1vansitran@gmail.com-01689583116 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x− Đặt x = |a| sint; với ; 2 2 t π π   ∈ −     hoặc x = |a| cost; với [ ] 0;t π ∈ 2 2 x a− Đặt x = a sint ; với { } ; \ 0 2 2 t π π   ∈ −     hoặc x = a cost ; với [ ] 0; \ 2 t π π   ∈     2 2 a x+ Đặt x = |a|tant; với ; 2 2 t π π   ∈ −  ÷   hoặc x = |a|cost; với ( ) 0;t π ∈ a x a x + − hoặc a x a x − + Đặt x = acos2t ( ) ( ) x a b x− − Đặt x = a + (b – a)sin 2 t 2 2 1 a x+ Đặt x = atant; với ; 2 2 t π π   ∈ −  ÷   Bài 1: Tính 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ Giải: Đặt x = cost, ; 2 2 t π π   ∈ −     . ⇒ dx = - sint dt Đổi cận: x 2 2 4 π t 1 0 Khi đó: 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ = 0 2 2 4 1 os .c t sint dt cos t π − − ∫ = 4 2 0 sin .sint t dt cos t π ∫ = 2 4 2 0 sin t dt cos t π ∫ = 4 2 0 1 1 dt cos t π   −  ÷   ∫ = = ( ) tan 4 0 t t π − = 1 4 π − . (vì 0; 4 t π   ∈     nên sint 0 sin sint t≥ ⇒ = ) Bài 2: Tính 2 2 2 0 a I x a x dx= − ∫ Giải: Đặt x = asint, ; 2 2 t π π   ∈ −     . ⇒ dx = acostdt 2vansitran@gmail.com-01689583116 Đổi cận: x 0 a t 0 2 π Khi đó: 2 2 2 0 a I x a x dx= − ∫ = ( ) 2 2 2 2 2 0 sin 1 sin .a t a t acostdt π − ∫ = 2 4 2 2 0 sina tcos tdt π ∫ = 4 2 2 0 sin 2 4 a tdt π ∫ = = ( ) 4 2 0 1 4 8 a cos t dt π − ∫ = 4 1 sin 4 2 8 4 0 a t t π   −  ÷   = 4 16 a π Bài 3: Tính 1 2 2 0 1I x x dx= − ∫ Giải: Đặt x = sint, ; 2 2 t π π   ∈ −     . ⇒ dx = costdt Đổi cận: x 0 1 t 0 2 π Khi đó: 1 2 2 0 1I x x dx= − ∫ = 2 2 2 0 sin 1 sin .t t costdt π − ∫ = 2 2 2 0 1 sin 4 tcos tdt π ∫ = 2 2 0 1 sin 2 4 tdt π ∫ = = ( ) 2 0 1 1 4 8 cos t dt π − ∫ = 1 1 sin 4 2 8 4 0 t t π   −  ÷   = 16 π Bài 4: Tính 1 3 2 0 1I x x dx= − ∫ Giải: Đặt t = 2 1 x− ⇔ t 2 = 1 – x 2 ⇒ xdx = -tdt Đổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 3 2 0 1I x x dx= − ∫ = 1 2 2 0 1I x x xdx= − ∫ = ( ) 1 2 0 1 . .t t tdt− ∫ = ( ) 1 2 4 0 t t dt− ∫ = 3 5 1 0 3 5 t t   −  ÷   = 2 . 15 Bài 5: Tính 2 5 ln e e dx I x x = ∫ Giải: Đặt t = lnx ⇒ dt = dx x Đổi cận: x e e 2 t 1 2 Khi đó: 2 5 ln e e dx I x x = ∫ = 2 5 1 dt t ∫ = 4 2 1 15 . 1 4 64t   − =  ÷   3vansitran@gmail.com-01689583116 Bài 6: Tính ( ) 1 4 3 4 0 1I x x dx= + ∫ Giải: Đặt t = x 4 + 1 ⇒ dt = 4x 3 dx 3 4 dt x dx⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 1 2 Khi đó: ( ) 1 4 3 4 0 1I x x dx= + ∫ = 2 4 5 1 2 1 1 31 . 1 4 20 20 t dt t   = =  ÷   ∫ Bài 7: Tính 2 5 0 sinI xcoxdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: 1 2 5 5 0 0 1 sin 6 I xcoxdx t dt π = = = ∫ ∫ . Bài 8: Tính 12 4 0 tanI xdx π = ∫ Giải: Ta có: 12 12 0 0 sin 4 tan 4 4 x xdx dx cos x π π = ∫ ∫ Đặt t = cos4x ; 4s 4 sin 4 4 dt dt in xdx xdx⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 12 π t 1 1 2 Khi đó: 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin 4 1 1 1 1 tan 4 ln ln 2. 