- GVHD : Lê Ngọc Cường - Lớp HP : 1016FMAT0211 Mục lục:  Các dạng phương trình vi phân cấp 1 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li. • Phương trình vi phân có dạng y’= f(x). • Phương trình đẳng cấp cấp 1. • Phương trình tuyến tính cấp 1. • Phương trình Bernoulli.  Các dạng phương trình vi phân cấp 2 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được. • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng.  Ứng dụng của phương trình vi phân. • Mô hình ô nhiễm môi trường. Các khái niệm cơ bản: • Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập (hay các biến độc lập) hàm chưa biết và đạo hàm của hàm số đó. • Cấp của phương trình vi phân: là cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số có mặt trong phuong trình đó. - Dạng tổng quát của PTVP cấp n với biến độc lập x, biến phụ thuộc y là trong đó không được khuyết . • Nghiệm của phưng trình vi phân: Cho một PTVP cấp n, mọi hàm số, khả biến đến cấp n mà khi thay vào phương trình đó cho ta đồng nhất thức đều gọi là nghiệm của PTVP đó. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 có dạng : + Dạng tổng quát F(x, y, y’) =0 + Dạng chính tắc y’= f(x) 2. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm : - Cho PTVP cấp 1:y’=f(x,y) nếu f(x,y) liên tục trên miền mở D với Mo(xo,yo) D tồn tại nghiệm y=f(x) Thỏa mãn yo=y(xo). Nếu f(x)liên tục trên D thì nghiệm đó là duy nhất 3.Điều kiện ban đầu của PTVP: ∈ Nếu gọi là điều kiện ban đầu ∫∫ += cdxxfdyyg )()( 2.2 Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li: a. Dạng: f(x)dx = g(y)dy b. PP: tích phân 2 vế ta được 0=+ ydyxdx vd: ∫∫ =+ cydyxdx c y x =+⇒ 22 2 2 cyx 2 22 =+⇒ là nghiệm của phương trình. tích phân 2 vế ta được 2.1 Phương trình có dạng y’= f (x) Phương pháp giải: tích phân 2 vế ta được 2.Các loại phương trình vi phân cấp 1 2.3 Phương trình đẳng cấp cấp 1: a.Dạng cách làm: Đặt ''. xuuyxuy x y u +=⇒=⇒= Thay y’ vào phương trình (1) ta được 0)2( =−+ xdydxyx vd: gpt )0:(21 ≠+=⇒ xĐK x y dx dy ''. xuuyxuy x y u +=⇒=⇒= Đặt (1) x y u = )1( −= cxxy 0=x Thay ta có: Trường hợp là nghiệm của (1) . xcucxu .1ln1ln =+⇒+=+⇒ )01:( 1 ≠+= + ⇒ uĐK x dx u du Thay y’ vào phương trình ta được uxuu 21' +=+ b.Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp - Dạng - Cách giải: + Xét định thức + Đặt: Khi đó ta có Đặt .Ta giải  giải PT đẳng cấp + Nếu định thức thì Đặt đưa về PT vế phải không chứa       + + = eYdX bYaX f dX dY Ví dụ: GPT Ta có: Đặt: Khi đó ta có: (*) Đặt: )()(' xQyxPy =+ 0)( =xQ 0)(' =+ yxPy 0)( ≠xQ 2.4 Phương trình tuyến tính cấp 1 • Nếu thì phương trình thì phương trình (*) được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. a. Dạng: (*) được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất. • Nếu ]).([ )()( ∫ += ∫∫ − cdxexQey dxxPdxxP b. Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (*) có dạng: [...]... nghiệm của pt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.Định nghĩa Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: F (x, y, y' , y" ) = 0 hay y" = f ( x, y, y ' ) •Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm y = ϕ(x, c1, c2) Tìm nghiệm phương trình vi phân cấp 2: thỏa mãn điều kiện đầu:  y(x0) = a  y' (x0) = b y" = f ( x, y, y ' ) x, a, b các số cho trước 2 Các dạng toán của phương trình vi phân cấp2:... phương trình có nghiệm z = c1 y 4 .Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : Phương trình tuyến tính cấp 2 có dạng tổng quát là y"+ ay '+by = f ( x) a, b các hằng số a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng số: Phương trình y"+ ay '+by = 0 (*) λ + aλ + b = 0 được gọi là 2 phương trình đặc trưng của phương trình (*) ∗ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt λ1 , λ2 Nghiệm tổng quát... x 1 2 ∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ2 y ( x) = (c1 + c2 x)eλ1x Nghiệm tổng quát của p trình (*) là: ∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức  λ1 = α + iβ  λ2 = α − iβ Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: y ( x) = eαx (c1 sin βx + c2 cos βx) b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: y"+ ay '+by = f ( x) Nghiệm tổng quát của phương trình này có... x)  y ( x) là nghiệm tổng quát của phương trình  thuần nhất: y"+ ay '+by = 0 Với     y ( x) là nghiệm riêng của phương trình ˆ không thuần nhất: y"+ ay '+by = f ( x) Cách tìm nghiệm riêng Trường hợp Nếu α ˆ y ( x) αx f ( x) = e Pn ( x) không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng: λ + aλ + b = 0 2 ˆ ( x) = eαx Qn ( x) y Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng: λ + aλ + b = 0 2 ˆ... cos βx]  Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì αx ˆ y ( x ) = e [ H l ( x) sin β x + K l ( x ) cos β x] l = max{m , n}  Nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ˆ ( x) = x.eαx [ H l ( x) sin βx + K l ( x) cos βx] y l = max{m , n} VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"+4 y = cos 2 x Bước 1: Tìm y (x ) Phương trình đặc trưng phức là: k2 + 4 = 0 có nghiệm k1... 0) Ta có:α ± iβ = ±2i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên y ( x) = xeox ( A cos 2 x + B sin 2 x) ˆ Lấy ˆ y ( x)thế vào phương trình đầu ta tính được 1 A=0 , B= 4 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là: ˆ y ( x) = y ( x) + y ( x) 1 = (c1 cos 2 x + c2 sin 2 x) + x sin 2 x 4 • Trường hợp nguyên lí chồng chất nghiệm: ˆ  y1 ( x) là nghiệm riêng của phương trình: y"+ a ( x) y '+b( x) y = f1 (... riêng của phương trình: y"+ a ( x) y '+b( x) y = f1 ( x)   Với    y2 ( x) là nghiệm riêng của phương trình: ˆ y"+ a ( x) y '+b( x) y = f 2 ( x) Khi đó: ˆ ˆ ˆ y ( x) = y1 ( x) + y2 ( x) Là nghiệm của phương trình y ' '+ a ( x) y '+b( x) y = f1 ( x) + f 2 ( x) Phần 3:ứng dụng của phương trình vi phân Mô hình ô nhiễm môi trường • Gọi y là hàm lượng Hàm lượng tăng theo quy x: lượng luật: •Giả sử... của các quốc gia Mô hình này là 1 hệ 2 PTVP cấp 1, ta có biểu diễn chúng dưới dạng PTVP cấp 2 Đạo hàm 2 vế phương trình (1) ta có: (3) Thế (2) vào (3)  Xét phương trình thuần nhất, tìm nghiệm = Nghiệm của phương trình thuần nhất: y (t ) = Sử dụng hệ số bất định : ˆ y (t) = •  nghiệm phương trình • =  nghiệm kép :  nghiệm của PT : • λ + αλ + β = 0 2  Nghiệm phức − α ± (4β − α ).i 2 λ1,2 = 2 ( )...⇒ Cách giải: Bước 1: giải pt thuần nhất: y '+ P ( x) y = 0 ( y=0 không phải nghiệm của phương trình đã cho) Bước 2: Coi D=D(x) thay y’ vào PT: y '+ P ( x) y = Q ( x) được: ⇒ ∫ P ( x ) dx dx + c] D( x) = ∫ Q( x).e Ví dụ: GPT (*) Xét phương trình thuần nhất: Coi D=D(x) Thay y’ vào (*) ta được: (1) 2.5 Phương trình Bernouli α a) Dạng y '+ P ( x) y = Q( x) y b) Cách giải: +, α +, α =1 (*) = 0 (*) là... Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng: Khi đó: αx ˆ y ( x) = x e Qn ( x ) y"−2 y '+ y = xe 2x (1) ˆ Nghiệm tổng quát của pt (1) có dạng: y ( x) = y ( x) + y ( x) vd: tìm nghiệm tổng quát Bước 1: Tìm y (x) Phương trình đặc trưng k − 2k + 1 = 0 2 có x nghiệm kép k1 = k2 = 1 ⇒ y ( x) = (c1 + c2 x)e Bước 2: Tìm Ta có: f ( x ) = e 2 x x α=2 là ko là nghiệm của phương trình đặc trưng ˆ y ( x) = . cấp 1. • Phương trình Bernoulli.  Các dạng phương trình vi phân cấp 2 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được. • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. • Phương trình vi phân tuyến. lục:  Các dạng phương trình vi phân cấp 1 và ví dụ. • Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li. • Phương trình vi phân có dạng y’= f(x). • Phương trình đẳng cấp cấp 1. • Phương trình tuyến. pt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.Định nghĩa • Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: 0)",',,( =yyyxF hay )',,(" yyxfy = • Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân