M Chương 20: NGUYÊN TẮC CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN SIÊU TÍNH Ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập ta cần phải lập thêm phương M A C B a b trình biến dạng nữa mới giải đượ c. * Ví dụ 7: Hãy vẽ biểu đồ M z của thanh chịu xoắn như hình ve 6.15. Cho biết a, b, M. Giải: Bỏ ngàm tại A,B và thay vào đó M A M mô men phản lực M A , M B . Ph ương trình B cân bằng tĩnh học độc lập :m z = 0, suy ra A C B a b M A M-M B M A + M B = M (1) Để hệ mới tương đương với hệ cũ ta có ph ương trình biến dạng:  AB = 0 M B 13 1 Hình 6.15:Gi i siêu 132 h cho nên :  M B b  (M  M B )a  0 (2) GJ p GJ p T ừ (1) và (2) , ta có: M B  a a  b M ; M A  b M a  b Khi đã có các giá trị phản lực M A , M B và tải trọng M thì ta d ễ dàng vẽ biểu đồ mô men xoắn (như ở hình 6.15). Sau đó thì các bài toán v ề xoắn ta có thể dễ dàng giải quyết như đã làm với các bài toán t ĩnh định ở trên. 6.10. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN Lò xo là một chi tiết thường gặp và được sử dụng rộng rãi trong k ỹ thuật như trong các bộ phận giảm chấn động, trong các đệm đỡ ở các toa tàu lửa Có nhiều dạng lò xo, nhưng ở đây chủ yếu ta nghiên cứu loại lò xo hình trụ có bước ngắn. Trên hình 6.16 biểu diễn lò xo với các thông số sau: D là đường kính trung bình c ủa lò xo; h là bước của lò xo;  là góc nghiêng của vòng lò xo đối với mặt thẳng góc với trục lò xo (góc này thường rất bé), vì vậy bước lò xo rất ngắn; n là số vòng lò xo. 6.10.1. Ứng suất trên mặt cắt lò xo: a) P    b) c) P A B  Q M M Q D d A B  M P Hình 6.16: Tính toán lò xo Ta cắt lò xo bằng mặt cắt chứa trục vuông góc với dây lò xo (vì lò xo b ước ngắn) nên mặt cắt đó xem như tròn (hình 6.16b). Chia lò xo ra 2 ph ần, ta xét sự cân bằng của phần trên chẳng hạn. 133 Để cân bằng với lực kéo P thì trên mặt cắt dây phải có lực cắt Q và mô men M xo ắn. Dễ dàng xác định: Q = P và M = P  D . 2 Lực cắt Q sẽ sinh ra một ứng suất tiếp ở trên đường kính xem nh ư hằng số và được xác P 4P định :  Q =   F D 2 (6-16) Mô men xo ắn M sẽ sinh ra ứng suất tiếp và cực đại ở chu vi, được xác định như trong bài toán xoắn thanh tròn: 134  m a x 3   M = M  P.D W P 2.  d  8.P.D  .d 3 (6-17) 16 Nhìn vào m ặt cắt ở hình 6.16c trên đường kính AB ta thấy ở mép B, thì ứng suất tiếp do Q và M đều cùng chiều. Vậy tại mép trong của lò xo ứng su ất tiếp sẽ là:  max =  Q +  M = 4P  8PD  8PD  1  d    (6- 18)  D 2 d 3  d 3   2D    Thường thì t ỷ số d bé hơn 1 rất nhiều và có thể bỏ qua lượng đó trong công thức 2D (6-18), cho nên ta có:  ma x = 8P D d 3 (6-19) N hư vậy ta bỏ qua ứng suất tiếp do lực cắt Q sinh ra. Để chính xác hơn người ta đưa vào 1 hệ số điều chỉnh K, hệ số này phụ thuộc vào b ước lò xo, giá trị ứng suất tiếp gây ra do lực cắt Q thông qua t ỷ số thường được sử dụng là: D . Vậy công th ức d  = K 8PD d 3 Bảng 6.2: Bảng hệ số điều chỉnh K (6-20) D/d 3 4 5 6 7 8 9 10 K 1,58 1,40 1,31 1,25 1,23 1,18 1,16 1,14 6.10.2. Độ cứng của lò xo: Dưới tác dụng