Chương 23: THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI V ỚI KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM Một thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm là m ột thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có các thành phần nội lực là: Các mô men uốn M x , M y và lực dọc N z (không xét đến lực cắt). Ví như ống khói vừa chị u uốn do tác dụng của gió, vừa chịu nén do tr ọng lượng bản thân, hoặc cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không thẳng góc trục thanh, thành phần thẳng góc trục thanh gây ra uốn, thành phần theo phương trục thanh gây ra nén 7.4. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG. Giả sử trên mặt cắt ngang nào đó của thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm có các thành phần nội lực: M x , M y và N z . Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm b ất kỳ (x, y) thuộc mặt cắt ngang là :   M x y  M y x  N z (7-13) J x J y F D ấu của M x , M y như qui ước trong uốn xiên. Để tranh nhầm lẫn, ta dùng công thức:    | M x | | y |  | M y | | x |  | N z | (7-14) J x J y F Vi ệc chọn dấu trước mỗi số hạng tùy theo các thành phần nội lực tương ứng gây nên ứng suất kéo hay nén tại điểm (x, y). * Ví dụ 5: Tính ứng suất pháp tại các điểm góc A, B, C, D trên mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực như hình 7.8. V ới M x = 2,4 kNm, M y = 1,5 kNm, N z = 60 kN. Kích th ước mặt cắt ngang hình ch ữ nhật 12  20 (cm 2 ). Bài giải: +      A M x B O x N z M y D C 147 z +  y +    Hình 7.8: Tính ứng su ấ t 148 3 Ta có: J  12  20 x 12  8.000cm 3 3 J  20  (12) y 12  2880cm 3 (L ực dọc N Z gây ra ứng suất kéo trên toàn mặt cắt) 2,4 10 2 10 1,5 10 2  6 60  A      8000 288 0  12  20  0,2625 KN / cm 2 2 2  B   2,4 10 800 0  10  1,5 10  6 2880  60 12  20   0,3625 KN / cm 2  C = 0,3 - 0,3125 + 0,25 = 0,2375 KN/cm 2  D = 0,3 + 0,3125 + 0,25 = 0,6825 KN/cm 2 T ại điểm D ba thành phần nội lực đều gây ra kéo nên ở đây có giá trị  lớn nhất. 7.5. THANH CHỊU KÉO (HAY NÉN) LỆCH TÂM . 1.Định nghĩa: Một thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có một thành ph ần lực song song với trục thanh nhưng điểm đặt lực nằm ngoài tr ọng tâm của mặt cắt đó. Ví như trường hợp chịu lực của một cần cẩu cố định. Các lực đặt lên cần cẩu là những lực song song với trục giá cần cẩu, hợp lực của chúng phải là một lực nào đó song song trục giá (hình 7.9a) ho ặc là bulông lệch tâm (hình 7.9b). Ta th ấy rằng thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là trường hợp đặc biệt của thanh e P 149 P x x c e y C c z N a b y Hì ) nh 7.9: Ví d ụ v ề ) l ệ ch tâm Hình 7.10:S ơ đồ bài toán l ệ ch tâ m chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm. Thật vậy ví như trên hình 7.10, tại điểm C lệch tâm có một lực N song song với trục z tác dụng. Nếu chuyển N về trọng tâm O c ủa mặt cắt ngang ta sẽ được: - L ực dọc đúng tâm N Z = N - Mô men u ốn M = Ne 150 Như vậy, chúng ta đã đưa bài toán thanh chịu kéo (hay nén) l ệch tâm về bài toán chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm. Mặt phẳng tác dụng của mô men uốn M cắt ngang theo đường OC. Gi ống như trong uốn xiên OC là đường tải trọng. Chúng ta phân tích M ra 2 thành ph ần: Mô men uốn quay quanh tr ục x và quay quanh trục y: M M x = M sin  = Ne sin = N yc = M x M y = M cos  = Ne cos = N yc = M y 2.Điều kiện bền: Nói chung, đối với thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm, hay thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm, điều kiện bền là: * Đối với thanh bằng vật liệu giòn:  max     K ;  mi n    n * Đối với thanh bằng vật liệu dẻo: max  Z     * Nếu mặt cắt ngang của thanh có dạng đối xứng cả hai trục n hư mặt cắt chữ nhật, chữ I hay hai chữ I ghép lại: , I, II, thì: M x M y  max   W x W y M x M y  min    W x W y  N z F  N z F (7-15a) (7-15b) nén . Trong đó số hạng thứ ba lấy dấu (+) ,khi N Z là lực kéo và d ấu (-) khi, N Z là lực * Ví dụ 6: Kiểm tra sức chịu lực của đất dưới móng máy, biết r ằng áp suất lớn nhất mà đất có thể chịu được là 20 N/cm 2 . Trọng lượng P của máy = 80kN và được đặt ở điểm C(0.2,0.1) . Tr ọng lượng riêng của móng máy  = 25 KN/m 3 (xem hình 7.11). Bài giải: Đối với bài toán này, chúng ta th ấy ngoài P còn có R tr ọng z P 151 1,2 m 2m C lượng của toàn móng máy, nên ta gi ải như thanh chịu u ốn đồng thời và nén đúng tâm. R Xét mặt cắt ngang ở đáy móng ti ếp xúc nền đất. Nội lực trên m ặt cắt ngang này là: N z = -(P+R) 2m = -80-25  2  1,2  2 y = -200kN (a) B y Lực -P gây ta uốn: M x = -Py C = -80  0,1= -8kNm (làm c ăng các thớ về phía âm của trục y, M x <0) M y = P x c = -80  0,2 = -16 kNm làm căng phía âm của trục x, M y < 0. (x=4, A 17) Đường trung hoà x x c 2m (y=  3) Hình 7.11: Ví dụ v ề nén l ệ ch tâm 152 3 y 3 ta có: Khi xác định được M x , M y ,N z thì căn cứ vào biểu thức xác định đường trung hoà N M M y 200 8 16   z  x  y    x      y    x  0 F J x J y 2  1,2 0,28 8 0,8 Trong đó, ta tính: J  2  1,2 x 12  0,288m 4 ; J  1,2  2 12  0,8m 4 Tư đây ta xác định được đường trung hoà như trong hình 7.11. Bây giờ ta tính ứng suất tại góc A và B:  A    M x M y max    W W  N z F  800 2  1,2 2  16 1,2  2 2  200 1,2  2   46,6KN / m 2 x y 6 6 = -4, 66 N/cm 2  M M y N  B =  min = -  B    min   x    W x W y z  12N / cm 2 F |  A | < |  B | < 20 N/cm 2 . V ậy đất dưới đáy móng chịu được áp lực do P và R tác dụng. 7.6. KHÁI NIỆM VỀ LÕI CỦA MẶT CẮT NGANG 7.6.1. Đường trung hòa trong kéo (nén) l ệch tâm: Những điểm trên đường trung hòa dĩ nhiên có giá trị ứng su ất bằng không (theo định nghĩa), cho nên từ biểu thức (7-13) chúng ta cho vế phải bằng 0 thì sẽ tìm được đường trung hòa: M x  y  M y  x  N z  0 (a) J x J y F Trong tr ường hợp riêng (kéo hoặc nén lệch tâm) thì (a) sẽ là: N.y c  y   N.x c  x  N  0 153 x r r r  (b) J x J y F Chia t ất cả cho N ta được: 1  y c  y  x c  x  0 (c) F Ta đã biết J x F J x  r 2 ; F J y F J y 2 F y T ừ (c) => 1  y c  y  x c  x  0 (d) 2 2 x y N ếu đặt r 2 a   y x c r 2 ; b   x y c (7-16) 154 x c Cuối cùng đường trung hòa có d ạng: x  y  1 (7-17) a b Giá tr ị a và b là hoành độ và tung độ trên trục hoành và trục tung mà đường trung hòa đi qua nó. Đường trung hòa trong kéo (nén) lệch tâm có những tính chất sau: 1- Đường trung hòa không phụ thuộc vào giá trị của lực, mà ch ỉ phụ thuộc tọa độ của điểm đặt lực, đường trung hòa và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong các góc phần tư đối đỉnh qua gốc tọa độ (v ì a, b bao giờ cũng ngược dấu với x c và y c , hình 17.12a). 2- N ếu điểm đặt lực nằm trên trục x thì y c =0, do đó b = ; có ngh ĩa là đường trung hòa nằm song song với trục y và ngược lại. 3- Khi điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng không qua g ốc tọa độ, thì đường trung hòa sẽ xoay quanh một điểm trên mặt phẳng của mặt cắt ngang. b O x a y c Đường trung x P do P K 1 P O C x O 2 C 1 C Đường trung ho 2 à C do P y y y a) b) c) Hình 7.12: Xác đị nh các tính chất c ủ a Điều này được chứng minh trên h ờ ình 7.12b, trong đó ta giả sử điể m đặt lực C di chuy ển trên đường thẳng  và rõ ràng lực P có thể phân thành hai thành ph ần theo hệ lực song song P 1 và P 2 mà các điểm đặt lực c ủa nó nằm trên trục x là C 1 và trục y là C 2 . Đường trung hoà 155 tương ứng với lực P 1 sẽ song song với trục y và vị trí đường trung hoà này đã xác địn. Hai đường trung hoà này giao nhau tại điểm K. Chúng ta chú ý m ột điểm tại điểm K, thì ứng suất do P gây ra cũng bằng không (vì theo nguyên lí cọng tác dụng thì ứng suất tại K do P gây ra c ũng là bằng tổng ứng suất gây ra tại đó do P 1 và P 2 sinh ra bằng 0. Vậy điểm K cũng là điểm đi qua đường trung hoà ứng với lực P tác dụng. Đến đây ta có thể nói các đường trung hoà đều xoay quanh điểm K khi điểm đặt lực chạy trên đường thẳng , xem hình 7.12b. 4-N ếu điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng đi qua g ốc toạ độ (hình 7.12c), thì đường trung hoà sẽ dịch chuyển song song với chính nó. N ếu điểm đặt lực C tiến gần về gốc toạ độ O, thì đường trung hoà s ẽ lùi ra xa và ngược lại nếu điểm C lùi xa thì đường trung hoà sẽ tiến gần về gốc toạ độ O.Ta chứng minh điều này: [...]... chất trên rất quan trọng trong thực tế như việc xác định lõi của mặt cắt mà ta sẽ trình bày sau 7.6.2 Lõi của mặt cắt ngang: * Trong các công trình xây dựng, thủy lợi, cơ khí chúng ta thường gặp những vật liệu chủ yếu chỉ chịu được lực nén, chịu kéo rất kém như nền đất ở nơi tiếp giáp giữa móng và nền Vì vậy trong khi thiết kế các công trình chịu nén lệch tâm, ta phải xác định vị trí của điểm đặt lực . N yc = M y 2.Điều kiện bền: Nói chung, đối với thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm, hay thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm, điều kiện bền là: * Đối với thanh bằng vật liệu giòn:  max     K. L ực dọc đúng tâm N Z = N - Mô men u ốn M = Ne 150 Như vậy, chúng ta đã đưa bài toán thanh chịu kéo (hay nén) l ệch tâm về bài toán chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm. Mặt phẳng tác dụng. Chương 23: THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI V ỚI KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM Một thanh chịu uốn đồng thời với kéo