1 4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t cos x t t π π = = = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 9: Tính 2 5 0 I cos xdx π = ∫ Giải: Ta có: ( ) 2 2 2 2 5 4 2 0 0 0 1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx π π π = = − ∫ ∫ ∫ 4vansitran@gmail.com-01689583116 Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 3 5 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 4 0 0 0 0 1 2 5 1 sin 1 1 2 . 0 3 5 18 t t I cos xdx x coxdx t dt t t dt t π π π π   = = − = − = − + = − + =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 10: Tính 4 4 0 1 I dx cos x π = ∫ Giải: Đặt t = tanx ; 2 1 dt dx cos x ⇒ = Đổi cận: x 0 4 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) 1 3 4 4 2 2 4 2 0 0 0 1 1 1 4 1 tan 1 . 0 3 3 t I dx x dx t dt t cos x cos x π π   = = + = + = + =  ÷   ∫ ∫ ∫ Bài 11: Tính 3 2 2 6 s cos x I dx in x π π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx ⇒ = Đổi cận: x 6 π 2 π t 1 2 1 Khi đó: 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6 6 2 2 1 (1 s ) 1 1 1 1 1 . 1 s s 2 2 cos x in x t I dx cosxdx dt dt t in x in x t t t π π π π − −     = = = = − = − − =  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 12: Tính 2 3 3 0 sinI xcos xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 5vansitran@gmail.com-01689583116 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 4 6 2 2 3 3 3 2 3 2 3 5 0 0 0 0 1 1 sin sin 1 sin 1 . 0 4 6 12 t t I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt π π   = = − = − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 13: Tính 2 2 sin 0 sin 2 x I e xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sin 2 x ; s 2dt in xdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: 2 1 2 sin 0 0 1 sin 2 1. 0 x t t I e xdx e dt e e π = = = = − ∫ ∫ Bài 14: Tính 2 2 0 sin 2 1 x I dx cos x π = + ∫ Giải: Đặt t = 1 + cos 2 x ; s 2 s 2dt in xdx in xdx dt ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 2 π t 2 1 Khi đó: ( ) 1 2 2 2 0 2 1 2 sin 2 ln ln 2. 1 1 x dt dt I dx t cos x t t π = = − = = = + ∫ ∫ ∫ Bài 15: Tính 4 3 0 tanI xdx π = ∫ Giải: Đặt t = tanx ; ( ) ( ) 2 2 2 1 tan 1 1 dt dt x dx t dt dx t ⇒ = + = + ⇒ = + Đổi cận: x 0 4 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 3 2 4 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 tan 0 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 . 