trờng đại học s phạm hà nội Khoa toán *** Đề tài Một số phơng trình quy về phơng trình bậc hai Giáo viên hớng dẫn: Ngời thực hiện: hảii dơng, năm 2006 Lời nói đầu Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chơng trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi ngời giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đợc tiến hành thờng xuyên ở trong các nhà trờng phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra đợc lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán. Đối với môn toán lớp 9, phần phơng trình bậc hai, phơng trình quy về phơng trình bậc hai là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi và thi vào trung học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về phơng trình quy về phơng trình bậc hai. Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đa ra các bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh. Trớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đa ra một hệ thống kiến thức nói về phơng trình quy về phơng trình bậc hai với một mong ớc là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho ngời dạy và ngời học trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi. Một số phơng trình đa về phơng trình bậc hai là một hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, đợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách giải của một số loại phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai.nh: Phơng trình chứa ẩn ở mẫu; phơng trình bậc ba; phơng trình bậc bốn; phơng trình vô tỷ Với mỗi loại phơng trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lu ý nhằm giúp ng- ời đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu. Do thời gian hạn hẹp cũng nh kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo tận tình của thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin trân thành cảm ơn! Phần I: Những vấn đề chung A. Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phơng trình đa về phơng trình bậc hai nhằm: + Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dỡng học sinh giỏi + Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai, từ đó có những thao tác t duy nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phơng trình này. + Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử. B. Đối t ợng nghiên cứu Nghiên cứu về các dạng phơng trình, các cách giải phơng trình nói chung và phơng trình bậc hai nói riêng. Nghiên cứu các phơng pháp dạy học toán ở trờng THCS. Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán. Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp. Phần 2: Nội dung A cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Toán học là một môn khoa học trìu tợng, đóng vai trò quan trọng trong đời sống con ngời, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ nắm bắt đợc nhiều phơng pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết đợc nhiều bài toán thực trong cuộc sống. Việc bồi dỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà trờng THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần đợc rèn luyện, phát triển t duy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức. Sự phân hoá đối tợng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ. số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tơng đối lớn, do đó nhu cầu đợc nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn. Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phơng trình và phơng trình đa về phơng trình bậc hai ở chơng trình THCS cha đợc đề cập đến nhiều. Đội ngũ giáo viên cha đợc chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào dạ bồi dỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải tự biên soạn, su tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung bồi dỡng phần kiến thức này cha có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho ngời học và ngời dạy . Nghiên cứu sách giáo khoa và chơng trình hiện hành ta thấy: SGK đại số 9 đã đa ra cho học sinh một số laọi phơng trình quy về phơng trình bậc hai nh: phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình vô tỷ, phơng trình trùng phơng, đa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì cha đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức phơng trình quy về phơng trình bậc hai. B. Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải ph ơng trình: Khi học về giải phơng trình học sinh cần nắm đợc một số kiến thức và kỹ năng sau: + Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia ) + Các hằng đẳng thức đáng nhớ + Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử + Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số + Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của phơng trình, tập xác định của một biểu thứcc + Kỹ năng biến đổi các biểu thức. + Kỹ năng giải và biện luận phơng trình bậc hai nmột ẩn, phơng trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản) C Ph ơng trình quy về ph ơng trình bậc hai I. Nhắc lại về phơng trình bậc hai một ẩn số 1. Định nghĩa: + Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng tổng quát: ax 2 +bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a 0) + Nghiệm của một phơng trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phơng trình ta đợc giá trị của hai vế bằng 0. 2. Giải và biện luận hệ ph ơng trình bậc hai *) Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (a 0) ta cần quan tâm tới biệt số của phơng trình: =b 2 - 4ac + Nếu <0: Phơng trình bậc hai vô nghiệm. + Nếu =0: Phơng trình bậc hai có nghiệm kép: x 1 =x 2 = a b 2 + Nếu >0: Phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x 1,2 = a b 2 Khi b chẵn, hay b=2b (b ) khi đó ta có: =b 2 - ac + Nếu <0: phơng trình vô nghiệm + Nếu =0: phơng trình có nghiệm kép + Nếu >0: phơng trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý : Nếu a và c trái dấu (tức a.c<0) thì phơng trình bậc hai có dạng phân biệt và trái dấu nhau (vì >0). *) Đối với một số phơng trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong trờng hợp phơng trình có nghiệm ( >=0) ta có thể dùng định lý Viet để nhẩm nghiệm của phơng trình. Định lý Vi-et Nếu phơng trình ax 2 +bx+c=0 (a 0) có nghiệm số x 1 ;x 2 ( 0) thì: x 1 +x 2 = a b x 1 .x 2 = a c Tr ờng hợp đặc biệt: + Nếu a+b+c=0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=1; x 2 = a c + Nếu a-b+c=0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=-1; x 2 =- a c *)Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phơng trình bậc hai + Phơng trình bậc hai có cùng dấu khi: 0 hay b 2 -4ac 0 x 1 .x 2 >0 0> a c + Phơng trình bậc hai có hai nghiệm dơng khi 0 hay b 2 - 4ac 0 x 1 .x 2 >0 0> a c x 1 +x 2 >0 0> a b + Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi: 0 hay b 2 - 4ac 0 x 1 .x 2 >0 0> a c x 1 +x 2 <0 0< a b + Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi: 0< a c + Phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi: x 1 .x 2 <0 0< a c x 1 +x 2 =0 hay 0= a b + Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số dơng có trị tuyệt đối lớn hơn khi: 0< a c 0> a b + Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số âm có trị tuyệt đối lớn hơn khi: 0< a c 0< a b *) Nhờ định lý Viet, ta có thể tính đợc tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa bậc n hai nghiệm của phơng trình: x nn x 21 (Với n )Z Ví dụ: Phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có hai nghiệm x 1 ;x 2 thì: x 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 2 .2)(2)( a acb a c a b xxxxx = =+=+ x 22 2 21 22 2 2 1 4 2 4 1 )(2) 2 ()(2)( a c a acb xxxxx =+=+ II. Phơng trình quy về phơng trình bậc hai: Trong trờng phổ thông ta thờng gặp một số dạng phơng trình quy về phơng trình bậc hai sau: 1. Ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu Phơng trình chứa ẩn ở mẫu là những phơng trình có ẩn số nằm ở mẫu thức của phơng trình. a) Cách giải: + Tìm tập xác định của phơng trình + Quy đồng, khử mẫu + Biến đổi phơng trình, đa phơng trình về dạng ax 2 +bx+c=0 + Giải phơng trình dạng ax 2 +bx+c=0 + Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm đợc không thuộc tập xác định của phơng trình). b ) ví dụ : Ví dụ 1: Giải và biện luận theo a và b phơng trình: 2= + ax b bx a (1) Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt: Giải Điều kiện: x :, bxa Ta có: (1) )()())((2 bxbaxabxax += 02)(32 222 =++++ abbaxbax 0)()(32 22 =+++ baxbax 2 )( ba += Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là bax += 1 2 2 ba x + = * 0 1 bax 0 1 abx * ax 2 babx 2 Vậy với a 0,0; bab thì (1) có hai nghiệm phân biệt 0 32 1 672 4 4 1 12832 4 2223 = + + ++ + x xxxxxx Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: (**) 0 32 1 )32)(2( 4 )2)(2( 1 )32)(2)(2( 4 = + + ++ + ++ xxxxxxxx TXĐ: x-2 0 2x x+2 0 2 3 x 2x+3 0 Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3) Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x-2)+(x-2)(x+2) 0484324 2 =++ xxx 056 2 =+ xx Giải phơng trình : x 2 -6x+5=0 ta đợc 2 nghiệm: x 1 =1, x 2 =5 Đối chiếu với TXĐ ta thấy x 1 = 1 và x 2 = 5 là 2 nghiệm của pt (**) c. Nhận xét: + Loại phơng trình chứa ẩn ở mẫu là loại thờng gặp ở trờng phổ thông. + Khi giải loại này cần lu ý: Cần so sánh các giá trị tìm đợc của ẩn với TXĐ trớc khi kết luận về nghiệm của phơng trình. 2. Ph ơng trình bậc ba Phơng trình bậc ba (một ẩn số) là phơng trình có dạng tổng quát: ax 3 +bx 2 +cx+d =0 Trong đó x là ẩn số, a,b,c,d là các hệ số: a 0 a) Cách giải Để giải một phơng trình bậc ba ( đối với học sinh THCS) ta thờng phải biến đổi đa về phơng trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình 2x 3 +7x 2 +7x+2=0 (*) Giải (*) (2x 3 +2)+(7x 2 +7x)=0 2(x 3 +1)+7x(x+1)=0 2(x+1)(x 2 -x+1)+7x(x+1)=0 (x+1)(2x 2 +5x+2=0 x+1=0 (1) 2x 2 +5x+2=0 (2) Phơng trình (1) cho nghiệm x=-1 Phơng trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=- 2 1 Vậy phơng trình (8) có nghiệm S= - 2 1 ;2;1 Ví dụ 2: Cho phơng trình x 3 -(2a+1)x 2 +(a 2 +2a-b)x-(a 2 -b)=0 (1) Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phơng trình đã cho. Giải: (1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x 1 =1. Do đó (1) có thể viết: (x-1)(x 2 -2ax+a 2 -b)=0. Xét phơng trình bậc hai: x 2 -2ax+a 2 -b=0 (2) =b * Nếu b<0 (2) vô nghiệm (1) có nghiệm duy nhất x=1 * Nếu b=0 (2) có nghiệm kép: x=a (1) có hai nghiệm: x=1;x=a * Nếu b>0 (2) có hai nghiệm phân biệt: (1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x=a+ ; x=a- ; c. Nhận xét: Giải phơng trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng trình tích. Khi đó, ta có một hệ thống hai phơng trình bao gồm một phơng trình bậc nhất và một ph- ơng trình bậc hai. + Ta cần chú ý tới hai tính chất của phơng trình bậc ba: ax 3 +bx 2 +cx+d=0 Nếu a+b+c+d=0 thì trong các nghiệm của phơng trình ban đầu sẽ có nghiệm là x=1. Nếu a-b+c-d=0 thì trong các nghiệm của phơng trình ban đầu sẽ có một nghiệm là:x=-1. Khi biết trớc một nghiệm, ta chia vế trái của phơng trình cho đa thức x- 1 hoặc x+1 để phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử. + Với phơng trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sự tồn tại nghiệm nguyên của phơng trình với hệ số nguyên). 3. Những ph ơng trình bậc cao quy đ ợc về ph ơng trình bậc hai 3-1 Ph ơng trình trùng ph ơng Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng: ax 4 +bx 2 +c=0. Trong đó: x là ẩn số, a;b;c;d là các hệ số; a 0 Cách giải Với loại phơng trình này khi giải ta thờng dùng phép đặt ẩn phụ x 2 =t 0. Từ đó ta có một phơng trình bậc hai trung gian: at 2 +bt+c=0, giải phơng trình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x 2 =t (Nếu những giá trị của t tìm đợc thoả mãn t 0), ta sẽ tìm đợc nghiệm số của phơng trình ban đầu. Ví dụ 1: Giải phơng trình: x 4 x 2 6 = 0 (**) Giải: Đặt x 2 =t 0 phơng trình (**) trở thành: t 2 t 6 = 0 Giải phơng trình t 2 -t-6=0 ta đợc t 1 =-2;t 2 =3 + Với t=-2(loại vì t<0) + Với t=3 3= x Vậy phơng trình (**) có hai nghiệm: S = - 3;3 Ví dụ 2: Giải phơng trình x 4 -2(m-1)x 2 -(m-3)=0 (***) Với giá trị nào của tham biến m thì phơng trình trên a) Có 4 nghiệm phân biệt. b) Có 3 nghiệm phân biệt. c) Có hai nghiệm d) vô nghiệm. Giải: Đặt x 2 =t 0 khi đó phơng trình (***) đợc quy về một phơng trình bậc hai: t 2 -2(m-1)t-(m-3)=0 (****) [...]... giảng dạy, qua nghiên cứu kết quả học tập của học sinh các lớp bồi dỡng học sinh kgá giỏi, qua trao đổi với các đồng nghiệp tôi thấy Khi bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi phần kiến thức về những phơng trình quy về phơng trình bậc hai theo những nội dung của đề tài các em đều có sự tiến bộ rõ rệt Thể hiện, các có cái nhìn toàn diện hơn về mảng kiến thức này, không còn lúng túng trong khi giải các dạng phơng . x nn x 21 (Với n )Z Ví dụ: Phơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có hai nghiệm x 1 ;x 2 thì: x 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 2 .2) (2) ( a acb a c a b xxxxx = =+=+ x 22 2 21 22 2 2 1 4 2 4 1 ) (2) 2 () (2) ( a c a acb xxxxx. có: (**) 0 32 1 ) 32) (2( 4 )2) (2( 1 ) 32) (2) (2( 4 = + + ++ + ++ xxxxxxxx TXĐ: x -2 0 2x x +2 0 2 3 x 2x+3 0 Mẫu thức chung: (x -2) (x +2) (2x+3) Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x -2) +(x -2) (x +2) 0484 324 2 =++. đợc 0 50105 7 421 2 2 2 =++ x x xx 074 105 21 50 2 2 2 =+ + + x x x x 074 5 21 25 2 2 2 =+ + + x x x x Đặt t x x =+ 5 thì 10 25 2 2 2 =+ t x x Phơng trình (****) trở thành: 07 421 )10 (2 2 =+ tt 05 421 2 2 ++ tt Giải phơng trình: 2t 2 -21 t+54+0 ta