Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo α . Lời giải: Do (SCI) ⊥ (ABCD) ; (SBI) ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ (ABCD) Kẻ IK ⊥ BC ⇒ SK ⊥ BC (định lý ba đường vuông góc). Ta có ( ) 2 1 1 1 . .(2 )2 . 3 3 2 SABCD ABCD V S SI a a a SI a SI= = + = (1) Mà SI = IK.tg(60 0 ) = 3 IK ; BC = BI = a 5 ; IC = a 2 BH 2 = BC 2 – HC 2 = 5a 2 – 2 2 2 a    ÷  ÷   = 2 9 2 a ⇒ BH = 3 2 2 a 2 ( ) 3 2 2 2 3 5 . . 5 5 BIC a a a S KI BC IC BH KI a    ÷   = = ⇒ = = Vậy SI = 3 5 3 15 3 5 5 a a   =  ÷  ÷   ⇒ 3 . 3 15 5 S ABCD a V = (đvtt) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Lời giải: Ta có : BD ⊥ AC; BD ⊥ SA Þ BD ⊥ (SAC) Þ BD ⊥ SO Þ · ( ) ( ) ¼ 0 , 60SOA SBD ABCD é ù = = ê ú ë û 0 2 6 tan 60 . 3 2 2 a a SA OA= = = 3 2 . 1 1 6 6 . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V SA S a= = = (đvdt) a D A B C I K 2a 60 0 S D A B C K 2a I H a a O S A B C D Bài 3: Cho hình chóp SABC có góc ( ) ( ) · 0 , 60SBC ABC = , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp S.ABC Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC. thì SM ⊥ BC, AM ⊥ BC ⇒ · ( ) 0 , 60SAM SBC ABC= = Suy ra ∆SMA đều có cạnh bằng 3 2 a Do đó 0 1 . . . 60 2 SMA S SM AM Sin= 16 3a3 2 3 . 4 a3 . 2 1 22 == Ta có SABC SBAM SAM 1 V 2V 2. .BM.S 3 = = 16 3a 16 3a .a. 3 1 32 = 3 = M C B A S M S A B Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, 3SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD. Lời giải: Thể tích của khối tứ diện SACD là: 3 1 1 3 . . . 3 6 6 SACD ACD a V SA S SA DA DC= = = (đvdt). O B C A D S 60 0 Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2AD a= , CD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và ( ) 3 2 , 0SA a a= > . Gọi K là trung điểm của cạnh DC. Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a. Lời giải: Gọi H là giao của AC và BK thì 2 2 3 3 3 a BH BK= = và 1 6 3 3 a CH CA= = 2 2 2 2 2BH CH a BC BK ACÞ + = = Þ ^ . Từ BK AC^ và ( ) ( ) ( ) BK SA BK SAC SBK SAC^ Þ ^ Þ ^ 2 3 . 1 1 6 . . .3 2. 3 3 2 S BCK BCK a V SA S a a= = = (đvdt) A H S B C D K Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD (tức SA = SB = SC = SD) và ABCD là hình vuông), cạnh đáy là a, cạnh bên làm với mặt đáy góc a ( 4 p a > ). Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và a . Lời giải: S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ( ) SH ABCDÞ ^ với H là tâm của hình vuông ABCD. 2 .tan .tan 2 a SH AH a aÞ = = Vậy thể tích hình chóp S.ABCD bằng: 2 3 1 1 2 1 . . .tan 2 tan . 3 3 2 6 ABCD a V SH S a aa a= = = H A B C D S Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với diện tích Q. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, còn các mặt bên (SBC) và (SCD) tạo với đáy lần lượt là góc ,a b . Tính thể tích hình chóp theo Q, ,a b Lời giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAB SAD ABCD SA ABCD SAB SAD SA ì Ù ^ï ï Þ ^ í ï Ç = ï î Từ AB BC SB BC^ Þ ^ (định lý ba đường vuông góc) ˆ SBA aÞ = . Tương tự ˆ SDA b= Gọi các cạnh của hình chữ nhật đáy là AB = a; AD = b; h = SA. Ta có: Q = a.b a tan tan a tan tan tan tan h b b a h b a a a a b b ü = ï ï Þ = Þ = ý ï = ï þ ( ) tan . 1 tan Q ab a a a b Þ = = .tan tan Q a a b Þ = ; ( ) tan a tan .tan .tan .tan 2 tan h Q Q a a a a b b = = = Từ (1) và (2) cho ta: 3 1 1 1 . . .tan .tan .tan .tan 3 3 3 V Q h Q Q Qa b a b= = = b l a A B C D S Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích hình chóp B.AMNC (đỉnh B, đáy AMNC) Lời giải: Từ ( ) : : MI AM ABC AI ì ï ï ^ Þ í ï ï î Mà AI BI^ (định lý ba đường vuông góc) ( ) BI AMNCÞ ^ Do đó h = BI là đường cao hình chóp B.AMNC Diện tích đáy B của hình chóp B.AMNC là hình thang vuông AMNC.  = ( ) ( ) 1 1 . 2 2 2 AM CN AC m n a+ = + Thể tích hình chóp B.AMNC là: ( ) ( ) + = = + = 2 1 1 1 2 . . . 2. 3 3 2 2 6 m n a a V B h m n a (ycbt) D C B A x y I M N Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc · SAB α = . Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a, α . Lời giải: đường xiên hình chiếu a M O B C A s D Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vuông (đáy của hình chóp A.ABCD). Ta có: SO là đường cao của hình chóp OM AB⊥ SM AB ⇒ ⊥ (định lý ba đường vuông góc) .tan tan 2 a SM AM α α ⇒ = = Định lý pitago trong µ ( ) 0 90SOM O∆ = , cho ta: 2 2 2 2 2 tan tan 1 . os2 2 2 2 2cos a a a a SO SM MO c α α α α     = − = − = − = −  ÷  ÷     , với os2 0.c α < Thể tích hình chóp: 3 2 1 1 os2 . . . . . os2 3 3 2cos 6cos ABCD a a c V SO S a c α α α α − = = − = (đvdt). Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a. Lời giải: O D A C B S M Gọi O là tâm của hình vuông ABCD SO⇒ là đường cao hình chóp. Gọi M là trung điểm AB. Ta có: OM AB SM AB ⊥ ⇒ ⊥ (định lý ba đường vuông góc). 2 2 2 2 3 2 4 4 2 a a a h SO SM MO= = − = − = 2 ABCD S a= . 2 3 2 1 2 2 . . 3 2 6 a a V a= = (đvdt) Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60 0 . Các mặt bên hợp với đáy góc 60 0 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Lời giải: O C B A D S I Gọi I là chân đường cao kẻ từ S trong .SAD∆ Ta có: các mặt bên hợp với đáy góc 60 0 , nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy sẽ cách đều các cạnh đáy. Suy ra: SO là đường cao của hình chóp. ∆ SOI vuông · os IO c SIO SI ⇒ = 2 os 3 IO SI IO c π ⇒ = = (1) ∆ AOI vuông · sin 2 sin 6 IO OI OAI OA OI OA π ⇒ = ⇒ = = (2) Từ (1) và (2): 3 2 a SI OA= = (đường cao tam giác đều). 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 9 3 2 4 4 16 4 a SI SI a h SO SI OI SI a    ÷     = = − = − = = = =  ÷   2 3 . 2 ABCD a S BD AC= = 2 3 1 3 3 3 3 . . 3 4 2 24 a a a V = = (đvdt) Bài 12: Cho tứ diện ABCD, trong đó AD vuông góc với mặt phẳng ABC, AD = 4a, AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a, a là số dương cho trước. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông, tính thể tích tứ diện đó. Lời giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 25 16 9BC a a a AC AB ABC= = + = + Þ D là tam giác vuông tại A. 2 1 1 . . .3 .4 6 2 2 ABC S AB AC a a a= = = Thể tích tứ diện: 2 3 1 1 . . .6 .4 8 3 3 ABCD ABC V S AD a a a= = = (đvdt). A C D B Bài 13: Cho một hình tứ diện SABC với SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi một và có diện tích tương ứng là 24cm2, 30cm2, 40cm2. Tính thể tích của hình tứ diện đó. Lời giải: z x y 30 cm 40 cm 24cm S C A B Đặt: SA = x, SB = y, SC = z. 2.24 48 2.30 60 2.40 80 xy yz zx ì = = ï ï ï ï Þ = = í ï ï = = ï ï î Ta lại có: ( ) 3 1 1 1 1 . . 48.60.80 .6.10.8 80 6 6 6 6 V xyz xy yz zx cm= = = = = Bài 14: Cho tứ diện SABC có cạnh ( ) .SA ABC^ Nhị diện cạnh SB là nhị diện vuông, cho biết: · · ( ) 0 0 2, 45 ,AS 0 90SB a BSC B a a= = = < < Tính thể tích tứ diện SABC. Với giá trị nào của a thì thể tích đó lớn nhất. Lời giải: S A B C Ta có : BC = SB = 2a sin 2 sinAB SB aa a= = cos 2 osSA SB a ca a= = Thể tích tứ diện: 3 1 1 2 sin 2 . . . . 