0 2 2 2 2 2 d t t t t t I xdx dt t dt tdt dt t t t t t π +   = = = − = − = − =  ÷ + + + +   = − + = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 16: Tính 1 0 1 1 I dx x = + ∫ Giải: 6vansitran@gmail.com-01689583116 Đặt t = x ; 2 2t x dx tdt⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 . 0 1 1 1 t I dx dt dt t t t t x   = = = − = − + = −  ÷ + + +   ∫ ∫ ∫ Bài 17: Tính 1 33 4 0 1I x x dx= − ∫ Giải: Đặt t = 3 4 3 4 3 2 3 1 1 4 x t x x dx t dt− ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 1 33 4 3 4 0 0 1 3 3 3 1 . 0 4 16 16 I x x dx t dt t= − = = = ∫ ∫ Bài 18: Tính 0 2 1 1 2 4 I dx x x − = + + ∫ Giải: Ta có: ( ) ( ) 0 0 2 2 2 1 1 1 1 2 4 1 3 dx dx x x x − − = + + + + ∫ ∫ Đặt 1 3 tanx t+ = với ( ) 2 ; . 3 1 tan 2 2 t dx t dt π π   ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x -1 0 t 0 6 π Khi đó: 0 6 2 1 0 1 3 3 3 . 6 2 4 3 3 18 0 I dx dt t x x π π π − = = = = + + ∫ ∫ Bài 19: Tính 1 3 8 0 1 x I dx x = + ∫ Giải: Ta có: ( ) 1 1 3 3 2 8 4 0 0 1 1 x x dx dx x x = + + ∫ ∫ Đặt 4 tanx t= với ( ) 3 2 1 ; . 1 tan 2 2 4 t x dx t dt π π   ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x 0 0 t 0 4 π 7vansitran@gmail.com-01689583116 Khi đó: ( ) 1 1 3 3 2 4 4 2 8 2 4 0 0 0 0 1 1 tan 1 1 . 4 1 4 1 tan 4 4 16 1 0 x x t I dx dx dt dt t x t x π π π π + = = = = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 20: Tính 1 1 ln e x I dx x + = ∫ Giải: Đặt 2 1 ln 1 ln 2 dx t x t x tdt x = + ⇒ = + ⇒ = Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: ( ) 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ln 2 .2 2 2 . 3 3 1 e x t I dx t tdt t dt x − + = = = = = ∫ ∫ ∫ Bài 21: Tính ( ) 1 0 ln 2 2 x I dx x − = − ∫ Giải: Đặt ( ) ln 2 2 dx t x dt x − = − ⇒ = − Đổi cận: x 1 1 t ln2 0 Khi đó: ( ) 1 0 ln 2 2 2 0 ln 2 0 ln 2 ln 2 ln 2 . 0 2 2 2 x t I dx tdt tdt x − = = − = = = − ∫ ∫ ∫ Bài 22: Tính 2 2 0 1 sin cosx I dx x π = + ∫ Giải: Đặt sin tanx t = với ( ) 2 ; 1 tan 2 2 t cosxdx t dt π π   ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x 0 2 π t 0 4 π Khi đó: 2 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan 1 sin 1 tan 4 cosx t I dx dt dt x t π π π π + = = = = + + ∫ ∫ ∫ Bài 23: Tính 2 3 1 sin I dx x π π = ∫ Giải: Đặt 2 2 1 2 tan 1 tan 2 2 2 1 x x dt t dt dx dx t   = ⇒ = + ⇒ =  ÷ +   8vansitran@gmail.com-01689583116 Ta tính: 2 2 1 1 2 1 . 2 sin 1 1 tdt dx dt t x t t t = = + + Đổi cận: x 3 π 2 π t 3 3 1 Khi đó: ( ) 1 2 3 3 3 1 1 1 3 1 ln ln ln3. 3 sin 3 2 3 I dx dt t x t π π = = = = − = ∫ ∫ Bài 24: Tính ( ) 1 1 1 ln e I dx x x = + ∫ Giải: Đặt 1 ln dx t x dt x = + ⇒ = Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: ( ) 2 1 1 2 1 ln ln 2. 1 1 ln e dt I dx t x x t = = = = + ∫ ∫ Bài 25: Tính 3 1 5 0 x I x e dx= ∫ Giải: Đặt 3 2 2 3 3 dt t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: 3 1 1 1 5 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 3 3 3 3 x t t t t e I x e dx te dt te e dt e= = = − = − = ∫ ∫ ∫ Bài 26: Tính 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x I dx x x + + = − + ∫ Giải: Ta có: 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x dx dx dx x x x x x x + + +   + +  ÷ +   = = − +   − + − +  ÷   ∫ ∫ ∫ Đặt 2 1 1 1t x dt dx x x   = − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x 1 1 5 2 + 9vansitran@gmail.com-01689583116 t 0 1 Khi đó: 1 2 0 1 dt I t = + ∫ Đặt ( ) 2 tan 1 tant u dt u du= ⇒ = + Đổi cận: x 0 1 t 0 4 π Vậy 1 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan . 4 1 1 tan 4 0 dt u I du du u t u π π π π + = = = = = + + ∫ ∫ ∫ Bài 27: Tính 2 3 1 1 dx I x x = + ∫ Giải: Ta có: 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 dx x dx x x x x = + + ∫ ∫ Đặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 3 tdt t x t x tdt x dx x dx= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 1 2 t 2 3 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 2 1 2 1 dx x dx dt I dt t t t x x x x t t t t   = = = = − =  ÷ − − +   + +    −  − + = − − + = = − = =  ÷  ÷  ÷ + + −     − ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 28: Tính 2 3 2 0 3 2 1 x I dx x x = + + ∫ Giải: Ta có: ( ) 2 2 3 3 2 2 0 0 3 3 2 1 1 x x dx dx x x x = + + + ∫ ∫ Đặt 1t x dt dx= + ⇒ = Đổi cận: x 0 2 t 2 3 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 2 2 2 1 3 3 3 1 3 1 3 3 2 1 1 3 9 1 3 3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln 3 ln1 1 3 9ln3 8 1 2 2 t t t t x x I dx dx dt dt x x t t x t t t dt t t t t − − + − − = = = = = + + +     = − + − = − + + = − − − + − + − = −  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 10vansitran@gmail.com-01689583116 Bài 29: Tính ln2 2 2 0 3 3 2 x x x x e e I dx e e + = + + ∫ Giải: Đặt x x t e dt e dx= ⇒ = Đổi cận: x 0 ln2 t 1 2 Khi đó: ( ) ( ) ln2 ln 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 3 3 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 3 4 9 4 27 2 2ln 1 ln 2 2 ln3 ln 2 ln 4 ln3 2ln ln ln ln ln 1 1 1 2 2 3 4 3 16 x x x x x x x x e e e t I dx e dx dt dt e e e e t t t t dt dt t t t t + + +   = = = = − =  ÷ + + + + + + + +   = − = + − + = − − − = − = − = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 30: Tính ( ) 4 1 1 dx I x x = + ∫ Giải: Đặt 2 2x t dx tdt= ⇒ = Đổi cận: x 1 4 t 1 2 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 4 2 ln ln 1 2 ln ln 2ln . 1 3 2 3 dx tdt dt I dt t t t t t t x x t t   = = = = − =  ÷ + + +   +   = − + = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 31: Tính ( ) 1 3 2 0 1I x dx= − ∫ Giải: Đặt sin , 0; 2 x t t dx costdt π   = ∈ ⇒ =     Đổi cận: x 0 1 t 0 2 π Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 3 3 2 2 3 4 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 0 1 2 1 1 sin . . 