Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải. ======================================= Tổng hợp các bài tập về phơng trình bậc hai. I. Lí thuyết cơ bản: Dạng 1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: Xét phơng trình: ax 2 + bx + c = 0. (1) ( a # 0 ) Tính : cab .4 2 = hoặc: cab .' 2' = - Nếu: 0 > hoặc 0' > Pt (1) có hai nghiệm phân biệt. a b x 2 1 + = a b x 2 2 = hoặc: a b x '' 1 + = a b x '' 2 = - Nếu: 0= hoặc 0' = Pt (1) có nghiệm kép: a b xx 2 21 == hoặc a b xx ' 21 == - Nếu: 0 < hoặc 0' < Pt (1) vô nghiệm. Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình có nghiệm: - Hoặc : a = 0, b # 0. - Hoặc: a # 0, 0 ( 0' ) Dạng 3: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có hai nghiệm phân biệt: > 0 0a Dạng 4: Tìm điều kiện của m để Pt (1) có một nghiệm: = 0 0 b a hoặc ( ) == 0'0 0a Dạng 5: a. Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu: ( ) > 0 0'0 P b. Điều kiện có hai nghiệm dơng: ( ) >= >= 0 0 0'0 a b S a c P c. Điều kiện có hai nghiệm âm: ( ) < > 0 0 0'0 S P d. Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a, c trái dấu. e. Tìm điều kiện để Pt (1) có nghiệm 1 xx = . Tìm nghiệm còn lại. - Thay 1 xx = vào Pt (1) ta đợc: 0 1 2 1 =++ cbxax tính đợc m. - Thay giá trị của m vào Pt (1) tìm đợc 21 , xx - Hoặc tính 12 xSx = , hoặc: 1 2 x P x = *. Hệ thức Vi-et và ứng dụng Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS Việt Thống ###################################################################### ################ 1 Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải. ======================================= - Định lí thuận: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0. (1) ( a # 0 ) Có hai nghiệm 21 , xx thì: 1 x + 2 x = - a b và 1 x . 2 x = - a c - Định lí đảo: Nếu có hai số x, y thoả mãn: = =+ Pyx Syx . Thì x, y là nghiệm của phơng trình: X 2 -SX+P=0 (*) Điều kiện tồn tại x, y là: 04 2 = PS Giả sử (*) có hai nghiệm 21 , XX suy ra: = = 2 1 Xy Xx hoặc = = 2 2 Xy Xx Dạng 5: Phơng trình trùng phơng: ax 4 +bx 2 +c=0. (@) Phơng pháp giải: Đặt x 2 = t 0 đa về tìm nghiệm không âm của phơng trình: at 2 +bt+c=0. ($) Phơng trình (@) có nghiệm khi và chỉ khi Pt ($) có nghiệm không âm G/s phơng trình ($) có nghiệm thoả mãn điều kiện t 0 khi đó: - Với t = 1 t x 2 = 1 t 11 tx = ; 12 tx = - Với t = 2 t x 2 = 2 t 2423 ; txtx == II. Bài tập cơ bản. Bài 1: Cho phơng trình: 2x 2 - 7x + 1=0 không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = ( 2 1 x - 1)(2 2 x - 1) trong đó 1 x , 2 x là hai nghiệm của phơng trình. Bài 2: Cho phơng trình: mx 2 -2( m+1)x+m-5 =0 a. Giải phơng trình với m = 1. b. Xác định m để phơng trình có nghiệm duy nhất. c. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn hệ thức: ( 1 x +1)( 2 x +1)=3. Bài 3: Cho phơng trình: x 2 - 5x + 2m - 1 =0 a. Giải phơng trình với m = 3. b. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x . c. Tìm giá trị của m sao cho: 1 2 2 1 19 3 x x x x + = Bài 4: Cho phơng trình: x 2 -2(m+1)x +2m+10=0 a. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x . b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 10 1 x 2 x + 2 2 1 2 x x+ Bài 5: Cho phơng trình: (m-4)x 2 -2mx +m - 2 = 0 a. Giải phơng trình với m = 3 b. Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 3 . Tìm nghiệm còn lại. c. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 6: Cho phơng trình: mx 2 -2(m +3)x +m - 2 = 0 Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS Việt Thống ###################################################################### ################ 2 Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải. ======================================= a. Giải phơng trình với m = 2 b. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x . c. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn hệ thức: 3 1 x 2 x - 2( 1 x + 2 x ) + 7=0. Bài 7: Cho phơng trình: x 2 -(m -3)x -m = 0 a. Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b. Xác định m để phơng trình có 2 nghiêm 1 x , 2 x thoả mãn hệ thức: 3( 1 x + 2 x ) - 1 x 2 x 5. Bài 8: Cho phơng trình: x 2 + 2x + m - 3 = 0 a. Giải phơng trình với m = 2 b. Định m để phơng trình có 2 nghiệm. c. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn hệ thức: 3 3 1 2 20x x+ = Bài 9: Cho phơng trình x 2 -2(m +3)x +m 2 + 8m + 6 = 0. a. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hainghiệm 1 x , 2 x thoả mãn 2 2 1 2 x x+ = 34 b. Với giá trị vừa tìm đợc của m, không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức: A = 1 2 2 1 x x x x + Bài 10: Cho phơng trình x 2 -2(m +1)x + m- 4 = 0 a. Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn hệ thức: 2 2 1 2 x x+ - 40 =0 Bài 11: Cho phơng trình: 2 x 2 - 3x -5 = 0 Gọi 1 x , 2 x là 2 nghiệm của phơng trình. Hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = 1 2 2 1 x x x x + Và B = 3 3 1 2 x x+ Bài 12: Cho phơng trình: x 2 -2(m +2)x + m+ 1= 0 a. Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b. Định m để 2 nghiệm của m thoả mãn hệ thức (3 1 x - 1)(3 2 x -1) - 1 =0 Bài 13: 3 x 2 + mx +12 = 0 a. Giải phơng trình với m = -15 b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. c. Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 1, tìm nghiệm còn lại. Bài 14: Cho phơng trình: x 2 + 2(m -1)x -2 m+ 5= 0 a. giải và biện luận theo m số nghiệm của phơng trình. b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn hệ thức: 1 2 2 1 x x x x + = 2; 2 1 x + 3 2 x = -5 Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS Việt Thống ###################################################################### ################ 3 Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải. ======================================= c. Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x để biểu thức A = 12 - 10 1 x 2 x - ( 2 2 1 2 x x+ ) đạt giá trị lớn nhất. Bài 15: Cho phơng trình: x 2 - 2(m +1)x + 2 m+ 5= 0 a. Giải phơng trình với m = 5/2. b. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm. Bài 16 : Cho phơng trình x 2 - 2(m +1)x + m 2 + 3m+ 2 = 0 a. Giải phơng trình với m = 1 b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. c. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn: 2 2 1 2 x x+ = 12 Bài 17: Cho phơng trình x 2 - ( m + n ) x - ( m 2 + n 2 ) = 0. a. Giải phơng trình với m = n = 1. b. CMR với mọi giá trị của m, n phơng trình luôn có nghiệm. c. Tìm m,n để phơng trình tơng đơng với phơng trình x 2 - x - 5 = 0. Bài 18: Cho phơng trình x 2 + mx + m - 2 = 0 a. CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. b. Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phơng trình. Hãy lập một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm 1 x , 2 x mà không phụ thuộc vào m. c. Tìm các giá trị của m để : A = 2 2 1 2 x x+ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 19: Cho phơng trình: ( m + 2) x 2 - (2m -1)x - 3+ m = 0 a. Giải phơng trình với m = 1 b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x khi đó hãy tìm m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia ( 1 x = 2 2 x ). Bài 20: Cho phơng trình : (m 2 - 3m +2) x 2 - 2mx + 1 = 0 a. Với giá trị nào của m thì phơng trình là phơng trình bậc hai. b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 21: Cho phơng trình : x 2 + (m + 1 )x + m = 0 a. CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b. Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để giá trị biểu thức B = 2 2 1 2 1 2 x x x x+ đạt giá trị nhỏ nhất. c. Tìm m để phơng trình trên và phơng trình x 2 + (m - 5 )x +7 m + 6 = 0 có nghiệm chung. Bài 22: Cho phơng trình : x 2 +2x + m + 2 = 0 a. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm. b. Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để phơng trình có nghiêm thoả mãn: 2 2 1 2 x x+ = 10 1 2 2 1 x x x x + = - 10 3 2 2 1 2 x x+ + 4 1 x 2 x = 10. Bài 23: Cho phơng trình : x 2 + 3mx + 3m - 4 = 0 a. CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt với mọi m. b. Tìm m để phơng trình có nghiệm 1 x = 4 2 3+ . Tìm nghịêm còn lại. Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS Việt Thống ###################################################################### ################ 4 Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải. ======================================= Bài 24: Cho phơng trình : x 2 - 2x + m 2 = 0 a. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm b. CMR phơng trình đã cho không thể có hai nghiệm âm. c. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn: 1 x - 2 2 x = -5 Bài 25: Cho phơng trình : x 2 - ( m + 5 )x - m + 6 = 0 a. Giải phơng trình với m = 1 b. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm 1 x = - 2 c. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn: 2 2 1 2 x x+ = 13 Bài 26: Cho phơng trình : x 2 + ( m + 1 )x +5 - m = 0 a. Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng -1. Tìm nghiệm còn lại. b. Giải phơng trình với m = -6 c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. D. Với giá trị của m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa 1 x , 2 x độc lập với m. Bài 27: Cho phơng trình : x 2 - ( 2m - 3 )x + m 2 - 3m = 0 a. CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn: 1 < 1 x < 2 x < 6 c. Xác định m để 2 2 1 2 x x+ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 28: Cho phơng trình: ( m - 1) x 2 - 2mx + m + 1 = 0 a. CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m # 1. b. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn: 1 x . 2 x = 5 Từ đó hãy tính : 2 2 1 2 x x+ c. Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm 1 x , 2 x không phụ thuộc vào m. d. Tìm m để phơng trình đã cho có nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn: 1 2 2 1 x x x x + + 5 2 = 0 Bài 29: Cho phơng trình x 2 - 2(m +1)x + m 2 - 4m+ 5 = 0 a. Giải phơng trình với m = 1 b. Tìm m để phơng trình có nghiệm. c. Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phơng trình tính : 2 2 1 2 x x+ theo m. d. Tìm m sao cho 2 2 1 2 x x+ = 12. Bài 30: Cho phơng trình x 2 - 10x - m 2 = 0 a. CMR phơng trình có hai nghiệm trái dấu với mọi m. b. CMR nghiệm của phơng trình trên là nghịch đảo nghiệm của phơng trình: m 2 x 2 + 10x - 1 = 0 ( m # 0 ) c. Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm 1 x , 2 x thoả mãn 6 1 x + 2 x = 5. Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS Việt Thống ###################################################################### ################ 5 Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải. ======================================= Bài 31: Cho phơng trình x 2 2mx +2m -1 = 0 a. Giải phơng trình với m = 1. b. Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm với mọi m. c. Đặt A = 2( 2 2 1 2 x x+ ) - 5 1 x . 2 x - Chứng minh: A = 8m 2 18m + 9 =0 - Tìm m sao cho A = 27. - Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm: 1 x = 2 2 x Bài 32: Cho phơng trình x 2 2( k-2)x 2k 5 =0 a. CMR: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi k. b. Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của k sao cho: 2 2 1 2 x x+ =18. Ngời viết: Thầy giáo Lê Văn Quỹ Giáo viên trờng THCS Việt Thống ###################################################################### ################ 6 . phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải. ======================================= Tổng hợp các bài tập về phơng trình bậc hai. I. Lí thuyết cơ bản: Dạng 1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: Xét. Thống ###################################################################### ################ 2 Các bài tập về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải. ======================================= a. Giải phơng trình với m = 2 b. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm 1 x , 2 x . c về phơng trình bậc hai Và phơng pháp giải. ======================================= Bài 31: Cho phơng trình x 2 2mx +2m -1 = 0 a. Giải phơng trình với m = 1. b. Chứng tỏ rằng phơng trình có