3 6 6 SABC SAB a V BC S BC SA AB a D = = = (đvdt) ( ) 3 2 1 6 SABC a VÞ £ Đẳng thức trong (1), xảy ra sin 2 1 4 p a aÛ = Û = (nhọn) 3 2 max 6 SABC a VÞ = , tương ứng . 4 p a = (ycbt) Bài 15: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các điểm A, B, C. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo: OA = a, OB = b, OC = c. Lời giải: c a b O C A B K H Dựng ( ) ( ) 1OK BC BC AOK^ Þ ^ Dng ( ) OH AK OH ABC^ ị ^ ti H (do: ( ) 1 BC OHị ^ ) Khi ú ta cú: ( ) ;d O ABC OH ộ ự = ở ỷ . Xột: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ụ iO 1 1 1 ụ iO AOK vu ng ta OH OA OK BOC vu ng ta OK OB OC ỡ ù ù D ị = + ù ù ù ớ ù ù D ị = + ù ù ù ợ 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC ị = + + 2 2 2 abc OH a b c ị = + + (ycbt) Bi 16: Cho t din SABC cú cnh ( ) SA ABC^ , nh din cnh SB l nh din vuụng. Cho bit cnh 2SB a= , gúc ã 0 45BSC = , gúc ã AS 0 2 C p a a ổ ử ữ ỗ = < < ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Tớnh th tớch t din SABC. Li gii: S A B C Ta cú : ( ) ( ) 2 2 2 AS os 2 1 2cos 2 os2 ; 4 2 c SC AB SB SA a a c a p p a a a ỡ ù ù = ù ù ù ớ ù ù = - = - = - < < ù ù ù ợ Th tớch t din l: ( ) 3 1 1 2 . . . os os2 ; 3 6 3 4 2 SABC ABC V BC S BC SA AB a c c p p a a a= = = - < < (ycbt) Bi 17: Cho hỡnh tr cú cỏc ỏy l hai hỡnh trũn tõm O v O, bỏn kớnh ỏy bng chiu cao v bng a. Trờn ng trũn ỏy tõm O ly im A, trờn ng trũn ỏy tõm O ly im B sao cho AB = 2a. Tớnh th tớch t din OOAB. Li gii: Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D. Do ' à AA 'BH A D v BH^ ^ nên ( ) ' 'BH AOO A^ Suy ra : OO' ' 1 . . 3 AB AOO V BH S= Ta có: 2 2 2 2 ' ' 3 ' 'A B AB A A a BD A D A B a= - = Þ = - = 'BO DÞ D đều 3 2 a BHÞ = . Vì AOO’ là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên: 2 ' 1 2 AOO S a= Vậy thể tích tứ diện OO’AB là: 2 3 1 3 3 . . 3 2 2 12 a a a V = = (ycbt) Câu 18: Cho hình chóp SABC có đáy là hình chữ nhật với AB = a, 2,AD a SA a= = và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Lời giải: a a I M N B C A D S H A’ A B O O’ H D [...]... 3 3a 3 Vậy, thể tích khối chóp A.BCNM là: V = AH S BCNM = (đvdt) 3 50 Bài 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng j ( 00 < j < 900 ) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, j Lời giải: S D C O A B · Gọi O là giao điểm của AC và BD thì SO là đường cao của hình chóp S.ABCD Suy ra góc SAO = j a 2 a 2 Þ SO = tan j 2 2 S ABCD = a 2 Thể tích hình chóp... AI 2 Þ BI = Þ SD ABI = AI 2 AB 2 AM 2 2 3 6 2 3 1 1 a a 2 a 2 (đvdt) Þ VANIB = NH SDABI = = 3 3 2 6 36 Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCMN Lời giải: S N H M C A K B Gọi K là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc... và BD thì SO là đường cao của hình chóp S.ABCD Suy ra góc SAO = j a 2 a 2 Þ SO = tan j 2 2 S ABCD = a 2 Thể tích hình chóp S.ABCD là: 1 1 a 2 2 3 V = SO.S ABCD = tan j a 2 = a tan j (đvdt) 3 3 2 6 Bài 21: Ta có: OA = . = 16 3a 16 3a .a. 3 1 32 = 3 = M C B A S M S A B Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, 3SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD. Lời giải: Thể tích của khối. aÞ = = Vậy thể tích hình chóp S.ABCD bằng: 2 3 1 1 2 1 . . .tan 2 tan . 3 3 2 6 ABCD a V SH S a aa a= = = H A B C D S Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với diện tích Q. Các. = = Thể tích tứ diện: 2 3 1 1 . . .6 .4 8 3 3 ABCD ABC V S AD a a a= = = (đvdt). A C D B Bài 13: Cho một hình tứ diện SABC với SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi một và có diện tích