Chương 8: Hàm xấp xỉ - phép nội suy 1. Hàm xấp xỉ Một trong những tư tưởng cơ bản của phần tử hữu hạn là xấp xỉ đại lượ ng cần tìm trong mỗi miền con – phần tử V e . Điều này cho phép kh ả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn mi ền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạng hàm x ấp xỉ đơn giản. Vì vậy, bước quan trọng đầu tiên cần nói đến là vi ệc chọn hàm đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong ph ạm vi mỗi phần tử. Hàm đơn giản thường được chọn ở dạng đa thức vì 3 lí do sau: + Đa thức khi được xem như tổ hợp tuyến tính của các đơn thức thì t ập hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính như yêu cầu của Rits, Galerkin. + Hàm xấp xỉ ở dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công th ức khi xây dựng các phương trình của phương pháp phần t ử hữu hạn và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt dễ đạo hàm, tích phân. + Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ (Về mặt lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghi ệm chính xác). Tuy nhiên trong thực tế ta cũng chỉ thấy các đa thức xấp xỉ bậc thấp mà thôi. Chú ý là các hàm đa thức xấp xỉ ở dạng lượng giác cũng có tính chất và ưu điểm như trên nhưng ít dùng. 2. Phép nội suy Trong phương pháp phần tử hữu hạn các hệ số của hàm xấp xỉ dạng đa thức được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cả giá trị đạo hàm) tại một điểm nút được định trước trên phần tử. Nói cách khác là hàm x ấp xỉ được nội suy theo các giá trị (hoặc các đạo hàm) của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vi m ỗi phần tử đại lượng cần tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa b ằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả đạo hàm) của chính nó t ại điểm nút của phần tử. Hình 2.1 Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange Các hàm đa thức bất kì được biểu diễn bằng hàm xấp xỉ bằng các đa thức bậc 0, bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo các giá trị) của hàm tại các điểm định trước (điểm nút). Phép xấp xỉ này được g ọi là phép nội suy Lagrange. N ội suy Hecmit: Khác với phép nội suy Lagrange, nội suy Hecmit là phép x ấp xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 nào đó tại điểm cơ sở. Hình 2.2. Hàm nội suy Hecmit 3. Chọn bậc đa thức xấp xỉ (hay hàm xấp xỉ ) Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới những yêu cầu sau: Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ: Đây là một yêu c ầu quan trọng vì phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số và do đó phải đảm bảo được rằng khi kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy đa thức xấp xỉ u e phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:  Liên tục trong phần tử V e  Bảo đảm tồn tại trong phần tử trong trạng thái đơn vị ( hằng s ố ) và các đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi. I(u) = , ,, ( ) ( , , , , , ) r V F x u u u u dx  Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r – 1) là liên t ục. Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng của hình học. Có như vậy các xấp xỉ mới độc lập với hệ tọa độ phần tử. Muốn vậy dạng các đa thức được chọn từ các tam giác Pascal (cho bài toán 2 chi ều) hay từ tháp Pascal (bài toán 3 chiều). Các s ố phần tử của {a} tức số tham số của đa thức xấp xỉ phải b ằng số bậc tự do của phần tử q e . Yêu cầu này cho khả năng nội suy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút. 4. Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vectơ các bậc tự do của phần t ử. Ma trận các hàm dạng Bậc tự do của một nút (Nodal Degree Of Freedom) là các giá tr ị (có thể cần cả giá trị đạo hàm) của hàm (hay đa thức) xấp xỉ tại nút. T ập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phân tử được gọi là vectơ các bậc tự do của phần tử, ký hiệu là { q} e . Hay trong vật r ắn thường gọi là vectơ chuyển vị nút phần tử. Và các bậc tự do này (hay các chuy ển vị nút) là ẩn số của bài toán khi phân tích theo Phương pháp phần tử hữu hạn:       1 2, 3 4, 5 6 , , , , , , , , T i i j j k k e T e q u v u v u v q q q q q q   Tóm lại: Nếu phần tử e có r nút và mỗi nút có s bậc tự do thì vectơ chuyển vị nút phần tử {q} e có số thành phần n e = s x r Trong ph ần tử hữu hạn các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo vectơ các bậc tự do phần tử {q} e hay người ta nói rằng các đa thức này được nội suy theo {q} e . Khi đó ta có:   3 4 2 4 5 q q q q q                (2.2) Điều này dễ thực hiện được bằng cách thay tọa độ các nút vào các đa thức xấp xỉ rồi thực hiện đồng nhất, cụ thể: (2.3) Trong đó: [A] là ma trận vuông (n e x n e ) và chỉ chứa tọa độ các điểm nút ph ần tử.       ' 1 e a A q   (2.4)             1 ( , , ) ( , , ) ( , , e u x y z P x y z a P x y z A q          ( , , ) e e u x y z N q  (2.5) Với :       1 ( , , ) N P x y z A   (2.6) và được gọi là ma trận các hàm nội suy, hay các ma tr ận hàm dạng Ví d ụ: Tìm ma trận hàm dạng của phần tử lăng trụ chịu kéo – nén d ọc trục (hình dưới) Nên đa thức xấp xỉ u(x) đòi hỏixấp xỉ tuyến tính: U(x) = a 1 + a 2 x (0 ≤ x ≤ L )       1 2 1 ( ) a x P x a a           Do {a}ch ỉ có 2 tham số chuyển vị nút {q} e của phần tử cũng chỉ có 2 bậc tự do: đó là chuyển vị dọc trục x của 2 điểm nút đầu và cu ối của phần tử. Hay ta có vectơ chuyển vị nút phần tử như sau:       1 2 1 2 , , T T e e e q q q u u   Điều này cũng phù hợp với yêu cầu đảm bảo tương thích về biến dạng của bài toán kết cấu đang xét. Mọi điểm chỉ tồn tại chuyển vị và bi ến dạng dọc trục, cụ thể là u(x) và є x 2 2 1 1 2 2 L L N du U dx E J dx E J dx           Thực hiện đồng nhất phương trình 2.2 ta có: Vậy:       1 2 1 ( ) 1 0 1 ( ) 1 0 1 1 P x A L P x A L L                                Theo (2.5) ta có các ma trận hàm dạng:       1 1 0 ( ) . 1 1 1 e x N P x A L L L                             1 2 ( ) ( ) N x N x  (2.6) Cu ối cùng ta có thể biểu diễn đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục theo các chuyển vị nút phần tử:     1 2 ( ) 1 e e q x x u x N q q L L                         Hay 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 i i i x x u x N x q q q L L             Các hàm N i (x) trong 2.6 còn có tên là các hàm nội suy Lagrange bậc1 có đồ thị như trên. . Chương 8: Hàm xấp xỉ - phép nội suy 1. Hàm xấp xỉ Một trong những tư tưởng cơ bản của phần tử hữu hạn là xấp xỉ đại lượ ng cần tìm trong mỗi miền con – phần tử. tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy đa thức xấp xỉ u e phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:  Liên tục trong phần tử V e  Bảo đảm tồn tại trong phần tử trong trạng thái. tính như yêu cầu của Rits, Galerkin. + Hàm xấp xỉ ở dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công th ức khi xây dựng các phương trình của phương pháp phần t ử hữu hạn và tính toán bằng