2 1 1 1 1 1 1 sin 2 1 1 2 2 2 2 2 2 . . 1 4 2 4 4 2 8 4 2 2 2 8 0 1 1 8 8 8 cos t I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt t cos t cos t dt dt cos tdt cos tdt cos t dt dt co π π π π π π π π π π π π π +   = − = − = = = =  ÷   = + + = + + = + + + = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 1 sin 4 3 4 . . 2 8 16 8 4 8 16 16 0 t s tdt π π π π π π π = + + = + = ∫ [...]... x ⇒ dx = 2td Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: 1 I = 2 ∫ t sin tdt 0 u = t  du = dt ⇒ Đặt   dv = sin tdt v = −cosx Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: 1 1 1 1 I = −2 ( tcost ) + 2 ∫ costdt = −2 ( tcost ) + 2 ( sin t ) = 2 ( sin1 − cos1) 0 0 0 0 Xong lúc 1h49, ngày 09 tháng 04 năm 2009 23vansitran@gmail.com-01689583116 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax;... x dx x + x2 + 1 4 Giải: • Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx Đổi cận: x 0 1 t 0 1 1 1 x 1 dt I =∫ 4 dx = ∫ 2 x + x +1 2 0  1 2 3 Khi đó: 0 t + ÷ +  2 4 1 • Đặt y = t + ⇒ dy = dt 2 Đổi cận: t 0 1 1 3 y 2 2 1 Khi đó: • Đặt z = I= 3 2 1 dt 1 dy ∫  1 2 3 = 2 ∫  2 20 1 3 2 t + ÷ + 2 y + ÷  2 4  4 3 2 y ⇒ dz = dy 4 3 13vansitran@gmail.com-01689583116 Đổi cận: 1 3 y 2 2 1 z 3 3 I= 3 2 1 2∫ 1 dy = 3 4... x + 2 ⇒ dt = ( cosx − sin x ) dx Đổi cận: π x 0 4 t 2 2+ 2 Khi đó: 2+ 2 ( t − 2 ) dt =2+ 2 1 − 2  dt = t − 2 ln t 2 + 2 = 2 + 2 − 2 ln 2 + 2 − 3 + 2 ln 3 = I= ∫ ) ∫  t÷ ( t 0  0 0  ( ( ) ) 3 = 2 − 1 + 2 ln 3 − ln 2 + 2  = 2 − 1 + 2 ln   2+ 2 π 2 Bài 49: Tính I = sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) 3 dx ∫ 0 Giải: • Đặt t = 1 + sin 2 x + 2 ⇒ dt = 2sin xcosxdx = sin 2 xdx Đổi cận: π x 0 2 t 1 2 π 2 2 4 2... 2 2 2 2 2 Đặt t = ( b − a ) sin x + a ⇒ t = ( b − a ) sin x + a ⇒  tdt sin xcosxdx = 2 b − a2  Đổi cận: π x 0 2 t |a| |b| b b b−a tdt 1 1 = 2 t = 2 = Khi đó: I = ∫ 2 2 2 2 b −a a+b a b −a a t(b −a ) 2 Bài 52: Tính I = ∫ 0 x +1 dx 3 3x + 2 Giải: • Đặt t = 3 3 x + 2 ⇒ t 3 = 3x + 2 ⇒ 3t 2 dt = 3dx; x = Đổi cận: x t 0 2 2 2 3 t −2 2 5 2 3 t 2 dt = 1 t 4 + t dt = 1  t + t  2 = 1  42 − 4 2 − 1 = 37... Tính I = t3 − 2 3 2 ∫x 7 x2 + 9 Giải: • 2 2 2 Đặt t = x + 9 ⇒ t = x + 9 ( t > 0 ) ⇒ tdt = xdx; Đổi cận: x t 4 5 5 dt 1 t −3 5 1 7 = ln = ln Khi đó: ∫ 2 t −9 6 t +3 4 6 4 4 7 4 dx tdt tdt = 2 = 2 x x t −9 dx 18vansitran@gmail.com-01689583116 π 4 dx 1 + tan x 0 Bài 54: Tính I = ∫ Giải: • Đặt t = tan x ⇒ dt = Đổi cận: x 0 t 0 1 dt dt dx = ( 1 + tan 2 x ) dx ⇒ dx = = 2 2 cos x 1 + tan x 1 + t 2 π 4 1 1... xdx Đổi cận: x 0 1 t 