ሻ ⇒ ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ Vậy , = ܵ ݔܽܯxẩy ሺܽ, ܾ, ܿ ሻ = ቄቀ3, 1, ቁ ; ቀ , 3, 1ቁ ; ቀ3, ଼ ହ ଵ ଷ ଵ ଷ ଵ ଷ , 1ቁቅ Thí dụ 7: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: abc + a + c = b dụ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 10 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Tìm giá trị lớn biểu thức: ܲ= 2008ሻ 2008ሻ 08 Hoạt động khám phá: Hoạ độ Gv Thái Văn Duẩn 2 − ଶ + ଶ ܽଶ + ܾ + ܿ + ሺĐề thi GV giỏi tỉnh– ሺĐề giỏ tỉnh– Từ giả thiết abc + a + c = b đưa tốn ẩn khơng? ା - Biến đổi giả thiết ܽ + ܿ = ܾሺ1 − ܽܿ ሻ > : ta có ܾ = , đưa P biến ଵି - - ሺchặn biến: ܽ < ሻ ଵ Khi đó: ܲ = మାଵ + ሺమାଵሻሺ మାଵሻ − + మାଵ ሺ0 < ܽ < ሻ ଶ ଶሺାሻమ ଷ Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? Ta nhìn biểu thức P hàm biến a, c xem số ଵ ଶ ଷ Khảo sát hàm biến a fሺaሻ với < ܽ < suy ݂ሺܽሻ ≤ √ଵା మ + మାଵ = ݃ሺܿሻ Tiếp tục khảo sát hàm gሺcሻ với ܿ ∈ ሺ0, +∞ሻ suy ݃ሺܿሻ ≤ Vậy: ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ ሻ = Lời giải: giả ଵ ଷ Biến đổi giả thiết thành: ܽ + ܿ = ܾ ሺ1 − ܽܿ ሻ > ⇒ ܽ < Thay vào biểu thức P ta được: ܲ= Xét hàm số: Ta có ଵ ݂ ሺ ݔሻ = ଵ ଷ ܽ+ܿ ݒà ܾ = − ܽܿ ܿ 2ሺܽ + ܿሻଶ + ଶ + ଶ −2 ܽ ଶ + ܿ + ሺܽ + 1ሻሺܿ ଶ + 1ሻ 2ሺܽ + ܿሻଶ = ଶ + ଶ −2+ ଶ ଶ + 1ሻ ܽ + ሺܽ + 1ሻሺܿ ܿ +1 ሺܿ + ݔሻଶ + ଶ − ݒớ݅ < ݒ < ݔà ݈ܿ ܿ ݅à ݐℎܽ݉ ݏố ሺܿ > 0ሻ ଶ+1 ଶ + 1ሻ ݔ ሺ1 + ݔሻሺܿ ܿ ݂ ᇱ ሺݔሻ = −2ܿሺ ݔଶ + 2ܿ1 − ݔሻ =0 ሺ1 + ݔଶ ሻଶ ሺ1 + ܿ ଶ ሻ ⇔ ݔ = −ܿ + √ܿ ଶ + ∈ ቀ0, ቁ ଵ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 11 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Bảng biến thiên: x ଵ ୡ f’ሺxሻ fሺxሻ ݔ + ݂ሺݔሻ ≤ ݂ሺݔ ሻ = ܵ = 2݂ ሺܽ ሻ + Ta có ݃ Bảng biến thiên: c g’ሺcሻ gሺcሻ ᇱ ሺܿሻ = ܿଶ ܿ= ଵ √଼ √1 + ܿ ଶ 2ሺ1 − 8ܿ ଶ ሻ ሺ1 + ܿ ଶ ሻଶ ሺ3ܿ + √1 + ܿ ଶ ሻ ଵ √଼ ∈ ሺ0, +∞ሻ ܿ + ⇒ ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ ሻ = , ܽ= √ଶ ଶ , ܾ = √2 ݐℎì = ܵ ݔܽܯ =0 - gሺܿ ሻ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ ሻ Vậy với ܿ 2ܿ 3 ≤ + ଶ = ݃ሺܿሻ + √1 + ܿ ଶ ܿ + ⇔ܿ = ܿ = +∞ - fሺݔ ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên Gv Thái Văn Duẩn 10 ଵ ଷ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Thí dụ 8: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá dụ trị nhỏ biểu thức: ܲ= + + ܽ ܾ ܿ ሺĐề thi Olympic 30/4 – ሺĐề Olympic 2004ሻ 2004ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? ሺcó thể chuyển theo ẩn khơng?ሻ - Có thể biểu diễn để biểu thức P giả thiết cho đơn giản không? ଵ ଵ ଵ - Nếu đặt: = ݖ , = ݕ , = ݔbài tốn chuyển thành tốn gì? - Có thể chuyển tốn cho ẩn không? ଶ௫ା଼௬ - Từ giả thiết: 2≥ ݖ ⇒ ݖݕݔ21 ≤ ݖ12 + ݕ8 + ݔ ݒà > ݔ ଵଶ௫௬ିଶଵ ସ௬ - - - - Khi đó: ܵ ≥ + ݕ2 + ݔସ௫௬ି = ݂ሺݔሻ ଶ௫ା଼௬ Khảo sát hàm fሺxሻ xem y tham số cố định Ta được: ܵ ≥ ݂ሺݔሻ ≥ ݂ሺݔ ሻ = 2 + ݕସ௬ + ඥଷଶ௬ మାଵସ ଶ௬ = ݃ሺݕሻ Tiếp tục khảo sát biến gሺyሻ Ta đến kết luận: ܵ ≥ ݂ሺݔሻ ≥ ݃ሺݕሻ ≥ Lời giải: giả Đặt: Từ: =ݔ ଽ ଵହ ଶ 1 , ݒ ݖݕݔ21 ≤ ݖ12 + ݕ8 + ݔ2 ;0 > ݖ ,ݕ ,ݔ ⇒ = ݖ , = ݕà ܵ = ݖ3 + ݕ2 + ݔ ܽ ܾ ܿ 2≥ ݖ ⇒ ݖݕݔ21 ≤ ݖ12 + ݕ8 + ݔ Từ biểu thức S suy được: ܵ ≥ + ݕ2 + ݔ 2ݕ8 + ݔ ݒà > ݔ 1212 − ݕݔ 4ݕ 2ݕ8 + ݔ = ݂ሺݔሻ 47 − ݕݔ ⇒ ݂ ᇱ ሺ ݔሻ = − 14 − 32 ݕଶ =0 ሺ47 − ݕݔሻଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 13 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ⇔ ݔ = ݔ = Bảng biến thiên: x f’ሺxሻ ସ௬ + ඥଷଶ୷మାଵସ ସ୷ +∞ fሺxሻ ସ௬ , +∞ቁ ݔ ସ௬ ∈ ቀ + Gv Thái Văn Duẩn - fሺݔ ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên ඥ32 ݕଶ + 14 ܵ ≥ ݂ሺݔሻ ≥ ݂ሺݔ ሻ = 2+ ݕ + = ݃ሺݕሻ 4ݕ 2ݕ ⇒ ݃ ᇱ ሺ ݕሻ = ሺ8 ݕଶ − 9ሻඥ32 ݕଶ + 14 − 28 4 ݕଶ ඥ32 ݕଶ + 14 Đặt: = ݐඥ32 ݕଶ + 14 phương trình ݃ᇱ ሺݕሻ = =0 ⇔ ሺ8 ݕଶ − 9ሻඥ32 ݕଶ + 14 − 28 ⇔ ݐଷ − 50= ݕ ⇔ = ݐ ⇔ = 221 − ݐ y g’ሺxሻ gሺxሻ +∞ ହ ସ ହ ସ - + ଵହ ଶ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺݕሻ ≥ ݃ ቀ ቁ ହ ସ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 14 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 15 ⇒ ܵ ≥ ݃ሺݕሻ ≥ ݃ ൬ ൰ = Vậy với: =ݕ ହ ସ Gv Thái Văn Duẩn , = ݖ ,3 = ݔ ଶ ଷ ⇔ ܽ = , ܾ = ,ܿ = ଵ ସ ଷ ହ ଷ ଶ ݐℎì = ܵ ݊݅ܯ ଵହ ଶ Thí dụ 9: Chứng minh ܽ, ܾ, ܿ độ dài cạnh tam giác có chu vi dụ Tìm giá trị nhỏ của: ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ Hoạt động khám phá: Hoạ độ Bài toán cần chứng minh chứa ẩn a, b, c thoả mãn ܽ + ܾ + ܿ = Hãy suy nghĩ biến đổi ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ cho ẩn hơn? ଷ - Từ giả thiết: ܽ + ܾ + ܿ = ⇒ ܽ + ܾ = − ܿ, ݉à ܽ + ܾ > ܿ ⇒ ≤ ܿ ≤ ଶ - - Khi đó: ܶ = 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ Tích ab tổng a + b = – c gợi cho em nghĩ đến bất đẳng thức nào? - Khi ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ - ܽ+ܾ ଶ 3−ܿ ଶ ൰ =൬ ൰ ܾܽ ≤ ൬ 2 ଷି ଶ Khảo sát hàm biến fሺcሻ đen kết Ta đến kết luận ܶ ≥ ݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 ଶ ቁ = ܿଷ − ܿଶ + ଷ ଶ ଶ ଶ = ݂ሺܿሻ Lời giải: giả Do vai trị bình đẳng a, b, c nên ta giả sử: < ܽ ≤ ܾ ≤ ܿ Chu vi nên ܽ + ܾ + ܿ = ⇒ ܽ + ܾ = − ܿ, ݉à ܽ + ܾ > ܿ ⇒ ≤ ܿ ≤ Ta biến đổi: ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ ሻ + 3ܿ ଶ + 4ܾܽܿ Măt khác: ܾܽ ≤ ቀ Do đó: ଶ = 3ሾሺܽ + ܾ ሻଶ − 2ܾܽሿ + 3ܿ ଶ + 4ܾܽܿ = 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ ା ଶ ଶ ଷ ଷି ଶ ቁ =ቀ ଶ ቁ ⇒ ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ ≥ ቀ ଷି ଶ ଶ ቁ ሺ2ܿ − 3ሻ ሼݒì ܿ < ⇒ 2ܿ − < 0ሽ ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ Xét hàm số: ݂ ሺܿ ሻ = ܿ ଷ − ܿ ଶ + ଷ ଶ ଶ ଶ , ݎݐê݊ ቂ1; ቃ ଷ ଷ ଶ ଷି ଶ ଶ ቁ = ܿଷ − ܿଶ + ଷ ଶ ଶ ଶ = ݂ሺܿሻ ଷ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 15 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ݂ ᇱ ሺܿ ሻ = 3ܿ ଶ − 3ܿ = ⇔ ܿ = Bảng biến thiên c f’ሺcሻ ଷ ଷ + fሺcሻ 13 Khi đó: Từ bảng biến thiên suy ݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 Suy ܶ ≥ ݂ ሺܿሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 ܿ = 1, ܽ = 1, ܾ = Vậy P =13 c = 1, a = 1, b = 4=ݖ+ݕ+ݔ 2 = ݖݕݔ Thí dụ 10: Cho số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau: ൜ dụ Chứng minh rằng: 2004ሻ Hoạt động khám phá: Hoạ độ 183 − 165√5 ≤ ݔସ + ݕସ + ݖସ ≤ 18 ሺĐề thi Olympic Toán THPT Việt Nam – ሺĐề Việ Biểu thức ܲ = ݔସ + ݕସ + ݖସ đối xứng với ba ẩn x, y, z Biến đổi P theo + ݕ + ݔ ݔݖ + ݖݕ + ݕݔ ,ݖݕݔ ,ݖnhư nào? - Ta có ܲ = ݔସ + ݕସ + ݖସ = ሺ ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ ሻଶ − 2ሺ ݔଶ ݕଶ + ݕଶ ݖଶ + ݖଶ ݔଶ ሻ - = ሺ4ଶ − 2ሺݔݖ + ݖݕ + ݕݔሻሻଶ − 2ሺݔݖ + ݖݕ + ݕݔሻଶ − 2ݖݕݔሺݖ + ݕ + ݔሻ - - Với quan hệ trên, chuyển P theo biến nào? Đặt ݔݖ + ݖݕ + ݕݔ = ݐvà từ giả thiết = ݖݕݔ ;4 = ݖ + ݕ + ݔta có ܲ = 2ሺ ݐଶ − 32+ ݐ 144ሻ Tìm điều kiện theo ẩn nào? ଶ ଶ Từ điều kiện x, y, z ta = ݖݕ ;ݔ − = ݖ + ݕ௫ ݔ = ݐሺ4 − ݔሻ + ௫ Tìm điều kiện ẩn x chuyển điều kiện theo ẩn t Áp dụng bât đẳng thức Côsi cho số dương y, z ta có SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 16 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ሺݖ + ݕሻଶ ≥ 4 ⇔ ݖݕሺ4 − ݔሻଶ ≥ ⇔ ݔଷ − 8 ݔଶ + 16 ⇔ ≥ − ݔሺ2 − ݔሻሺ ݔଶ − 6+ ݔ ଼ ௫ 4≥0 - ⇔ − √5 ≤ 2 ≤ ݔ Xét hàm số ݐሺݔሻ = ݔሺ4 − ݔሻ + ௫ đoạn ൣ3 − √5; 2൧, ta có ݐᇱ ሺݔሻ = ଶ Từ việc xét dấu ݐᇱ ሺݔሻ đoạn ൣ3 − √5; 2൧, ta ≤ ≤ ݐ Khảo sát hàm số ܲ = 2ሺ441 + ݐ23 − ݐሻ ≤ ≤ ݐ ଶ ଷ ଶ 183 − 165√5 ≤ ݔସ + ݕସ + ݖସ ≤ 18 Bài tập đề nghị tậ đề nghị ଶ ହ√ହିଵ 0 ≥ ݖ ,ݕ ,ݔ Cho ൜ 1=ݖ+ݕ+ݔ Tìm GTLN ܵ = ݔଶ ݕ + ݕଶ ݖ+ݖଶ ݔ ିଶሺ௫ିଵሻሺ௫ మ ି௫ିଵሻ ௫మ ହ√ହିଵ ଶ suy Đáp số: ܵ = ଶ ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ = ݔଷ , = ݖ ,0 = ݕ số ସ ଵ Cho x, y, z số thực thoả mãn ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = Tìm GTLN, GTNN biểu thức: ܲ = ݔଷ + ݕଷ + ݕଷ − 3ݖݕݔ Đáp số: max ܲ = 2√2 ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ 0 = ݖ = ݕ ,2√ = ݔ số ܲ = −2√2 ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ 0 = ݖ = ݕ ,2√− = ݔ Cho > ݔ ,0 > ݕ ,0 > ݔvà thoả mãn điều kiện .1 = ݖ + ݕ + ݔ Tìm giá trị lớn biểu thức: ܲ = ݖݕݔ2 − ݔݖ + ݖݕ + ݕݔ ଵ ଷ Cho ܽ, ܾ, ܿ ∈ ሾ1; 2ሿ Chứng minh rằng: Tìm GTNN của: Đáp số: ܲ = ଶ ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ = ݖ = ݕ = ݔ số 1 ሺܽ + ܾ + ܿሻ ൬ + + ൰ ≤ 10 ܽ ܾ ܿ ܽ ସ ܾସ ܽଶ ܾ ଶ ܽ ܾ + ସ − ቆ ଶ + ଶቇ + + ܾସ ܽ ܾ ܽ ܾ ܽ Đáp số: ܶ = −2 ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ ܽ = −ܾ số Cho ܽ, ܾ, ܿ ∈ ሾ0; 1ሿ Chứng minh ܾ ܿ ܽ + + + ሺ1 − ܽሻሺ1 − ܾሻሺ1 − ܿሻ ≤ ܾ+ܿ+1 ܿ+ܽ+1 ܽ+ܾ+1 ܶ= SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 17 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Cho > ݔ ,0 > ݕ ,0 > ݔvà thoả mãn điều kiện ≤ ݖ + ݕ + ݔ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ܲ =+ݖ+ݕ+ݔ ଵ ଶ C Kết luận luậ 1 + + ݖ ݕ ݔ Đáp số: ܲ = số SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 ଷ ଶ ଵହ ଶ ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ = ݖ = ݕ = ݔ 18 ...www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt: ݕ + ݔ = ݐ Cần chặn biến t cách sử dụng. .. dụ ݕݔ Tìm giá trị lớn biểu thức: SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MƠN TỐN 12 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN =ܣ Hoạt động khám phá: Hoạ... TỐN 12 10 www.VNMATH.com KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Tìm giá trị lớn biểu thức: ܲ= 2008ሻ 2008ሻ 08 Hoạt động khám phá: Hoạ độ Gv Thái Văn Duẩn