1  Chương 10: Công thức tính ứng suất pháp * Quan hệ biến dạng. Khi quan sát biến dạng của dầm chịu u ốn thuần túy như trên hình 5.6a, ta nhận thấy: Các thớ dọc phía trên tr ục dầm bị co lại (thớ ab), các thớ dọc phía dưới trục dầm bị giãn ra (th ớ cd). Như vậy, từ thớ bị co sang thớ bị giãn, chắc chắn sẽ có các th ớ không bị co cũng không bị giãn, tức là thớ không biến dạng. Các th ớ đó gọi là thớ trung hòa (hình 5.7a). Các th ớ trung hòa tạo thành một lớp được gọi là lớp trung hòa. Lớp trung M x M x x Đường trung hoà Th ớ trung O Đườn g run g y Tr ục đố i x ứ ng ho à a) b) Hình 5.7: Bi ế n dạng của dầm ch ị u u ốn thuần tuý Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ẳ ngang gọi là đường trung hòa. Vì các thớ trên bị nén, nên bề rộng của mặt cắt ở phía trên phình ra, còn các th ớ phía dưới chịu kéo nên bề rộng của mặt cắt ở phía dưới thu hẹp lại (hình 5.7b). Mặt cắt ngang không còn nguyên d ạng hình chữ nhật như trước khi bị biến dạng. Đường trung hòa là m ột đường cong nhưng vì biến dạng nhỏ, nên có thể coi mặt cắt sau khi biến dạng vẫn không đổi (vẫn hình chữ nhật) và coi đường trung hòa là đường thẳng và biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy là sự quay của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa. Bây gi ờ, ta xét một đoạn dầm dz được cắt ra bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 5.8a). d d z 1 2 ) y 1 2 O 1 2 Th ớ trung O 2 O 1 O 2 y m n m n Th ớ trung 1 2 h à 1 2 a b Sau biến dạng, theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng ) thì hai m ặt cắt 1-1 và 2-2 vẫn Hình 5.8: Xét sự bi ế n dạng c ủa một th ớ phẳng và vuông góc với trục dầm, đồng thời quay với nhau một góc d. Gọi  là bán kính cong c ủa thớ trung hòa O 1 O 2 (hình 5.8b). Vì thớ trung hòa không b ị biến dạng nên: 3 O 1 O 2  dz  O 1 O 2  d Bây giờ, tính biến dạng dài của một thớ mn cách thớ trung hòa m ột khoảng cách y. Chiều dài của thớ này trước khi bị biến dạng: mn  dz  d và sau khi biến dạng : mn= ( + y) d Vậy, độ biến dạng dài tỉ đối của thớ mn bằng:   (  y)d   d  y z d   Trong đó, giá trị của y và  đều chưa biết, vì vị trí của đường trung hòa còn chưa xác định. * Quan hệ vật lý: Ta hãy xét một mặt cắt nào đó, chẳng hạn m ặt cắt 2-2. Mặt cắt đó được biểu diễn như trên hình 5.9. Trên mặt cắt đó ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox là đường trung hòa, Oy là trục đối xứng của mặt cắt, Oz song song với trục của dầm. Chiều của các trục như hình vẽ (hình 5.9a). F x M x x O z d y F  z d F  z   z Bây giờ, ta tách ra một ph y ân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ. Phân tố đó đượ a c biểu diễn trên hình 5.9b. Theo gi ả thuyết về mặ b t cắt ngang phẳng và với nhận xét các ô vuông sau khi bi ến dạng vẫn giữ góc vuông, ngh ) ĩa là trên các m ặt cắt của phân tố khHôìngnhthể5c.ó9ứ:ngXsáucất đ ti ị ếpn.hNó ứ incgáchsukh ấ átc, ctr ủ êna mdặầt mcắtcnhg ị aung uc ố ủanthanh chỉ có ứn g suất pháp  z. .Theo gi ả thuyết về c ầ á n c th t ớ u d ý ọc p t h ì ẳ  n x g =  y = 0. N hư vậy, trạng thái ứng suất của một phân tố tách ra ở một điểm A nào đó trên m ặt cắt ngang là trạng thái ứng suất đơn. Định luật Hooke cho 4 phép ta biểu diễn quan hệ y gi ữa  z và  Z nh ư sau :  z  E  z  E   (b) * Quan h ệ ứng suất và nội lực: Xét m ột phân tố diện tích dF bao quanh điểm A. Phân tố nội l ực tác dụng lên phân tố diện tích đó là  z dF. N ếu quy về gốc tọa độ O của hệ trục trên mặt cắt ngang đang xét, thì chúng ta được các thành phần phân tố nội lực: dN z =  z dF dM y = (  z dF)x dM x = (  z dF)y Vì chúng ta nghiên c ứu dầm chịu uốn thuần túy phẳng, cho nên trên m ọi mặt cắt ngang của dầm chỉ có mô men uốn M x ; còn M y = 0 và N z = 0. Do đó :  F z N z =  dF  0 (c) 5 M =  y  x z M y =  F  z xdF  0 (d) M x =  F  z ydF Trong đó các tích phân lấy trên toàn bộ diện tích F c ủa mặt cắt ngang. E (e) a) L ực trục N Z : Mang (b) vào (c) và chú ý t ỉ số   là một hằng số ở trên mọi điểm của mặt cắt ngang nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân : E E N z =  F  ydF    F ydF  0 Rút ra S x =  F ydF  0 Trong đó, S x là mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox. Điều đ ó chứng tỏ đường trung hòa Ox trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang. b) Mô men uốn M y : Mang (b) vào (d) ta có : E E M y =  F p xydF  p  F xydF  0 Rút ra : J xy =  F xydF  0 Trong đó J xy là mô men quán tính li tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục Oxy. Vậy, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm c ủa mặt cắt ngang. c) Mô men uốn M x : Sau khi xác định vị trí đường trung hòa Ox, ta thi ết lập công thức ứng suất pháp. Mang (b) vào (e) ta có: E 2 dF  E y F   F 2 dF  E J  x Rút ra : 1  M x (5-1)  EJ x Trong đó EJ x : Độ cứng của dầm khi uốn. Khi thay (5-1) vào (b) ta được:   M x y J x (5-2) Trong đó, M x : Mô men uốn trên mặt cắt ngang đối với trục 6 trung hòa Ox và được coi là dương nếu làm căng các thớ ở về phía dươn g của trục y. J x : Mô men quán tính c ủa mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox . y: Tung độ của điểm đang xét đến trục trung hòa Ox. Ứng suất pháp tính được mang dấu cộng là ứng suất kéo, mang dấu trừ là ứng suất nén .Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta có th ể viết (5-2) dưới dạng công thức kĩ M thu ật :  z    x | y | J x (5-3) 7 Trong đó, ta lấy dấu (+) khi  z là ứng suất kéo và dấu (-) khi  z là ứng suất nén ở điểm chúng ta tính ứng suất. . 1  Chương 10: Công thức tính ứng suất pháp * Quan hệ biến dạng. Khi quan sát biến dạng của dầm chịu u ốn. đó, giá trị của y và  đều chưa biết, vì vị trí của đường trung hòa còn chưa xác định. * Quan hệ vật lý: Ta hãy xét một mặt cắt nào đó, chẳng hạn m ặt cắt 2-2. Mặt cắt đó được biểu diễn như trên