của lực P, lò xo có thể bị giãn ra một lượng  (nếu là lực P kéo) và bị co một lượng là  (nếu lực p là nén). Lực P đó sẽ sinh ra một công: A = 1  P    2 V ề trị số, công đó bằng thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong lò xo; nếu chỉ để 135 4 ý đến mô men mà bỏ qua ảnh hưởng lực cắt Q thì: U = 1 2 M 2 l   GJ p Thay M = P  D ; J 2 p 2    d 32 và l    D  n  P  D        .D.n ta s ẽ có: U =   2    d 4 4  P 2  D 3  n   G  d 4 2  G   32 Theo định luật bảo tồn năng lượng thì: A = U Ha y 1 P     2 4  P 2  D 3  n G  d 4 Suy ra  = 8  P  D 3  n G  d 4 (6-21) 3 3 Công thức này có thể viết:  = P  P Gd 4 C 8D 3 n 4 Trong đó: C = G  d 8  D 3 n (6-22) C được gọi là độ cứng của lò xo có thể tính bằng N/cm, MN/m, độ cứng càng lớn thì  càng nhỏ. * Ví dụ 8: Cho một lò xo hình trụ có đường kính trung bình là D = 20cm, đường kính dây lò xo d = 2cm, số vòng lò xo là n=18, ch ịu lực kéo trên trục lò xo là P = 3 10 3 N. Hãy ki ểm tra độ bền của lò xo và tính độ dãn  của nó, cho biết [] = 2,5.10 8 N/m 2 , G = 810 10 N/m 2 . Bài giải : Ứng suất tiếp lớn nhất trong lò xo được tính b ằng công thức (6-20): K  8  P D  ma x =  d 3 Tra b ảng 6-2 ta có ứng với D  20  10 , thì K = 1,14 d Vậy  max = 1,14  2 8  3 10 3  0,2  (0,02) 3  2,18 10 8 N / m 2 So sánh v ới [], ta thấy  max < [ ] Vậy lò xo đủ bền. Độ gi ãn của lò xo được tính bằng công thức (6-21):  = 8  P  D .n  8  3 10 (0,2 ) 3 18  0,27m G  d 4 8 10 10 (0,02) 4 * Ví dụ 9: Tìm độ cứng của hệ gồm 2 lò xo có độ cứng riêng bi ệt C 1 , C 2 khi nối liên tiếp (mắc nối tiếp) như trên hình 6.17a và khi đặt lồng vào nhau (mắc song song) như trên hình vẽ 6.17b, cùng chịu tác dụng lực P. Bài giải : 1) Mắc nối tiếp. Lực tác dụng lên các lò xo như nhau và b ằng P và độ giãn dài của cả 2 lò xo sẽ là tổng độ giãn dài (độ lớn) của 2 lò xo cộng lại, tức là: P P  1 1    C  C    =  1 +  2 =   P      P  1 2   C 1 C 2  C 1 C 2    C 1 C 2   So sánh với công thức (6-22) là: a) P P = P . C Váûy C  C 1 C 2 C 1  C 2 và là độ cứng b) C 1 C 1 của toàn hệ. 2- Mắc song song, thì rõ ràng độ lớn của 2 lò xo như nhau và:  =  1 =  2 = P  P C 2 C 2 C 1 C 2 Nhưng lúc này lực nén P của toàn hệ được P phân ra cho lò xo 1 và lò xo 2 như sau: P = P 1 +P 2 = C 1 + C 2 134 P Hình 6.17:Tính lún c a lò xo 135 = (C 1 + C 2 ) Suy ra:  = P C 1  C 2 136 So sánh với (6-22) thì C = C 1 + C 2 Độ cứng của hệ bằng tổng độ cứng của các lò xo mắc song song. . M Chương 20: NGUYÊN TẮC CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN SIÊU TÍNH Ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập ta cần phải. 2,5.10 8 N/m 2 , G = 810 10 N/m 2 . Bài giải : Ứng suất tiếp lớn nhất trong lò xo được tính b ằng công thức (6 -20) : K  8  P D  ma x =  d 3 Tra b ảng 6-2 ta có ứng với D  20  10 , thì K = 1,14 d Vậy. trụ có đường kính trung bình là D = 20cm, đường kính dây lò xo d = 2cm, số vòng lò xo là n=18, ch ịu lực kéo trên trục lò xo là P = 3 10 3 N. Hãy ki ểm tra độ bền của lò xo và tính độ dãn  của