Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị Mục lục A- Đặt vấn đề B- Nội dung đề tài I- Lý thuyết cơ bản 1- Khái niệm hàm số 2- Các hàm số trong chơng trình THCS II- Một số dạng bài tập Dạng I:Tìm tập xác định của hàm số Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số Dạng III: Xác định công thức của hàm số Dạng IV: Vẽ đồ thị hàm số Dạng V: Vị trí tơng đối giữa các đồ thị Dạng VI: Điểm cố định Dạng VII: Quỹ tích đại số III- Một số bài tập luyện tập chung C- Kết luận D- Tài liệu tham khảo E- Phụ lục (bài soạn) Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 1 Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị A- Đặt vấn đề: Hàm số là một khái niệm xuất hiện thờng xuyên trong cuộc sống thông qua quan hệ tơng ứng giữa các đối tợng. Khái niệm hàm số đợc đa vào chơng trình THCS từ lớp 7 và đợc dùng trong suốt bậc học. Với các khái niệm hàm số bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thi tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì nhiều dạng và không thể thiếu trong các kì kiểm tra, kỳ thi. Do thời gian luyện tập không nhiều nên kết quả của học sinh không cao. Vì vậy đối với học sinh hàm số quả là một vấn đề khó. Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tôi đã tiến hành nghiên cứu Một số vấn đề về hàm số và đồ thị. Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị hàm số và đa ra một số dạng bài tập có phơng pháp giải về hàm số nhằm giúp học sinh trong một thời gian ngắn có thể nắm đợc phơng pháp giải bài tập về hàm số, trên cơ sở đó tự giải các bài tập tơng tự, liên quan. Bằng cách sắp xếp các dạng toán, cách truyền thụ kiến thứ, cách phát huy hay tự lực của học sinh, sự chú ý sửa sai cho học sinh tôi đã giúp học sinh không còn sợ hàm số mà thấy đây là phần bài tập có Angôrít giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú và hàm số còn đợc coi là công cụ giải quyết một số bài toán khác nhau nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình. Sau đây là nội dung đề tài B- Nội dung đề tài: I- Lý thuyết cơ bản: 1- Khái niệm cơ bản: 1.1- ánh xạ: a- Định nghĩa: Cho hai tập hợp X và Y ; là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x X với một và chỉ một y Y. Ký hiệu: : X -> Y x -> y = (x) Ta gọi X là nguồn của ánh xạ Y là tập đích của ánh xạ Phần tử y = (x) y gọi là ảnh của x qua ánh xạ b- Các loại ánh xạ: * Đơn ánh: ánh xạ: : X -> Y x -> y = (x) ánh xạ là đơn ánh x 1 ; x 2 X : X 1 X 2 thì (x 1 ) (x 2 ). Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 2 Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị Hoặc x 1 ; x 2 X : (x 1 ) = (x 2 ) thì x 1 = x 2 Ví dụ: : r -> R x -> y = (x) = 2x * Toàn ánh: ánh xạ: : X -> Y x -> y = (x) ánh xạ là toàn ánh yY thì x X:(x) = y. Hoặc là toàn ánh phơng trình (x) = y luôn có nghiệm với yY cho trớc. Ví dụ: : r -> R x -> y = (x) = 2x là một toàn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x = y/2 với y xác định. * Song ánh: ánh xạ: : X -> Y x -> y = (x) ánh xạ là song ánh là đơn ánh và là toàn ánh. 1.2- Hàm số: a- Theo quan niệm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp ánh xạ. Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y. * Tronh chơng trình SGK THCS (1991 - 2001) khái niệm hàm số đợc trình bày trong SGK lớp 7 (đợc nhắc lại trong SGK lớp 9) nh sau: Một hàm số đi qua từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi giá trị x X một và chỉ một giá trị y Y mà ta kí hiệu là y = (x). Ngời ta viết: : X -> Y x -> y = (x) X là tập hợp xác định, x X là biến số, y = (x) là giá trị của hàm số tại x. * Trong chơng trình SGK mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đã nêu rõ thuộc tính này: Giả sử x và y là hai đại lợng biến thiên và nhận các giá trị số. Nếu y thay đổi phụ thuộc vào x sao cho. Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x gọi là biến số. * Chú ý: Nh vậy dù hàm số đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều thuộc tính bản chất. Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 3 Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị + Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x X đều xác định đợc duy nhất một số y Y. + Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận biến đổi. + Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến thiên phụ thuộc. b- Đồ thì hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp) * Đồ thị hàm số y = (x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng tọa độ có tọa độ (x, (x)) với x X. * Chú ý: + Mỗi hàm số có một đồ thì xác định duy nhất và ngợc lại + Điểm M (x M ; y M ) thuộc đồ thị hàm số y = (x) y M = (x M ). c- Các cách cho một hàm số: Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các cách. + Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = (x) + Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng giá trị + Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số 2- Các hàm số trong chơng trình THCS: 2.1 - Hàm số bậc nhất: a- Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax+b trong đó a, b là các hằng số xác định a 0, xR. b- Tính chất: * Tập xác định: R * Tính biến thiên: + a> 0 thì hàm số đồng biến trong R. + a< 0 thì hàm số nghịch biến trong R c- Đồ thị: + Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, xR) là đờng thẳng đi qua điểm A(0,b) và điểm B (-b/a,0). + Khi a = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm E (1,a). 2.2 - Hàm số bậc hai: a- Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức y = ax 2 +bx+c với a, b, c là các hằng số xác định a 0, xR. Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 4 Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị b- Tính chất: * Tập xác định: R * Tính biến thiên: + a> 0 hàm số đồng biến trong (-b/2a; +) và nghịch biến trong (-; -b/2a). + a<0 hàm số nghịch biến trong (-b/2a; +) và đồng biến trong (-; -b/2a). c- Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c (a 0, xR) là parabol (P) có đỉnh là D(-b/2a; -/4a) nhận đờng thẳng x = -b/2a làm trục đối xứng. II- Một số dạng bài tập : Dạng I : Tìm tập xác định của hàm số 1- Định nghĩa: Tập xác định của hàm số y = (x) là tập các giá trị của x để biểu thức (x) có nghĩa: Vì vậy: - Nếu (x) là đa thức thì hàm số có TXĐ xR - Nếu (x) có dạng phân thức thì hàm số có TXĐ {xR/MT0} - Nếu (x) chứa căn thức bậc chẵn thì hàm số có TXĐ {xR/biểu thức trong căn 0}. 2- Ví dụ: * Ví dụ 1: Hàm số y = 3x - 7 có TXĐ:R * Ví dụ 2: Hàm số { } 3R/xx:TXĐ có 3x 12x y + = * Ví dụ 3: Hàm số += 3 1 13 R/xx:TXĐ có y x Dạng II : Tìm giá trị của hàm số * Tập giá trị của hàm số : X -> Y x-> y = (x) là tập các giá trị y = Y sao cho phơng trình (x) y có nghiệm x X. 1- Cách giải: Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y. Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình (x) = y có nghiệm trong TXĐ. 2- Ví dụ: Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 5 Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị Ví dụ 1 : Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x - 5 với x [-1; 1] Giải: Ta có x -1 2x -2 2x- 5 -7 y- 7 x -1 2x -2 2x- 5 -3 y - 3 Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x - 5 với x [-1; 1] là y [-7; -3] Ví dụ 2 : Tìm miền giá trị của hàm số y = x-5+3- x Giải: áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có: x-5+3-x x - 5 + 3 - x = 2 y 2 Vậy miền giá trị của hàm số y = x-5+3- x với x R là y R,. y 2 Ví dụ 3 : Tìm miền giá trị của hàm số y = x 2 - 2x + 3 với x [2,3] Giải: Hàm số y = x 2 - 2x + 3 có a = 1> 0 nên đồng biến với x 1 Nên với x [2,3] ta có y(2) y y(3) 3 y 6 Vậy miền giá trị của hàm số y = x 2 - 2x + 3 với y [2,3] là y [3,6] 3- ứng dụng: * ứ ng dụng 1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x - x 2 - 2 Giải: Ta có y = 6x 2 - x 2 - 2 = - (x 2 -6x + 9) + 7 = - (x-3) 2 + 7 7 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 3 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 7 tại x = 3 * ứ ng dụng 2 : Giải phơng trình (x) = g(x) (1) Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào miền giá trị của hai hàm số y = (x) và y = g(x) Nếu (x) m với x D thì (x) = g(x) (x) = m (2) (x) m g(x) = m Nếu x 0 D thỏa mãn (2) thì x 0 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ: Giải phơng trình 6x-x 2 - 2 = x - 1+x-2+2x-3+4x-13(1) Giải: + TXĐ: R + Ta có VT = 6x- x 2 - 2 = 7 - (x- 3) 2 dấu = xảy ra x = 3 VP = x - 1+x-2+2x-3+4x-13 3 Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 6 Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị dấu = xảy ra 2 x 13/4 + Vậy phơng trình (1) x = 3 Kết luận: Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3 Dạng III: Xác định công thức hàm số III.1 - Khi biết tính chất đồ thị hàm số: Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị hàm số có tơng ứng 1 -1 nên ta xác định đ- ợc công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng. III.1.1 - Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có tính chất a, Đi qua điểm A (x 1 ; y 1 ) và điểm B (x 2 ; y 2 ). Lời giải: Vì A (x 1 ; y 1 ) d nên ax 1 + b = y 1 B (x 2 ; y 2 ) d nên ax 2 + b = y 2 Ta có hệ phơng trình giải hệ phơng trình ta có a; b Kết luận công thức hàm số: Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1;1) và điểm B (-1;2) Giải: Vì A (1;1) d nên a.1 + b = 1 B (-1;2) d nên a(-1) + b = 2 Ta có hệ phơng trình Kết luận: Hàm số cần tìm là b- Đồ thị đi qua điểm A (x 1 ; y 1 ) và song song với đờng thẳng d có phơng trình y = a 1 x + b 1 (a 1 0). Lời giải: Vì A (x 1 ; y 1 ) d nên ax 1 + b = y 1 Vì d song song với d nên a = a 1 b = y 1 - a 1 x 1 Kết luận hàm số cần tìm là y = a 1 x 1 + y 1 - a 1 x 1 Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và song song với đờng thẳng d có phơng trình y = 2x - 1 Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 7 =+++ = 7134x32x2x1x 72x6x 2 =+ =+ 22 1 ybax 1 ybax = = =+ =+ 2 3 b 2 1 a 2ba- 1ba 2 3 x 2 1 y += Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị Lời giải: Vì A (1;1) d nên a + b = 1 Vì d song song với d nên a = 2 b = -1 Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x - 1 c - Đồ thì đi qua điểm A (x 1 ; y 1 ) và vuông góc với đờng thẳng d có phơng trình y = a 1 x + b 1 (a 1 0). Lời giải: Vì A (x 1 ; y 1 ) d nên ax 1 + b = y 1 Vì d vuông góc với d nên aa 1 =- 1 x 1 a 1 yb 1 a 1 a 1 += = a Kết luận hàm số cần tìm là x a 1 yx a 1 y 1 1 1 ++ = Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và vuông góc với đờng thẳng d có phơng trình Lời giải: Vì A (x 1 ; y 1 ) d nên a + b = 1 Vì d vuông góc với d nên a a 1 a = 2 b = -1 Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x - 1 d - Đồ thị hàm số đi qua điểm A (x 1 ; y 1 ) và tiếp xúc với parabol (P) y=ax 2 + bx + c (a0). Lời giải: Vì A (x 1 ; y 1 ) d nên ax 1 + b = y 1 (1) Vì d tiếp xúc với parabol (P): y = ax 2 + bx + c nên phơng trình có hoành độ: ax + b = ax 2 + bx + c có nghiệm kép ax 2 + (b - a)x + c = 0 có nghiệm kép = (b - a) 2 - 4a (c-b) = 0 (2) Giải hệ gồm hai phơng trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thức hàm số: Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(-1; 2) và tiếp xúc với parabol (P): y = x 2 + 1 Lời giải: Vì A (-1;2) d nên -a + b = 2 (1) Vì d tiếp xúc với parabol (P): y = x 2 + 1 nên phơng trình hoành độ Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 8 2 3 += x 2 1 y Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị ax + b = x 2 + 1 có nghiệm kép x 2 - ax + 1-b = 0 có nghiệm kép = (a) 2 - 4(1- b) = 0 (2) Ta có hệ phơng trình: Vậy hàm số cần tìm là y = -2x III.1.2 - Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là parabol (P) a- Đi qua 3 điểm phân biệt A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ), C(x 3 ; y 3 ) Lời giải: Vì A (x 1 ; y 1 ) (P) nên ax 1 2 + bx 1 + c = y 1 (1) Vì B (x 2 ; y 2 ) (P) nên ax 2 2 + bx 2 + c = y 2 (2) Vì C (x 3 ; y 3 ) (P) nên ax 3 2 + bx 3 + c = y 3 (3) Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c Kết luận công thức hàm số Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là parabol (P) đi qua điểm phân biệt A(-1; 6), B(0;3), C(3;6) Lời giải: Vì A (-1;6) (P) nên a - b + c = 6 (1) Vì B (0;3) (P) nên c = 3 (2) Vì C(3;6) (P) nên 9a + 3b + c = 6 (3) Ta có hệ phơng trình: = = = =+ = = =++ =+ = 2b 1a 3c 33b9a 3ba 3c 6c3b9a 6cba 3c Vậy công thức hàm số cần tìm là y = x 2 - 2x +3 b- (P) có tọa độ đỉnh D(x 0 ; y 0 ) và đi qua điểm A (x 1 ; y 1 ) Lời giải: Vì A(x 1 ; y 1 ) (P) nên ax 1 2 + bx 1 + c = y 1 (1) Vì (P) có tọa độ đỉnh D (x 0 ; y 0 ) nên 0 y 4a (2); 0 x 2a b = = Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 9 = = =+ += =++ += =++ += =+ =+ 2a 0b 02)(a 2ab 42)4(aa 2ab 42)4(aa 2ab 44ba 2ba 2 222 Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị )3( 0 y 4a 4ac-b- = Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b,c Kết luận công thức hàm số: Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là parabol (P) đi qua A(-1, 2) và có đỉnh là D(1, -2). Lời giải: Vì A (-1, 2) (P) nê a- b + c = 2 (1) Vì (P) có tọa độ đỉnh D (1, -2) nên 2 4a - (2) 1 2a b == (3) 1 4a 4ac-2 b = Ta có hệ phơng trình: Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x 2 2x + 1 c- (P) có tọa độ đỉnh D (x 0 ; y 0 ) và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = ax + b Lời giải: Vì (P) có tọa độ đỉnh D (x 0 ; y 0 ) nên 0 y 4a - (1); x 2a b == 0 (2) y 4a 2 b 0 4 = ac Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = ax + b nên phơng trình hoành độ ax 2 + bx + c = ax + b có nghiệm kép ax 2 (b-a)x + c b = 0 có nghiệm kép = (b a) 2 4a(c b) = 0 (3) Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c Kết luận công thức hàm số III. 2- Xác định công thức hàm số khi biết phơng trình hàm số. Ví dụ: Tìm biểu thức (x) của hàm số biết 1 2 x x 1 (1 =+ ) và (0) = 0 Giải: + Với x 0 đặt 1t 1 X cóta theo xrút rồit ) x 1 (1 ==+ Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh 10 = = = = =+ =+ = = = 1c 2b 1a 08a4ac 2 b 0b2a 2cba 2 4a 4ac 2 b 1 2a b 2cba