1 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 32 1 12 2 2 I = ∫ ( t − 1) t dt − = ∫ t − t dt − = − + ∫ t dt − ∫ t dt 2 5 21 5 5 21 21 1 Khi đó: 5 3 1  1 52 2 1 32 2  2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2 = − + t − t ÷ = − + − − + = − + − =− + 5 2 5 2 31 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15 2 ( ) 20vansitran@gmail.com-01689583116 1 x I=∫ dx Bài 58: Tính −1 5 − 4 x Giải: • Đặt t = 5 − 4 x ⇒ dt = −4dx Đổi cận:... ⇒ dt = e x dx Đổi cận: x 0 1 t 1 e Khi đó: e e e e d ( t2 ) dx dt tdt 1 2tdt 1 I = ∫ 2x = = = = e + 3 ∫ t ( t 2 + 3) ∫ t 2 ( t 2 + 3 ) 2 ∫ t 2 ( t 2 + 3) 2 ∫ t 2 ( t 2 + 3 ) 0 1 1 1 1 1 e e 1 1 1 1 1  1 e2 + 3  = ∫ 2 − 2 d ( t 2 ) = ln t 2 − ln ( t 2 + 3)  =  2 − ln ÷ ÷ 1 6 2 3 1 t t +3 6 4   1 Bài 62: Tính I = dx ∫ ( 11 + 5x ) 2 −2 Giải: • Đặt t = 11 + 5 x ⇒ dt = 5dx Đổi cận: x -2 1... x 1 e Bài 63: Tính I = ∫ Giải: • Đặt t = ln x ⇒ dt = dx x Đổi cận: x t 1 e 0 1 e 1 1 sin ( ln x ) I =∫ dx = ∫ sin tdt = −cost = −cos1 + cos 0 = 1 − cos1 Khi đó: 0 x 1 0 5 2 Bài 64: Tính I = ∫ x − 9dx 3 Giải: 22vansitran@gmail.com-01689583116 t2 + 9 t = x + x2 − 9 ⇒ x = 2t • Đặt 2 t + 9 t2 − 9 t2 − 9 2 x −9 = t − x = t − = ⇒ dx = dt 2t 2t 2t 2 Đổi cận: x 3 5 t 3 9 Khi đó: 5 9 2 9  t2 9 t − 9 t2 − 9... 13vansitran@gmail.com-01689583116 Đổi cận: 1 3 y 2 2 1 z 3 3 I= 3 2 1 2∫ 1 dy = 3 4 3 dz ∫ 3 2 3  3 1 z + y2 +  3 4 ÷ 4  4 2 Đặt z = tan u ⇒ dz = ( 1 + tan u ) du Đổi cận: 1 z 3 3 π π u 6 3 Khi đó: 2 2 • Ta được: I = 1 3 1 3 ∫ 1 3 0 ( 2 x + 1) 2 Giải: • Đặt t = 2 x + 1 ⇔ x = Đổi cận: x t 1 3 3 ∫ 1 3 dz = z +1 2 π dz 1 1 + tan u 1 π 3 = 2 ∫ 1 + tan 2 u du = 3 u π = 6 3 z +1 3π 6 6 π 3 x Bài 40: Tính I = ∫ = 2 dx t −1... − t ⇒ dx = −dt 2 Đổi cận: π 0 x 2 π t 0 2 Khi đó: π  π π sin  − t ÷ 0 2 2 co s t co s x 2  I = −∫ dt = ∫ dt = ∫ dx co s t + s int co s x + s in x π π  π  0 0 sin  − t ÷ + cos  − t ÷ 2 2  2  Đặt x = π 2 Vậy I + I = 2 I = ∫ 0 π 2 π sin x + cosx π π dx = ∫ dx = x 2 = ⇒ I = 2 4 sin x + cosx 0 0 π 2 sin 3 x dx sin 3 x + cos 3 x 0 Bài 2: Tính I = ∫ Giải: π − t ⇒ dx = −dt 2 Đổi cận: π 0 x 2 . 1vansitran@gmail.com-01689583116 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x− Đặt x = |a| sint; với ; 2 2 t π π   ∈ −     hoặc. = Đổi cận: x 0 1 t 1 2 Khi đó: ( ) 1 4 3 4 0 1I x x dx= + ∫ = 2 4 5 1 2 1 1 31 . 1 4 20 20 t dt t   = =  ÷   ∫ Bài 7: Tính 2 5 0 sinI xcoxdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi. ⇒ = Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: ( ) 2 1 1 2 1 ln ln 2. 1 1 ln e dt I dx t x x t = = = = + ∫ ∫ Bài 25: Tính 3 1 5 0 x I x e dx= ∫ Giải: Đặt 3 2 2 3 3 dt t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ = Đổi cận: