Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Phần một: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG Dạng 1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với mặt phẳng α cho trước PP: Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( ) α nên VTPT của (P) chính là VTPT của mặt phẳng ( ) α . Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có VTPT là α nn  = Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(-1;2;3) song song với mặt phẳng (Q): 01232 =−+− zyx Giải: Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên VTPT của mặt phẳng (P) là )2;3;2( −n  022320)3(2)2(3)1(2:)( =++−⇔=−+−−+⇒ zyxzyxPmp Dạng 2) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với 2 mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) PP: Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên [ ] 21 2 1 ,nnn nn nn    =⇒    ⊥ ⊥ với 21 ,, nnn  lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) ;(Q); (R) Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có VTPT n  . Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;-1;2) và vuông góc với 2 mặt phẳng (Q) : ;013 =+− zx (R ):2x+y-z+1=0 Giải: Gọi 21 ,, nnn  lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) ;(Q); (R) Vì    ⊥ ⊥ ⇒    ⊥ ⊥ 2 1 )()( )()( nn nn RmpPmp QmpPmp   [ ] ( ) 1;5;3, 21 −==⇒ nnn  Phương trình mặt phẳng (P) : 010530)2(1)1(5)1(3 =−+−⇔=−++−− zyxzyx Dạng 3) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A;B và vuông góc với mặt phẳng (Q) PP: Gọi 1 ,nn  lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) Vì mặt phẳng (P) đi qua A,B và mp(P) vuông góc với mặt phẳng (Q) nên [ ] BAnn BAn nn      , 1 1 =⇒    ⊥ ⊥ Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(0;1;0) và B(1;2;-2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y+3z+13=0 Giải: Gọi 1 ,nn  là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q ) có )3;1;2( 1 −=n  và )2;1;1( −=BA  vì mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q ) và mặt phẳng (P) đi qua AB nên [ ] )3;7;1(, 1 −−== BAnn   1 Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 073703)1(7:)( =+−−⇔=−−−⇒ zyxzyxPmp Dạng 4) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B,C cho trước PP: Gọi n  là VTPT của mặt phẳng (P). Vì mặt phẳng (P) đi qua A,B,C nên [ ] CABAn CAn BAn        ,=⇒      ⊥ ⊥ Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có VTPT là n  Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A (1;0;1); B(0;2;0); C(0;1;2) Giải: Gọi n  là VTPT của mặt phẳng (P) . Vì mặt phẳng (P) qua A, B, C nên [ ] CABAn CAn BAn        ,=⇒      ⊥ ⊥ . Ta có )1;1;1( )1;2;1( − −− CA BA   ⇒⇒ )1;2;3(n  Phương trình mặt phẳng (P): 3(x-1)+2y+1(z-1)=0 ⇔ 3x+2y-z-4=0 Dạng 5) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua diểm M và giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q); (R) PP: - Mọi điểm thuộc giao tuyến có toạ độ là nghiệm của phương trình gồm 2 phương trình của mặt phẳng (P) và (R) - Từ hệ chọn ra 2 điểm A, B thuộc giao tuyến sau đó viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, M như dạng 4. Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(2;0;1) và giao tuyến 2 mặt phẳng: (R): x+2y+z-4=0 (Q): 2x+y+z-4=0 Giải: Mọi điểm thuộc giao tuyến có toạ độ là nghiệm của hệ    =−++ =−++ 042 042 zyx zyx Cho z=4 )4;0;0( 0 0 02 02 A y x yx yx ⇒    = = ⇒    =+ =+ ⇒ thuộc giao tuyến Cho x=1    =+ =+ ⇒ 2 32 yx yx    = = ⇒ 1 1 z y )1;1;1(B⇒ thuộc giao tuyến ⇒ mặt phẳng (P) đi qua M,A, B.(Dạng 4) [ ] )2;3;3(,)0;1;1();3;0;2( −−−==⇒−− BMAMnVTPTBMAM      . Mặt phẳng (P) qua M nên có phương trình: -3(x-2)-3y-2(z-1)=0 ⇔ 3x+3y+2z-8=0. Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) hợp với mặt phẳng (Q) một góc α cho trước PP: Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0 (a 2 +b 2 +c 2 ≠ 0). Dựa vào giả thiết để tìm mối liên hệ a, b, c, d sau đó đưa mặt phẳng về dạng có ít tham số nhất (thông thường chứa nhiều nhất là 2 tham số trong 4 tham số a, b, c, d) Giả sử mặt phẳng (Q): kx+my+nz+q=0. Vì (P) tạo với (Q) góc α nên α cos,cos( 1 =nn   Với 1 ,nn  lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) . Từ giả thiết 1 1 . nn nn   ⇒ = α cos . Từ đó tìm các giá trị tham số thay vào ta có phương trình mặt phẳng. 2 Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt phẳng (Q): 2x-y+ 11 z+3=0 một góc 0 60= α Giải: Vì mặt phẳng (P) chứa Oz nên (P) có dạng: ax+by=0(a 2 +b 2 )0≠ VTPT mặt phẳng (P): n  (a;b;0) VTPT mặt phẳng (Q): )11;1;2( 1 −n  Có [ ] 0 1 0 60cos,cos(60)(),( =⇒= nnQP  222222 2222 444422 2 1 11)1(2. 11.02 baabbababa ba ba +=−+⇔+=−⇔= +−++ +− ⇔     −= = ⇔=+⇔ ab b abb 3 4 0 043 2 TH1: b=0 chọn a=1 ⇒ mặt phẳng (P): x=0 TH2: b= a 3 4 − chọn a=3 ⇒ b=-4 ⇒ mặt phẳng (P): 3x-4y=0 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1;0;0), B(0;-2;0) và tạo với mặt phẳng (Q): y-z+7=0 một góc α =60 0 Giải: mặt phẳng (P) có dạng: ax+by+cz+d=0. mặt phẳng (P) qua A, B nên 0 2 :)( 2 02 0 =+++−⇒      = −= ⇒    =+− =+ dczy d dxPmp d b da db da ⇔ -2dx+dy+2cz+2d=0 (*) (d 2 +c 2 )0≠ VTPT mp(P): n  (-2d;d;2c) VTPT mp(Q): )1;1;0( 1 −n  Vì mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc 60 0 0 1 60cos),cos( =⇒ nn  2 1 )1(144 2 22222 = −+++ − ⇔ cdd cd 22 4522 cdcd +=−⇔ . Bình phương 2 vế ta được: 2d 2 +8c 2 -8dc=5d 2 +4c 0384 22 =−−⇔ ddcc coi c là ẩn ta có:                + = + =         − = − = ⇔=∆ ′ ⇒=+−=∆ ′ d dd c d dd c dddd 2 72 4 724 2 72 4 724 722812)4( 222 TH1: c= ( ) 2 7 2 d − chọn d=2 72 −=⇒ c thay vào (*) có mặt phẳng (P): -4x+2y+2(2- 7 )z+4=0 ⇔ -2x+y+(2- 7 )z+2=0 TH2: c= d         + 2 72 chọn d=2 ⇒ c=2+ 7 thay vào (*) 3 Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 mặt phẳng (P): -2x+y+(2+ 7 )+2=0 Dạng 7) Tìm hình chiếu vuông góc của M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) lên mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0. PP: Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) ⇒ M là giao điểm của mp(P) và đường thẳng(    ⊥ ∆ )( :) Pmp quaM Viết phương trình tham số ( );;(:) 000 0 0 0 ctzbtyatxH ctzz btyy atxx +++⇒      += += += ∆ Vì H thuộc mp(P) thay vào phương trình mp(P) Ht ⇒⇒ Cách 2: Vận dụng khi a, b, c 0≠ . H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) HM  ⇒ cùng phương với VTPT n  (a;b;c) của mp(P) Giả sử H(x 1; y 1; z 1 ) ⇒ ax 1 +by 1 +cz 1 +d=0(1) );;( 010101 zzyyxxHM −−−⇒  (2) Có 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) . . . x x x y y z z a x x b y y c z z d ax by cz y a b c a a b b c c a b c z  − − − − + − + − − − − −  = = = = ⇒  + + + +   Ví dụ: Tìm hình chiếu vuông góc của M(3;6;2) lên mặt phẳng (P): 5x-2y+z+25=0 Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) ⇒ H là giao điểm của mp(P) và đường thẳng    ⊥ ∆ mp(P) A )( qua uPVTPTuVTCPPmp  ⇒≡⇒⊥∆ ∆ )()()( (5;-2;1) ∆ qua M(3;6;2)      += −= += ∆⇒ tz ty tx PTTS 2 26 53 :)( H )2;26;53()( tttH +−+⇒∆∈ H ∈ mp(P) ⇒ 5(3+5t)-2(6-2t)+2+t+25=0 )1;8;2(13030 −⇒−=⇒−=⇒ Htt Cách 2: Giả sử H(x 1; y 1 ;z 1 ), H ∈ (P) nên 5x 1 -2y 1 +z 1 +25=0 HMzyxHM  ),2;6;3( 111 −−− cùng phương với n  1 30 300 30 302525 1.1)2.(25.5 )2()6(2)3(5 1 2 2 6 5 3 111111111 −= − = −++− = +−− =+−−− = − = − − = − ⇔ zyxzyxzyx )1;8;2(1;8;2 111 −⇒==−=⇒ Hzyx Dạng 8) Tìm điểm M 1 đối xứng với M qua mp(P) PP: Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) là H (Dạng 7) M 1 đối xứng với M qua mp(P) ⇒ H là trung điểm của MM 1 4 Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 1 2 2 2 1 1 1 M zzz yyy xxx MHM MHM MHM ⇒      −= −= −= ⇒ Dạng 9) Viết phương trình mp(P) qua M chứa đường thẳng ∆ . PP: Trên ∆ chọn điểm M 0 ∆∈ ⇒ M 0 )(P∈ Gọi ,n  u  lần lượt là VTPT của mp(P) và VTCP của )(∆ [ ] 0 0 , MMun MMn un    =⇒    ⊥ ⊥ ⇒ Từ đó viết phương trình mp(P):    nVTPT quaM  Ví dụ: Cho M(2;3;1) và đường thẳng 51 2 2 1 :)( zyx = − − = − ∆ . Viết phương trình mp(P) chứa ( ∆ ) và đi qua M. Giải: Gọi un  , lần lượt là VTPT của (P), VTCP của )(∆ . Dễ thấy M 0 (1;2;0) PM ∈⇒∆∈ 0 )( . Ta có MM 0 (-1;-1;-1), )5;1;2( −u  . Vì mp(P) qua M chứa )(∆ nên    ⊥ ⊥ 0 MMn un    [ ] 0 , MMun   =⇒ =(6;-3;-3) ⇒ PT(P): 6(x-2)-3(y-3)-3(z-1)=0 ⇒ 2x-y-z=0. Phần hai: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1) Viết phương trình đường thẳng )(∆ đi qua 2 điểm A, B PP: Gọi u  là VTCP của BAu   =⇒∆)( . Từ đó viết pt (    ∆ uVTCP quaA  ) Dạng 2) Phương trình đường thẳng giao tuyến của 2mp(P),(Q) PP: - Xét hệ gồm 2 phương trình của mp(P),(Q) - Chọn 2 điểm A(x A ;y A ;z A ) và B(x B ;y B ;z B ) thoả mãn hệ ⇒ A, B thuộc giao tuyến. - Viết phương trình đường thẳng ( )∆ qua A, B. Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của (P): 3x+y+z-5=0 (Q): x+2y+z-4=0 Giải: Mọi điểm thuộc giao tuyến có toạ độ là nhgiệm của hệ    =−++ =−++ 042 053 zyx zyx Cho x=0 ⇒    =+ =+ ⇒ 42 5 zy zy ∈⇒    = −= )6;1;0( 6 1 A z y giao tuyến Cho x=1 )1;1;1( 1 1 32 2 B z y zy zy ⇒    = = ⇒    =+ =+ ⇒ 5 Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 ( )∆ là giao tuyến )(∆⇒ đi qua AB )( 56 1 AB(1;0;-5)uVTCP A(0;1;6) :)( Rt tz y tx PTTS qua ∈      −= = = ⇒    ≡ ∆⇒  Dạng 3) Phương trình đường thẳng )(∆ đi qua M vuông góc với mp(P). PP: nVTPTuVTCPPmp  ≡⇒⊥∆ ∆ )()( của mp(P). Từ đó viết pt    ∆ uVTCP quaA  )( Ví dụ: Cho A(1;-2;3) và mp(P): 3x-y+z-1=0. Viết phương trình đường thẳng )(∆ qua A và vuông góc với mp(P). Giải: Gọi nu  , lần lượt là VTCP của )(∆ và VTCP của(P), )1;1;3()()( −≡⇒⊥∆ nuPmp  )( 3 2 31 )( uVTCP A :)( Rt tz ty tx PTTS qua ∈      += −−= += ∆⇒    ∆  Dạng 4) Phương trình đường thẳng ( )∆ qua M ⊥ với 2 đường thẳng 21 ,∆∆ cho trước. PP: Gọi 21 ,, uuu  lần lượt là VTCP của 21 ,, ∆∆∆ . Vì [ ] 21 2 1 uuu  =⇒    ∆⊥∆ ∆⊥∆ từ đó viết phương trình    ∆ uVTCP A )(  qua Ví dụ: Cho M(2;3;-1) và 2 đường thẳng      += −= += ∆ + = − = − ∆ tz ty tx zyx 51 2 31 : 2 3 31 2 : 2 1 viết phương trình đường thẳng ( )∆ qua M vuông góc với 21 ,∆∆ Giải: Gọi 21 ,, uuu  là VTCP của 21 ,, ∆∆∆ có )5;1;3( )2;3;1( 2 1 − − u u   Vì [ ] )8;1;13(, 21 2 1 2 1 −⇒⇒⇒    ⊥ ⊥ ⇒    ∆⊥∆ ∆⊥∆ uuuu uu uu         +−= += −= ∆⇒    ∆⇒ tz ty tx PTTS qua 81 3 132 )( (-13;1;8)u VTCP A )(  Dạng 5) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt đường thẳng 1 ∆ và vuông góc với đường thẳng 2 ∆ 6 Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 PP: Chuyển đường thẳng 1 ∆ về dạng tham số (nếu 1 ∆ cho ở dạng chính tắc):      += += += ∆ ctzz btyy atxx 1 1 1 1 : Gọi 21 ,, uuu  là VTCP của 21 ,, ∆∆∆ . Giả sử ⇒=∆∩∆ H 1 H(x 1 +at;y 1 +bt;z 1 ) 2 2 ( ): . 0 quaMH MH u t  ∆ ⇒ = ⇒  ⊥ ∆    . Từ đó tìm được toạ độ điểm H. Ta có HMu   ≡ viết PTTS    ∆ u VTCP A )(  qua Ví dụ: Cho M(3;2;-1) và 1 3 21 3 : 51 3 2 1 : 2 1 + = − = − − ∆ − = + = − ∆ zyx zyx Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M vuông góc với 1 ∆ và cắt 2 ∆ . Giải: Gọi 21 ,, uuu  lần lượt là VTCP của 21 ,, ∆∆∆ . Giả sử )2;22;()3;2;3( 2 −−−−⇒+−−−⇒=∆∩∆ tttNMtttNN  . Vì 1 1 . 0MN u∆ ⊥ ∆ ⇒ = ⇔   2.(-t)+1(-2t-2)-5(t-2)=0 ⇒ 9 8t = t= 9 10 ; 9 2 ; 9 8 ( 9 10 ; 9 2 ; 9 8 ( 9 8 −−− ⇒ −−− ⇒ uNM   ) )( 9 10 1 9 2 2 9 8 3 :)( Rt tz ty tx PTTS ∈          −−= −= −= ∆⇒ Chú ý: Cách viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt 1 ∆ và vuông góc với một véctơ a  cho trước cũng tương tự . Dạng 6. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ . PP. Cách 1: - Gọi 21 ,, →→→ UUU lần lượt là VTCP của 21 ;; ∆∆∆ - Gỉa sử ⇒=∆∩∆=∆∩∆ BA 21 ; M,A,B thẳng hàng - Lấy A 1 ∆∈ ; B 2 ∆∈ là các điểm có toạ độ bằng tham số t ; t’ - Tính →→ MBMA, - M, A, B thẳng hàng BMkMA  =⇔ → Tìm t,t’ 7 Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 - Viết phương trình    = ∆ AMuVTCP quaM   PP: Cách 2: ∆ qua M và cắt 21 ;∆∆ ∆⇒ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) ; (Q). Trong đó: (P) qua M chứa 1 ∆ (Q) qua M chứa 2 ∆ Viết pt )(∆ là giao tuyến của (P) và (Q) (Dạng2) Chú ý: Trong 1 số bài toán thay vì viết ∆ qua M cắt 21 ,∆∆ có thể là: Viết đường thẳng ∆ qua M cắt 21 ,∆∆ tại A, B mà BMkAM   .= . Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M(1;-1;1) cắt cả 2 đường thẳng      ′ −= ′ += ′ −−= ∆      −= +−= += ∆ tz ty tx tz ty tx 33 2 :; 2 1 22 : 21 Giải: Cách 1: Giả sử );33;2( )2;1;22( 2 1 tttBB tttAA ′ − ′ + ′ −−⇒=∆∩∆ −+−+⇒=∆∩∆ Ta có )1;34;3();1;;21( tttBMtttAM ′ −− ′ + ′ −−−+   . Vì ∆ qua A, M, B . ,A M B⇔ thẳng hàng AMkBM   .=⇔      −= ′ + = ′ + += ′ −− ⇔      −= ′ + = ′ + += ′ −− ⇔ )3(1 )2(34 )1(23 )1(1 34 )21(3 kktt ktt ktkt tkt ktt tkt Từ (2) và (3) kt = ′ +⇒ 23 Từ (1) và (3) 4 19 335 − = ′ ⇒= ′ −−⇒ tkt ) 9 5 ; 9 6 ; 9 13 () 9 5 ; 9 6 ; 9 13 ( −− ≡⇒ −− ⇒ BMuBM    . Chọn )5;6;13( −−u  PTTS      += −−= −= ∆ tz ty tx 51 61 131 )( Cách 2: Gọi (P) là mp qua M chứa 1 ∆ , (Q) là mp qua M chứa 2 ∆ :)( 1 ∆ qua M 1 (2;-1;2) có VTCP )1;1;2( 1 −u  , )( 2 ∆ qua M 2 (-2;3;0) có VTCP )1;3;1( 2 −−u  . (*)mp(P) qua MM 1 chứa [ ] 11 1 1 1 ,)( MMun un MMn P P P     =⇒    ⊥ ⊥ ⇒∆ có )1;3;1()1;0;1( 1 −−⇒ P nMM   )1(0330)1(1)1(3)1(1:)( =−−−⇔=−−+−−⇒ zyxzyxPm p (*)mp(Q): qua MM 2 chứa 2 ∆ [ ] 22 2 2 , MMun MMn un Q Q Q      ⇒      ⊥ ⊥ ⇒ 8 Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 )2(04520)1(5)1(2)1(1:)()5;2;1()1;4;3( 2 =−++⇒=−+++−⇒⇒−− zyxzyxQmpnMM Q   (*)Đường thẳng ∆ là giao tuyến của (P) và (Q) Mọi điểm thuộc ∆ có toạ độ là nghiệm của hệ    =−++ =−−− 0452 033 zyx zyx Cho z=0 )()0; 5 1 ; 5 18 ( 5 1 5 18 42 33 AA y x yx yx ∈⇒        = = ⇒    =+ =− ⇒ Cho x=0 ) 13 18 ; 3 19 ;0( 13 18 3 19 452 33 − ⇒        = − = ⇒    =+ =−− ⇒ B z y zy zy ∆ qua AB          = −= −= ∆⇒ −− ≡⇒ tz ty tx PTTSBAu 13 18 15 149 5 1 5 18 5 18 )() 13 18 ; 15 149 ; 5 18 (   Chú ý: Việc tìm ra ∆ có 2 cách khác nhau về mặt hình thức nhưng bản chất đó là 1 phương trình. Bạn đọc tự suy nghĩ tại sao? Dạng 7) - Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng ∆ - Tìm điểm M 1 đối xứng với M qua đường thẳng ∆ PP: - Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ⇒∆∈⇒∆ )()( H toạ độ H theo phương trình tham số của )(∆ . uuHMHM   (0.)( =⇒∆⊥ là VTCP của )(∆ ). Từ đó giải phương trình tìm giá trị tham số H⇒ . - Gọi M 1 là điểm đối xứng với M qua ⇒∆)( H là trung điểm của MM 1 ⇒      −= −= −= ⇒ MHM MHM MHM zzz yyy xxx 2 2 2 1 1 1 toạ độ M 1 Ví dụ: Tìm hình chiếu vuông góc của M(1;0;2) lên đường thẳng 2 1 2 3 1 2 : − − = − = + ∆ zyx từ đó suy ra toạ độ điểm M 1 đối xứng với M qua )(∆ . Giải: Đường thẳng ∆ có VTPT )2;2;1( −u  đi qua M 0 (-2;3;1)      −= += +−= ∆⇒ tz ty tx PTTS 21 23 2 )( 9 Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên )21;32;2()()( tttHH −++−⇒∆∈⇒∆ )12;32;3( −−+−⇒ tttHM  có 0)12(2)32(2)3(10.)( =−−−++−⇔=⇒∆⊥ tttuHMHM   )1;5;1(1 −−⇒=⇔ Ht M 1 đối xứng với M qua ⇒∆)( H là trung điểm của MM 1      −=−= =−= −=−= ⇒ 42 102 32 1 1 1 MHM MHM MHM zzz yyy xxx )4;10;3( 1 −−⇒ M Dạng 8) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ lên mp(P) PP: Tìm giao điểm của( 1 ∆ ) và mp(P). Nếu ( IP =∩∆ )() 1 ta làm như sau: - Chọn 1 điểm M trên )( 1 ∆ (M không trùng với I) - Tìm hình chiếu ⊥ của M lên mp(P) .Gọi là điểm H - ∆ cần tìm là đường thẳng đi qua I và H • Nếu =∩∆ )(P ⇒∆⇒ P// 1 φ Đt ( ∆ )cần tìm là đường thẳng // với 1 ∆∆ ≡⇒∆ UU  - Chọn 1 điểm M bất kì 1 ∆∈ - Tìm hình chiếu ⊥ của M lên (P) là H - ∆ cần tìm là : + đường thẳng đi qua H + có VTCP U  • Nếu ⊥∆ 1 (P) thì hình chiếu vuông góc của 1 ∆ lên (P) là giao điểm I Ví dụ 1: Cho đường thẳng 1 2 32 1 : + = − = − ∆ zyx và mp (P) : x + y – 3z – 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu ⊥ của ( ∆ ) lên mp (P) Giải: Gỉa sử =∩∆ )(P I ⇒ I )(∆∈ PTTS ( ∆ ) )2;3;21( 2 3 21 tttI tz ty tx +−−+⇒      +−= −= += I ∈ (P) ⇔ 1 + 2t + ( -3t ) - 3 ( -2 + t ) – 3 = 0 4−⇔ t = -4 ⇔ t = 1 ⇒ I ( 3 ; -3 ; -1 ) Xét M ( 1 ; 0 ; -2 ) )(∆∈ Gọi H là hình chiếu ⊥ của M lên (P) ⇒ H là giao điểm của của đường thẳng 1 ∆ (qua M (1;0;-2) vuông góc với mp(P)) và mp(P) Gọi nu  , 1 là VTCP của đường thẳng 1 ∆ và VTPT của mp(P) )3;1;1( 1 −=⇒ nu       −−= = += ∆⇒ '32 ' '1 )( 1 tz ty tx PTTS ⇒ H (1 + t’; t’ ;-2-3t’) H ∈ ( P ) ⇒ 1 + t’ + t – 3 ( -2 – 3t’)-3=0 11 4 '4'11 − =⇒−=⇒ tt ) 11 10 ; 11 4 ; 11 7 ( −− ⇒ H 10 [...]... 1 ) ⇒ u ≡ u1 - Xét 1 điểm M ∈ ∆ 1 Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) - Tìm điểm M đối xứng với M qua (P)  - Viết phương trình đường thẳng (∆) qua M’ có VTCP u x −1 y z + 2 = = Ví dụ 1: Cho ∆ 1 : và mp(P): x+y-3z-3=0 Viết phương trình ∆ đối 2 3 1 xứng với ∆ 1 qua mp(P) Giải: giải như ví dụ 1 dạng 8 ⇒ giao điểm của ∆ 1 và ∆ là I(3;-3;-1) 7 − 4 − 10 ; ) Hình chiếu vuông góc của M(1;0;-2) ∈ ∆1... C(0;0;3) a) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua O vuông góc với mặt phẳng (ABC) b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) Bài 3) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 6x+3y-4z=0 và các điểm A(0;0;4); B(2;0;2) a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt... 6) Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d1  y = −1 − t và d2: −1 2 1 z = 2  a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với d2 b) Tìm A trên d1 và B trên d2 sao cho AB ngắn nhất Bài 7) Trong không gian Oxyz cho A(0;0;0) và B(2;0;0), C(0;2;0); A’(0;0;2) a) Chứng minh A’C vuông góc với BC Viết phương trình mặt phẳng (ABC’) b) Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc... gian Oxyz cho A(1;1;0); B(0;2;0); C(0;0;2) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC Tìm toạ độ giao điểm AC và mặt phẳng (P) b) Chứng minh ABC là tam giác vuông.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 9) Trong không gian Oxyz cho M(5;2;-3) và mặt phẳng (P): 2x+2y-z+1=0 a) Tìm hình chiếu vuông góc M1 của M trên mặt phẳng (P) và tính độ dài MM1 b) Viết phương. .. NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: x −1 y z − 2 = = 2 1 2 1 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d 2 Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α ) lớn nhất Giải:  1 Đường thẳng d có VTCP u (2;1; 2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên , suy uuu ra H(1+2t;t;2+2t) và AH =(2t-1;t-5;2t-1)... Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 4x-3y+11z-26=0 x y − 3 z +1 x−4 y z −3 = = = = Và 2 đường thẳng d1: d2: −1 2 3 1 1 2 Chứng minh d1 và d2 chéo nhau và viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P) đồng thời cắt d1 và d2 Bài 5) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình  x = 2u x = 1 + t   d1:  y = −2 + 3u d2:  y = 2 + t  z = 4u  z = 1 + 2t   a) Viết phương trình mặt... = Ví dụ 2: Cho ∆ 1 : và mp(P): x+4y-3z+1=0 Viết phương trình đường 2 1 2 thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của ∆ 1 lên (P)  x = 1 + 2t  Giải: PTTS ∆ 1 :  y = t  z = −2 + 2t  Giả sử (∆ 1 ) ∩ ( P ) = I ⇒ I ∈ (∆ 1 ) ⇒ I (1 + 2t ; t ;−2 + 2t ) I ∈ ( P ) ⇔ 1 + 2t + 4t − 3(−2 + 2t ) + 1 = 0 ⇔ 8 = 0( vô lý) ⇒ (∆1 ) không cắt (P) ⇒ ( ∆1 ) //(P)  (∆) là hình chiếu vuông góc của ∆ 1 lên (P) thì ∆ // ∆ 1... mp(P):x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1) và B(1;-1;3) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P) Hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất Giải: Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm, ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P) Phương trình (Q): x-2y+2z+1=0 K, H là hình chiếu của B trên ∆ , (Q) Ta có BK ≥ BH nên AH là đường thẳng cần tìm  x −1 y +1 z − 3 = = 1 11... :  y = −3 + t ∆ là đường thẳng qua I, M : u ≡ IM ′ ( 11 11 11 11  13   z = −1 + 11 t  x −1 y z + 2 = = Ví dụ 2: Cho ∆ 1 : và mp(P): x+4y-3z+1=0 Viết phương trình (∆) đối 2 1 2 xứng với ∆ 1 qua (P) Giải: giải như ví dụ 2- dạng 8 9 − 16 − 14 ⇒ Hình chiếu vuông góc của M(1;0;-2) thuộc ∆ 1 lên mp(P) là H ( ; ; ) 13 13 13 Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua (P) ⇒ H là trung điểm của MM’ −5   x M ′... MA 2 + MB 2 nhỏ nhất Bài 12) Trong không gian Oxyz cho A(-1;3;-2);B(-3;7;-18) và mặt phẳng(P):2x-y+z+1=0 a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất x +1 y − 2 z − 2 = = 3 −2 2 a) Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của M trên d và tìm điểm đối xứng với M qua d x = 2  b) Lập phương trình đường thẳng d1 đối xứng với d2 qua . KIÊN 0988844088 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Phần một: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG Dạng 1) Phương trình mặt. nghiệm của phương trình gồm 2 phương trình của mặt phẳng (P) và (R) - Từ hệ chọn ra 2 điểm A, B thuộc giao tuyến sau đó viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, M như dạng 4. Ví dụ: Viết phương. thẳng ∆ PP: - Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ⇒∆∈⇒∆ )()( H toạ độ H theo phương trình tham số của )(∆ . uuHMHM   (0.)( =⇒∆⊥ là VTCP của )(∆ ). Từ đó giải phương trình tìm giá